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2022年中考数学重难热点专题突破07 函数类综合问题
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这是一份2022年中考数学重难热点专题突破07 函数类综合问题，共117页。
重难点07 函数类综合问题
【命题趋势】
首先告诉各位同学二次函数是中考必考内容之一，往往也是中考数学的压轴大戏．涉及题目数量一般3-4题，其中有1-2道大题．所占分值大约25分左右．二次函数在中考数学中常常作为压轴题，而在压轴题中，一般都设计成三至四小问，其中第一、二小问比较简单，最后一至两问难度很大．二次函数在考查时，往往会与一次函数、反比例函数、圆、三角形、四边形相结合，综合性很强，技巧性也很强，同时计算量一般很大，加上二次函数本身就比较抽象，这就导致了题目得分率非常低．其实我们只要能熟练掌握二次函数的基本知识，同时掌握一些常见的题型，提高对于二次函数的得分，不是什么难事，多多练习，多多总结．
【满分技巧】
1．通过思维导图整体把握二次函数所有考点
1）图象与性质：（函数的三种表达式、开口问题、顶点坐标、对称轴、最值、增减性、图象的平移等）；
2）与一元二次方程（不等式）结合（交点坐标与方程的根的关系）；
3）与实际生活结合（用二次函数解决生活中的最值（范围）问题）
2.二次函数的压轴题主要考向
1）存在性问题（全等与相似、特殊三角形（直角、等腰、等边）、平行四边形（含特殊平行四边形）等）。
2）最值问题（线段、周长、面积）
3．熟练掌握各种常见有关二次函数的题型和应对策略
1）线段最值（周长）问题——斜化直策略
2）三角形或多边形面积问题——铅垂高、水平宽策略
3）线段和最小值问题——胡不归+阿氏圆策略问题
4）线段差——三角形三边关系或函数
5）相似三角形存在性问题——根据相等角分类讨论
6）平行四边形存在性问题——中点公式+平移法
【限时检测】
A卷（建议用时：90分钟）
1．（2022·广东越秀·九年级模拟）已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（ ）
A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2
C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2
2．（2021·广西·南宁市天桃实验学校三模）如图，在平面直角坐标系中，若折线与直线交（）有且仅有一个交点，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
3．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象相交于A、两点，线段的中点为点，过点作轴的垂线，垂足为点．直线过原点和点．若直线上存在点，满足，则的值为（ ）
A． B．3或 C．或 D．3
4．（2021·山东枣庄市·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2020·四川自贡市·中考真题）如图， 直线与轴交于点，与双曲线 在第三象限交于两点，且 ；下列等边三角形，，，……的边，，，……在轴上，顶点……在该双曲线第一象限的分支上，则= ____，前25个等边三角形的周长之和为 _______．
6．（2021·四川广安市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，以此进行下去……若点的坐标为，则点的纵坐标为______．
7．（2021·浙江柯桥·九年级阶段练习）如图，“心”形是由抛物线和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D，点A，B是两条抛物线的两个交点，点E，F，G是抛物线与坐标轴的交点，则_______________．
8．（2021·湖南·中考模拟）如图，函数(k为常数，k＞0)的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则；④若，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是_______．
9．（2021·江苏徐州市·中考真题）如图，点在函数的图像上．已知的横坐标分别为－2、4，直线与轴交于点，连接．（1）求直线的函数表达式；（2）求的面积；（3）若函数的图像上存在点，使得的面积等于的面积的一半，则这样的点共有___________个．
10．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线经过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段平行于x轴，交直线于点D，连接，．
（1）填空： __________．点A的坐标是（__________，__________）；（2）求证：四边形是平行四边形；（3）动点P从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．①当时，的面积是__________．
②当点P，Q运动至四边形为矩形时，请直接写出此时t的值．
11．（2021·内蒙古赤峰市·中考真题）阅读理解：在平面直角坐标系中，点M的坐标为，点N的坐标为，且x1≠x1，y2≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．（1）已知点A的坐标为．①若点B的坐标为，则点A、B的“相关矩形”的周长为__________；②若点C在直线x=4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；（2）已知点P的坐标为，点Q的坐标为， 若使函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点，直接写出k的取值范围．
12．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．直线，且与的外接圆相切，与双曲线在第二象限内的图象交于、两点．
（1）求点，的坐标和的半径；（2）求直线所对应的函数表达式；（3）求的面积．
13．（2021·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点．
（1）如图1，过点作轴于点，连结．①若，求证：四边形是平行四边形；
②连结，若，求的面积．（2）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由．
14．（2021·广东中考真题）已知二次函数的图象过点，且对任意实数x，都有．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2021·湖北宜昌市·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，顶点坐标记为．抛物线的顶点坐标记为．（1）写出点坐标；（2）求，的值（用含的代数式表示）；（3）当时，探究与的大小关系；（4）经过点和点的直线与抛物线，的公共点恰好为3个不同点时，求的值．
16．（2021·湖南衡阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如……都是“雁点”．（1）求函数图象上的“雁点”坐标；
（2）若抛物线上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当时．①求c的取值范围；②求的度数；（3）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线上一点，连接，以点P为直角顶点，构造等腰，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，点是线段上一动点（不与点、重合）．（1）请直接写出点、点、点的坐标；（2）连接，在第一象限内将沿翻折得到，点的对应点为点．若，求线段的长；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为点．①若点在内部（不包括边），求的取值范围；②在平面直角坐标系内是否存在点，使最大？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，请直接写出点P的坐标．
19．（2021·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点是抛物线上一动点．（1）如图1，当，，且时，
①求点M的坐标：②若点在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；
（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点在对称轴上，当，，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为，连接GF．若，求证：射线FE平分．
20．（2021·山东济南·中考真题）抛物线过点，点，顶点为．（1）求抛物线的表达式及点的坐标；（2）如图1，点在抛物线上，连接并延长交轴于点，连接，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点是线段上（与点，不重合）的动点，连接，作，边交轴于点，设点的横坐标为，求的取值范围．
【限时检测】
B卷（建议用时：90分钟）
1．（2021·浙江中考真题）已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于的两个点，记的面积为的面积为．有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2020·四川内江市·中考真题）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
3．（2021·山东菏泽市·中考真题）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为，直线在轴上平移的距离为，、间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ）
A． B． C．8 D．10
4．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥X轴，AO⊥AD，AO=AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE=4CE．反比例函数的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若，则k的值为（ ）
A． B． C．7 D．
5．（2021·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（2021·山东日照·中考真题）抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作，交x轴于点，以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长的交x轴于点；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为________（结果用含正整数n的代数式表示）．
8．（2021·广西柳州市·中考真题）如图，一次函数与反比例数的图像交于A，B两点，点M在以为圆心，半径为1的上，N是的中点，已知长的最大值为，则k的值是_______．
9．（2021·浙江衢州市·中考真题）如图1，点C是半圆O的直径AB上一动点（不包括端点），，过点C作交半圆于点D，连结AD，过点C作交半圆于点E，连结EB．牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系．他根据学习函数的经验，记，，．请你一起参与探究函数、随自变量x变化的规律．
通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象．
x
…
0.30
0.80
1.60
2.40
3.20
4.00
4.80
5.60
…
…
2.01
2.98
3.46
3.33
2.83
2.11
1.27
0.38
…
…
5.60
4.95
3.95
2.96
2.06
1.24
0.57
0.10
…
（1）当时，＝ ．（2）在图2中画出函数的图象，并结合图象判断函数值与的大小关系．
（3）由（2）知“AC取某值时，有”．如图3，牛牛连结了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程．
10．（2021·江苏常州市·中考真题）在平面直角坐标系中，对于A、两点，若在y轴上存在点T，使得，且，则称A、两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点、，点在一次函数的图像上．（1）①如图，在点、、中，点M的关联点是_______（填“B”、“C”或“D”）；②若在线段上存在点的关联点，则点的坐标是_______；（2）若在线段上存在点Q的关联点，求实数m的取值范围；
（3）分别以点、Q为圆心，1为半径作、．若对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．
11．（2021·四川雅安市·中考真题）已知反比例函数的图象经过点．
（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数的图象上点A的右侧取点C，作CH⊥x轴于H，过点A作y轴的垂线AG交直线于点D．①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，交于B，垂足分别为为F、E，连结OB，BD，求证：O，B，D三点共线；②若，求证：．
12．（2021·江苏常州市·中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
（理解）（1）如图1，，垂足分别为C、D，E是的中点，连接．已知，．①分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：__________（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．
（应用）（2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n．设，记．
①当时，__________；当时，________；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
13．（2021·重庆中考真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
…
0
1
2
3
4
5
…
…
6
5
4
2
1
7
…
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：________，_________，__________；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：__________；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
14．（2021·四川自贡市·中考真题）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数的图象，并探究其性质．
列表如下：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
a
0
b
…
（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①当时，函数图象关于直线对称；②时，函数有最小值，最小值为；
③时，函数y的值随x的增大而减小．其中正确的是_________．（请写出所有正确命题的序号）
（3）结合图象，请直接写出不等式的解集_________．
15．（2021·江苏盐城市·中考真题）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点绕着某定点顺时针旋转一定的角度，能得到一个新的点．经过进一步探究，小明发现，当上述点在某函数图像上运动时，点也随之运动，并且点的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点的坐标和角度的大小来解决相关问题．
（初步感知）如图1，设，，点是一次函数图像上的动点，已知该一次函数的图像经过点．（1）点旋转后，得到的点的坐标为________；
（2）若点的运动轨迹经过点，求原一次函数的表达式．
（深入感悟）（3）如图2，设，，点反比例函数的图像上的动点，过点作二、四象限角平分线的垂线，垂足为，求的面积．
（灵活运用）（4）如图3，设A，，点是二次函数图像上的动点，已知点、，试探究的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．
16．（2021·四川达州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；（2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值．（3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由；
17．（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，抛物线与轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，项点为D，点B的坐标为．
（1）填空：点A的坐标为_________，点D的坐标为_________，抛物线的解析式为_________；
（2）当二次函数的自变量：满足时，函数y的最小值为，求m的值；
（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2021·福建中考真题）已知抛物线与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线过点，求的最小值；（2）已知点中恰有两点在抛物线上．①求抛物线的解析式；②设直线l：与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和于点B，C．求证：与的面积相等．
19．（2021·湖南）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，点是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，求的面积的最大值；（3）如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
20．（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．(1)求抛物线的表达式；(2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA45°时，求点P的坐标；(3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．
21．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，抛物线与轴交于除原点和点，且其顶点关于轴的对称点坐标为．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点，使得抛物线上的任意一点到定点的距离与点到直线的距离总相等．①证明上述结论并求出点的坐标；②过点的直线与抛物线交于两点．证明：当直线绕点旋转时，是定值，并求出该定值；（3）点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，使四边形周长最小，直接写出的坐标．
22．（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，抛物线与轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，项点为D，点B的坐标为．（1）填空：点A的坐标为_________，点D的坐标为_________，抛物线的解析式为_________；（2）当二次函数的自变量：满足时，函数y的最小值为，求m的值；（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
重难点07 函数类综合问题
【命题趋势】
首先告诉各位同学二次函数是中考必考内容之一，往往也是中考数学的压轴大戏．涉及题目数量一般3-4题，其中有1-2道大题．所占分值大约25分左右．二次函数在中考数学中常常作为压轴题，而在压轴题中，一般都设计成三至四小问，其中第一、二小问比较简单，最后一至两问难度很大．二次函数在考查时，往往会与一次函数、反比例函数、圆、三角形、四边形相结合，综合性很强，技巧性也很强，同时计算量一般很大，加上二次函数本身就比较抽象，这就导致了题目得分率非常低．其实我们只要能熟练掌握二次函数的基本知识，同时掌握一些常见的题型，提高对于二次函数的得分，不是什么难事，多多练习，多多总结．
【满分技巧】
1．通过思维导图整体把握二次函数所有考点
1）图象与性质：（函数的三种表达式、开口问题、顶点坐标、对称轴、最值、增减性、图象的平移等）；
2）与一元二次方程（不等式）结合（交点坐标与方程的根的关系）；
3）与实际生活结合（用二次函数解决生活中的最值（范围）问题）
2.二次函数的压轴题主要考向
1）存在性问题（全等与相似、特殊三角形（直角、等腰、等边）、平行四边形（含特殊平行四边形）等）。
2）最值问题（线段、周长、面积）
3．熟练掌握各种常见有关二次函数的题型和应对策略
1）线段最值（周长）问题——斜化直策略
2）三角形或多边形面积问题——铅垂高、水平宽策略
3）线段和最小值问题——胡不归+阿氏圆策略问题
4）线段差——三角形三边关系或函数
5）相似三角形存在性问题——根据相等角分类讨论
6）平行四边形存在性问题——中点公式+平移法
【限时检测】
A卷（建议用时：90分钟）
1．（2022·广东越秀·九年级模拟）已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（ ）
A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2
C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2
【答案】C
【分析】先求出抛物线的对称轴为，然后结合二次函数的开口方向，判断二次函数的增减性，即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线y＝﹣ax2+4ax+c，∴抛物线的对称轴为：，
当点P1（x1，y1），P2（x2，y2）恰好关于对称时，有，
∴，即，∵x1＜x2，∴；
∵抛物线的开口方向没有确定，则需要对a进行讨论，故排除A、B；
当时，抛物线y＝﹣ax2+4ax+c的开口向下，此时距离越远，y值越小；
∵a（x1+x2﹣4）＞0，∴，∴点P2（x2，y2）距离直线较远，∴；
当时，抛物线y＝﹣ax2+4ax+c的开口向上，此时距离越远，y值越大；
∵a（x1+x2﹣4）＞0，∴，∴点P1（x1，y1）距离直线较远，
∴；故C符合题意；D不符合题意；故选：C
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行分析．
2．（2021·广西·南宁市天桃实验学校三模）如图，在平面直角坐标系中，若折线与直线交（）有且仅有一个交点，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】先求出折线的最高点的坐标，然后直线经过最高点时，此时恰好有一个交点，然后分析直线与折线的那部分图像的交点问题即可得到答案.
