专题16+【大题限时练16】-备战2022年山东高考数学满分限时题集
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1．在①，②，③．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：在中，角，，的对边分别为，，，外接圆面积为，，且_____，求的面积．
【答案】见解析
【详解】若选①，
由正弦定理得，
因为，
所以，故，
由为三角形内角得，
由题意得外接圆半径，
由正弦定理得，
所以，
又，
所以，
由余弦定理得，
解得，，
所以；
若选②，
由正弦定理，
整理得，
因为，
故，
由为三角形内角得，
由题意得外接圆半径，
由正弦定理得，
所以，
又，
所以，
由余弦定理得，
解得，，
所以；
若选③，
由正弦定理得，
即，
因为，
所以，
故，
由题意得外接圆半径，
由正弦定理得，
所以，
又，
所以，
由余弦定理得，
解得，，
所以．
2．已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】（1）解：由可得：
，
两式相减得：，即，，
又当时，有也适合上式，
；
（2）证明：由（1）可得：，
．
3．党中央、国务院高度重视新冠病毒核酸检测工作，中央应对新型冠状病毒感染肺炎疫情工作领导小组会议作出部署，要求尽力扩大核酸检测范围，着力提升检测能力．根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为．现有4例疑似病例，分别对其取样、检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则化验结果呈阳性．若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验现有以下三种方案：
方案一：4个样本逐个化验；
方案二：4个样本混合在一起化验；
方案三：4个样本均分为两组，分别混合在一起化验．
在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”．
（1）若，按方案一，求4例疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；
（2）若，现将该4例疑似病例样本进行化验，试比较以上三个方案中哪个最“优”，并说明理由．
【答案】见解析
【详解】（1），按方案一，4例疑似病例中恰有2例呈阳性的概率：
．
（2）方案一：逐个检测，检验次数为：，
方案二：检测次数为，的可能取值为1，5，
，
，
的分布列如下：
1 | 5 | |
方案二的数学期望为：
．
方案三，由（1）知，每组两个样本检测时，
若呈阴性，则检测次数为1，概率为，
若呈阳性则检测次数为3，概率为，
故方案三的检测次数记为，的可能取值为2，4，6，
，
，
，
的分布列为：
2 | 4 | 6 | |
方案三的期望为，
，
方案一、二，三中方案二最“优”．
4．如图，四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，．
（1）证明：平面平面；
（2）过的平面交于点，若平面把四棱锥分成体积相等的两部分，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：作交于点，连结，设，
则，，，
在中，由余弦定理可得，解得，
所以，所以，
又因为，且，平面，，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
（2）解：因为平面把四棱锥分成体积相等的两部分，且它们的高均为，
所以，
所以，解得，
建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，
设平面的法向量为，则有，即，
令，则，
设平面的法向量为，则有，即，
令，则，
所以，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
5．已知，是椭圆长轴的两个端点，点在椭圆上，直线，的斜率之积等于．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，直线的方程为，若过点的直线与椭圆相交于，两点，直线，与的交点分别为，，线段的中点为．判断是否存在正数使直线的斜率为定值，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】（1）由已知，，因为点在椭圆上，
直线，的斜率之积等于，
所以，解得，
又，所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设，，，为过点的直线与椭圆的交点，
①若直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程，消去整理可得：，
所以，
设，，，，因为，，三点共线，即，
所以，
由已知可得，点不在直线上，且，
所以，同理可得，
所以
，
将代入上式化简可得：
，所以点的坐标为，，
当时，直线的斜率，
因为直线的斜率与的取值无关，所以，则，此时，
②若果点的直线的斜率不存在，此时，为椭圆的长轴端点，
不妨设，，，因为，，三点共线，
的坐标为，，同理的坐标为，，
此时线段的中点为，
所以也满足要求，
综合①②可知：存在使得直线的斜率为定值．
6．已知数列．
（1）证明：，是自然对数的底数）
（2）若不等式成立，求实数的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：要证成立，
两边取对数，只需证明成立，
可令，，
构造函数，
即只需证明在，小于0，
由于，在区间，上，，递减，
且，所以在区间，上，，
所以不等式成立；
（2）对于两边取对数，
只需不等式成立，
可令，，构造函数，
成立，等价于在区间，上恒成立．
其中，
由分子，得其两个实数根为，，
当时，，在区间，上，，递增，由于，不等式不成立．
当时，，在区间上，，递减；
在区间，上，，递增，
且，只需（1），
可得时不等式成立．
当时，，在区间上，，递减，
且，不等式恒成立．
综上，不等式成立，实数的最大值为．
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