查补易混易错点06 解析几何-【查漏补缺】2022年高考数学三轮冲刺过关（新高考专用）

这是一份查补易混易错点06 解析几何-【查漏补缺】2022年高考数学三轮冲刺过关（新高考专用），文件包含查补易混易错点06解析几何解析版docx、查补易混易错点06解析几何原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
查补易混易错点06 解析几何
STEP01 课标解读

1.直线与方程
①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）。
⑤能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。
⑥探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
2.圆与方程
①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。
②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
③能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。
3.圆锥曲线与方程
①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
②经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。
③了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。
④通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。
⑤了解椭圆、抛物线的简单应用。
STEP02 高考直击

平面解析几何是历年高考中的重点和难点，也是广大考生丢分较多的模块，在2021年高考中，新高考全国卷Ⅰ中考查较多包括第5、11、12、14题以及第21题共5个小题。其中第5题为单选题，与不等式结合考查，难度一般；第11题为多项选择题难度一般，考查了切线长的相关知识；第12题与空间向量相结合，难度较大。第14题为填空题，较为简单考查根据抛物线方程求焦点或准线；第21题难度较大，求双曲线的轨迹方程。
STEP03 易混易错归纳

易错点01 倾斜角与斜率关系不明
倾斜角和斜率分别从不同角度反映了直线的倾斜程度，但二者也有区别，任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。解此类题常见错误有①弄错直线倾斜角的范围；②当直线与x轴平行或重合时，误认为倾斜角为0°或180°；③不了解倾斜角与斜率关系。
易错点02 判断两直线位置关系时忽视斜率不存在
在解几中，判断平面内两直线的位置关系的方法有两种：
若直线1: ，2: ，则有
1与2相交； 1∥2 ，且b1≠b2； 1⊥2
②若直线，，则有1与2相交；
1∥2；1⊥2
两种方法各有优缺点，方法①简便易行，但仅适用于斜率存在的直线，方法②适用于任意的直线，但运算量较大。考生经常出错的是：用方法①但忽视对斜率的讨论。

易错点03 平行线间的距离公式使用不当
两条平行线之间的距离是指其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离。若直线1: A x+By+C1=0和2: A x+By+C2=0(C1≠C2)，则直线1与2的距离为。常见的错误是忽视判断两直线中x、y系数是否相等。
易错点04 误解“截距”和“距离”的关系
截距是指曲线与坐标轴交点的横（纵）坐标，它是一个实数，可为正数、负数、零，而距离一定是非负数，对此考生应高度重视。
易错点05 忽视直线点斜式和斜截式方程适用范围
点斜式和斜截式是两种常见的直线方程形式，应用非常广泛，但它们仅适用于斜率存在的直线。解题时一定要验证斜率是否存在，若情况不明，一定要对斜率分类讨论。
易错点06 忽视直线截距式方程适用范围
直线的截距式方程为( ab≠0)， a为直线在x轴上的截距，b为直线在y轴上的截距。其适用范围为①不经过原点，②不与坐标轴垂直。
易错点07 忽视圆的一般式方程成立条件
在关于x、y的二元二次方程中，当，表示一个圆；当时，表示一个点；当时，不表示任何图形。仅仅是曲线为圆的一个必要不充分条件，在判断曲线类型时，判断的符号至关重要，这也是考生易错点之一。
易错点08 忽视圆锥曲线定义中的限制条件
在椭圆的定义中，对常数加了一个条件，即常数大于。这种规定是为了避免出现两种特殊情况——轨迹为一条线段或无轨迹。在双曲线的定义中，不仅对常数加了限制条件，同时要求距离差加了绝对值，其实如果不加绝对值其轨迹只表示双曲线的一支，对此考生经常出错。
易错点09 求椭圆标准方程时忽视“定位”分析
确定椭圆标准方程包括“定位”与“定量”两个方面，“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点在哪个坐标轴上，以判断方程的形式，若情况不明，应对参数进行讨论，“定量”则是指确定a2、b2的值，常用待定系数法求解。
易错点10 利用双曲线定义出错
利用双曲线定义要考虑双曲线的两支，若P为双曲线左支上的点,则的最小值为c-a,
若P为双曲线右支上的点,则的最小值为c+a。
易错点10 求与抛物线有关的最值问题是忽视定点位置
求与抛物线有关的最值问题常见题型及方法：
①具备定义背景，可用定义转化为几何问题来处理；
②不具备定义背景，可由条件建立目标函数，然后利用求函数最值的方法来处理。
在这两类题型中，定点的位置尤为重要，处理不当就会出错。
易错点11 用“点差法”解决中点弦问题时忽视直线与曲线相交
用“点差法”解决双曲线中点弦问题步骤为①设弦两端点，代入曲线方程，②将两方程求差，并用中点公式求出弦所在直线的斜率，③写出弦的方程并代入验证，其中代入验证不可少。一般来说，以椭圆内任意一点为中点的弦一定存在；以双曲线和其渐近线所夹区域内的点为中点的弦一定不存在。
易错点12 解决直线与圆锥曲线位置关系是易错的几个问题
解决直线与圆锥曲线位置关系时，常规的方法是设出直线方程，然后与圆锥曲线方程联立，转化为方程的根与系数间的关系问题求解，因此应注意以下几个问题①所设直线的斜率是否存在，②消元后的方程是否为一元二次方程，③一元二次方程是否有实根。
STEP04 真题好题演练