【详解】解：∵直线的解析式为，∴直线经过点（-2，0），
∵折线的解析式为，∴折线的最高点坐标为（2，1）
∴当直线恰好经过（2，1）时，此时只有一个交点，∴，解得，
当时，直线与折线在的那部分图像平行，此时没有交点，
∴当时直线与折线在的那部分图像有一个交点，∴综上所述或，故选D.
【点睛】本题主要考查了一次函数图像的性质，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解.
3．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象相交于A、两点，线段的中点为点，过点作轴的垂线，垂足为点．直线过原点和点．若直线上存在点，满足，则的值为（ ）
A． B．3或 C．或 D．3
【答案】A
【分析】根据题意，得，，直线：；根据一次函数性质，得；根据勾股定理，得；连接，，，根据等腰三角形三线合一性质，得，；根据勾股定理逆定理，得；结合圆的性质，得点、B、D、P共圆，直线和AB交于点F，点F为圆心；根据圆周角、圆心角、等腰三角形的性质，得；分或两种情况，根据圆周角、二次根式的性质计算，即可得到答案．
【详解】根据题意，得，，即，
∵直线过原点和点∴直线： ∵在直线上∴ ∴
连接，， ∴，线段的中点为点∴，
过点作轴的垂线，垂足为点 ∴
∴，，
∴ ∴
∴点、B、D、P共圆，直线和AB交于点F，点F为圆心∴
∵，∴
∵，且 ∴
∴∴ ∴或
当时，和位于直线两侧，即
∴不符合题意 ∴，且
∴，∴∴
∴故选：A．
【点睛】本题考查圆、等腰三角形、反比例函数、一次函数、三角函数、勾股定理、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握圆心角、圆周角、等腰三角形三线合一、三角函数、勾股定理的性质，从而完成求解．
4．（2021·山东枣庄市·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据抛物线开口向下、与轴的交点位于轴正半轴，再根据对称轴可得，由此可判断结论①；将点代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．
【详解】解：抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴，，
抛物线的对称轴为，，，则结论①正确；
将点代入二次函数的解析式得：，则结论③错误；
将代入得：，则结论②正确；
抛物线的对称轴为，和时的函数值相等，即都为，
又当时，随的增大而减小，且，，则结论④错误；
由函数图象可知，当时，取得最大值，最大值为，
，，即，结论⑤正确；
综上，正确的结论有①②⑤，共3个，故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
5．（2020·四川自贡市·中考真题）如图， 直线与轴交于点，与双曲线 在第三象限交于两点，且 ；下列等边三角形，，，……的边，，，……在轴上，顶点……在该双曲线第一象限的分支上，则= ____，前25个等边三角形的周长之和为 _______．
【答案】； 60
【分析】设，设直线与轴的交点为H，先求解的坐标，得到∠HAO=30°，用含的代数式表示，联立函数解析式利用根与系数的关系得到关于的方程，从而可得第一空的答案；过分别向轴作垂线，垂足分别为先根据等边三角形的性质与反比例函数的性质求解的边长，依次同法可得后面等边三角形的边长，发现规律，再前25个等边三角形的周长之和即可．
【详解】解：设，设直线与轴的交点为H，
令 则 令 则
∴H（），又A（0，b）， ∴tan∠HAO=，∴∠HAO=30°，
过作轴于 过作轴于，∴AB=2BM，AC=2CN，∵BM=，，
∴AB=，AC=，∴，联立得到。
∴，由已知可得，∴，∴反比例函数的解析式为，
过分别向轴作垂线，垂足分别为设
由等边三角形的性质得：
得： （舍去）经检验：符合题意，
可得的边长为4，同理设 ，
解得： （舍去）
经检验：符合题意，
的边长为，同理可得：的边长为，
的边长为．
∴前25个等边三角形的周长之和为
=
故答案为：
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，考查一元二次方程的根与系数的关系，等边三角形的性质的应用，锐角三角函数的应用，同时考查与反比例函数相关的规律题，掌握以上知识是解题的关键．
6．（2021·四川广安市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，以此进行下去……若点的坐标为，则点的纵坐标为______．
【答案】
【分析】计算出△AOB的各边，根据旋转的性质，求出OB1，B1B3，...，得出规律，求出OB21，再根据一次函数图像上的点求出点B21的纵坐标即可．
【详解】解：∵AB⊥y轴，点B（0，3），∴OB=3，则点A的纵坐标为3，代入，
得：，得：x=-4，即A（-4，3），∴OB=3，AB=4，OA==5，
由旋转可知：OB=O1B1=O2B1=O2B2=…=3，OA=O1A=O2A1=…=5，AB=AB1=A1B1=A2B2=…=4，
∴OB1=OA+AB1=4+5=9，B1B3=3+4+5=12，∴OB21=OB1+B1B21=9+（21-1）÷2×12=129，
设B21（a，），则OB21=，解得：或（舍），
则，即点B21的纵坐标为，故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，求出△OAB的各边，计算出OB21的长度是解题的关键．
7．（2021·浙江柯桥·九年级阶段练习）如图，“心”形是由抛物线和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D，点A，B是两条抛物线的两个交点，点E，F，G是抛物线与坐标轴的交点，则_______________．
【答案】
【分析】连接OD，做BP⊥x轴，垂足为M，作AP⊥y轴，垂足为N，AP、BP相交于点P．根据旋转作图和“心”形的对称性得到∠COB=30°，∠BOG=60°，设OM=m，得到点B坐标为，把点B代入，求出m，即可得到点A、B坐标，根据勾股定理即可求出AB．
【详解】解：如图，连接OD，做BP⊥x轴，垂足为M，作AP⊥y轴，垂足为N，AP、BP相交于点P．
∵点C绕原点O旋转60°得到点D，∴∠COD=60°，
由“心”形轴对称性得AB为对称轴，∴OB平分∠COD，∴∠COB=30°，∴∠BOG=60°，
设OM=m，在Rt△OBM中，BM=,∴点B坐标为，
∵点B在抛物线上，∴，解得，
∴点B坐标为，点A坐标为，∴AP=，BP=9，
在Rt△ABP中，．故答案为：
【点睛】本题考查了抛物线的性质，旋转、轴对称、勾股定理、三角函数等知识，综合性较强，理解题意，表示出点B坐标是解题关键．
8．（2021·湖南·中考模拟）如图，函数(k为常数，k＞0)的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则；④若，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是_______．
【答案】①③④
【分析】①设点A（m，），M（n，），构建一次函数求出C，D坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断．②△OMA不一定是等边三角形，故结论不一定成立．③设M（1，k），由△OAM为等边三角形，推出OA=OM=AM，可得1+k2=m2+，推出m=k，根据OM=AM，构建方程求出k即可判断．
④如图，作MK∥OD交OA于K．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】①设点A（m，），M（n，），则直线AC的解析式为y=-x++，
∴C（m+n，0），D（0，），
∴，
∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确；
∵反比例函数与正比例函数关于原点对称，∴O是AB的中点，
∵BM⊥AM，∴OM=OA，∴k=mn，∴A（m，n），M（n，m），∴，
∴AM不一定等于OM，∴∠BAM不一定是60°，∴∠MBA不一定是30°．故②错误，
∵M点的横坐标为1，∴可以假设M（1，k），∵△OAM为等边三角形，∴OA=OM=AM，1+k2=m2+，
∵m＞0，k＞0，∴m=k，∵OM=AM，∴（1-m）2+(k−)2=1+k2，∴k2-4k+1=0，∴k=2±，
∵m＞1，∴k=2+，故③正确，如图，作MK∥OD交OA于K．
∵OF∥MK，∴，∴，∵OA=OB，∴，∴，
∵KM∥OD，∴，∴DM=2AM，故④正确．故答案为①③④．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构造平行线，利用平行线分线段成比例定理解决问题
9．（2021·江苏徐州市·中考真题）如图，点在函数的图像上．已知的横坐标分别为－2、4，直线与轴交于点，连接．（1）求直线的函数表达式；（2）求的面积；（3）若函数的图像上存在点，使得的面积等于的面积的一半，则这样的点共有___________个．
【答案】（1）直线AB的解析式为：；（2）6；（3）4
【分析】（1）将的横坐标分别代入求出生意人y的值，得到A，B点坐标，再运用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）求出OC的长，根据“”求解即可；
（3）分点P在直线AB的上方和下方两种情况根据分割法求解即可．
【详解】解：（1）∵A，B是抛物线上的两点，
∴当时，；当时，
∴点A的坐标为（-2，1），点B的坐标为（4，4）
设直线AB的解析式为，把A，B点坐标代入得 解得，
所以，直线AB的解析式为：；
（2）对于直线AB：当时，∴
∴==6
（3）设点P的坐标为（，）
∵的面积等于的面积的一半，∴的面积等于=3，
①当点P在直线AB的下方时，过点A作AD⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，垂足分别为D，F，E，连接PA，PB，如图，
∵
∴
整理，得， 解得，，
∴在直线AB的下方有两个点P，使得的面积等于的面积的一半；
②当点P在直线AB的上方时，过点A作AD⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，垂足分别为D，F，E，连接PA，PB，如图，
∵
∴
整理，得， 解得，，
∴在直线AB的上方有两个点P，使得的面积等于的面积的一半；
综上，函数的图像上存在点，使得的面积等于的面积的一半，则这样的点共有4个，故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了运用待定系数法示直线解析式，二次函数与图形面积，注意在解决（3）问时要注意分类讨论．
10．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线经过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段平行于x轴，交直线于点D，连接，．
（1）填空： __________．点A的坐标是（__________，__________）；（2）求证：四边形是平行四边形；（3）动点P从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．①当时，的面积是__________．
②当点P，Q运动至四边形为矩形时，请直接写出此时t的值．
【答案】（1），5，0；（2）见解析；（3）①12；②或．
【分析】（1）代入点坐标即可得出值确定直线的解析式，进而求出点坐标即可；
（2）求出点坐标，根据，，即可证四边形是平行四边形；
（3）①作于，设出点的坐标，根据勾股定理计算出的长度，根据运动时间求出的长度即可确定的面积；
②根据对角线相等确定的长度，再根据、的位置分情况计算出值即可．
【详解】解：（1）直线经过点，，解得，
即直线的解析式为，当时，，，
（2）线段平行于轴，点的纵坐标与点一样，
又点在直线上，当时，，即，，
，，又，四边形是平行四边形；
（3）①作于，
点在直线上，设点的坐标为，
，，由勾股定理，得，
即，整理得或8（舍去），，
，当时，，，
②，当时，，当时，，
当点，运动至四边形为矩形时，，，
当时，，解得，当时，，解得，
综上，当点，运动至四边形为矩形时的值为或．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键．
11．（2021·内蒙古赤峰市·中考真题）阅读理解：在平面直角坐标系中，点M的坐标为，点N的坐标为，且x1≠x1，y2≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．（1）已知点A的坐标为．①若点B的坐标为，则点A、B的“相关矩形”的周长为__________；②若点C在直线x=4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；（2）已知点P的坐标为，点Q的坐标为， 若使函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）①12；②或；（2）
【分析】（1）①由相关矩形的定义可知，要求点A、B的“相关矩形”的周长，利用点A，点B的坐标求出“相关矩形”的边长即可；②由“相关矩形”的定义知， AC必为正方形的对角线，所以可得点C坐标，设直线AC的解析式为，代入A，C点的坐标，求出k，b的值即可；（2）首先确定P，Q的“相关矩形”的另两个顶点坐标，结合函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点，求出k的最大值和最小值即可得到结论．
【详解】解：（1）①∵点A的坐标为，点B的坐标为，∴点A、B的“相关矩形”如图所示，
∴点A、B的“相关矩形”周长= 故答案为：12；
②由定义知，AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，
又∵点A，C的相关矩形是正方形，且∴点C的坐标为或
设直线AC的解析式为，将，代入解得，∴
将，代入解得，∴
∴符合题意得直线AC的解析式为或．
（2）∵点P的坐标为，点Q的坐标为，
∴点P，Q的“相关矩形”的另两个顶点的坐标分别为（3，-2），（6，-4）
当函数的图象经过（3，-2）时，k=-6，当函数的图象经过（6，-4）时，k=-24，
∴函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点时，k的取值范围是：
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，解答此题需要理解“相关矩形”的定义，综合性较高，一定要注意将新旧知识贯穿起来．
12．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．直线，且与的外接圆相切，与双曲线在第二象限内的图象交于、两点．
（1）求点，的坐标和的半径；（2）求直线所对应的函数表达式；（3）求的面积．
【答案】（1）A（-8，0），B（0，6），5；（2）y=x+；（3）
【分析】（1）令y=0代入，令x=0代入，即可得到A、B的坐标，进而得到圆的半径；（2）过点A作AG⊥MN于点G，得AG=5，由∠AMG=∠OAB，得，进而即可求解；
（3）联立，可得C的坐标，进而即可求解．
【详解】解：（1）令y=0代入，得，解得：x=-8，即：A（-8，0），
令x=0代入，得，即：B（0，6），∴AB=,∴的半径为：5；
（2）过点A作AG⊥MN于点G，
∵直线，且与的外接圆相切，∴AG=5，∠AMG=∠OAB，
∴sin∠AMG=sin∠OAB，即：，∴，解得：AM=，即：OM=+8=，
∴M（-，0），同理：BN=，ON=6+=，N（0，），
设直线所对应的函数表达式为：y=kx+b，
则，解得：，∴直线所对应的函数表达式为：y=x+；
（3）联立，得：=，解得：，，∴C（-3，10），
∴的面积==．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数综合，熟练掌锐角三角函数的定义，圆的切线的性质定理，是解题的关键．
13．（2021·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点．
（1）如图1，过点作轴于点，连结．①若，求证：四边形是平行四边形；
②连结，若，求的面积．（2）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由．
