查补易混易错点09 计数原理及二项式定理-【查漏补缺】2022年高考数学（理）三轮冲刺过关(33185091)

查补易混易错点09计数原理及二项式定理

高考对计数原理及二项式定理的考查比较稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大.计数原理与排列组合作为概率计算的基础有两个特点:一是难度不大但容易产生因重复或遗漏，造成错误；二是结合日常生活实际或数学文化为背景出题.解题之道是仔细分析整个事件，如何通过分类或分步达成事情的解决，元素与元素有无差异，有无顺序之别.另外还要关注运用一些常用的方法，如捆绑法、揷空法、全排消序法等.二项式定理的关键是二项展开式的通项公式，题目或多或少都以它为中心展开，所以要抓住通项公式灵活运用，另外，涉及展开式的系数和的问题，一般用赋值法解决.

计数原理与实际生活联系紧密，在题目所创设的现实问题情境中，需对其进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题.在这一过程中，积累用数学解决实际问题的经验，提升应用能力，培养和建立数学建模核心素养.

二项式定理题型及其思路相较于其他章节不那么灵活多变，根据不同题型，方法也相对固定，如通项分析法、赋值法、夹逼法，二项式定理有利于养成程序化思考问题的习惯，促进数学思维的发展，提升运算求解能力.

高考五星高频考点，2019年~2021年高考全国卷基本在选择填空题进行考查.

易错题【01】求解“至少”问题计数重复

【突破点】排列组合中有一类“至少”问题,若使用分步计数很容易出现计数重复,如从1,2,3,4中任取2个数字,至少有1个偶数,问有多少种不同取法,若先取1个偶数,再从另外3个 数中任取1个,计数会重复,这是因为先2后4或先4后2的结果是一样的,求解此类问题,一般是分类求解,如该问题可分2类：仅有1个偶数及有2个偶数.

易错题【02】利用分步乘法原理计数,分步标准错误

【突破点】仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键.两个原理的区别在于一个与分类有关,一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法,这n类办法彼此之间是相互独立的,无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事,求完成这件事的方法种数,就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤,缺一不可,即需要依次完成n个步骤,才能完成这件事,而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事的方法种数,就用分步乘法计数原理.

易错题【03】分组问题混淆“均分”与“非均分”

【突破点】平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列.分堆到位相当于分堆后各堆再全排列,平均分堆不到指定位置,其分法数为：.对于分堆与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分堆再分配.②被分配的元素是不同的(像“名额”等则是相同元素,不适用),位置也应是不同的(如不同的“盒子”).③分堆时要注意是否均匀.如6分成(2,2,2)为均匀分组,分成(1,2,3)为非均匀分组,分成(4,1,1)为部分均匀分组.

易错题【04】计数时混淆有序与定序

【突破点】有序是指元素排列有顺序的区别,元素相同,位置不同是不同的结果,定序是指不同元素的相对位置固定,不同元素的定序排列可看作组合问题,此外对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行排列,然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.

易错题【05】混淆二项式系数与系数

【突破点】要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别. (a＋b)n的展开式中第r+1项的系数是,其值只与有关,与无个,系数是该项中的常数,在(a＋b)n的展开式中,系数最大的项是中间项；但当a,b的系数不是1时,系数最大的项的位置就不一定在中间,需要利用通项公式,根据系数的增减性具体讨论而定.

【真题演练】

1．（2021·全国·高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（       ）

A．60种 B．120种 C．240种 D．480种

【答案】C

【解析】

【分析】

先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.

【详解】

根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，

故选：C.

【点睛】

本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.

2．（2021·全国·高考真题（理））将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.

【详解】

将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，

若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，

所以2个0不相邻的概率为.

故选：C.

3．（2021·山东·高考真题）的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（       ）

A．0 B． C． D．32

【答案】D

【解析】

【分析】

根据的二项展开式系数之和为求解即可

【详解】

的二项展开式中所有项的二项式系数之和为

故选：D

4．（2021·山东·高考真题）某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（       ）

A．10 B．20 C．60 D．100

【答案】A

【解析】

【分析】

根据组合的定义计算即可.

【详解】

从5人当选取3人负责教室内的地面卫生，共有种安排方式．（选取3人后剩下2名同窗干的活就定了）

故选：A

5．（2021·江苏·高考真题）下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（ ）

A．14条 B．12条 C．9条 D．7条

【答案】B

【解析】

【分析】

根据分步乘法计算原理即可求解.

【详解】

由图可知，由①④有3条路径，由④⑥有2条路径，由⑥⑧有2条路径，根据分步乘法计算原理可得从①⑧共有条路径.

故选：B

6．（2021·江苏·高考真题）已知的展开式中的系数为40，则等于（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】A

【解析】

【分析】

写出x2项，进一步即可解出.