【真题演练】
1．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则       
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出
【解析】由题可得圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离，
则弦长为，
则当时，弦长取得最小值为，解得.
故选：C.
2．（2021·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（       ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
【答案】C
【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.
【解析】由题意得，即，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以或，
其中为双曲线，为直线.
故选：C.
3．（2021·全国·高考真题（文））点到双曲线的一条渐近线的距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.故选：A.
4．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（       ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【解析】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
5．（2021·全国·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（       ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
【解析】圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
6．（2021·全国·高考真题）已知点在圆上，点、，则（       ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【解析】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：

当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
7．（2021·全国·高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.
【答案】
【分析】根据离心率得出，结合得出关系，即可求出双曲线的渐近线方程.
【解析】解：由题可知，离心率，即，
又，即，则，
故此双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
8．（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
【答案】
【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【解析】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，

因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
9．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）由离心率公式可得，进而可得，即可得解；
（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；
充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得，进而可得，即可得解.
【解析】（1）由题意，椭圆半焦距且，所以，
又，所以椭圆方程为；
（2）由（1）得，曲线为，
当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；
当直线的斜率存在时，设，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线即，
由直线与曲线相切可得，解得，
联立可得，所以，
所以,
所以必要性成立；
充分性：设直线即，
由直线与曲线相切可得，所以，
联立可得，
所以，
所以
，
化简得，所以，
所以或，所以直线或，
所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是．
10．（2021·全国·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程；
(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得的值.
【解析】(1) 因为，
所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，，
所以，轨迹的方程为.
（2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立
如图所示，设,
设直线的方程为．

联立,
化简得.
则．
故．
则．
设的方程为，同理．
因为，所以，
化简得，
所以，即．
因为，所以．
[方法二] ：参数方程法
设．设直线的倾斜角为，
则其参数方程为，
联立直线方程与曲线C的方程，
可得，
整理得．
设，
由根与系数的关系得．
设直线的倾斜角为，，
同理可得
由，得．
因为，所以．
由题意分析知．所以，
故直线的斜率与直线的斜率之和为0．
[方法三]：利用圆幂定理
因为，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆．
设,直线的方程为，
直线的方程为,
则二次曲线．
又由，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为：
，
整理可得：
，
其中．
由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即.
【模拟演练】
一、单选题
1．（2021·河北唐山·三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若，则的面积为 （       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题设条件写出焦点、的坐标，再根据点P在C的一条渐近线上且求出点P的纵坐标而得解.
【解析】双曲线C：中，，，渐近线方程：，
因，则点P在线段的中垂线：上，则P点纵坐标y0有，
所以面积.
故选：C
2．（2021·福建省南安第一中学二模）已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点M在直线上的射影为A，且直线的斜率为，则的面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知焦准距为2，由直线的斜率为和抛物线的定义，可求出是以4为边长的正三角形，从而求出三角形的面积.
【解析】设准线与轴交于点，所以，因为直线的斜率为，所以，所以，由抛物线定义知，，且，所以是以4为边长的正三角形，其面积为．
故选C．
3．（2021·山东菏泽·二模）已知直线l与圆x2+y2=8相切，与抛物线y2=4x相交于A，B两点，（O为坐标原点）直线l方程为（       ）
A．x+y-4=0或x-y+4=0 B．x-y-4=0或x+y-4=0
C．x+2y+4=0或x-2y-4=0 D．x-2y+4=0或x+2y+4=0
【答案】B
【分析】先讨论直线斜率不存在的情况得直线斜率必存在，进而设，，由圆与直线相切可知，直线与抛物线联立方程，并结合韦达定理和数量积运算得，进而解得答案.
【解析】若直线斜率不存在，由题知，此时，
，不合题意，故斜率必存在；
设，
由圆与直线相切可知，圆心到直线的距离
所以①，
由消去得：，
所以，

