专题15+【大题限时练15】-备战2022年山东高考数学满分限时题集

专题15 大题限时练15

1．已知正项等比数列，其中，，分别是如表第一、二、三行中的某一个数，令．

（1）求数列和的通项公式；

（2）设数列的前项和为，证明：．

【答案】（1），；（2）见解析

【详解】（1）因为正项等比数列的，，分别是表格中第一、二、三行中的某一个数，

可得，，，可得公比为2，

则，；

（2）证明：，

所以．

2．在中，内角，，的对边分别为，，，是上的点，平分，的面积是面积的2倍．

（1）求；

（2）若，，求的面积．

【答案】（1）2；（2）

【详解】（1），，

因为，，

所以，

由正弦定理可得．

（2）由于，可得，

由余弦定理，又，，

所以，

所以，，

又因为，且，可得，

所以．

3．如图，四棱锥中，平面，，，，点在线段上，且，平面．

（1）求证：平面平面；

（2）若，求平面和平面所成锐二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）

【详解】（1）证明：连接交于，连接，

取中点，连接，

因为，，

所以，，，

因为平面，所以，

又因为，所以，

，所以，

所以，于是，

所以，即，

因为平面，所以，

所以平面，又因为平面，

所以平面平面．

（2）解：由（1）知，、、两两垂直，

所以可建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意得各点坐标如下：

，0，，，，，，0，，，0，，，，，

，，，，0，，，0，，，，，

设平面和平面的法向量分别为，，，，，，

，令，，，，

，令，，3，，

设平面和平面所成锐二面角的大小为，

则．

所以平面和平面所成锐二面角的余弦值为．

4．已知某班有50位学生，现对该班关于“举办辩论赛”的态度进行调查，他们综合评价成绩的频数分布以及对“举办辩论赛”的赞成人数如表：

（1）请根据以上统计数据填写下面列联表，并回答：是否有的把握认为“综合评价成绩以80分位分界点”对“举办辩论赛”的态度有差异？

（2）若采用分层抽样在综合评价成绩在，，，的学生中随机抽取10人进行追踪调查，并选其中3人担任辩论赛主持人，求担任主持人的3人中至少有1人在，的概率．

参考公式：，其中．

参考数据：

【答案】见解析

【详解】（1）根据题意填写列联表，如下：

计算，

所以没有的把握认为“综合评价成绩以80分位分界点”对“举办辩论赛”的态度有差异．

（2）根据分层抽样知在，内抽取6人，，内抽取4个，

再从这10人选其中3人，则这3人中至少有1人在，的概率为：

．

5．已知椭圆的长轴与短轴长度之比为，焦距为2．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设左焦点为，为过点的一条直线，交椭圆于、两点，过点作轴的垂线，交椭圆于点，连接．求证直线恒过定点．

【答案】（1）；（2）见解析

【详解】（1）设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，

且，，

，，，

所以椭圆方程为；

（2）证明：由题意可知，直线的斜率存在，

故设直线的方程为，，，，，，，

，得，

，，

方程为：，

令，则，

故直线恒过定点．

6．已知，，．

（1）求证有且仅有一个极小值点．

（2）若存在，使得恒成立，求的最大值．

【答案】（1）见解析；（2）1

【详解】（1）证明：，，，

，，

当，时，，

，时，，

故在，单调递增，

又，，

由零点存在性定理可知在，上存在唯一零点，且，．

使得，时，，，时，，

故在，单调递减，在，单调递增，

故的极小值点是，有且仅有一个极小值点．

（2）解：，，，

令，可得，，

由（1）可知在，内存在零点，

所以当，时，，单调递增，

当，时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以的极小值为，又，

所以的最小值为1，

因为存在，使得恒成立，

所以，所以的最大值为1．