【详解】

，所以.

故选：A.

7．（2021·湖南·高考真题）的展开式中常数项是______．（用数字作答）

【答案】15

【解析】

【分析】

写出二项展开式的通项，由的指数为0求得值，则答案可求．

【详解】

解：由．

取，得．

展开式中常数项为．

故答案为：15．

8．（2021·浙江·高考真题）已知多项式，则___________，___________.

【答案】     ;     .

【解析】

【分析】

根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论.

【详解】

，

，

所以，

，

所以.

故答案为：.

【模拟题演练】

1．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知，则（       ）

A．9 B．24 C．27 D．33

【答案】C

【解析】

【分析】

利用二项式的通项公式求解.

【详解】

的通项公式为，

令，得，

所以，

的通项公式为，

令，得，

所以，

所以，

故选：C

2．（2022·全国·模拟预测）由于新冠肺炎疫情，现有五名社区工作人员被分配到三个小区做社区监管工作，要求每人只能去一个小区，每个小区至少有一个人，则不同的分配方法有（       ）

A．150种 B．90种 C．60种 D．80种

【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查排列组合的不均匀分配问题.先进行分组按照人数“3，1，1”模式或者“2，2，1”模式进行分组，再进行分配（乘以），即可求解.

【详解】

若分配的三组人数分别为3，1，1，则分配方法共有（种）；

若分配的三组人数分别为2，2，1，则分配方法共有（种）；

故共有种不同的分配方法.

故选：A.

3．（2022·全国·模拟预测）将单词“flower”的6个字母填入编号从1到10的一排方格中，每个方格至多填入1个字母，且5号方格填字母“o”，则得到的结果从左至右仍为单词“flower”的方法数为（       ）

A．48 B．52 C．60 D．84

【答案】C

【解析】

【分析】

利用分步乘法计数原理求解：第一步，从1到4号方格中选出2个，填入“f”“l”两个字母，第二步：从6到10号方格中选出3个，填入“w”“e”“r”三个字母，分别计数后相乘可得．

【详解】

第一步：从1到4号方格中选出2个，填入“f”“l”两个字母，有种方法；第二步：从6到10号方格中选出3个，填入“w”“e”“r”三个字母，有种方法.最终得到的结果从左至右仍为单词“flower”的方法数为.

故选：C.

4．（2022·全国·模拟预测（理））在的展开式中，含项的系数为（       ）

A．12 B．10 C．9 D．8

【答案】D

【解析】

【分析】

根据项产生的可能情况，利用二项式展开式的通项公式，求得对应系数，求和即可.

【详解】

因为的展开式中，的项可以理解为：

由展开式中项与中的常数项相乘，

以及由展开式中项与中的项相乘后相加得到.

又的展开式中项的系数为，项的系数为，

的展开式中常数项为，项的系数为，

故的展开式中，含项的系数为.

故选：.

5．（2022·全国·模拟预测（理））用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（       ）

A．72种 B．36种 C．12种 D．60种

【答案】A

【解析】

【分析】

列出表格，使用分类加法，分步乘法公式进行计算.

【详解】

如下表

故选：A．

6．（2022·全国·模拟预测（理））一个6位数的密码，第1位的数字为8，其余5个位置，每个数字都小于3，并且5个数字之和小于等于3，则满足条件的密码个数为（       ）

A．49 B．50 C．51 D．52

【答案】C

【解析】

【分析】

结合数字的限制条件进行分类讨论，由此求得满足条件的密码个数.

【详解】

其余5个数在0，1，2三个数中任取一个，要5个数字和小于等于3，则有以下情况：

五个0；四个0，一个1或2；三个0，两个1或一个1一个2；两个0，三个1．

总数为．

故选：C

7．（2022·全国·模拟预测（理））随着北京冬残奥会的开幕，吉祥物“雪容融”火遍国内外，现有3个完全相同的“雪容融”，甲､乙､丙3位运动员要与这3个“雪容融”站成一排拍照留念，则有且只有2个“雪容融”相邻的排队方法数为（       ）

A．36 B．72 C．120 D．432

【答案】B

【解析】

【分析】

先将三位运动员排成一排，形成的4个空隙，再将2组“雪容融”插入4个空隙即可，这里要注意“雪容融”完全相同，是没有顺序的.

【详解】

解：甲、乙、丙3位运动员站成一排，在三位运动员形成的4个空隙中选两个，一个插入2个“雪容融”，一个插入1个“雪容融”，

共有种排法.

故选：B.

8．（2022·全国·模拟预测（理））已知的展开式中含的系数为60，则的展开式中的常数项为（       ）

A．－160 B．160 C．80 D．－80

【答案】A

【解析】

【分析】

根据展开式的通项公式含的系数求出的值，

然后将代入中，再求出展开式的通项公式，令的指数

为零即可求解.