由题，可得②
由①②可得：，，则直线为或.
故选：B
4．（2021·山东省实验中学二模）已知两圆相交于两点，，两圆圆心都在直线上，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由相交弦的性质，可得与直线垂直，且的中点在这条直线上；由与直线垂直，可得，解可得的值，即可得的坐标，进而可得中点的坐标，代入直线方程可得；进而将、相加可得答案．
【解析】根据题意，由相交弦的性质，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，
可得与直线垂直，且的中点在这条直线上；
由与直线垂直，可得，解可得，
则，
故中点为，且其在直线上，
代入直线方程可得，1，可得；
故；
故选：A
5．（2021·湖北·黄冈中学三模）已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，若，则（       ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【分析】由弦长为2，确定是等边三角形，得圆心到直线的距离，求得参数后得直线的倾斜角，由计算可得．
【解析】直线过定点在圆上．
圆半径为，所以是等边三角形，圆心到直线的距离为，
所以，，
直线的斜率为，倾斜角为，
所以．
故选：B．
6．（2021·湖北武汉·三模）已知双曲线：，则的离心率的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据离心率的定义，用表示出离心率，进而可得其取值范围.
【解析】双曲线的离心率为，
因为，所以，
即的离心率的取值范围为.故选：C.
7．（2021·湖南湘潭·一模）已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（       ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【分析】设为，得到，，得到，由，联立方程组求得，结合，求得的值，即可求解.
【解析】设为，则，
又由，所以，
因为，所以，可得，
由，联立方程组，消去，可得，所以，故，
又由，所以，即，解得或，
所以的方程为或．
故选：A．
8．（2021·广东茂名·二模）已知点是双曲线右支上一点，、为双曲线的左、右焦点，若的周长为16，点为坐标原点，则（       ）
A．20 B．-20 C．40 D．-40
【答案】B
【分析】根据条件，由的周长为16，所以，又根据双曲线的性质，可得，， 带入即可得解.
【解析】因为，的周长为16，所以，
因为，所以，，
所以，
故选：B.
二、多选题
9．（2021·广东汕头·二模）已知抛物线方程为，直线，点为直线l上一动点，过点P作抛物线的两条切线，切点为A､B，则以下选项正确的是（       ）
A．当时，直线方程为 B．直线过定点
C．中点轨迹为抛物线 D．的面积的最小值为
【答案】ACD
【分析】运用导数知识求出切线方程，可以得到直线的表达式，判断A、B选项；联立直线与抛物线的方程组，求解出其中点坐标，解出中点轨迹判断C选项；运用弦长公式和点到直线距离公式求出三角形的底和高，得到三角形面积表达式，求出最值判断D选项.
【解析】解析：，，设，
则，即，
同理，都过点，
直线，即，
当时，.故A正确；
，，直线过定点，故B错误；
联立，消去得，，，
，中点坐标为，故其轨迹方程为，故C正确；
，，
，
当时，，故D正确；
故选：ACD
10．（2021·江苏淮安·三模）已知曲线，则下列结论正确的有（       ）
A．曲线关于原点对称
B．曲线是封闭图形，且封闭图形的面积大于
C．曲线不是封闭图形，且图形以轴和轴为渐近线
D．曲线与圆有4个公共点
【答案】AD
【分析】根据对称性判断判断A选项的正确性，根据曲线的特征判断BC选项的正确性，通过解方程组判断D选项的正确性.
【解析】由于和都满足，所以曲线关于原点对称，A选项正确.
当时，，所以曲线不是封闭图形，且轴不是图形的渐近线，所以BC选项错误.
由解得，所以曲线与圆有4个公共点：，所以D选项正确.
故选：AD

