2021-2022学年湖南省长沙市长郡中学高二下学期期中考试数学试题含解析

长郡中学2021-2022学年度高二第二学期期中考试

数学

得分：           

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。时量120分钟。满分100分。

第Ⅰ卷

一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，则

A．                         B．

C．                                     D．

2．函数的定义域为

A．            B．   C．            D．

3．在复平面内，复数z对应的点为，则

A．           B．            C．             D．

4．已知平面向量，，若，则实数x的值为

A．2                  B．                  C．8                    D．

5．为庆祝中国共产党成立100周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，践行社会主义路线，某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，欲采用分层抽样法组建一个36人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三

A．10人               B．12人                C．14人                D．16人

5．设，，，则

A．          B．             C．            D．

7．一只袋内装有2个白球，8个黑球，所有的球除颜色外完全相同，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，则取到2个白球的概率等于

A．                 B．                   C．                 D．

8．设三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是

A．               B．                C．                D．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对得2分）

9．若，，则下列不等式中一定成立的是

A．        B．             C．              D．

10．已知函数，则以下结论恒成立的是

A．     B．      C．    D．

11．已知随机变量，则下列命题正确的

A．

B．

C．

D．若甲投篮命中率为，则X可以表示甲连续投篮6次的命中次数

12．如图，在正四棱锥S-ABCD中，，下列结论中正确的有

A．AD与SC是异面直线                         B．平面SAD

C．平面SAC                             D．二面角S-BC-A的大小为60°

第Ⅱ卷

三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）

13．的展开式中项的系数为___．

14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数          ．

①；

②；

③任取，，，．

15．函数的部分图像如图所示，轴，则          ，          ．

16．冰墩墩（Bing Dwen Dwen）是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将6个不同的冰墩墩分配到甲乙丙丁4人，每人至少分配1个冰墩墩，则不同的分配方案共有          种。（用数字作答）

四、解答题（本题共6小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（6分）

已知，且的最小正周期为，

（1）求的解析式；

（2）求关于x的不等式的解集．

18．（8分）

已知函数

（1）若不等式的解集为空集，求m的取值范围

（2）若，的解集为，的最大值

19．（8分）

根据研究成果，146年前中国男性的平均身高为161.0厘米，女性为150.2厘米，为了了解146年来中国女性身高长高了多少，2022年，特地针对各地中国女性进行调查，我们了解到100个成年妇女的身高，如下表所示：

（1）计算上述样本的平均身高，据此估计146年来中国女性身高长高了多少？

（2）估计2022年中国女性身高的第50百分位数与众数；

（3）通过互联网调查2022年中国女性身高，中国女性身高是否随着时代的发展而逐渐长高？请尝试解释说明．

20．（8分）

如图，在棱长为4的正方体中，E为的中点F为AE的中点．

（1）求证：平面BDF；

（2）求三棱锥E-BDF的体积．

21．（8分）

已知是定义在R上的偶函数，当时，．

（1）求的解析式；

（2）求在区间上的值域．

22．（10分）

小红每天午餐都会选择一种肉类，她常吃的肉类有猪肉、牛肉，羊肉三种，已知小红当天午餐吃什么肉类且与前一天午餐吃什么肉类有关，在前一天午餐吃什么肉类的情况下，当天午餐吃什么肉类的概率如下表：

（1）已知小红第一天午餐吃牛肉，则他第三天午餐吃什么肉类的可能性最大？

（2）已知小红午餐吃的肉类（100克）所含的能量如下表所示：

求小红从第一天午餐吃牛肉开始，前三天午餐各吃的100克肉类所含的能量总数的分布列和期望．

长郡中学2021-2022学年度高二第二学期期中考试

数学参考答案

一、单项选择题

1．C

【解析】可为，所以，故选C．

2．B

【解析】依题意，解得，所以函数的定义域为，故选B．

3．A

【解析】因为复数z对点的点为，所以，所以．故选A．

4．D

【解析】根据题意，，若，则，解得．故选D．

5．C

【解析】根据分层抽样的特点，应抽取高三人．故选C．

6．C

【解析】，，即，，所以．故选C．

7．D

【解析】当取到2个白球时，即前2个拿出的是白球，第3个是黑球，前2个拿出白球，有种取法，再任意拿出1个黑球即可，有种取法，而在这3次拿球中可以认为按顺序排列，此排列顺序即可认为是依次拿出的球的顺序，即，则取到2个白球的概率等于．故选D．

8．C

【解析】由题意知底面△ABC外接圆的圆心为点，设外接圆的半径为r，三棱柱的外接球的半径为R，，，由正弦定理得，所以，过作垂直于底面的直线交中截面于点O，则O为外接球的球心，