【答案】（1）①证明见解析，②1；（2）不改变，见解析
【分析】（1）①计算得出，利用平行四边形的判定方法即可证明结论；
②证明，利用反比例函数的几何意义求得，即可求解；
（2）点的坐标为，点的坐标为，可知四边形是平行四边形，由，利用相似三角形的性质得到关于的一元二次方程，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）①证明：设点的坐标为，
则当时，点的坐标为，，
轴，，∴四边形是平行四边形；
②解：过点作轴于点，
轴，，， ，
∴当时，则，即．；
．
（2）解 不改变． 理由如下：
过点作轴于点与轴交于点，设点的坐标为，点的坐标为，
则，OH=b，由题意，可知四边形是平行四边形，
∴OG=AE=a，∠HPG=∠OEG=∠EOA，且∠PHG=∠OEA=90°，
∴， ，即，
∴，，解得，
异号，，，．
∴对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积不会发生变化．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
14．（2021·广东中考真题）已知二次函数的图象过点，且对任意实数x，都有．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，或或或
【分析】（1）令，解得，可得函数 必过 ，再结合 必过 得出，，即可得到，再根据，可看成二次函数与一次函数仅有一个交点，且整体位于的上方，可得，有两个相等的实数根，再根据，可解得的值，即可求出二次函数解析式．
（2）结合（1）求出点C的坐标，设，①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时,根据中点坐标公式分别列出方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：（1）令，解得，
当时，，∴ 必过 ，
又∵ 必过 ，∴，
∴，即，
即可看成二次函数与一次函数仅有一个交点，且整体位于的上方∴，有两个相等的实数根
∴，∴，∴，∴，，∴．
（2）由（1）可知：，，设，
①当为对角线时，
∴，解得（舍），，∴，即．
②当为对角线时，∴，解得（舍），
∴，即．
③当为对角线时，
∴，解得，
∴或，∴．
综上所述：N点坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到二次函数与不等式组，考查了平行四边形的存在性问题，利用中点公式，分类讨论是解题关键．
15．（2021·湖北宜昌市·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，顶点坐标记为．抛物线的顶点坐标记为．（1）写出点坐标；（2）求，的值（用含的代数式表示）；（3）当时，探究与的大小关系；（4）经过点和点的直线与抛物线，的公共点恰好为3个不同点时，求的值．
【答案】（1）；（2），；（3）当时，，当时，，当时，，当或时，；（4），，，
【分析】（1）令，解出x即可，（2）把函数顶点式，即可得出结论，
（3）令，结合函数图像分类讨论即可，（4）由题意可得：直线的解析式为：，再根据已知条件画出函数图像分三类情况讨论，进而得出n的值；
【详解】（1）∵，令，，
∴，，∴．
（2），∴，
∵，∴．
（3）∵，，
当时，，此时或，．
由如图1图象可知：当时，，当时，，
当时，，当或时，．
（4）设直线的解析式为：，则，
由（1）-（2）得，，∴，
直线的解析式为：．
第一种情况：如图3，当直线经过抛物线，的交点时，
联立抛物线与的解析式可得：
①
联立直线与抛物线的解析式可得：
，则，②
当时，把代入得：，把，代入直线的解析式得：
，∴，∴．
此时直线与抛物线，的公共点恰好为三个不同点．
当时，把代入①得：，
该方程判别式，所以该方程没有实数根．
第二种情况：如图4，
当直线与抛物线或者与抛物线只有一个公共点时．
当直线与抛物线只有一个公共点时，
联立直线与抛物线可得，
∴，此时，即，
∴，∴．
由第一种情况而知直线与抛物线公共点的横坐标为，，当时，，∴．
所以此时直线与抛物线，的公共点恰好为三个不同点．
如图5，当直线与抛物线只有一个公共点，
∵，，∴，
联立直线与抛物线，，
，当时，，
此时直线与抛物线，的公共点只有一个，∴．
综上所述：∴，，，．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的顶点式、一次函数与二次函数的综合、数形结合思想等等，其中（4），要正确画图，并注意分类求解，避免遗漏．
16．（2021·湖南衡阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如……都是“雁点”．（1）求函数图象上的“雁点”坐标；
（2）若抛物线上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当时．①求c的取值范围；②求的度数；（3）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线上一点，连接，以点P为直角顶点，构造等腰，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）和；（2）①；②45°；（3）存在，P点坐标为或或
【分析】（1）根据“雁点”的定义可得y=x，再联立求出 “雁点”坐标即可；
（2）根据和y=x可得，再利用根的判别式得到，再求出a的取值范围；将点c代入解析式求出点E的坐标，令y=0，求出M的坐标，过E点向x轴作垂线，垂足为H点，如图所示，根据EH=MH得出为等腰直角三角形，∠EMN的度数即可求解；
（3）存在，根据图1，图2，图3进行分类讨论，设C（m，m），P（x，y），根据三角形全等得出边相等的关系，再逐步求解，代入解析式得出点P的坐标．
【详解】解：（1）联立，解得或 即：函数上的雁点坐标为和．
（2）① 联立得
∵ 这样的雁点E只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，∴
∵ ∵ ∴
② 将代入，得解得，∴
对于，令有解得∴
过E点向x轴作垂线，垂足为H点，EH=，MH=∴
∴ 为等腰直角三角形，
（3）存在，理由如下：如图所示：过P作直线l垂直于x轴于点k，过C作CH⊥PK于点H
设C（m，m），P（x，y）∵ △CPB为等腰三角形，∴PC=PB，∠CPB=90°，∴∠KPB+∠HPC=90°，
∵∠HPC+∠HCP=90°，∴∠KPB=∠HCP，∵∠H=∠PKB=90°，∴△CHP≌△PKB，
∴CH=PK，HP=KB，即∴
当时，∴
如图2所示，同理可得：△KCP≌△JPB∴ KP=JB，KC=JP
设P（x，y），C（m，m）∴KP=x-m，KC=y-m，JB=y，JP=3-x，
即解得令解得
∴或
如图3所示，∵△RCP≌△TPB∴RC=TP，RP=TB
设P（x，y），C（m，m）即解得
令解得∴ 此时P与第②种情况重合
综上所述，符合题意P的坐标为或或
【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，图形与坐标，等腰三角形的判定与性质，二次函数的综合运用，理解题意和正确作图逐步求解是解题的关键．
17．（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，点是线段上一动点（不与点、重合）．
（1）请直接写出点、点、点的坐标；（2）连接，在第一象限内将沿翻折得到，点的对应点为点．若，求线段的长；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为点．①若点在内部（不包括边），求的取值范围；②在平面直角坐标系内是否存在点，使最大？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，；（2）1；（3）①；②存在，
【分析】（1）令x=0，令y=0分别代入，即可得到A，B的坐标，结合中点坐标公式，求出P的坐标，即可；（2）过点作于，易得，，又点，可得，，进而即可求解；（3）①把二次函数解析式化为顶点式，可得顶点的坐标为，从而得点是直线上一点，进而即可求解；②作点Q关于直线的对称点，连接E交直线于点C，则CQ=C，此时最大．求出(4，1)，E(5，5)，从而得E的解析式，进而即可求解．
【详解】解：（1）令x=0代入，y=6，令y=0代入，x=4，∴，，
∵点为线段的中点，∴；
（2）过点作于，
∵，∴，∴，
∵点，∴，，∴，∵点，
∴∴，即的长为1；
（3）①，
∴其顶点的坐标为，∴点是直线上一点，
∵，，∴当时，又∵点在直线上
∴当点在内部（不含边）时，的取值范围是；
②作点Q关于直线的对称点，连接E交直线于点C，则CQ=C，此时==E，最大．
∵，，P是Q的中点，∴(4，1)，∵QE⊥OQ，QE=OQ=5，∴E(5，5)，
设E的解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴E的解析式为：y=4x-15，
联立，解得：，∴点C坐标为．
答：存在点使最大，此时C的坐标为．
【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数与平面几何的综合，掌握等腰直角三角形的性质，函数图像上点的坐标特征，利用轴对称性，作出线段差的最大值，是解题的关键．
18．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），即可得到关于a、b的方程，从而可以求得a、b的值，然后即可写出抛物线的解析式；
（2）根据（1）中抛物线的解析式，设点P的坐标，然后再根据是等腰直角三角形，得出是等腰直角三角形，再分类讨论，列出方程，即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴ 解得 ∴此抛物线的解析式为：
（2）当时，，所以，OB=OC=3，∴是等腰直角三角形，
以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，∴是等腰直角三角形，
设点P的坐标为，抛物线的对称轴为直线，
设BC的解析式为，将B（﹣3，0），C（0，3）代入得，
，解得，，故BC的解析式为，
把代入得，，则E点坐标为，
如图，当E为直角顶点时，，解得，，（舍去），把代入得，，则P点坐标为，
当Q为直角顶点时，PQ=QE，即，解得，（舍去），把代入得，，则P点坐标为；
当P为直角顶点时，作PM⊥EQ于M，PM=ME，即，解得，（舍去），则P点坐标为；综上，P点坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和相似三角形与等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练运用待定系数法和设出点的坐标，根据题意列出方程．
19．（2021·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点是抛物线上一动点．（1）如图1，当，，且时，
①求点M的坐标：②若点在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；
（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点在对称轴上，当，，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为，连接GF．若，求证：射线FE平分．
【答案】（1）①；②，见解析；（2）见解析
【分析】（1）①直接将点代入解析式，又有，
即可解出坐标；②相等，先求出点，由两点求出直线的方程，添加辅助线构建直角三角形，利用勾股定理求出边长，证明三角形是等腰三角形即可；（2）根据已知条件求出点的坐标，再求出所在直线的解析式，求出直线与轴的交点，添加辅助线，利用三角形相似对应边成比例，找到边与边之间的关系，在直角三角形中利用勾股定理建立等式求出边长，再根据角平分线上的点到两条线之间的距离相等，即可判断出为角平分线．
【详解】解：（1）如答案图6.
①点在抛物线上，且，，解得，（舍去）
，，．
②，点在该抛物线上，，．
设直线MB交x轴于点H，解析式为，
解得 当时，，，．
过点M作轴，垂足为R，，，，
根据勾股定理得，．，
，，，，．
（2）如答案图7.
证明：对称轴，，
，，．过点M作轴，垂足为Q，
，，．
当时，解得，，．
，，，．，．
设直线EM的解析式为，解得
．设直线EM交y轴于点S，过点S作，垂足为P ．当时，．
．当时，，，，．
，，．
，，，，．
设，则．在中，，．
（负值舍去），，，．
，，射线FE平分．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的综合运用，还涉及等腰三角形的性质、直角三角形、相似三角形的判定与性质、角平分线的判定，题目综合性强，涉及知识点多、难度较大，解题的关键是：掌握以上相关知识点后，需要做到灵活运用，同时考查了添加辅助线的能力．
20．（2021·山东济南·中考真题）抛物线过点，点，顶点为．（1）求抛物线的表达式及点的坐标；（2）如图1，点在抛物线上，连接并延长交轴于点，连接，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点是线段上（与点，不重合）的动点，连接，作，边交轴于点，设点的横坐标为，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】（1）将的坐标代入解析式，待定系数法求解析式即可，根据顶点在对称轴上，求得对称轴，代入解析式即可的顶点的坐标；（2）设，根据是以为底的等腰三角形，根据，求得点的坐标，进而求得解析式，联立二次函数解析式，解方程组即可求得点的坐标；
（3）根据题意，可得，设，根据相似三角形的性质，线段成比例，可得，根据配方法可得的最大值，根据点是线段上（与点，不重合）的动点，可得的最小值，即可求得的范围．
【详解】（1）抛物线过点，点，
，解得，，
，代入，解得：，顶点，
（2）设， ,，是以为底的等腰三角形，
即解得
设直线的解析式为 解得
直线的解析式为 联立解得：，
（3）点的横坐标为，，，
，
设，则，是以为底的等腰三角形，
，
即
整理得
当点与点重合时，与点重合，由题意，点是线段上（与点，不重合）的动点，
的取值范围为：．
【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
【限时检测】
B卷（建议用时：90分钟）
1．（2021·浙江中考真题）已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于的两个点，记的面积为的面积为．有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】通过和的不等关系，确定，在抛物线上的相对位置，逐一分析即可求解．
【详解】解：∵抛物线与轴的交点为和，
∴该抛物线对称轴为，
当时与当时无法确定，在抛物线上的相对位置，
故①和②都不正确；
当时，比离对称轴更远，且同在x轴上方或者下方，
∴，∴，故③正确；
当时，即在x轴上到2的距离比到的距离大，且都大于1，
可知在x轴上到2的距离大于1，到2的距离不能确定，
所以无法比较与谁离对称轴更远，故无法比较面积，故④错误；故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．
2．（2020·四川内江市·中考真题）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D
【分析】画出函数图象，利用图象可得t的取值范围.
【详解】∵，∴当y=0时，x=；当x=0时，y=2t+2，
∴直线与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点坐标为（0，2t+2），
∵t>0，∴2t+2>2，当t=时，2t+2=3，此时=-6，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图1，
当t=2时，2t+2=6，此时=-3，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图2，当t=1时，2t+2=4，=-4，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，如图3，
∴且，故选：D.
【点睛】此题考查一次函数的图象的性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据t的值正确画出图象理解题意是解题的关键.