【详解】

由展开式的通项公式为

，

令，解得，

所以，解得或（舍）；

由展开式的通项公式为

，

令，解得，

所以的展开式中的常数项为

.

故选：A.

9．（2022·全国·模拟预测）在的展开式中，记项的系数为，若，则展开式中所有项的系数和为（       ）

A．648 B．1296 C．1944 D．3888

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据及二项式定理的有关知识得关于a的方程，解方程求得a的值，再利用赋值法求展开式中所有项的系数和即可.

【详解】

由题意知，

即，解得或（舍去），

∴，

令，得展开式中所有项的系数和为.

故选：D.

10．（2022·全国·模拟预测）甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法种数有（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

分别求出甲选生物和甲不选生物时，甲、乙的选法种数，然后利用加法计数原理即可.

【详解】

当甲选生物，乙不选生物时，甲、乙的选法有种；

当甲不选生物，乙随便选，甲、乙的选法有种，

则甲、乙总的选法有种．

故选：.

11．（2022·全国·模拟预测）展开式中各项系数的和为64，则展开式中的常数项为___________.

【答案】76

【解析】

【分析】

通过赋值求得，再根据展开式中常数项的产生，结合组合数的计算即可求得结果.

【详解】

因为展开式中各项系数的和为64，则令得，解得.

表示6个因式的乘积，在这6个因式中，有6个因式都选1，可得常数项为1；

有2个因式都选x，有1个因式选，其余的3个因式都选1，可得常数项为；

有4个因式都选x，有2个因式都选，可得常数项为.

故展开式的常数项为.

故答案为：.

12．（2022·全国·模拟预测）已知的展开式中的系数为40，则___________.

【答案】5

【解析】

【分析】

首先写出展开式的通项，依题意得到方程，解得即可；

【详解】

解：由二项式定理可得的展开式的通项为，所以展开式中含的项为，所以解得或（舍去）.

故答案为：

13．（2022·全国·模拟预测）在二项式的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则实数___________.

【答案】或

【解析】

【分析】

结合二项式展开式的通项公式和等差中项的性质列方程，化简求得.

【详解】

二项式的展开式的通项公式为，

前三项的系数成等差数列，

所以，即，

解得或

故答案为：或

14．（2022·全国·模拟预测（理））电影院一排有八个座位，甲、乙、丙、丁四位同学相约一起观影，他们要求坐在同一排，问恰有两个连续的空座位的情况有______种．

【答案】720

【解析】

【分析】

先列举出恰有两个连续的空座位的情况，再对甲、乙、丙、丁四位同学全排列，然后利用分步计数原理求解.

【详解】

先列举出恰有两个连续的空座位的情况有30种，

再对甲、乙、丙、丁四位同学全排列有种，

再由分步计数原理得：甲、乙、丙、丁四位同学坐在同一排，恰有两个连续的空座位的情况有种，

故答案为：720

15．（2022·全国·模拟预测）已知，的展开式中的系数为840，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】

先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于，求得的值，

即可求得展开式中含项的系数，再根据含项的系数为840，求得的值.

【详解】

的展开式的通项公式为

，

依题意，令，则，

所以，解得.

故答案为：.

16．（2022·全国·模拟预测）已知，若，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】

令，即可求得，再令，结合，即可求得结果.

【详解】

令，可得，所以，

令，得，得.

故答案为：.

17．（2022·全国·模拟预测）的展开式中常数项为______．

【答案】55

【解析】

【分析】

求出的展开式的通项，再分别求出常数项和的系数即可求解.

【详解】

展开式中通项为，，

由题意得，当且仅当或时，展开式可取到常数项，

故常数项为．

故答案为：.

18．（2022·全国·模拟预测）已知展开式的各项系数和为64，则所有含“y”的项的系数和为______.

【答案】0

【解析】

【分析】

令，根据题意求得，再令，求得所有不含“y”的项的系数和，即可求得结果.

【详解】

令，，可得，据题意可得，即有；

令，，可得，即所有不含“y”的项的系数和为64，

故可得含“y”的项的系数和为0.

故答案为：.

19．（2022·全国·模拟预测）已知二项式展开式的二项式系数和为128，二项式展开式中含项的系数为______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据二项式系数和为，求得；再根据二项式展开式的通项公式，即可求得结果.

【详解】

由题知，，解得，

∴的通项公式，

令，解得，

∴二项式中含项的系数为．

故答案为：.

20．（2022·全国·模拟预测）在的展开式中，所有项的系数和为17，则含的项的系数是______．

【答案】572

【解析】

【分析】

根据系数和，令，求得，再结合二项式定理，即可求得结果.

【详解】

由题意知，令，则，解得，

所以展开式中含的项为，

则含的项的系数是．

故答案为：.