2022高考压轴卷 数学（理）（全国乙卷） Word版含解析

2022全国乙卷高考压轴卷

数学（理）

一．选择题：本题共12个小题，每个小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{x|﹣3＜x＜5}，则M∩N＝（　　）

A．{1，2，3} B．{0，1，2，3}

C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4}

2.若复数的实部与虚部相等，则的值为（）

A. －2 B. －1 C. 1 D. 2

3.某校高中生共有1000人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级500人，现采用分层抽样抽取容量为50人的样本，那么高一､高二､高三年级抽取的人数分别为（）

A. 15､10､25 B. 20､10､20 C. 10､10､30 D. 15､5､30

4.若单位向量，的夹角为，向量，且，则（　　）

A.  B.  C.  D.

5.执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（　　）

A．27 B．48 C．75 D．76

6.如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为（　　）

A．1 B．2 C． D．

7.已知a＝log0.22，b＝0.32，c＝20.3，则（　　）

A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a

8.在等比数列{an}中，若a3＝1，a11＝25，则a7＝（　　）

A．5 B．﹣5 C．±5 D．±25

9.已知函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可以是（    ）

A. f (x)＝ B. f (x)＝

C. f (x)＝－1 D. f (x)＝x－

10.已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

11.为深入贯彻实施党中央布置的“精准扶贫”计划，某地方党委政府决定从4名男党员干部和3名女党员干部中选取3人参加西部扶贫，若选出的3人中既有男党员干部又有女党员干部，则不同的选取方案共有（    ）

A. 60种 B. 34种 C. 31种 D. 30种

12.如图，已知抛物线（）的焦点为F，点（）是抛物线C上一点.以P为圆心的圆与线段相交于点Q，与过焦点F且垂直于对称轴的直线交于点A，，，直线与抛物线C的另一交点为M，若，则（    ）

A. 1 B.  C. 2 D.

二．填空题:本题共4个小题，每个小题5分，共20分.

13.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足，，则_______.

14.已知sin2，则2cos2（）=__________．

15.已知函数，给出下列四个结论：

①存在实数a，使函数f（x）为奇函数；

②对任意实数a，函数f（x）既无最大值也无最小值；

③对任意实数a和k，函数y＝f（x）+k总存在零点；

④对于任意给定的正实数m，总存在实数a，使函数f（x）在区间（﹣1，m）上单调递减．

其中所有正确结论的序号是　  　．

16.二项式（﹣）6的展开式中常数项为　　．

三、解答题:本题共5个小题,第17-21题每题12分,解答题应写出必要的文字说明或证明过程或演算步骤.

17.如图．在△ABC中，点P在边BC上，，，．

（1）求；

（2）若△ABC的面积为．求

18.有A、B两盒乒乓球，每盒5个，乒乓球完全相同，每次等可能地从A、B两盒中随机取一个球使用．

（1）若取用后不放回，求当A盒中的乒乓球用完时，B盒中恰剩4个球的概率；

（2）根据以往的经验，每个球可以重复使用3次以上，为了节约，每次取后用完放回原盒，设随机取用3次后A盒中的新球（没取用过的）数目为ξ，求ξ的分布列及期望．

19.如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝60，DEAB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1DDC，如图2.

（1）求证：A1E平面BCDE；

（2）求二面角E—A1B—C的余弦值.

20.已知椭圆的离心率为，过定点(－1,0)的直线l与椭圆E相交于A，B两点，C为椭圆的左顶点，当直线l过点时，（O为坐标原点）的面积为．

（1）求椭圆E的方程；

（2）求证：当直线l不过C点时，为定值．

21.已知函数f（x）＝x2+sinx+cosx．

（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；

（Ⅱ）若f（x）≥1+ax，求a．

选考题:共10分,请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为其中为参数，，曲线的参数方程为其中为参数.以坐标原点O为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.

（1）求曲线，的极坐标方程；

（2）若，曲线，交于M，N两点，求的值.