3．（2021·山东菏泽市·中考真题）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为，直线在轴上平移的距离为，、间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】C
【分析】根据平移的距离可以判断出矩形BC边的长，根据的最大值和平移的距离可以求得矩形AB边的长，从而求得面积
【详解】如图：根据平移的距离在4至7的时候线段长度不变，可知图中,
根据图像的对称性，，
由图（2）知线段最大值为，即 根据勾股定理
矩形的面积为
故答案为：C
【点睛】本题考查了矩形的面积计算，一次函数图形的实际意义，勾股定理，一次函数的分段函数转折点的意义；正确的分析函数图像，数形结合解决实际问题是解题的关键．
4．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥X轴，AO⊥AD，AO=AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE=4CE．反比例函数的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若，则k的值为（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】A
【分析】延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足分别为H，则可得△DEA≌△AGO，从而可得DE=AG，AE=OG，若设CE=a，则DE=AG=4a，AD=DC=DE+CE=5a，由勾股定理得AE=OG=3a，故可得点E、A的坐标，由AB与x轴平行，从而也可得点F的坐标，根据 ，即可求得a的值，从而可求得k的值．
【详解】如图，延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足分别为H
∵四边形ABCD是菱形∴CD=AD=AB，CD∥AB ∵AB∥x轴，AE⊥CD∴EG⊥x轴，∠D+∠DAE=90゜
∵OA⊥AD∴∠DAE+∠GAO=90゜∴∠GAO=∠D ∵OA=OD∴△DEA≌△AGO(AAS)∴DE=AG，AE=OG
设CE=a，则DE=AG=4CE=4a，AD=AB=DC=DE+CE=5a
在Rt△AED中，由勾股定理得：AE=3a ∴OG=AE=3a，GE=AG+AE=7a ∴A（3a,4a），E(3a,7a)
∵AB∥x轴，AG⊥x轴，FH⊥x轴∴四边形AGHF是矩形 ∴FH=AG=3a，AF=GH
∵E点在双曲线上∴ 即
∵F点在双曲线上，且F点的纵坐标为4a∴ 即∴
∵∴
解得： ∴ 故选：A．
【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，三角形全等的判定与性质等知识，关键是作辅助线及证明△DEA≌△AGO，从而求得E、A、F三点的坐标．
5．（2021·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】根据题意，图中各点的坐标均可以求出来，，，只需证明即可证明结论①；先求出直线OB的解析式，然后求直线OB与反比例函数的交点坐标，即可证明结论②；分别求出和，进行比较即可证明结论③；只需证明，即可求证结论④．
【详解】解：∵OABC为矩形，点B的坐标为（4，2），∴A点坐标为(4，0)，C点坐标为(0，2)，
根据反比例函数，当时，，即D点坐标为(1，2)，
当时，，即F点坐标为(4，)，∵，∴，
∵，∴，∴，
，∴，故结论①正确；
设直线OB的函数解析式为：，点B代入则有：，解得：，
故直线OB的函数解析式为：，当时，(舍)
即时，，∴点E的坐标为(2，1)，∴点E为OB的中点，∴，结论②正确；
∵，∴，由②得：，
，∴，故结论③正确；
在和中，，∴，
∴，故结论④正确，综上：①②③④均正确，故选：A．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，反比例函数与几何综合，结合题意求出图中各点坐标是解决本题的关键．
6．（2021·山东日照·中考真题）抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号．②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大．④由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根．
【详解】解：①抛物线图象开口向上，，对称轴在直线轴左侧，，同号，，
抛物线与轴交点在轴下方，，，故①正确．
②，当时，由图象可得，
当时，，由图象可得，
，即，故②正确．
③，，，
点，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离，，故③错误．
④抛物线的顶点坐标为，，，无实数根．故④正确，
综上所述，①②④正确，故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数中，，与函数图象的关系．
7．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作，交x轴于点，以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长的交x轴于点；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为________（结果用含正整数n的代数式表示）．
【答案】
【分析】根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正方形的边长，然后再找规律得出第个正方形的边长．
【详解】解：点在直线上，点的横坐标为2，点纵坐标为1．
分别过，作轴的垂线，分别交于，下图只显示一条；
,
类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有
，
不妨设第1个至第个正方形的边长分别用：来表示，通过计算得：
，，
按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为，故答案是：．
【点睛】本题考查了三角形相似，解题的关键是：利用条件及三角形相似，先研究好前面几个正方形的边长，再从中去找计算第个正方形边长的方法与技巧．
8．（2021·广西柳州市·中考真题）如图，一次函数与反比例数的图像交于A，B两点，点M在以为圆心，半径为1的上，N是的中点，已知长的最大值为，则k的值是_______．
【答案】
【分析】根据题意得出是的中位线，所以取到最大值时，也取到最大值，就转化为研究也取到最大值时的值，根据三点共线时，取得最大值，解出的坐标代入反比例函数即可求解．
【详解】解：连接，如下图：
在中，分别是的中点，是的中位线，
已知长的最大值为，此时的，显然当三点共线时，取到最大值：，
，，
设，由两点间的距离公式：，
，解得：（取舍），，
将代入，解得：，故答案是：．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、三角形的中位线、圆，研究动点问题中线段最大值问题，解题的关键是：根据中位线的性质，利用转化思想，研究取最大值时的值．
9．（2021·浙江衢州市·中考真题）如图1，点C是半圆O的直径AB上一动点（不包括端点），，过点C作交半圆于点D，连结AD，过点C作交半圆于点E，连结EB．牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系．他根据学习函数的经验，记，，．请你一起参与探究函数、随自变量x变化的规律．
通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象．
x
…
0.30
0.80
1.60
2.40
3.20
4.00
4.80
5.60
…
…
2.01
2.98
3.46
3.33
2.83
2.11
1.27
0.38
…
…
5.60
4.95
3.95
2.96
2.06
1.24
0.57
0.10
…
（1）当时，＝ ．（2）在图2中画出函数的图象，并结合图象判断函数值与的大小关系．
（3）由（2）知“AC取某值时，有”．如图3，牛牛连结了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程．
【答案】（1）3；（2）当x约等于2时，y1=y2；当02时，y1>y2；（3）见解析
【分析】（1）根据圆的直径为6，半径为3可求；（2）按自变量由小到大的顺序描点并用平滑曲线连接即可得到所画图象，两图象有交点，过此交点作x轴的垂线，垂足表示的数即为自变量x的值，找到此值，即可比较两函数值的大小；（3）在（2）的基础上，取AC=2，借助于勾股定理、相似三角形等知识，分别计算EC和EB，即可得出结论的正确性．
【详解】解（1）当x=3时，动点C与圆心O重合，此时，y1=OE=3．故答案为：3
（2）函数y2的图象如图2所示，过两图象的交点M作x轴的垂线，垂足为N，则垂足N表示的数．
∴从图象可以看出：当时，；当02时，．
（3）如图3，连结OD，过点E作于点H．
由（2）的初步判断，当时，，即EC=EB．不妨取AC=x=2，此时，，．
，∴在中，．
设，则，．
∵AD∥CE，∴∠DAC=∠ECO．又，∴．
∴．∴．∴．两边平方并整理得，．
解得，（不合题意，舍去）．∴OH=m=1．
∴HC=OH+OC=1+1=2，．
∴．
又∵HB=OB-OH=3-1=2，∴．∴EC=EB．
∴通过以上计算可知，当取AC=2时，（2）中的结论EC=EB成立．
【点睛】本题考查了圆的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、函数的图象与函数值的大小比较等知识点，熟知上述的知识点是解题的基础，而通过“实验猜想证明”的探究方法是关键．
10．（2021·江苏常州市·中考真题）在平面直角坐标系中，对于A、两点，若在y轴上存在点T，使得，且，则称A、两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点、，点在一次函数的图像上．
（1）①如图，在点、、中，点M的关联点是_______（填“B”、“C”或“D”）；
②若在线段上存在点的关联点，则点的坐标是_______；
（2）若在线段上存在点Q的关联点，求实数m的取值范围；
（3）分别以点、Q为圆心，1为半径作、．若对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）①B；②；（2）或；（3）或．
【分析】由材料可知关联点的实质就是将点A绕y轴上点T顺时针或逆时针旋转90度的得到点．故先找到旋转90°坐标变化规律，再根据规律解答即可，（1）①根据关联点坐标变化规律列方程求解点T坐标，有解则是关联点；无解则不是；②关联点的纵坐标等于0，根据关联点坐标变化规律列方程求解即可；
（2）根据关联点坐标变化规律得出关联点，列不等式求解即可；
（3）根据关联点的变化规律可知圆心是互相关联点，由点E坐标求出点Q坐标即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，设，点，关联点，
将点A、点、点T向下平移个单位，点T对应点与原点重合，此时点A、点对应点、，
∵绕原点旋转90度的坐标变化规律为：点（x，y）顺时针旋转，对应点坐标为（y，-x）；逆时针旋转对应点坐标为（-y，x），∴绕原点旋转90度的坐标对应点坐标为或，
即顺时针旋转时，解得：，即关联点，
或逆时针旋转时，，解得：，即关联点，
即：在平面直角坐标系中，设，点，关联点坐标为或，
（1）①由关联点坐标变化规律可知，点关于在y轴上点的关联点坐标为：或，
若点是关联点，则或，解得：，即y轴上点或，故点是关联点；
若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点；
若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点；
故答案为：B；
②由关联点坐标变化规律可知，点关于点的关联点的坐标为或，
若，解得：，此时即点，不在线段上；
若，解得：，此时即点，在线段上；
综上所述：若在线段上存在点的关联点，则点
故答案为：；
（2）设点与点是关于点关联点，则点坐标为或，
又因为点在一次函数的图像上，即：，
点在线段上，点、，
当∴，∴，∴，
或，∴，当；
综上所述：当或时，在线段上存在点Q的关联点．
（3）对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，
故点E与点Q也是关于同一点的关联，设该点，则
设点与点是关于点关联点，则点坐标为或，
又因为在一次函数的图像上，即：，
∵点，若，解得：，即点，
若，解得：，即点，
综上所述：或．
【点睛】本题主要考查了坐标的旋转变换和一次函数图像上点的特征，解题关键是总结出绕点旋转90°的点坐标变化规律，再由规律列出方程或不等式求解．
11．（2021·四川雅安市·中考真题）已知反比例函数的图象经过点．
（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数的图象上点A的右侧取点C，作CH⊥x轴于H，过点A作y轴的垂线AG交直线于点D．①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，交于B，垂足分别为为F、E，连结OB，BD，求证：O，B，D三点共线；②若，求证：．
【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）①证明见详解；②证明见详解．
【分析】（1）根据反比例函数的图象经过点，可得即可；
（2）①利用锐角三角函数值tan∠EBO=，tan∠DBC=相等，可证∠EBO=∠DBC，利用平角定义∠DBC+∠OBC=∠EBO+∠OBC=180°即可；②设AC与OD交于K，先证四边形ABCD为矩形，可得∠KAD=∠KDA，KA=KC=，由，可得AO=AK，由∠AKO为△AKD的外角，可得∠AKO=2∠ADK，由AD∥OH 性质，可得∠DOH=∠ADK即可．
【详解】解：（1）∵反比例函数的图象经过点，∴，
∴该反比例函数的表达式为；
（2）①设点C（），则B（2，），D（），∴OE=，BE=2，CD=3-，BC=，
∴tan∠EBO=，tan∠DBC=，∴∠EBO=∠DBC，
∵∠DBC+∠OBC=∠EBO+∠OBC=180°，∴点O，点B，点D三点共线；
②设AC与OD交于K，∵AD⊥y轴，CB⊥y轴，∴AD∥BC∥x轴，
∵AF⊥x轴，DH⊥x轴，∴AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AF⊥x轴，AD∥x轴，∴AF⊥AD，∴∠BAD=90°，
∴四边形ABCD为矩形，∴∠KAD=∠KDA，KA=KC=，
∵，∴AO=AK，∴∠AOD=∠AKO，
又∵∠AKO为△AKD的外角，∴∠AKO=∠KAD+∠KDA=2∠ADK，
∵AD∥OH ，∴∠DOH=∠ADK，∴∠AOD=2∠DOH．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数，平角定义，矩形判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，平行线性质，掌握待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数，平角定义，矩形判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，平行线性质是解题关键．
12．（2021·江苏常州市·中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
（理解）（1）如图1，，垂足分别为C、D，E是的中点，连接．已知，．①分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：__________（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．
（应用）（2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n．设，记．
①当时，__________；当时，________；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
【答案】（1）①，=；②＞，＞；（2）①，1；②l的最小值是1，理由见详解
【分析】（1）①先证明，从而得，进而得CD的值，根据直角三角形的性质，直接得CE的值；②根据点到线之间，垂线段最短，即可得到结论；
（2）①把m，n的值直接代入=进行计算，即可；②过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，画出图形，用矩形的面积表示，进而即可得到结论．
【详解】解：（1）①∵，∴∠ACD+∠A=∠ACD+∠BCD=90°，即：∠A=∠BCD，
又∵∠ADC=∠CDB=90°，∴，∴，即：，
∴，即：（负值舍去），
∵E是的中点，∴==；
②∵，，∴＞，即：＞．故答案是：＞；
（2）①当时，==，
当时，==，故答案是：，1；
②l的最小值是：1，理由如下：由题意得：M(m，)，N(n，)，过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，
===[（①的面积+②的面积）+②的面积+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积+③的面积 +④的面积）]= [（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+③的面积]=(1+1+1+1+③的面积)≥1，∴l的最小值是1．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，反比例函数的图像和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
13．（2021·重庆中考真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
…
0
1
2
3
4
5
…
…
6
5
4
2
1
7
…
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：________，_________，__________；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：__________；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
【答案】（1）；3；4；（2）作图见解析；当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；（3）或
【分析】（1）将表格中的已知数据任意选择一组代入到解析式中，即可求出m，然后得到完整解析式，再根据表格代入求解其余参数即可；（2）根据作函数图象的基本步骤，在网格中准确作图，然后根据图象写出一条性质即可；（3）结合函数图象与不等式之间的联系，用函数的思想求解即可．
【详解】（1）由表格可知，点在该函数图象上，
∴将点代入函数解析式可得：，解得：，
∴原函数的解析式为：；
当时，；当时，；故答案为：；3；4；
（2）通过列表-描点-连线的方法作图，如图所示；
根据图像可知：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；
故答案为：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；
（3）要求不等式的解集，
实际上求出函数的图象位于函数图象上方的自变量的范围，
∴由图象可知，当或时，满图条件，故答案为：或．
【点睛】本题考查新函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题关键．
14．（2021·四川自贡市·中考真题）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数的图象，并探究其性质．
列表如下：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
a
0
b
…
（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①当时，函数图象关于直线对称；②时，函数有最小值，最小值为；
③时，函数y的值随x的增大而减小．其中正确的是_________．（请写出所有正确命题的序号）
（3）结合图象，请直接写出不等式的解集_________．
【答案】（1），，画出函数的图象见解析；（2）②；（3）
【分析】（1）把和分别代入函数解析式，即可求得a、b的值，再利用描点法作出图像即可；
（2）结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；（3）根据图象求得即可．
【详解】解：（1）当时，，
当时，，∴，，
画出函数的图象如图：
（2）①函数图象关于直线对称，原说法错误；
②时，函数有最小值，最小值为，原说法正确；
③时，函数y的值随x的增大而减小，则原说法正确．
其中正确的是②，③．故答案为：②，③；