由题意得：，所以外接球的表面积．故选C．

二、多项选择题

9．AB

【解析】

对于A中，由，得，正确；

对于B中，由，，得，正确；

对于C中，举反例：，，，则，所以C项错误；

对于D中，由，

因为，所以，，，所以，所以，所以D项错误；

故选AB．

10．ACD

【解析】函数，

因为，所以选填A正确，选项B错误；

因为，所以选项C正确：

因为，所以选项D正确．

故选AC．

11．ABD

【解析】

因随机变量，则，故A正确，

，故B正确；

，故C错误；

对于D，甲连续投篮6次相当于6次独立重复投篮一次的试验，而单次投篮命中率为，则命中次数，故D正确；

故选ABD．

12．ABC

【解析】

对于A选项，AD与SC是异面直线，故A选项正确；

对于B选项，因为，又平面SAD，且平面SAD，所以平面SAD，故B选项正确；

对于C选项，设AC与BD相交于点O，连接SO，

易知，，，所以平面SAC．故C选项正确；

对于D选项，过点S作，垂足为E，连接OE，则，

则∠SEO是二面角S-BC-A所成的平面角．

因为，所以可设，，则由勾股定理得，，

由，解得，故D选项错误；

故选ABC．

三、填空题

13．80

【解析】由已知可得展开式中含的项为，故的展开式中项的系数为80．

14．（答案不唯一）

【解析】由题设，的对称轴为直线，在上单调递增，故可设，由，得，解得，故符合要求．

故答案为：答案不唯一．

15．2   

【解析】通过函数的图象可知，点MN的中点为，与它隔个周期的零点是，设函数的最小正周期为T，，得，而，因为，所以，把代入函数中，得，得，得，因为，所以．

16．1560

【解析】根据题意，有两种情况：

一、有两个人各分得2个，两个人各分得1个，可以先从6个冰墩墩中任选2个，组成一个小组，有种选法，然后再从剩余4个冰墩墩中任选2个，组成一个小组，有种选法；然后连同两个冰墩墩，看成四个元素，四人看成四个不同的元素在四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案；

二、有一个人分得3个，其余三人各分得1个，可以先从6个冰墩墩中任选3个，组成一个小组，有种选法；然后连同其食三个冰墩墩，看成四个元素，四人看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案．

综上，不同的分配方案共有种．

四、解答题

17．【解析】

（1）因为

．

由及的最小正周期为，所以，解得，

所以．

（2）由，得，得，

则，

解得，

故所求不等式的解集为．

18．【解析】

（1）不等式的解集为空集等价于恒成立，

即，解得，

即m的取值范围为．

（2）若，的解集为，

所以有两个不同实根a，b，

即a，b是方程的两个实根，

故，，

故a，b同为负值，

则，

当且仅当，

即，时等号成立．

故的最大值为．

19．【解析】

（1）上述样本的平均身高为，

所以估计146年来中国女性身高长高了．

（2）因为，．

故从小到大排列第50与51个数据都是160，

所以估计2022年中国女性身高的第50百分位数为，

（3）经调查发现2022年中国女性身高的平均数、中位数、众数都有被大幅度的增长，从历史看中国女性身高随着时代的发展逐渐增大，可以是经济越发达，人民生活水平越高，特别是大城市，人们生活条仲越来地优地，饮食越来越丰富多样化，在这种情现下，似乎又直接导致了身高的长高．

20．【解析】

（1）证明：连接BD交AC于），连接FO，

因为F为AE的中点，又O为AC的中点，

则FO是△ACE的中位线，所，

又因为面BDF，且平面BDF，

所以平面BDF．

（2）解：在正方体中，棱长为4，，，

，

则

．

所以三棱锥E-BDF的体积为．

21．【解析】

（1）当时，所以；

因为为R上的偶函数，所以；

又，所以，

（2）作出的大致图像如下所示：

当时，在区间上单调递减，则在区间上的值域为，即；

当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，则在区间上的值域为，中；

当时，，则在区间上的值域为，即．

22．【解析】

（1）用A，B，C分别表示猪肉，半内，羊肉三种肉类，用，，分别表示第n天午餐小红A，B，C三种肉类的概率．

因为小红第一天午餐吃牛肉，

所以第2天午餐小红吃三种肉类的概率分别为，，．

第3天午餐小红吃三种肉类的概率分别为

，

，

，

所以小红第三午餐吃牛肉的可能性最大．

（2）小红从第一天午餐吃牛肉开始，前三天午餐的肉类安排有；BAA，BAB，BAC，BBA，BBB、BBC、BCA，BCB、BCC共9种，所含的能量总数用X表示，有4103，3244，3277，2385，2418，2451共6种可能，

，

，

，

，

，

．

所以小红从第一天午餐吃牛肉开始，前三天午餐各吃的100克肉类所含的能量总数X的分布列为

前三天午餐各吃的100克肉类所合的能量总数X的期望

（千焦）

所以小红从第一天午餐吃牛肉开始，前三天午餐各吃的100克内其所合的能量总数X的期望为2978.677千焦．