23.[选修4-5：不等式选讲]

已知函数f（x）＝|x+a|﹣2|x﹣b|（a＞0，b＞0）．

（1）当a＝b＝1时，解不等式f（x）＞0；

（2）若函数g（x）＝f（x）+|x﹣b|的最大值为2，求的最小值．

2022全国乙卷高考压轴卷数学（理）word版含解析

参考答案

1.【答案】C

【解析】解：因为M＝{1，2，3，4}，N＝{x|﹣3＜x＜5}，

所以M∩N＝{1，2，3，4}．

故选：C．

2.【答案】B

【解析】，

，

故选：B

3.【答案】A

【解析】解：根据题意高一年级的人数为人，

高二年级的人数为人，

高三年级的人数为人.

故选：A.

4.【答案】A

【解析】由，可得

所以，即，所以

故选：A

5.【答案】C

【解析】解：第一次运行时，S＝0+3×1＝3，k＝3，

第二次运行时，S＝3+3×3＝12，k＝5，

第三次运行时，S＝12+3×5＝27，k＝7，

第四次运行时，S＝27+3×7＝48，k＝9，

第五次运行时，S＝48+3×9＝75，k＝11，

此时刚好满足k＞10，故输出S＝75，

故选：C．

6.【答案】D

【解析】解：由题意几何体是四棱锥P﹣ABCD，过P作PE⊥AD于E，

在正方体中有CD⊥平面PAD，所以CD⊥PE，

又因为AD∩CD＝D，所以PE⊥平面ABCD，

所以四棱锥的高为PE，

由三视图可知，PE×＝2×2，解得PE＝．

所以该四棱锥的高为：．

故选：D．

7.【答案】C

解：∵a＝log0.22＜log0.21＜0，∴a＜0，

b＝0.32＝0.09，

∵c＝20.3＞20＝1，∴c＞1，

∴c＞b＞a，

故选：C．

8.【答案】A

【解析】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，

若a3＝1，a11＝25，则q8＝＝25，变形可得q4＝5，

则a7＝a3q4＝1×5＝5，

故选：A．

9.【答案】A

【解析】解：由函数图象可知，函数f (x)为奇函数，

而中，是非奇非偶函数，是偶函数，

应排除B，C.

若函数为f (x)＝x－，则x→＋∞时，f (x)→＋∞，排除D；

故选：A.

10.【答案】A

【解析】由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得到平面的距离，进而求得体积.

，为等腰直角三角形，，

则外接圆的半径为，又球的半径为1，

设到平面的距离为，

则，

所以.

故选A.

11.【答案】D

【解析】解：解：根据题意，要求选出的3人中既有男党员干部又有女党员干部，分2种情况讨论：

选出的3人为2男1女，有种安排方法，

选出的3人为1男2女，有种安排方法，

则有种选法，

故选：．

12.【答案】B

【解析】解答：由题意得，直线方程为：，到直线距离为，

以为圆心的圆与线段相交于点，与过焦点且垂直于对称轴的直线交于点，，，

，

，

，

解得，

，又，故，

抛物线方程为，，，，

直线方程为，

与抛物线方程联立得，

消去整理得，，解得或，

，，

.

故选：B.

13.【答案】1

【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，

求得，，那么，故答案为.

14.【答案】

∵sin2，∴2cos2（）==1+sin2α=．故答案为．

15.【答案】①②④

【解析】解：由函数f（x）的解析式可得图象如图：

①a＝0时函数f（x）为奇函数，故①正确；

②由图象可知对于任意的实数a，函数f（x）无最值，故②正确；

③当k＝﹣3，a＝8时函数y＝f（x）+k没有零点，故③错误；

④由图象可知，当a＞m时，函数f（x）在（﹣1，m）上单调递减，故④正确．

故答案为：①②④．

16.【答案】

【解析】解：设其展开式的通项为Tr+1，

∵Tr+1＝•••x﹣r

＝••，

∴令3﹣r＝0得：r＝2．

∴展开式中的常数项

T3＝•＝×15＝．

故答案为：．

17.【答案】

（1）；（2）．

【解析】（1）在中，设， 因为，

，

又因为，，

由余弦定理得：

即：，

解得，

所以，

此时为等边三角形，

所以；

（2）由，

解得，

则，

作交于D，如图所示：

由（1）知，在等边中，，，

在中．

在中，由正弦定理得，

所以．

18.【答案】

【解析】解：（1）当A盒中的乒乓球用完时，B盒中恰剩4个球的概率为P＝C根据；

（2）ξ的可能取值为2，3，4，5，

则P（ξ＝2）＝（）3×＝，

P（ξ＝3）＝×）+C＝，

P（ξ＝4）＝（）3××，

P（ξ＝5）＝，

所以ξ的分布列如下：

Eξ＝2×＝．

19.【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】解:（1）证明:∵在菱形ABCD中，∠BAD＝60，DEAB于点E