（3）画出直线，
由图象可知：当时，函数的图象在直线的上方，
∴不等式的解集为．故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．
15．（2021·江苏盐城市·中考真题）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点绕着某定点顺时针旋转一定的角度，能得到一个新的点．经过进一步探究，小明发现，当上述点在某函数图像上运动时，点也随之运动，并且点的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点的坐标和角度的大小来解决相关问题．
（初步感知）如图1，设，，点是一次函数图像上的动点，已知该一次函数的图像经过点．（1）点旋转后，得到的点的坐标为________；
（2）若点的运动轨迹经过点，求原一次函数的表达式．
（深入感悟）（3）如图2，设，，点反比例函数的图像上的动点，过点作二、四象限角平分线的垂线，垂足为，求的面积．
（灵活运用）（4）如图3，设A，，点是二次函数图像上的动点，已知点、，试探究的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在最小值，
【分析】（1）根据旋转的定义得，观察点和在同一直线上即可直接得出结果．
（2）根据题意得出的坐标，再利用待定系数法求出原一次函数表达式即可．（3）先根据计算出交点坐标，再分类讨论①当时，先证明再计算面积．②当-时，证，再计算即可．（4）先证明为等边三角形，再证明，根据在中，，写出，从而得出的函数表达式，当直线与抛物线相切时取最小值，得出，由计算得出的面积最小值．
【详解】（1）由题意可得:∴的坐标为故答案为：；
（2）∵，由题意得坐标为
∵，在原一次函数上，∴设原一次函数解析式为
则∴∴原一次函数表达式为；
（3）设双曲线与二、四象限平分线交于点，则解得
①当时 作轴于
∵∴ ∵ ∴
∴在和中∴
即；
②当-时 作于轴于点 ∵ ∴
∴
∴∴
在和中∴∴；
（4）连接，，将，绕逆时针旋转得，，作轴于
∵，∴ ∴
∴为等边三角形，此时与重合，即
连接，∵∴
∴在和中∴
∴，∴作轴于
在中， ∴
∴，即，此时的函数表达式为：
设过且与平行 的直线解析式为
∵∴当直线与抛物线相切时取最小值
则 即∴
当时，得∴
设与轴交于点 ∵ ∴
【点睛】本题考查旋转、全等三角形的判定和性质、一次函数的解析式、反比例函数的几何意义、两函数的交点问题，函数的最小值的问题，灵活进行角的转换是关键．
16．（2021·四川达州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；（2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值．（3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的横坐标分别为：2，，或．
【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式，设解析式为将，两点代入求得，c的值即可；（2）胡不归问题，要求的值，将折线化为直线，构造相似三角形将转化为，再利用三角形两边之和大于第三边求得最值；（3）分2种情形讨论：①AB为矩形的一条边，利用等腰直角三角形三角形的性质可以求得N点的坐标;
②AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,RN=AB,利用两点距离公式求解方程可得N点的坐标．
【详解】解：（1）∵过，
∴∴，∴抛物线的解析式为：
（2）在上取一点，使得，连接，
∵对称轴．∴， ，
∴，∴ ∴
∴ 当，，三点在同一点直线上时，最小为．
在中，， ∴
即最小值为．
（3）情形①如图，AB为矩形的一条边时，联立得 是等腰，
分别过 两点作的垂线，交于点，
过作轴，轴,
,也是等腰直角三角形 设，则，所以
代入，解得,（不符题意，舍）
同理，设，则 ，所以
代入，解得,（不符题意，舍）
② AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,则
，
设 ，则
整理得： 解得：（不符题意，舍），（不符题意，舍），
，
综上所述：点的横坐标分别为：2，，或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函数与一次函数交点，矩形的性质，等腰直角三角形性质，平面直角坐标系中两点距离计算等知识，能正确做出辅助线，找到相似三角形是解题的关键．
17．（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，抛物线与轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，项点为D，点B的坐标为．
（1）填空：点A的坐标为_________，点D的坐标为_________，抛物线的解析式为_________；
（2）当二次函数的自变量：满足时，函数y的最小值为，求m的值；
（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（1，0），（2，-1），；（2）m的值为或；（3）点P的坐标为：（2，1），（2，2）
【分析】（1）根据抛物线的对称轴及点B坐标可求出点A坐标，根据对称轴可求出b的值，把点A或B的坐标代入抛物线解析式可求出C的值，通过配方可求出顶点坐标；
（2）根据抛物线开口向上，分两种情况讨论求解即可；
（3）设P（1，t），由为斜边，则，根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=2，点B坐标为（3，0），且点A在B点的左侧，∴A（1，0）
又x= ∴ 把A（1，0）代入得，
∴抛物线的解析式为∴顶点D坐标为（2，-1）
故答案为：（1，0），（2，-1），；
（2）∵抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，①当，即时， 解得，（舍去）或
②当时，解得，或（舍去）所以，m的值为或
（3）假设存在，设P（2，t）当时，如图，
过点C作CG⊥PE于点G，则CG=2，PG=3-t
，∴ ，即
整理得， 解得，，经检验：，是原方程的根且符合题意，
∴点P的坐标为（2，1），（2，2）综上，点P的坐标为：（2，1），（2，2）
【点睛】本题考查了二次函数综合题，二次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质，灵活应用以上知识解决问题是本题的关键．
18．（2021·福建中考真题）已知抛物线与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线过点，求的最小值；（2）已知点中恰有两点在抛物线上．①求抛物线的解析式；②设直线l：与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和于点B，C．求证：与的面积相等．
【答案】（1）-1；（2）①；②见解析
【分析】（1）先求得c=1，根据抛物线与x轴只有一个公共点，转化为判别式△=0，从而构造二次函数求解即可；（2）①根据抛物线与x轴只有一个公共点，得抛物线上的点只能落在x轴的同侧，据此判断即可；②证明AB=BC即可
【详解】解：因为抛物线与x轴只有一个公共点，
以方程有两个相等的实数根，所以，即．
（1）因为抛物线过点，所以，所以，即．
所以，当时，取到最小值．
（2）①因为抛物线与x轴只有一个公共点，所以抛物线上的点只能落在x轴的同侧．
又点中恰有两点在抛物线的图象上，所以只能是在抛物线的图象上，由对称性可得抛物线的对称轴为，所以，即，因为，所以．
又点在抛物线的图象上，所以，故抛物线的解析式为．
②由题意设，则．
记直线为m，分别过M，N作，垂足分别为E，F，即，
因为，所以．
又，所以，所以．
所以，所以，即．
所以，
即．①
把代入，得，解得，
所以．②
将②代入①，得，即，解得，即．
所以过点A且与x轴垂直的直线为，将代入，得，即，
将代入，得，即，
所以，因此，所以与的面积相等．
【点睛】本小题考查一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积等基础知识，突出运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识，灵活运用函数与方程思想、数形结合思想及化归与转化思想求解是解题的关键．
19．（2021·湖南）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，点是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，求的面积的最大值；（3）如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）的面积最大值为；（3）点的坐标为或或．
【分析】（1）由题意易得平移后的抛物线的表达式为，然后把点A的坐标代入求解即可；（2）由（1）及题意易得，则有△AOC是等腰直角三角形，∠CAO=∠ACO=45°，进而可得直线AC的解析式为，设点，则，然后可得△AED和△PEF都为等腰直角三角形，过点F作FT⊥PD于点，则有，由三角形面积公式可得，要使面积最大则PE的值为最大即可，最后问题可求解；
（3）由题意可知当以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分①当以AC为平行四边形的边时，②当以AC为平行四边形的对角线时，然后利用等腰直角三角形、平行四边形的性质及中点坐标公式分类进行求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：平移后的抛物线的表达式为，则把点代入得：，解得：，
∴抛物线的表达式为，即为；
（2）由（1）可得抛物线的表达式为，则有，∴，
∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠CAO=∠ACO=45°，
∵，∴∠AED=∠CAO=45°，∴∠AED=∠PEF=45°，
∵，∴△PEF是等腰直角三角形，过点F作FT⊥PD于点，如图所示：
∴，∴，∴要使面积最大则PE的值为最大即可，
设直线AC的解析式为，代入点A、C的坐标得：，解得：，
∴直线AC的解析式为，设点，则，
∴，
∵-1＜0，开口向下，∴当时，PE有最大值，即为，
∴△PEF面积的最大值为；
（3）存在以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由（2）可得，，∠CAO=∠ACO=45°，抛物线的对称轴为直线，
∴，∠CAO=∠ADQ=45°，①当以AC为平行四边形的边时，如图所示：
过点P作PG⊥l于点G，∵四边形APQC是平行四边形，
∴，AC∥PQ，∴∠ADQ=∠PQG=45°，∴△PQG是等腰直角三角形，
∴，∴点P的横坐标为-4，∴；
②当以AC为平行四边形的边时，如图所示：同理①可得点P的横坐标为2，∴；
③当以AC为平行四边形的对角线时，如图所示：
∵四边形AQCP是平行四边形，∴，
设点，∴由中点坐标公式可得：，∴，∴；
综上所述：当以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、二次函数的综合及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质、二次函数的综合及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．
20．（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．(1)求抛物线的表达式；(2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA45°时，求点P的坐标；(3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．
【答案】（1）；（2）（6，-7）；（3）PH=或1.5或
【分析】（1）根据待定系数法解答即可；（2）求得点C的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断∠ACB=90°，继而可得∠ACO=∠CBA，在x轴上取点E（2，0），连接CE，易得△OCE是等腰直角三角形，可得∠OCE=45°，进一步可推出∠ACE=∠CAQ，可得CE∥PQ，然后利用待定系数法分别求出直线CE与PQ的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可；（3）设直线AP交y轴于点G，如图，由题意可得若△PFH为等腰三角形，则△CFG也为等腰三角形，设G（0，m），求出直线AF和直线BC的解析式后，再解方程组求出点F的坐标，然后分三种情况求出m的值，再求出直线AP的解析式，进而可求出点P的坐标，于是问题可求解．
【详解】解：（1）把A(-1，0)，B(4，0)代入，得
，解得：，∴抛物线的解析式是；
（2）令x=0，则y=2，即C（0，2），
∵，，AB2=25，∴，∴∠ACB=90°，
∵∠ACO+∠CAO=∠CBA+∠CAO=90°，∴∠ACO=∠CBA，
在x轴上取点E（2，0），连接CE，如图，则CE=OE=2，
∴∠OCE=45°，∴∠ACE=∠ACO+45°=∠CBA+45°=∠CAQ，∴CE∥PQ，
∵C（0，2），E（2，0），∴直线CE的解析式为y=-x+2，
设直线PQ的解析式为y=-x+n，把点A（-1，0）代入，可得n=-1，∴直线PQ的解析式为y=-x-1，
解方程组，得或，∴点P的坐标是（6，-7）；
（3）设直线AP交y轴于点G，如图，∵PH∥y轴，∴∠PHC=∠OCB，∠FPH=∠CGF，
∴若△PFH为等腰三角形，则△CFG也为等腰三角形，
∵C（0，2），B（4，0），∴直线BC的解析式为，
设G（0，m），∵A（-1，0），∴直线AF的解析式为y=mx+m，
解方程组，得，∴点F的坐标是，
∴，
当CG=CF时，，解得：（舍去负值），
此时直线AF的解析式为y=x+，
解方程组，得或，
∴点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，），
∴PH=；
当FG=FC时，，解得m=或m=（舍）或m=2（舍），此时直线AF的解析式为y=x+，解方程组，得或，
∴点P的坐标是（3，2），此时点H的坐标是（3，），∴PH=2-=1.5；
当GF=GC时，，解得或m=2（舍去），
此时直线AF的解析式为y=x+，解方程组，得或，
∴点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，），∴PH=；
综上，PH=或1.5或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．
21．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，抛物线与轴交于除原点和点，且其顶点关于轴的对称点坐标为．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点，使得抛物线上的任意一点到定点的距离与点到直线的距离总相等．①证明上述结论并求出点的坐标；②过点的直线与抛物线交于两点．证明：当直线绕点旋转时，是定值，并求出该定值；（3）点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，使四边形周长最小，直接写出的坐标．
【答案】（1）；（2）；，证明见解析（3），
【分析】（1）先求出顶点的坐标为，在设抛物线的解析式为，根据抛物线过原点，即可求出其解析式；（2）设点坐标为，点坐标为，利用两点间距离公式，结合题目已知列出等量关系；设直线的解析式为，直线与抛物线交于点，直线方程与抛物线联立得出，在结合的结论，分别表示出的值，即可求解；（3）先求出点的坐标，分别作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接，交轴于点，交轴于点，则点即为所求
【详解】解：（1）点B关于轴对称点的坐标为点的坐标为
设抛物线的解析式为
抛物点过原点解得抛物线解析式为：即
（2）设点坐标为，点坐标为
由题意可得： 整理得：
点的坐标为
设直线的解析式为，直线与抛物线交于点
整理得：
由得
整理得：
（3）点在抛物线上，
如图：作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点
则点，点，连接，交轴于点，交轴于点，则此时四边形PQBC周长最小 设直线的解析式为 解得
直线的解析式为点坐标为，点坐标为
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，点到直线的距离，两点间距离公式，以及线段最值问题，以及点的对称问题，综合性较强
22．（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，抛物线与轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，项点为D，点B的坐标为．（1）填空：点A的坐标为_________，点D的坐标为_________，抛物线的解析式为_________；（2）当二次函数的自变量：满足时，函数y的最小值为，求m的值；（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（1，0），（2，-1），；（2）m的值为或；（3）点P的坐标为：（2，1），（2，2）
【分析】（1）根据抛物线的对称轴及点B坐标可求出点A坐标，根据对称轴可求出b的值，把点A或B的坐标代入抛物线解析式可求出C的值，通过配方可求出顶点坐标；
（2）根据抛物线开口向上，分两种情况讨论求解即可；
（3）设P（1，t），由为斜边，则，根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=2，点B坐标为（3，0），且点A在B点的左侧，∴A（1，0）
又x= ∴ 把A（1，0）代入得，
∴抛物线的解析式为∴顶点D坐标为（2，-1）
故答案为：（1，0），（2，-1），；
（2）∵抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，①当，即时， 解得，（舍去）或
②当时，解得，或（舍去）所以，m的值为或
（3）假设存在，设P（2，t）当时，如图，
过点C作CG⊥PE于点G，则CG=2，PG=3-t
，∴ ，即
整理得， 解得，，经检验：，是原方程的根且符合题意，
∴点P的坐标为（2，1），（2，2）综上，点P的坐标为：（2，1），（2，2）
【点睛】本题考查了二次函数综合题，二次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质，灵活应用以上知识解决问题是本题的关键．
重难点07 函数类综合问题
【命题趋势】
首先告诉各位同学二次函数是中考必考内容之一，往往也是中考数学的压轴大戏．涉及题目数量一般3-4题，其中有1-2道大题．所占分值大约25分左右．二次函数在中考数学中常常作为压轴题，而在压轴题中，一般都设计成三至四小问，其中第一、二小问比较简单，最后一至两问难度很大．二次函数在考查时，往往会与一次函数、反比例函数、圆、三角形、四边形相结合，综合性很强，技巧性也很强，同时计算量一般很大，加上二次函数本身就比较抽象，这就导致了题目得分率非常低．其实我们只要能熟练掌握二次函数的基本知识，同时掌握一些常见的题型，提高对于二次函数的得分，不是什么难事，多多练习，多多总结．
【满分技巧】
1．通过思维导图整体把握二次函数所有考点
1）图象与性质：（函数的三种表达式、开口问题、顶点坐标、对称轴、最值、增减性、图象的平移等）；
2）与一元二次方程（不等式）结合（交点坐标与方程的根的关系）；
3）与实际生活结合（用二次函数解决生活中的最值（范围）问题）
2.二次函数的压轴题主要考向
1）存在性问题（全等与相似、特殊三角形（直角、等腰、等边）、平行四边形（含特殊平行四边形）等）。
2）最值问题（线段、周长、面积）
3．熟练掌握各种常见有关二次函数的题型和应对策略
1）线段最值（周长）问题——斜化直策略
2）三角形或多边形面积问题——铅垂高、水平宽策略
3）线段和最小值问题——胡不归+阿氏圆策略问题
4）线段差——三角形三边关系或函数
5）相似三角形存在性问题——根据相等角分类讨论
6）平行四边形存在性问题——中点公式+平移法
【限时检测】
A卷（建议用时：90分钟）
1．（2022·广东越秀·九年级模拟）已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（ ）
A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2
C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2
2．（2021·广西·南宁市天桃实验学校三模）如图，在平面直角坐标系中，若折线与直线交（）有且仅有一个交点，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
3．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象相交于A、两点，线段的中点为点，过点作轴的垂线，垂足为点．直线过原点和点．若直线上存在点，满足，则的值为（ ）
