专题01 【大题限时练1】-备战2022年湖南高考数学满分限时题集

专题01 大题限时练1

1．的内角，，的对边分别为，，，已知．

（1）求；

（2）若，，求的周长．

【答案】（1）；（2）

【详解】解：（1）因为，可得，

所以，可得，

由正弦定理可得，整理可得，

因为，可得，

由，可得．

（2）由余弦定理可得，即，

因为，解得，

所以，解得，

所以的周长为．

2．已知数列的前项的和为，且满足．

（1）求数列的通项公式及；

（2）若数列满足，求数列的前项的和．

【答案】（1）数列的通项公式，前项和公式；（2）

【详解】解：（1）在中，令，则，即，

由知，，

两式相减得，，即，

所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，

所以数列的通项公式，前项和公式．

（2），

当时，；

当时，

，

综上，．

3．如图，已知是正三角形，，平面，，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）

【详解】（1）证明：设线段中点为，连接交于点，分别连接，．

由条件可得，，，又，

三个四边形，，都是平行四边形，

，，，，．

是正三角形，是正三角形．

，，．

由得是线段中点，所以是中点．

．

平面，平面，平面，

，，，．

，是平面内两条相交直线，平面．

平面，．

，是平面两条相交直线，平面．

平面，

．

，，．

，是平面内两条相交直线，平面．

平面，

平面平面．

（2）解：由（1）知直线，，两两垂直，分别以直线，为轴和轴，以过点平行的直线为轴，建立如图所示的空间直线坐标系．

设，则，，，，0，，，2，，．

，，．

设是平面的一个法向量，则，，

不妨取得，，

．

由（1）知是平面的法向量，

所以，平面与平面角所成锐二面角的余弦值为．

4．随着中国经济的迅速发展，市场石料需求急增．西部某县有丰富的优质石料，当地政府决定有序开发本县石料资源．因建立石料厂会破坏生态，该县决定石料开发走“开发治理结合，人类生态友好”的路线．当地政府请国家环保机构每年对该县与石料开发相关的生态（以下简称生态）进行评估．若生态开始变差，则下一年石料厂将停产（本问题中，时间以整数年为单位），生态友好后复产．该县在建石料厂之初投入巨资进行与之有关的生态建设，考虑到可持续发展，这种生态投入（以下简称生态投入）将逐年减少是常数，亿元．该县从2021年起，若某年生态友好，则下一年生态变差的概率是；若某年生态变差，则下一年生态友好的概率为．模型显示，生态变差的概率不大于0.16683时，该县生态将不再变差，生态投入结束．

（1）若2021年该县生态变差的概率为，求该县2022年生态友好的概率；

（2）若2021年该县生态变差概率为，生态投入是40亿元，为何值时，从2021年开始到生态投入结束，对该县总生态投入额最小？并求出其最小值．

【答案】见解析

【详解】解：（1）设 “该县2021年生态友好”， “该县2022年生态友好”，

年该县生态变差的概率为，即，（A），

如果该县2021年生态友好，则它2022年生态友好的概率为，

该县2021年变差，那么它2022年友好的概率为，

“该县2021年生态友好，那么它2022年生态友好”与“该县2021年生态变差，而2022年生态友好”是互斥事件，

，

故该县2022年生态友好的概率为．

（2）设该县2021年生态变差的概率为，

由（1）可得，该县2022年生态友好的概率为，

该县2022年生态变差的概率为，

该县2023年生态变差的概率为，

该县从2022年开始的第年生态变差的概率为，，

若从2022年开始到生态投入结束共有年，则，即，

，

对该县总生态投入额，

求导可得，，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

当时，最小，且最小值为135亿元，

故当时，对该县总生态投入额最小，最小值为135亿元．

5．已知椭圆的右焦点为、过的直线与椭圆交于点、、当直线的方程为时，直线过椭圆的一个顶点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点，若，求直线的斜率．

【答案】（1）；（2）

【详解】解：（1）因为过的直线与椭圆交于点、、当直线的方程为时，直线过椭圆的一个顶点．

可得，所以，

所以椭圆的方程为：；

（2）由题意可得直线的斜率不为0，设方程为，设，，，，

联立，整理可得：，

可得△恒成立，

①，②，

因为，

所以轴平分，由，可得③，

由①②③可得，，

可得，解得，

所以直线的斜率满足，

即直线的斜率为．

6．已知函数．

（1）若，求在上的单调性；

（2）试确定的所有可能取值，使得存在，对，恒有．

【答案】（1）见解析；（2）

【详解】解：，

构造函数，时，，单调递增，，

故时，，在上单调递增，

时，，在上单调递减．

（2）依题对，有，

记，，

记，，

①若，存在，在，，单调递减，

，矛盾；

②若，存在，在，，单调递增，

，矛盾；

③若，．，

当时，单调递增，单调递减，，

综上可得：．