专题32不等式第一缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题32不等式第一缉1．【2021年吉林预赛】已知四个整数a,b,c,d都是偶数，且 ,若a,b,c成等差数列，b,c,d成等比数列，则                    .【答案】194【解析】由题设知 ,消去c,d,得 .即 ,因为 ,所以 都是6的倍数,又因为 ,所以 ,故 ,从而 ,即 ,从而 ,故 .所以 ,故 .2．【2021年福建预赛】若正实数x，y满足x（x+2y）=9，则x5y的最大值为         .【答案】54【解析】解法一：由题设及平均不等式知： .所以, ,当且仅当 ,即 时等号成立.所以,最大值为54.解法二：由题意可得 .所以, ，设 ,则 , 时, 时, .所以, 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减所以， 时， 有最大值 .因此, 时， 取最大值54.所以， 的最大值为54.3．【2021年浙江预赛】设直角坐标平面上两个区域为 , ,记 与 的公共部分面积为 。当 时，则 的表达式为        .【答案】 【解析】由图可知 .4．【2021年广西预赛】已知 ,其中x,y,z均为正数,则 的整数部分为         .【答案】4【解析】取 易得结果，一般的证明可考虑使用幂函平均不等式.5．【2020年福建预赛】已知a、b、c、d为正数,且 则 的最小值为          .【答案】 【解析】由条件知 .则 当且仅当 且 ,即 时,上式等号成立.故 的最小值为 6．【2020年福建预赛】已知实数 满足当关于 的实系数一元二次方程 有实根时， 总成立.则 的最大值为                              .【答案】 【解析】设 其中,a、b、c为实数, 当方程 有实根时,设其两个根为 .由韦达定理知 则 当且仅当 ,即 时,上式等号成立.故 的最小值为 .从而, 的最大值为 .7．【2020年甘肃预赛】设x、y均为正数.则 的最小值为          .【答案】3【解析】注意到, 当 时, 8．【2020年吉林预赛】设x、y满足约束条件 则 的最小值与最大值的和为          .【答案】36【解析】由约束条件作出可行域,如图1,即 内部及其边界,其中, , .注意到, 的几何意义是点 到坐标原点距离的平方,于是, 的最大值为 而 的最小值为:原点到直线 距离的平方,即 .故所求为 .9．【2020年四川预赛】已知正实数x、y满足 .则 的最小值为          .【答案】 【解析】由 当 时,可得上式等号成立.故 的最小值为 .10．【2020年重庆预赛】若x、y为实数,则 、 这三个数中的最大数的最小值为        .【答案】 【解析】 ,当且仅当 时,上式取到最小值.11．【2020年新疆预赛】不等式 的解集为          .【答案】 【解析】即 ,令 ,则 在 上为减涵数,且 ,所以解集为 .12．【2019年江苏预赛】设，则的最大值是        .【答案】【解析】因为，所以，展开得，即.且当，或时，.所以的最大值为.13．【2019年江西预赛】a,b,c是互异正整数,使得,其中n为正整数,则的最小值是          .【答案】1297【解析】设a>b>c,由于(a+b)+(b+c)+(c+a)=2(a+b+c)为偶数,所以三个连续平方数中有两个奇平方数,一个偶平方数,于是n为奇数,而b+c>1，则n>1;若n=3,则,且因.则a+b+c=25,另一方面,最大平方数,导致c=0,不合题意;若n=5,据,得a=30,b=19,c=6,因此.14．【2019年内蒙古预赛】函数的最大值为        .【答案】【解析】,定义域.由柯西不等式得:.当,即时,等号成立.15．【2019年上海预赛】若直线ax-by+2=0(a、b>0)与函数的图像均恒过同一个定点,则的最小值为                    .【答案】【解析】显然,函数的图像恒过点.据题目条件有：由.故其最小值为.16．【2019年上海预赛】已知x、y∈[0,+∞).则的最小值为         .【答案】【解析】设x+y=t由于,于是,.又(x+y)2≥4xy,故.令f(t)=t3-5t2,则.再令,可求得t=0或.由于x、y∈[0,+∞),于是,不难分析出当时,f(t)取到最小值.故当x=y=时,原式最小值为.17．【2019年新疆预赛】已知是正数且满足，则        .【答案】15【解析】由知即. (1)同理可得.  (2)结合(1)和(2)可得.  (3)由(1)和(3)可知.同理可得和.从而.18．【2019年北京预赛】整数满足,且,那么的最小值是        .【答案】256【解析】因为,所以是个平方数.因为,是整数,所以中至少有一个是偶数,因此为偶数,且已知,所以.而当时,.所以的的最小值为.19．【2019年广西预赛】已知yz≠0,且集合{2x,3z,xy}也可以表示为{y,2x2,3xz},则x=        .【答案】1【解析】显然①,不符合;②,符合③不符合;或,不符合综上,可知x=1.20．【2019年广西预赛】设函数,则y(x)的最小值为        .【答案】【解析】记原式当,即x=1时,取到等号21．【2019年贵州预赛】平面区域的面积为        .【答案】【解析】由于或.由,得.所以,或画出(x,y)的可行域(图中阴影部分),从而求得平面区域的面积为.22．【2018年江苏预赛】设函数，则不等式的解集为________.【答案】【解析】因为，所以是奇函数。，由于都是定义域上的减函数，所以函数f(x)是R上的减函数，（减函数+减函数=减函数）.由，得，所以.即，解之得：.故答案为：23．【2018年贵州预赛】若实数a使得不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_______．【答案】【解析】设x=ka（k∈R），则，即对，恒有，而，所以．故答案为：24．【2018年浙江预赛】设，则有________个不同的解.【答案】3【解析】因为由得到，或.由，得一个解；由得两个解，共3个解.25．【2018年北京预赛】已知正整数满足，且的最大值和最小值分别记作，则_______.【答案】926【解析】由已知可知均为小于22的正整数，由题设等式得，从而，所以中至少有一个数等于11.不妨设，由题设等式得，由于都是正整数，又，易知，当时，取最小值242，此时.当时，取最大值，此时.所以.26．【2018年重庆预赛】已知复数z的模为1，则的最小值为________．【答案】17【解析】解：在复平面内，设，P为单位圆上的点，问题转化为求的最小值，设，其中由于，必存在，即等号可以取到.故答案为：1727．【2018年陕西预赛】设是正整数，当时，的小数部分的前两位数是________.【答案】49【解析】一方面，当n>100时，有，所以，另一方面，.故当n>100时，的小数部分的前两位数是49.28．【2018年湖南预赛】若不等式的解集是（4，b），则实数a=_____，b=_____.【答案】    36     【解析】解法一： 设，则，且，则不等式的解集为，所以是方程的两根，即解得，b=36.解法二： 设，由不等式的解集是（4，b），可得两函数在同一坐标系中的图象.设两函数图象的交点为A、B，则，所以.解得，b=36.故答案为：(1).     (2). 3629．【2018年湖南预赛】设实数a、b满足不等式，则a、b的正、负符号分别为_____.【答案】a负,b正 【解析】由已知得.由于，因此得，约去.所以，a为负数且b为正数.故答案为：a负,b正30．【2018年广东预赛】已知点A（1，1），B（），C（）经过点A、B的直线和经过点A、C的直线与直线所围成的平面区域为G.已知平面矩形区域中任意一点进入区域G的可能性为，则a=__________.【答案】【解析】直线AB方程为，直线AC方程为，直线与它们的交点为D（），E（）.G的面积等于三角形ADE的面积，因此，解之得.故答案为：