A． B．3或 C．或 D．3
4．（2021·山东枣庄市·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2020·四川自贡市·中考真题）如图， 直线与轴交于点，与双曲线 在第三象限交于两点，且 ；下列等边三角形，，，……的边，，，……在轴上，顶点……在该双曲线第一象限的分支上，则= ____，前25个等边三角形的周长之和为 _______．
6．（2021·四川广安市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，以此进行下去……若点的坐标为，则点的纵坐标为______．
7．（2021·浙江柯桥·九年级阶段练习）如图，“心”形是由抛物线和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D，点A，B是两条抛物线的两个交点，点E，F，G是抛物线与坐标轴的交点，则_______________．
8．（2021·湖南·中考模拟）如图，函数(k为常数，k＞0)的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则；④若，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是_______．
9．（2021·江苏徐州市·中考真题）如图，点在函数的图像上．已知的横坐标分别为－2、4，直线与轴交于点，连接．（1）求直线的函数表达式；（2）求的面积；（3）若函数的图像上存在点，使得的面积等于的面积的一半，则这样的点共有___________个．
10．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线经过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段平行于x轴，交直线于点D，连接，．
（1）填空： __________．点A的坐标是（__________，__________）；（2）求证：四边形是平行四边形；（3）动点P从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．①当时，的面积是__________．
②当点P，Q运动至四边形为矩形时，请直接写出此时t的值．
11．（2021·内蒙古赤峰市·中考真题）阅读理解：在平面直角坐标系中，点M的坐标为，点N的坐标为，且x1≠x1，y2≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．（1）已知点A的坐标为．①若点B的坐标为，则点A、B的“相关矩形”的周长为__________；②若点C在直线x=4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；（2）已知点P的坐标为，点Q的坐标为， 若使函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点，直接写出k的取值范围．
12．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．直线，且与的外接圆相切，与双曲线在第二象限内的图象交于、两点．
（1）求点，的坐标和的半径；（2）求直线所对应的函数表达式；（3）求的面积．
13．（2021·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点．
（1）如图1，过点作轴于点，连结．①若，求证：四边形是平行四边形；
②连结，若，求的面积．（2）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由．
14．（2021·广东中考真题）已知二次函数的图象过点，且对任意实数x，都有．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2021·湖北宜昌市·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，顶点坐标记为．抛物线的顶点坐标记为．（1）写出点坐标；（2）求，的值（用含的代数式表示）；（3）当时，探究与的大小关系；（4）经过点和点的直线与抛物线，的公共点恰好为3个不同点时，求的值．
16．（2021·湖南衡阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如……都是“雁点”．（1）求函数图象上的“雁点”坐标；
（2）若抛物线上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当时．①求c的取值范围；②求的度数；（3）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线上一点，连接，以点P为直角顶点，构造等腰，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，点是线段上一动点（不与点、重合）．（1）请直接写出点、点、点的坐标；（2）连接，在第一象限内将沿翻折得到，点的对应点为点．若，求线段的长；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为点．①若点在内部（不包括边），求的取值范围；②在平面直角坐标系内是否存在点，使最大？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，请直接写出点P的坐标．
19．（2021·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点是抛物线上一动点．（1）如图1，当，，且时，
①求点M的坐标：②若点在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；
（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点在对称轴上，当，，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为，连接GF．若，求证：射线FE平分．
20．（2021·山东济南·中考真题）抛物线过点，点，顶点为．（1）求抛物线的表达式及点的坐标；（2）如图1，点在抛物线上，连接并延长交轴于点，连接，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点是线段上（与点，不重合）的动点，连接，作，边交轴于点，设点的横坐标为，求的取值范围．
【限时检测】
B卷（建议用时：90分钟）
1．（2021·浙江中考真题）已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于的两个点，记的面积为的面积为．有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2020·四川内江市·中考真题）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
3．（2021·山东菏泽市·中考真题）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为，直线在轴上平移的距离为，、间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ）
A． B． C．8 D．10
4．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥X轴，AO⊥AD，AO=AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE=4CE．反比例函数的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若，则k的值为（ ）
A． B． C．7 D．
5．（2021·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（2021·山东日照·中考真题）抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作，交x轴于点，以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长的交x轴于点；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为________（结果用含正整数n的代数式表示）．
8．（2021·广西柳州市·中考真题）如图，一次函数与反比例数的图像交于A，B两点，点M在以为圆心，半径为1的上，N是的中点，已知长的最大值为，则k的值是_______．
9．（2021·浙江衢州市·中考真题）如图1，点C是半圆O的直径AB上一动点（不包括端点），，过点C作交半圆于点D，连结AD，过点C作交半圆于点E，连结EB．牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系．他根据学习函数的经验，记，，．请你一起参与探究函数、随自变量x变化的规律．
通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象．
x
…
0.30
0.80
1.60
2.40
3.20
4.00
4.80
5.60
…
…
2.01
2.98
3.46
3.33
2.83
2.11
1.27
0.38
…
…
5.60
4.95
3.95
2.96
2.06
1.24
0.57
0.10
…
（1）当时，＝ ．（2）在图2中画出函数的图象，并结合图象判断函数值与的大小关系．
（3）由（2）知“AC取某值时，有”．如图3，牛牛连结了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程．
10．（2021·江苏常州市·中考真题）在平面直角坐标系中，对于A、两点，若在y轴上存在点T，使得，且，则称A、两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点、，点在一次函数的图像上．（1）①如图，在点、、中，点M的关联点是_______（填“B”、“C”或“D”）；②若在线段上存在点的关联点，则点的坐标是_______；（2）若在线段上存在点Q的关联点，求实数m的取值范围；
（3）分别以点、Q为圆心，1为半径作、．若对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．
11．（2021·四川雅安市·中考真题）已知反比例函数的图象经过点．
（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数的图象上点A的右侧取点C，作CH⊥x轴于H，过点A作y轴的垂线AG交直线于点D．①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，交于B，垂足分别为为F、E，连结OB，BD，求证：O，B，D三点共线；②若，求证：．
12．（2021·江苏常州市·中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
（理解）（1）如图1，，垂足分别为C、D，E是的中点，连接．已知，．①分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：__________（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．
（应用）（2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n．设，记．
①当时，__________；当时，________；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
13．（2021·重庆中考真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
…
0
1
2
3
4
5
…
…
6
5
4
2
1
7
…
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：________，_________，__________；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：__________；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
14．（2021·四川自贡市·中考真题）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数的图象，并探究其性质．
列表如下：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
a
0
b
…
（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①当时，函数图象关于直线对称；②时，函数有最小值，最小值为；
③时，函数y的值随x的增大而减小．其中正确的是_________．（请写出所有正确命题的序号）
（3）结合图象，请直接写出不等式的解集_________．
15．（2021·江苏盐城市·中考真题）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点绕着某定点顺时针旋转一定的角度，能得到一个新的点．经过进一步探究，小明发现，当上述点在某函数图像上运动时，点也随之运动，并且点的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点的坐标和角度的大小来解决相关问题．
（初步感知）如图1，设，，点是一次函数图像上的动点，已知该一次函数的图像经过点．（1）点旋转后，得到的点的坐标为________；
（2）若点的运动轨迹经过点，求原一次函数的表达式．
（深入感悟）（3）如图2，设，，点反比例函数的图像上的动点，过点作二、四象限角平分线的垂线，垂足为，求的面积．
（灵活运用）（4）如图3，设A，，点是二次函数图像上的动点，已知点、，试探究的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．
16．（2021·四川达州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；（2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值．（3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由；
17．（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，抛物线与轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，项点为D，点B的坐标为．
（1）填空：点A的坐标为_________，点D的坐标为_________，抛物线的解析式为_________；
（2）当二次函数的自变量：满足时，函数y的最小值为，求m的值；
（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2021·福建中考真题）已知抛物线与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线过点，求的最小值；（2）已知点中恰有两点在抛物线上．①求抛物线的解析式；②设直线l：与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和于点B，C．求证：与的面积相等．
19．（2021·湖南）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，点是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，求的面积的最大值；（3）如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
20．（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．(1)求抛物线的表达式；(2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA45°时，求点P的坐标；(3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．
21．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，抛物线与轴交于除原点和点，且其顶点关于轴的对称点坐标为．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点，使得抛物线上的任意一点到定点的距离与点到直线的距离总相等．①证明上述结论并求出点的坐标；②过点的直线与抛物线交于两点．证明：当直线绕点旋转时，是定值，并求出该定值；（3）点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，使四边形周长最小，直接写出的坐标．
22．（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，抛物线与轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，项点为D，点B的坐标为．（1）填空：点A的坐标为_________，点D的坐标为_________，抛物线的解析式为_________；（2）当二次函数的自变量：满足时，函数y的最小值为，求m的值；（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
重难点07 函数类综合问题
【命题趋势】
首先告诉各位同学二次函数是中考必考内容之一，往往也是中考数学的压轴大戏．涉及题目数量一般3-4题，其中有1-2道大题．所占分值大约25分左右．二次函数在中考数学中常常作为压轴题，而在压轴题中，一般都设计成三至四小问，其中第一、二小问比较简单，最后一至两问难度很大．二次函数在考查时，往往会与一次函数、反比例函数、圆、三角形、四边形相结合，综合性很强，技巧性也很强，同时计算量一般很大，加上二次函数本身就比较抽象，这就导致了题目得分率非常低．其实我们只要能熟练掌握二次函数的基本知识，同时掌握一些常见的题型，提高对于二次函数的得分，不是什么难事，多多练习，多多总结．
【满分技巧】
1．通过思维导图整体把握二次函数所有考点
1）图象与性质：（函数的三种表达式、开口问题、顶点坐标、对称轴、最值、增减性、图象的平移等）；
2）与一元二次方程（不等式）结合（交点坐标与方程的根的关系）；
3）与实际生活结合（用二次函数解决生活中的最值（范围）问题）
2.二次函数的压轴题主要考向
1）存在性问题（全等与相似、特殊三角形（直角、等腰、等边）、平行四边形（含特殊平行四边形）等）。
2）最值问题（线段、周长、面积）
3．熟练掌握各种常见有关二次函数的题型和应对策略
1）线段最值（周长）问题——斜化直策略
2）三角形或多边形面积问题——铅垂高、水平宽策略
3）线段和最小值问题——胡不归+阿氏圆策略问题
4）线段差——三角形三边关系或函数
5）相似三角形存在性问题——根据相等角分类讨论
6）平行四边形存在性问题——中点公式+平移法
【限时检测】
A卷（建议用时：90分钟）
1．（2022·广东越秀·九年级模拟）已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（ ）
A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2
C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2
【答案】C
【分析】先求出抛物线的对称轴为，然后结合二次函数的开口方向，判断二次函数的增减性，即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线y＝﹣ax2+4ax+c，∴抛物线的对称轴为：，
当点P1（x1，y1），P2（x2，y2）恰好关于对称时，有，
∴，即，∵x1＜x2，∴；
∵抛物线的开口方向没有确定，则需要对a进行讨论，故排除A、B；
当时，抛物线y＝﹣ax2+4ax+c的开口向下，此时距离越远，y值越小；
∵a（x1+x2﹣4）＞0，∴，∴点P2（x2，y2）距离直线较远，∴；
当时，抛物线y＝﹣ax2+4ax+c的开口向上，此时距离越远，y值越大；
∵a（x1+x2﹣4）＞0，∴，∴点P1（x1，y1）距离直线较远，
∴；故C符合题意；D不符合题意；故选：C
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行分析．
2．（2021·广西·南宁市天桃实验学校三模）如图，在平面直角坐标系中，若折线与直线交（）有且仅有一个交点，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】先求出折线的最高点的坐标，然后直线经过最高点时，此时恰好有一个交点，然后分析直线与折线的那部分图像的交点问题即可得到答案.