11．（2021·河北唐山·三模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点，已知抛物线r：，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过r上的点反射后，再经r上另一点反射后，沿直线射出，经过点Q，则 （       ）
A． B．
C．PB平分 D．延长AO交直线于点C，则C，B，Q三点共线
【答案】BCD
【分析】根据平行于轴可求的坐标，从而可求直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程可求的坐标，从而可求并可得为等腰三角形，从而可判断ABC的正误，求出C的坐标后可判断D的正误.
【解析】设抛物线的焦点为，则.

因为，且轴，故，故直线.
由可得，故，故A错.
又，故，故，故，故B正确.
直线，由可得，故，
所以C，B，Q三点共线，故D正确.
因为，故为等腰三角形，故，
而，故即，故PB平分，故C正确.
故选：BCD.
12．（2021·福建漳州·一模）已知双曲线：（，）的一条渐近线的方程为，且过点，椭圆：（）的焦距与双曲线的焦距相同，且椭圆的左右焦点分别为，过的直线交于（），两点，则下列叙述正确的是（       ）
A．双曲线的离心率为2
B．双曲线的实轴长为
C．点的横坐标的取值范围为
D．点的横坐标的取值范围为
【答案】AD
【分析】通过计算求出双曲线的离心率和实轴长，即可判断选项A和B的正误；联立直线和椭圆的方程求出，即得点的横坐标的取值范围，即可判断选项C和D的正误.
【解析】双曲线：（，）的一条渐近线的方程为，
则设双曲线的方程为（），
由双曲线且过点，得，得，
∴双曲线的方程为，即，
∴双曲线的离心率，实轴的长为1，
故选项A正确，选项B错误；
易知椭圆的两焦点为，，
将（）代入（）得，
∴，∴直线的方程为，
联立整理得，，根据根与系数的关系得，
则．
由得，则，
∴，故选项C错误，选项D正确，
故选：AD．
三、填空题
13．（2021·山东淄博·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线过与椭圆交于，两点，当为正三角形时，该椭圆的离心率为________；
【答案】
【分析】根据椭圆的定义及可知，由椭圆对称性知垂直于轴，即可求解.
【解析】不妨设椭圆的方程为，
根据椭圆定义，，，
因为为正三角形，，
所以，即为线段的中点，
所以根据椭圆的对称性知垂直于轴.
设，则，.
所以，即，
所以.故答案为：
14．（2021·湖北·黄冈中学三模）设是抛物线上的两个不同的点，为坐标原点，若直线与的斜率之积为，则直线过定点，定点坐标为___________.
【答案】
【分析】设直线OA为，与抛物线联立，根据条件，分别求得A，B的坐标，写出直线AB的方程，从而判断是否过定点.
【解析】设直线OA为，（），联立抛物线方程，得，
解得，则，即
由直线OA与直线OB斜率乘积为-2，同理求得，
则直线AB的方程为，
化简得，故直线AB过定点
故答案为：
15．（2021·湖南益阳·二模）已知圆O：x2+y2=1，A(3，3)，点P在直线l：x﹣y=2上运动，则|PA|+|PO|的最小值为___________.
【答案】
【分析】首先作点关于直线的对称点，由图象可知|PA|+|PO|=|PA|+|PO′|≥|AO′|，计算最小值.
【解析】由于点A与点O在直线l：x﹣y=2的同侧，
设点O关于直线l：x﹣y=2的对称点为O′(x′，y′)，
∵kOO′=﹣1，∴OO′所在直线方程为y=﹣x，
联立，解得，即OO′的中点为(1，﹣1)，
∴O′(2，﹣2)，
则|PA|+|PO|=|PA|+|PO′|≥|AO′|=.