∴，，∴.

又∵，，

∴平面，∴.

又∵，，

∴平面.

（2）∵平面，，

∴以，，所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系（如图）.

易知，则，，，，

∴，，

易知平面的一个法向量为.

设平面的法向量为，

由，，得，令，得，

∴.

由图得二面角为钝二面角，

∴二面角的余弦值为.

20.【答案】

（1）；（2）为定值.

【解析】（1）由题意，设，，直线的方程为，

由，即，

将点代入中，得，故，

又点在椭圆上，解得，

因椭圆的离心率，故，，

所以，椭圆的方程为.

（2）由题意，设直线的方程为，设，，

联立，消去得，

所以，，

当直线不过时，直线的斜率，直线的斜率，

所以，

即直线与直线垂直，故为定值.

21.【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由题意可知f（x）的定义域为R，

f′（x）＝2x+cosx﹣sinx，

所以f（0）＝1，f′（0）＝1，

所以y＝f（x）在x＝0处的切线方程为y＝x+1．

（Ⅱ）令g（x）＝x2+sinx+cosx﹣1﹣ax，

则g（0）＝0，

g′（x）＝2x+cosx﹣sinx﹣a，

g″（x）＝2﹣sinx﹣cosx≥0，

所以g′（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，又因为g′（0）＝1﹣a，

①当a＞1时，g′（0）＜0，4a＞0，

g′（4a）＝7a+cos4a﹣sin4a＞0，

所以∃x0∈（0，4a），使得g′（x0）＝0，

所以g（x）在（0，x0）上单调递减，则g（x0）＜g（0）＝0，与题不符．

②当a＜1时，g′（0）＞0，a﹣π＜0，

g′（a﹣π）＝﹣2π﹣cosa+sina+a＜0，

所以∃x1∈（a﹣π，0），使得g′（x1）＝0，

所以g（x）在（x1，0）上单调递增，则g（x1）＜g（0）＝0，与题不符，

③当a＝1时，g′（0）＝0，

所以g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，g（x）在（0，+∞）上单调递增，

所以g（x）≥g（0）＝0，

综上所述，当a＝1时，f（x）≥1+ax．

22.【答案】

（1），；（2）.

【解析】解：（1）依题意，曲线的普通方程为

即曲线的极坐标方程为；

曲线的普通方程为，即，

故曲线的极坐标方程为.

（2）将代入曲线的极坐标方程中，可得，

设上述方程的两根分别是，则，故.

23.【答案】

解：（1）当a＝b＝1时，f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣1|，

①当x≤﹣1时，f（x）＝﹣（x+1）+2（x﹣1）＝x﹣3＞0，∴x＞3，∴无解，

②当﹣1＜x＜1时，f（x）＝（x+1）+2（x﹣1）＝3x﹣1＞0，∴＜x＜1，

③当x≥1时，f（x）＝（x+1）﹣2（x﹣1）＝﹣x+3＞0，∴1≤x＜3，

综上所述：不等式f（x）＞0的解集为（，3）．

（2）g（x）＝）＝|x+a|﹣2|x﹣b|+|x﹣b|＝|x+a|﹣|x﹣b|，

∵|x+a|﹣|x﹣b|≤|（x+a）﹣（x﹣b）|＝|a+b|，

∴g（x）max|＝|a+b|＝2，∵a＞0，b＞0，∴a+b＝2，

∴+＝（+）（a+b）×＝（++5）×≥（2+5）×＝，

当且仅当＝，即b＝2a时取等号，

∴+的最小值为．