【详解】解：∵直线的解析式为，∴直线经过点（-2，0），
∵折线的解析式为，∴折线的最高点坐标为（2，1）
∴当直线恰好经过（2，1）时，此时只有一个交点，∴，解得，
当时，直线与折线在的那部分图像平行，此时没有交点，
∴当时直线与折线在的那部分图像有一个交点，∴综上所述或，故选D.
【点睛】本题主要考查了一次函数图像的性质，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解.
3．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象相交于A、两点，线段的中点为点，过点作轴的垂线，垂足为点．直线过原点和点．若直线上存在点，满足，则的值为（ ）
A． B．3或 C．或 D．3
【答案】A
【分析】根据题意，得，，直线：；根据一次函数性质，得；根据勾股定理，得；连接，，，根据等腰三角形三线合一性质，得，；根据勾股定理逆定理，得；结合圆的性质，得点、B、D、P共圆，直线和AB交于点F，点F为圆心；根据圆周角、圆心角、等腰三角形的性质，得；分或两种情况，根据圆周角、二次根式的性质计算，即可得到答案．
【详解】根据题意，得，，即，
∵直线过原点和点∴直线： ∵在直线上∴ ∴
连接，， ∴，线段的中点为点∴，
过点作轴的垂线，垂足为点 ∴
∴，，
∴ ∴
∴点、B、D、P共圆，直线和AB交于点F，点F为圆心∴
∵，∴
∵，且 ∴
∴∴ ∴或
当时，和位于直线两侧，即
∴不符合题意 ∴，且
∴，∴∴
∴故选：A．
【点睛】本题考查圆、等腰三角形、反比例函数、一次函数、三角函数、勾股定理、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握圆心角、圆周角、等腰三角形三线合一、三角函数、勾股定理的性质，从而完成求解．
4．（2021·山东枣庄市·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据抛物线开口向下、与轴的交点位于轴正半轴，再根据对称轴可得，由此可判断结论①；将点代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．
【详解】解：抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴，，
抛物线的对称轴为，，，则结论①正确；
将点代入二次函数的解析式得：，则结论③错误；
将代入得：，则结论②正确；
抛物线的对称轴为，和时的函数值相等，即都为，
又当时，随的增大而减小，且，，则结论④错误；
由函数图象可知，当时，取得最大值，最大值为，
，，即，结论⑤正确；
综上，正确的结论有①②⑤，共3个，故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
5．（2020·四川自贡市·中考真题）如图， 直线与轴交于点，与双曲线 在第三象限交于两点，且 ；下列等边三角形，，，……的边，，，……在轴上，顶点……在该双曲线第一象限的分支上，则= ____，前25个等边三角形的周长之和为 _______．
【答案】； 60
【分析】设，设直线与轴的交点为H，先求解的坐标，得到∠HAO=30°，用含的代数式表示，联立函数解析式利用根与系数的关系得到关于的方程，从而可得第一空的答案；过分别向轴作垂线，垂足分别为先根据等边三角形的性质与反比例函数的性质求解的边长，依次同法可得后面等边三角形的边长，发现规律，再前25个等边三角形的周长之和即可．
【详解】解：设，设直线与轴的交点为H，
令 则 令 则
∴H（），又A（0，b）， ∴tan∠HAO=，∴∠HAO=30°，
过作轴于 过作轴于，∴AB=2BM，AC=2CN，∵BM=，，
∴AB=，AC=，∴，联立得到。
∴，由已知可得，∴，∴反比例函数的解析式为，
过分别向轴作垂线，垂足分别为设
由等边三角形的性质得：
得： （舍去）经检验：符合题意，
可得的边长为4，同理设 ，
解得： （舍去）
经检验：符合题意，
的边长为，同理可得：的边长为，
的边长为．
∴前25个等边三角形的周长之和为
=
故答案为：
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，考查一元二次方程的根与系数的关系，等边三角形的性质的应用，锐角三角函数的应用，同时考查与反比例函数相关的规律题，掌握以上知识是解题的关键．
6．（2021·四川广安市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，以此进行下去……若点的坐标为，则点的纵坐标为______．
【答案】
【分析】计算出△AOB的各边，根据旋转的性质，求出OB1，B1B3，...，得出规律，求出OB21，再根据一次函数图像上的点求出点B21的纵坐标即可．
【详解】解：∵AB⊥y轴，点B（0，3），∴OB=3，则点A的纵坐标为3，代入，
得：，得：x=-4，即A（-4，3），∴OB=3，AB=4，OA==5，
由旋转可知：OB=O1B1=O2B1=O2B2=…=3，OA=O1A=O2A1=…=5，AB=AB1=A1B1=A2B2=…=4，
∴OB1=OA+AB1=4+5=9，B1B3=3+4+5=12，∴OB21=OB1+B1B21=9+（21-1）÷2×12=129，
设B21（a，），则OB21=，解得：或（舍），
则，即点B21的纵坐标为，故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，求出△OAB的各边，计算出OB21的长度是解题的关键．
7．（2021·浙江柯桥·九年级阶段练习）如图，“心”形是由抛物线和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D，点A，B是两条抛物线的两个交点，点E，F，G是抛物线与坐标轴的交点，则_______________．
【答案】
【分析】连接OD，做BP⊥x轴，垂足为M，作AP⊥y轴，垂足为N，AP、BP相交于点P．根据旋转作图和“心”形的对称性得到∠COB=30°，∠BOG=60°，设OM=m，得到点B坐标为，把点B代入，求出m，即可得到点A、B坐标，根据勾股定理即可求出AB．
【详解】解：如图，连接OD，做BP⊥x轴，垂足为M，作AP⊥y轴，垂足为N，AP、BP相交于点P．
∵点C绕原点O旋转60°得到点D，∴∠COD=60°，
由“心”形轴对称性得AB为对称轴，∴OB平分∠COD，∴∠COB=30°，∴∠BOG=60°，
设OM=m，在Rt△OBM中，BM=,∴点B坐标为，
∵点B在抛物线上，∴，解得，
∴点B坐标为，点A坐标为，∴AP=，BP=9，
在Rt△ABP中，．故答案为：
【点睛】本题考查了抛物线的性质，旋转、轴对称、勾股定理、三角函数等知识，综合性较强，理解题意，表示出点B坐标是解题关键．
8．（2021·湖南·中考模拟）如图，函数(k为常数，k＞0)的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则；④若，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是_______．
【答案】①③④
【分析】①设点A（m，），M（n，），构建一次函数求出C，D坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断．②△OMA不一定是等边三角形，故结论不一定成立．③设M（1，k），由△OAM为等边三角形，推出OA=OM=AM，可得1+k2=m2+，推出m=k，根据OM=AM，构建方程求出k即可判断．
④如图，作MK∥OD交OA于K．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】①设点A（m，），M（n，），则直线AC的解析式为y=-x++，
∴C（m+n，0），D（0，），
∴，
∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确；
∵反比例函数与正比例函数关于原点对称，∴O是AB的中点，
∵BM⊥AM，∴OM=OA，∴k=mn，∴A（m，n），M（n，m），∴，
∴AM不一定等于OM，∴∠BAM不一定是60°，∴∠MBA不一定是30°．故②错误，
∵M点的横坐标为1，∴可以假设M（1，k），∵△OAM为等边三角形，∴OA=OM=AM，1+k2=m2+，
∵m＞0，k＞0，∴m=k，∵OM=AM，∴（1-m）2+(k−)2=1+k2，∴k2-4k+1=0，∴k=2±，
∵m＞1，∴k=2+，故③正确，如图，作MK∥OD交OA于K．
∵OF∥MK，∴，∴，∵OA=OB，∴，∴，
∵KM∥OD，∴，∴DM=2AM，故④正确．故答案为①③④．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构造平行线，利用平行线分线段成比例定理解决问题
9．（2021·江苏徐州市·中考真题）如图，点在函数的图像上．已知的横坐标分别为－2、4，直线与轴交于点，连接．（1）求直线的函数表达式；（2）求的面积；（3）若函数的图像上存在点，使得的面积等于的面积的一半，则这样的点共有___________个．
【答案】（1）直线AB的解析式为：；（2）6；（3）4
【分析】（1）将的横坐标分别代入求出生意人y的值，得到A，B点坐标，再运用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）求出OC的长，根据“”求解即可；
（3）分点P在直线AB的上方和下方两种情况根据分割法求解即可．
【详解】解：（1）∵A，B是抛物线上的两点，
∴当时，；当时，
∴点A的坐标为（-2，1），点B的坐标为（4，4）
设直线AB的解析式为，把A，B点坐标代入得 解得，
所以，直线AB的解析式为：；
（2）对于直线AB：当时，∴
∴==6
（3）设点P的坐标为（，）
∵的面积等于的面积的一半，∴的面积等于=3，
①当点P在直线AB的下方时，过点A作AD⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，垂足分别为D，F，E，连接PA，PB，如图，
∵
∴
整理，得， 解得，，
∴在直线AB的下方有两个点P，使得的面积等于的面积的一半；
②当点P在直线AB的上方时，过点A作AD⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，垂足分别为D，F，E，连接PA，PB，如图，
∵
∴
整理，得， 解得，，
∴在直线AB的上方有两个点P，使得的面积等于的面积的一半；
综上，函数的图像上存在点，使得的面积等于的面积的一半，则这样的点共有4个，故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了运用待定系数法示直线解析式，二次函数与图形面积，注意在解决（3）问时要注意分类讨论．
10．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线经过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段平行于x轴，交直线于点D，连接，．
（1）填空： __________．点A的坐标是（__________，__________）；（2）求证：四边形是平行四边形；（3）动点P从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．①当时，的面积是__________．
②当点P，Q运动至四边形为矩形时，请直接写出此时t的值．
【答案】（1），5，0；（2）见解析；（3）①12；②或．
【分析】（1）代入点坐标即可得出值确定直线的解析式，进而求出点坐标即可；
（2）求出点坐标，根据，，即可证四边形是平行四边形；
（3）①作于，设出点的坐标，根据勾股定理计算出的长度，根据运动时间求出的长度即可确定的面积；
②根据对角线相等确定的长度，再根据、的位置分情况计算出值即可．
【详解】解：（1）直线经过点，，解得，
即直线的解析式为，当时，，，
（2）线段平行于轴，点的纵坐标与点一样，
又点在直线上，当时，，即，，
，，又，四边形是平行四边形；
（3）①作于，
点在直线上，设点的坐标为，
，，由勾股定理，得，
即，整理得或8（舍去），，
，当时，，，
②，当时，，当时，，
当点，运动至四边形为矩形时，，，
当时，，解得，当时，，解得，
综上，当点，运动至四边形为矩形时的值为或．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键．
11．（2021·内蒙古赤峰市·中考真题）阅读理解：在平面直角坐标系中，点M的坐标为，点N的坐标为，且x1≠x1，y2≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．（1）已知点A的坐标为．①若点B的坐标为，则点A、B的“相关矩形”的周长为__________；②若点C在直线x=4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；（2）已知点P的坐标为，点Q的坐标为， 若使函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）①12；②或；（2）
【分析】（1）①由相关矩形的定义可知，要求点A、B的“相关矩形”的周长，利用点A，点B的坐标求出“相关矩形”的边长即可；②由“相关矩形”的定义知， AC必为正方形的对角线，所以可得点C坐标，设直线AC的解析式为，代入A，C点的坐标，求出k，b的值即可；（2）首先确定P，Q的“相关矩形”的另两个顶点坐标，结合函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点，求出k的最大值和最小值即可得到结论．
【详解】解：（1）①∵点A的坐标为，点B的坐标为，∴点A、B的“相关矩形”如图所示，
∴点A、B的“相关矩形”周长= 故答案为：12；
②由定义知，AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，
又∵点A，C的相关矩形是正方形，且∴点C的坐标为或
设直线AC的解析式为，将，代入解得，∴
将，代入解得，∴
∴符合题意得直线AC的解析式为或．
（2）∵点P的坐标为，点Q的坐标为，
∴点P，Q的“相关矩形”的另两个顶点的坐标分别为（3，-2），（6，-4）
当函数的图象经过（3，-2）时，k=-6，当函数的图象经过（6，-4）时，k=-24，
∴函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点时，k的取值范围是：
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，解答此题需要理解“相关矩形”的定义，综合性较高，一定要注意将新旧知识贯穿起来．
12．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．直线，且与的外接圆相切，与双曲线在第二象限内的图象交于、两点．
（1）求点，的坐标和的半径；（2）求直线所对应的函数表达式；（3）求的面积．
【答案】（1）A（-8，0），B（0，6），5；（2）y=x+；（3）
【分析】（1）令y=0代入，令x=0代入，即可得到A、B的坐标，进而得到圆的半径；（2）过点A作AG⊥MN于点G，得AG=5，由∠AMG=∠OAB，得，进而即可求解；
（3）联立，可得C的坐标，进而即可求解．
【详解】解：（1）令y=0代入，得，解得：x=-8，即：A（-8，0），
令x=0代入，得，即：B（0，6），∴AB=,∴的半径为：5；
（2）过点A作AG⊥MN于点G，
∵直线，且与的外接圆相切，∴AG=5，∠AMG=∠OAB，
∴sin∠AMG=sin∠OAB，即：，∴，解得：AM=，即：OM=+8=，
∴M（-，0），同理：BN=，ON=6+=，N（0，），
设直线所对应的函数表达式为：y=kx+b，
则，解得：，∴直线所对应的函数表达式为：y=x+；
（3）联立，得：=，解得：，，∴C（-3，10），
∴的面积==．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数综合，熟练掌锐角三角函数的定义，圆的切线的性质定理，是解题的关键．
