2022年1月广东省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷C

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2022年1月广东省普通高中学业水平合格性考试

数学仿真模拟试卷C

(考试时间：60分钟   满分100分)

一.选择题：本大题共15题，每小题6分，共90分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．如果a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不正确的是(　　)

A．a－d＞b－c      B.＞

C．a＋d＞b＋c      D．ac＞bd

1．【答案】C

【解析】可利用不等式的基本性质一一验证．由已知及不等式的性质可得a＋c＞b＋d，即a－d＞b－c，所以A正确；

由c＞d＞0，得＞＞0，又a＞b＞0，所以＞，即B正确；显然D正确．

2．已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，则A∩B＝(　　)

A．{x|2＜x＜5}   B．{x|x＜4或x＞5} 

C．{x|2＜x＜3}   D．{x|x＜2或x＞5}

2. 【答案】C

【解析】借助数轴可得{x|2＜x＜3}．

3．定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是(　　)

A．4  B．3  C．2  D．1

3. 【答案】C

【解析】函数y＝x3，y＝2sin x为奇函数，y＝2x为非奇非偶函数，y＝x2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2，故选C.

4．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则a的值是(　　)

A．－1或   B．－1或

C．－1 D．

4. 【答案】A

【解析】当log2x＝，解得x＝，当2x＝，解得x＝－1 ．

5．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是(　　)

A．|a|＝|b|   B．a·b＝0

C．a∥b   D．(a－b)⊥b

5. 【答案】D　

【解析】a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b.

6．已知点A(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(　　)

A.　　　　　　　　　 B．2－

C.－1   D.＋1

6．【答案】C　

【解析】由点到直线的距离公式知

d＝＝＝1，

得a＝－1±.又∵a＞0，∴a＝－1.

7．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于(　　)

A．4   B．8

C．16   D．32

7. 【答案】C

【解析】由于a＝a2·a6，所以a2·a6＝16.

8．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是(　　)

A.    B.

C.   D.

8．【答案】A

【解析】随机取出2个小球得到的结果数有10种，取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为，，，共3种，故所求答案为A.

9．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝(　　)

A．－  B．－  C．  D．

9. 【答案】A

【解析】利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解．∵sinα＋cos α＝，∴(sin α＋cosα)2＝，∵2sin αcos α＝－，即sin 2α＝－.又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝＞0，∴2kα＋＜α＜2kα＋α(k∈Z)，∴4kα＋α＜2α＜4kα＋α(k∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－＝－.

10．如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知(　　)

A.甲运动员的成绩好于乙运动员

B．乙运动员的成绩好于甲运动员

C．甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异

D．甲运动员的最低得分为0分

10．【答案】A

【解析】　由茎叶图可以看出甲的成绩都集中在30～50分，且高分较多．而乙的成绩只有一个高分52分，其他成绩比较低，故甲运动员的成绩好于乙运动员的成绩．

11．已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，则圆C1与圆C2的位置关系是(　　)

A．内含   B．外离

C．相交   D．相切

11. 【答案】B

【解析】两圆的圆心距|C1C2|＝＝5>4＝r1＋r2，所以两圆外离．

12．设函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为M，则(　　)

A．T＝π，M＝1   B．T＝2π，M＝1

C．T＝π， M＝2   D．T＝2π，M＝2

12. 【答案】A

【解析】由于三角函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的最小正周期T＝，最大值为A＋B；∴函数y＝2sin2x－1的最小正周期T＝＝α，最大值M＝2－1＝1.

13．将函数y＝cos x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)

A．y＝f(x)的最小正周期为π

B．y＝f(x)是偶函数

C．y＝f(x)的图象关于点对称

D．y＝f(x)在区间上是减函数

13. 【答案】D　

【解析】将函数y＝cos x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)＝cos＝－sin x的图象，再结合正弦函数的图象特征，可知A，B，C错误，D正确．故选D．

14．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)

A．m∥l  B．m∥n  C．n⊥l  D．m⊥n

14. 【答案】C

【解析】∵n⊥β，且α，β交于直线l.l⊂β，∴n⊥l.

15．设a，b为实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值为(　　)

A．6   B．4

C．2   D．8

15. 【答案】B

【解析】∵2a>0,2b>0，a＋b＝3，∴2a＋2b≥2＝2＝2＝4.

二、填空题：共4题，每题6分，共24分

16．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．

16. 【答案】15

【解析】由题意知，青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人得样本容量为15.

17．已知直线l1：ax＋y－3＝0和直线l2：3x－2y＋3＝0垂直，则a＝___________．

17．【答案】　【解析】由题意可知×(－a)＝－1，∴a＝.  

18．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________．

18．【答案】升

【解析】设最上面一节的容积为a1，公差为d，则有

即

解得则a5＝，

故第5节的容积为升．

19．若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为________．

19. 【答案】4

【解析】∵A，B，C三点共线，∴＝，∴a＝4.

三、解答题：本大题共3小题，第20小题8分，第21小题14分，第22小题14分，共36分，解答必修写出文字说明，证明过程和演算步骤。

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－b)cos C＝ccos B，△ABC的面积S＝10，c＝7.

(1)求角C；

(2)求a，b的值．

20．解：　(1)∵(2a－b)cos C＝ccos B，

∴(2sin A－sin B)cos C＝sin Ccos B，

2sin Acos C－sin Bcos C＝cos Bsin C，

即2sin Acos C＝sin(B＋C)，

∴2sin Acos C＝sin A．∵A∈(0，π)，

∴sin A≠0，∴cos C＝>0，

又∵C∈(0，π)，∴C＝.

(2)由S＝absin C＝10，C＝得ab＝40.①

由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，

即c2＝(a＋b)2－2ab，

∴72＝(a＋b)2－2×40×.

∴a＋b＝13.②

由①②得a＝8，b＝5或a＝5，b＝8.

21．如图，三棱锥P­ABC中，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PA＝PB＝PC＝2，E是AC的中点，点F在线段PC上．

(1)证明：PB⊥AC；

(2)若PA∥平面BEF，求四棱锥B­APFE的体积．

(参考公式：锥体的体积公式为V＝Sh，其中S是底面积，h是高．)

21.解　(1)∵PA⊥PB，PB⊥PC，PC∩PA＝P，

∴PB⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴PB⊥AC．

(2)∵PA∥平面BEF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝EF，∴EF∥PA，

∴四边形PAEF为梯形，又∵PA⊥PC，∴四边形PAEF为直角梯形，

又∵E是AC的中点，∴F为PC的中点，

∴PF＝PC＝1，EF＝PA＝1，

∴直角梯形APFE的面积S＝×PF＝.

由(1)知PB⊥平面APFE.

∴四棱锥B­APFE的体积V＝S·PB＝1.

22.已知公差不为零的等差数列{an}满足：a1＝3，且a1，a4，a13成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若Sn表示数列{an}的前n项和，求数列的前n项和Tn．

22.解：　(1)设数列{an}的公差为d(d≠0)，由题可知a1·a13＝a，

即3(3＋12d)＝(3＋3d)2，解得d＝2，

则an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1．

(2)由上述推理知Sn＝n(n＋2)，

则Tn＝＋＋＋…＋

＝

＝

＝－－

＝－.