专题44平面解析几何第四缉（解析版）-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题44平面解析几何第四缉1．【2019年贵州预赛】设椭圆C:的左、右焦点分别为F1,F2,其焦距为2c,点在椭圆的内部,点M是椭圆C上的动点,且恒成立,则椭圆C的离心率的取值范围是(                            )A．  B．  C．  D．【答案】D【解析】解法1:由在椭圆的内部得.即.，因为0<e<1,所以3e2-4<0,故.又由恒成立,即恒成立.综上,得.解法2:因为在椭圆的内部,所以,即.得,因为还有一个条件未用,故不可能是A所以选D.2．【2018年福建预赛】若直线l与两直线l1：x－y－l=0，l2：13x－3y－11=0分别交于A、B两点，且线段AB中点为P(1，2)，则直线l的斜率为（    ）A．－2    B．－3    C．2    D．3【答案】B【解析】由点A在直线l1：x－y－7=0上，设A(t，t－7).由AB中点为P(1，2)，知B(2－t，11－t).∵点B在直线l2：13x+3y－11=0上，∴13(2－t)+3(11－t)－11=0.解得，t=3.∴A(3，－4)，,选B.3．【2018年福建预赛】已知点A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，直线y=kx+b(k>0)交线段CA于点D，交线段CB于点E.若△CDE的面积为2，则b的取值范围为（    ）A．    B．    C．    D．【答案】B【解析】如图，设 ，.由条件知，△ABC为等腰直角形，CA=CB=，CA⊥CB.由△CDE的面积为2，得.由k>0，得m>n.因此，.设DE交y轴于点F，点F到CA、CB的距离相等，设为t.则.∴.∴的取值范围为. 选B.4．【2018年贵州预赛】已知一双曲线的两条渐近线方程为，则它的离心率是（    ）．A．    B．    C．    D．【答案】A【解析】解：由于两渐近线相互垂直，故此双曲线的离心率与渐近线为y=±x的双曲线的离心率相同，而以y=±x为渐近线的双曲线方程为 ，它的离心率为，故答案为：A．5．【2018年北京预赛】如图，平面直角坐标系中，是函数在第象限的图象上两点，满足，则的面积等于A．.    B．.    C．.    D．.【答案】C【解析】依题意，是正三角形.又是函数在第象限的图象上两点，所以关于直线轴对称.设点，则点由，化简得.因此.所以，正的面积. 选C.6．【2018年贵州预赛】已知一双曲线的两条渐近线方程为，则它的离心率是（    ）．A．    B．    C．    D．【答案】A【解析】解：由于两渐近线相互垂直，故此双曲线的离心率与渐近线为y=±x的双曲线的离心率相同，而以y=±x为渐近线的双曲线方程为 ，它的离心率为，故答案为：A．7．【2018年四川预赛】设分别是椭圆的左、右焦点，为该椭圆上一点，满足.若的面积为2，则的值为（    ）.A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】设，则                ①        ②                ③由①②③得故答案为：B8．【2017年天津预赛】将曲线沿轴正方向移动1个单位,再沿轴负方向移动2个单位,得到曲线在下列曲线中,与关于直线对称的是(                                          )(A)  (B)(C)  (D)【答案】【解析】提示：任取曲线上一点,平移后得到曲线上的点.它关于的对称点是.令消去得,故选C.9．【2017年四川预赛】已知为椭圆的左、右焦点,该椭圆上存在两点,使得,则该椭圆的离心率的取值范围是(                                          )(A)  (B)  (C)  (D)【答案】【解析】提示:如图,由,可得,且,所以直线与轴交于点.设为已知椭圆上一动点,分为1：2的三等分点形成的轨迹为,则曲线与已知椭圆的交点即为点.显然,当点在椭圆内,则曲线也在椭圆内,与椭圆无公共点;而当点在橢圆外,则曲线与椭圆有公共点.所以在椭圆上存在两点,使得的充要条件是点在椭圆外.故所以离心率.10．【2017年陕西预赛】如图,已知椭圆0),圆与轴正半轴交于点,过点的直线与椭圆相切,且与圆交于另一点.若,则椭圆的离心率为(                                          )(A)  (B)  (C)  (D)【答案】【解析】提示：因为,所以为正三角形,则直线的斜率为.于是,直线的方程为,代入,得.,得,即.以,即.11．【2017年黑龙江预赛】方程为的棛圆左顶点为,左,右焦点分别为是它的短轴上的一个顶点,若,则该椭圆的离心率为(                                          )(A)  (B)  (C)  (D)【答案】D【解析】提示:因为,所以所以,所以.12．【2017年黑龙江预赛】已知分别是双曲线的左、右焦点,以为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为,若双曲线的离心率为5,则等于(                                          )(A)  (B)  (C)  (D)【答案】【解析】提示:设,因为在双曲线上,所以.因为在圆上,所以,所以,所以又因为,所以.13．【2017年湖南预赛】已知椭圆,对于任意实数,椭圆被下列直线中所截得的弦长,与被直线所截得的弦长不可能相等的是(   )(A)  (B)(C)  (D)【答案】【解析】提示:对于,当时,椭圆被直线所截得的弦长,与被所截得的弦长相等;对于,当时,椭圆被直线所截得的弦长,与被所截得的弦长相等;对于,当时,椭圆被直线所截得的弦长,与被所截得的弦长相等.因此,正确的选项为D.14．【2016年陕西预赛】已知A、B为抛物线y=3-x2上关于直线x+y=0对称的相异两点.