故答案为：.
16．（2021·广东珠海·二模）设圆锥曲线的两个焦点分别为，为曲线上一点，，则曲线的离心率为___________.
【答案】或2
【分析】按圆锥曲线C是椭圆和双曲线两类分别讨论计算而得解.
【解析】依题意：令焦距，则，
当曲线C是椭圆时，长轴长，其离心率，
当曲线C是双曲线时，实轴长，其离心率，
所以曲线的离心率为或2.
故答案为：或2
四、解答题
17．（2021·江苏南京·二模）在平面直角坐标系内，已知抛物线的焦点为，为平面直角坐标系内的点，若抛物线上存在点，使得，则称为的一个“垂足点”.
（1）若点有两个“垂足点”为和，求点的坐标；
（2）是否存在点，使得点有且仅有三个不同的“垂足点”，且点也是双曲线上的点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，点坐标为或或（，）
或（，）．.
【分析】（1）设，根据“垂足点”的定义，应用向量垂直的坐标表示求s、t，即可得点的坐标；
（2）假设存在，一个垂足点为，由定义易得，又有三个“垂足点”，则有三个不相等的实根，将其化为并展开，根据多项式相等列方程求各参数的数量关系，由点在双曲线上代入求参数s、t即可.
【解析】（1）设，由抛物线的焦点，且和是的“垂足点”，
∴且，又，，，，
∴，解得，
∴为.
（2）假设存在满足条件，设其中的一个“垂足点”为.
由，且，.
∴，即.
若有三个“垂足点”，即关于的方程有三个不相等的实根.
∴方程可化为形式，且，
而.
∴，即
若点在双曲线号上，则，化简得，
即（a2﹣4）（4a4﹣17a2﹣32）＝0，
解得a＝±2或a＝±，此时m＝±1或m＝±，且满足
所以存在P点，其坐标为或或（，）
或（，）．
18．（2021·江苏南京·一模）如图所示，已知椭圆：的离心率为，且过点，

（1）求椭圆的方程；
（2）设在椭圆上，且与轴平行，过作两条直线分别交椭圆于两点，，直线平分，且直线过点，求四边形的面积．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由题知，，进而解得，，即椭圆的方程为；
（2）根据题意，设：，，，进而与椭圆联立方程得，再根据直线平分，进而化简整理得，解得，，进而得，最后计算四边形的面积.
【解析】解：（1）由离心率，得（*），
由于点在椭圆上，故（**），
联立（*）（**）得，，
所以椭圆的方程为．
（2）由直线过点，可设：，
它与椭圆的方程联立得，
设，，则，①
因为直线平分，所以，
即，整理得，
将①代入上式并化简得，
所以，所以，
所以，
所以四边形的面积．
19．（2021·河北保定·二模）如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.

（1）求四边形的面积；
（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由.
【答案】（1）；（2）是，且定值为.
【分析】（1）求出点、的坐标，计算出点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得四边形的面积；
（2）设点，求出点的坐标，计算出点到直线的距离，利用平行四边形的面积公式化简可得结果.
【解析】（1）因为双曲线，由双曲线的定义可得，
又因为，，，
因为，所以，，轴，
点的横坐标为，所以，，，可得，即点，
过点且与渐近线平行的直线的方程为，
联立，解得，即点，
直线的方程为，点到直线的距离为，
且，因此，四边形的面积为；
（2）四边形的面积为定值，理由如下：
设点，双曲线的渐近线方程为，
则直线的方程为，
联立，解得，即点，
直线的方程为，即，
点到直线的距离为
，且，
因此，（定值）.
20．（2021·福建泉州·二模）已知抛物线的焦点为，为上的动点，为在动直线上的投影.当为等边三角形时，其面积为.
（1）求的方程；
（2）设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于两点，直线与交于点.试问：是否存在，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）的方程为；（2）存在，.
【分析】（1）根据正三角形得三角形的边长，再根据抛物线的定义列方程组，解方程即可；
（2）根据导数的几何意义得到直线的切线方程，切线与椭圆联立，根据韦达定理得的纵坐标的关系，再根据直线方程联立得点的纵坐标，由可知点为的中点，根据中点坐标公式列方程，解方程即可求得结果.
【解析】（1）设，，
∵为等边三角形时，其面积为，
∴，解得，
∵为在动直线上的投影，∴，
当为等边三角形时，，
由抛物线的定义知，，
∴，解得，
∴的方程为；
（2）设，，，则，
∵，∴，
∴切线，即，
，
∴，
∴；
∵，∴，
，
∵，且，，在同一条直线上，则点为的中点，
∴，即，则.
综上，存在，使得恒成立，.