则|AB|等于（    ）.A．3    B．4    C．    D．【答案】C【解析】因为点A、B关于直线x+y=0对称，所以，设点A(a，b)，B(-b，-a).又点A、B在抛物线y=3-x2上，则 或不妨设点A(-2，-1)，B(1，2).则|AB|=3. 选C.15．【2016年吉林预赛】已知椭圆E： ，对于任意实数k，下列直线被椭圆E截得的弦长与l：y＝kx＋1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是(　　)A．kx＋y＋k＝0    B．kx－y－1＝0C．kx＋y－k＝0    D．kx＋y－2＝0【答案】D【解析】试题分析：解：由数形结合可知，当l过点（-1，0）时，直线l和选项A中的直线重合，故不能选 A．当l过点（1，0）时，直线l和选项D中的直线关于y轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，故不能选C．当k=0时，直线l和选项B中的直线关于x轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，故不能选B．直线l斜率为k，在y轴上的截距为1；选项D中的直线kx+y-2="0" 斜率为-k，在y轴上的截距为2，这两直线不关于x轴、y轴、原点对称，故被椭圆E所截得的弦长不可能相等．故选D考点：直线和椭圆的位置关系点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法16．【2016年吉林预赛】已知椭圆E： ，对于任意实数k，下列直线被椭圆E截得的弦长与l：y＝kx＋1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是(　　)A．kx＋y＋k＝0    B．kx－y－1＝0C．kx＋y－k＝0    D．kx＋y－2＝0【答案】D【解析】试题分析：解：由数形结合可知，当l过点（-1，0）时，直线l和选项A中的直线重合，故不能选 A．当l过点（1，0）时，直线l和选项D中的直线关于y轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，故不能选C．当k=0时，直线l和选项B中的直线关于x轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，故不能选B．直线l斜率为k，在y轴上的截距为1；选项D中的直线kx+y-2="0" 斜率为-k，在y轴上的截距为2，这两直线不关于x轴、y轴、原点对称，故被椭圆E所截得的弦长不可能相等．故选D考点：直线和椭圆的位置关系点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法17．【2016年浙江预赛】曲线为平面上交于一点的三条直线的充分必要条件为（    ）。A．    B．    C．    D．【答案】A【解析】由于直线交于原点，于是，曲线要为平面上三条交于一点的直线当且仅当直线过原点，即.18．【2016年浙江预赛】设双曲线）的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的一个交点为。若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（    ）。A．    B．    C．    D．【答案】D【解析】要使为等腰直角三角形，则.由勾股定理得.19．【2016年四川预赛】已知为椭圆与双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且.则该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（）.A．    B．    C．l    D．【答案】B【解析】设.椭圆方程为，双曲线方程为两曲线的半焦距为，且.由圆锥曲线定义得.于是，.又由余弦定理得.由均值不等式得.当时，上式等号成立.从而，该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为.20．【2016年湖南预赛】设为非零实数，为虚数单位，.则方程与方程在同一复平面内的图形（为焦点）为（    ）.A．    B．    C．    D．【答案】B【解析】注意到，表示以为焦点的椭圆，且表示以为焦点的双曲线的一支.由，知.故双曲线的一支靠近点.21．【2015年浙江预赛】“”为“曲线经过点”的（    ）条件.A．充分不必要    B．必要不充分C．充分必要    D．既不充分也不必要【答案】A【解析】充分性显然成立.当曲线经过点时，有.显然，也满足上式.从而，必要性不成立.22．【2015年浙江预赛】若过点作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能等于（    ）.A．    B．    C．    D．【答案】C【解析】不妨设四条直线交成的正方形在第一象限，记其边长为，面积为，过点的直线的倾斜角.当过点的直线为正方形的对边所在的直线时，.此时，正方形的面积.类似地，当过点的直线为正方形的对边所在的直线时，；当过点的直线为正方形的对边所在的直线时，.23．【2015年天津预赛】方程表示的曲线为（    ）A．一个圆    B．两个半圆    C．一个椭圆    D．以上结论均不对【答案】B【解析】由已知方程得，分别表示以为圆心、1为半径的介于点之间的上半圆周及以为圆心、1为半径的介于点之间的下半圆周.24．【2015年四川预赛】已知二面角的大小为30°，则由平面a上的圆在平面上的正射影得到的椭圆的离心率等于（）。A．    B．    C．    D．【答案】B【解析】由.25．【2015年湖南预赛】对所有满足，极坐标方程表示的不同双曲线条数为（    ）.A．6    B．9    C．12    D．15【答案】A【解析】当时，表示抛物线.当时，令.注意到，.故离心率的取值共有个不同的值.