13．（2021·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点．
（1）如图1，过点作轴于点，连结．①若，求证：四边形是平行四边形；
②连结，若，求的面积．（2）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由．
【答案】（1）①证明见解析，②1；（2）不改变，见解析
【分析】（1）①计算得出，利用平行四边形的判定方法即可证明结论；
②证明，利用反比例函数的几何意义求得，即可求解；
（2）点的坐标为，点的坐标为，可知四边形是平行四边形，由，利用相似三角形的性质得到关于的一元二次方程，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）①证明：设点的坐标为，
则当时，点的坐标为，，
轴，，∴四边形是平行四边形；
②解：过点作轴于点，
轴，，， ，
∴当时，则，即．；
．
（2）解 不改变． 理由如下：
过点作轴于点与轴交于点，设点的坐标为，点的坐标为，
则，OH=b，由题意，可知四边形是平行四边形，
∴OG=AE=a，∠HPG=∠OEG=∠EOA，且∠PHG=∠OEA=90°，
∴， ，即，
∴，，解得，
异号，，，．
∴对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积不会发生变化．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
14．（2021·广东中考真题）已知二次函数的图象过点，且对任意实数x，都有．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，或或或
【分析】（1）令，解得，可得函数 必过 ，再结合 必过 得出，，即可得到，再根据，可看成二次函数与一次函数仅有一个交点，且整体位于的上方，可得，有两个相等的实数根，再根据，可解得的值，即可求出二次函数解析式．
（2）结合（1）求出点C的坐标，设，①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时,根据中点坐标公式分别列出方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：（1）令，解得，
当时，，∴ 必过 ，
又∵ 必过 ，∴，
∴，即，
即可看成二次函数与一次函数仅有一个交点，且整体位于的上方∴，有两个相等的实数根
∴，∴，∴，∴，，∴．
（2）由（1）可知：，，设，
①当为对角线时，
∴，解得（舍），，∴，即．
②当为对角线时，∴，解得（舍），
∴，即．
③当为对角线时，
∴，解得，
∴或，∴．
综上所述：N点坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到二次函数与不等式组，考查了平行四边形的存在性问题，利用中点公式，分类讨论是解题关键．
15．（2021·湖北宜昌市·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，顶点坐标记为．抛物线的顶点坐标记为．（1）写出点坐标；（2）求，的值（用含的代数式表示）；（3）当时，探究与的大小关系；（4）经过点和点的直线与抛物线，的公共点恰好为3个不同点时，求的值．
【答案】（1）；（2），；（3）当时，，当时，，当时，，当或时，；（4），，，
【分析】（1）令，解出x即可，（2）把函数顶点式，即可得出结论，
（3）令，结合函数图像分类讨论即可，（4）由题意可得：直线的解析式为：，再根据已知条件画出函数图像分三类情况讨论，进而得出n的值；
【详解】（1）∵，令，，
∴，，∴．
（2），∴，
∵，∴．
（3）∵，，
当时，，此时或，．
由如图1图象可知：当时，，当时，，
当时，，当或时，．
（4）设直线的解析式为：，则，
由（1）-（2）得，，∴，
直线的解析式为：．
第一种情况：如图3，当直线经过抛物线，的交点时，
联立抛物线与的解析式可得：
①
联立直线与抛物线的解析式可得：
，则，②
当时，把代入得：，把，代入直线的解析式得：
，∴，∴．
此时直线与抛物线，的公共点恰好为三个不同点．
当时，把代入①得：，
该方程判别式，所以该方程没有实数根．
第二种情况：如图4，
当直线与抛物线或者与抛物线只有一个公共点时．
当直线与抛物线只有一个公共点时，
联立直线与抛物线可得，
∴，此时，即，
∴，∴．
由第一种情况而知直线与抛物线公共点的横坐标为，，当时，，∴．
所以此时直线与抛物线，的公共点恰好为三个不同点．
如图5，当直线与抛物线只有一个公共点，
∵，，∴，
联立直线与抛物线，，
，当时，，
此时直线与抛物线，的公共点只有一个，∴．
综上所述：∴，，，．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的顶点式、一次函数与二次函数的综合、数形结合思想等等，其中（4），要正确画图，并注意分类求解，避免遗漏．
16．（2021·湖南衡阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如……都是“雁点”．（1）求函数图象上的“雁点”坐标；
（2）若抛物线上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当时．①求c的取值范围；②求的度数；（3）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线上一点，连接，以点P为直角顶点，构造等腰，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）和；（2）①；②45°；（3）存在，P点坐标为或或
【分析】（1）根据“雁点”的定义可得y=x，再联立求出 “雁点”坐标即可；
（2）根据和y=x可得，再利用根的判别式得到，再求出a的取值范围；将点c代入解析式求出点E的坐标，令y=0，求出M的坐标，过E点向x轴作垂线，垂足为H点，如图所示，根据EH=MH得出为等腰直角三角形，∠EMN的度数即可求解；
（3）存在，根据图1，图2，图3进行分类讨论，设C（m，m），P（x，y），根据三角形全等得出边相等的关系，再逐步求解，代入解析式得出点P的坐标．
【详解】解：（1）联立，解得或 即：函数上的雁点坐标为和．
（2）① 联立得
∵ 这样的雁点E只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，∴
∵ ∵ ∴
② 将代入，得解得，∴
对于，令有解得∴
过E点向x轴作垂线，垂足为H点，EH=，MH=∴
∴ 为等腰直角三角形，
（3）存在，理由如下：如图所示：过P作直线l垂直于x轴于点k，过C作CH⊥PK于点H
设C（m，m），P（x，y）∵ △CPB为等腰三角形，∴PC=PB，∠CPB=90°，∴∠KPB+∠HPC=90°，
∵∠HPC+∠HCP=90°，∴∠KPB=∠HCP，∵∠H=∠PKB=90°，∴△CHP≌△PKB，
∴CH=PK，HP=KB，即∴
当时，∴
如图2所示，同理可得：△KCP≌△JPB∴ KP=JB，KC=JP
设P（x，y），C（m，m）∴KP=x-m，KC=y-m，JB=y，JP=3-x，
即解得令解得
∴或
如图3所示，∵△RCP≌△TPB∴RC=TP，RP=TB
设P（x，y），C（m，m）即解得
令解得∴ 此时P与第②种情况重合
综上所述，符合题意P的坐标为或或
【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，图形与坐标，等腰三角形的判定与性质，二次函数的综合运用，理解题意和正确作图逐步求解是解题的关键．
17．（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，点是线段上一动点（不与点、重合）．
（1）请直接写出点、点、点的坐标；（2）连接，在第一象限内将沿翻折得到，点的对应点为点．若，求线段的长；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为点．①若点在内部（不包括边），求的取值范围；②在平面直角坐标系内是否存在点，使最大？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，；（2）1；（3）①；②存在，
【分析】（1）令x=0，令y=0分别代入，即可得到A，B的坐标，结合中点坐标公式，求出P的坐标，即可；（2）过点作于，易得，，又点，可得，，进而即可求解；（3）①把二次函数解析式化为顶点式，可得顶点的坐标为，从而得点是直线上一点，进而即可求解；②作点Q关于直线的对称点，连接E交直线于点C，则CQ=C，此时最大．求出(4，1)，E(5，5)，从而得E的解析式，进而即可求解．
【详解】解：（1）令x=0代入，y=6，令y=0代入，x=4，∴，，
∵点为线段的中点，∴；
（2）过点作于，
∵，∴，∴，
∵点，∴，，∴，∵点，
∴∴，即的长为1；
（3）①，
∴其顶点的坐标为，∴点是直线上一点，
∵，，∴当时，又∵点在直线上
∴当点在内部（不含边）时，的取值范围是；
②作点Q关于直线的对称点，连接E交直线于点C，则CQ=C，此时==E，最大．
∵，，P是Q的中点，∴(4，1)，∵QE⊥OQ，QE=OQ=5，∴E(5，5)，
设E的解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴E的解析式为：y=4x-15，
联立，解得：，∴点C坐标为．
答：存在点使最大，此时C的坐标为．
【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数与平面几何的综合，掌握等腰直角三角形的性质，函数图像上点的坐标特征，利用轴对称性，作出线段差的最大值，是解题的关键．
18．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），即可得到关于a、b的方程，从而可以求得a、b的值，然后即可写出抛物线的解析式；
（2）根据（1）中抛物线的解析式，设点P的坐标，然后再根据是等腰直角三角形，得出是等腰直角三角形，再分类讨论，列出方程，即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴ 解得 ∴此抛物线的解析式为：
（2）当时，，所以，OB=OC=3，∴是等腰直角三角形，
以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，∴是等腰直角三角形，
设点P的坐标为，抛物线的对称轴为直线，
设BC的解析式为，将B（﹣3，0），C（0，3）代入得，
，解得，，故BC的解析式为，
把代入得，，则E点坐标为，
如图，当E为直角顶点时，，解得，，（舍去），把代入得，，则P点坐标为，
当Q为直角顶点时，PQ=QE，即，解得，（舍去），把代入得，，则P点坐标为；
当P为直角顶点时，作PM⊥EQ于M，PM=ME，即，解得，（舍去），则P点坐标为；综上，P点坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和相似三角形与等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练运用待定系数法和设出点的坐标，根据题意列出方程．
19．（2021·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点是抛物线上一动点．（1）如图1，当，，且时，
①求点M的坐标：②若点在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；
（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点在对称轴上，当，，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为，连接GF．若，求证：射线FE平分．
【答案】（1）①；②，见解析；（2）见解析
【分析】（1）①直接将点代入解析式，又有，
即可解出坐标；②相等，先求出点，由两点求出直线的方程，添加辅助线构建直角三角形，利用勾股定理求出边长，证明三角形是等腰三角形即可；（2）根据已知条件求出点的坐标，再求出所在直线的解析式，求出直线与轴的交点，添加辅助线，利用三角形相似对应边成比例，找到边与边之间的关系，在直角三角形中利用勾股定理建立等式求出边长，再根据角平分线上的点到两条线之间的距离相等，即可判断出为角平分线．
【详解】解：（1）如答案图6.
①点在抛物线上，且，，解得，（舍去）
，，．
②，点在该抛物线上，，．
设直线MB交x轴于点H，解析式为，
解得 当时，，，．
过点M作轴，垂足为R，，，，
根据勾股定理得，．，
，，，，．
（2）如答案图7.
证明：对称轴，，
，，．过点M作轴，垂足为Q，
，，．
当时，解得，，．
，，，．，．
设直线EM的解析式为，解得
．设直线EM交y轴于点S，过点S作，垂足为P ．当时，．
．当时，，，，．
，，．
，，，，．
设，则．在中，，．
（负值舍去），，，．
，，射线FE平分．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的综合运用，还涉及等腰三角形的性质、直角三角形、相似三角形的判定与性质、角平分线的判定，题目综合性强，涉及知识点多、难度较大，解题的关键是：掌握以上相关知识点后，需要做到灵活运用，同时考查了添加辅助线的能力．
20．（2021·山东济南·中考真题）抛物线过点，点，顶点为．（1）求抛物线的表达式及点的坐标；（2）如图1，点在抛物线上，连接并延长交轴于点，连接，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点是线段上（与点，不重合）的动点，连接，作，边交轴于点，设点的横坐标为，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】（1）将的坐标代入解析式，待定系数法求解析式即可，根据顶点在对称轴上，求得对称轴，代入解析式即可的顶点的坐标；（2）设，根据是以为底的等腰三角形，根据，求得点的坐标，进而求得解析式，联立二次函数解析式，解方程组即可求得点的坐标；
（3）根据题意，可得，设，根据相似三角形的性质，线段成比例，可得，根据配方法可得的最大值，根据点是线段上（与点，不重合）的动点，可得的最小值，即可求得的范围．
【详解】（1）抛物线过点，点，
，解得，，
，代入，解得：，顶点，
（2）设， ,，是以为底的等腰三角形，
即解得
设直线的解析式为 解得
直线的解析式为 联立解得：，
（3）点的横坐标为，，，
，
设，则，是以为底的等腰三角形，
，
即
整理得
当点与点重合时，与点重合，由题意，点是线段上（与点，不重合）的动点，
的取值范围为：．
【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
【限时检测】
B卷（建议用时：90分钟）
1．（2021·浙江中考真题）已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于的两个点，记的面积为的面积为．有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】通过和的不等关系，确定，在抛物线上的相对位置，逐一分析即可求解．
【详解】解：∵抛物线与轴的交点为和，
∴该抛物线对称轴为，
当时与当时无法确定，在抛物线上的相对位置，
故①和②都不正确；
当时，比离对称轴更远，且同在x轴上方或者下方，
∴，∴，故③正确；
当时，即在x轴上到2的距离比到的距离大，且都大于1，
可知在x轴上到2的距离大于1，到2的距离不能确定，
所以无法比较与谁离对称轴更远，故无法比较面积，故④错误；故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．
2．（2020·四川内江市·中考真题）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D
【分析】画出函数图象，利用图象可得t的取值范围.
【详解】∵，∴当y=0时，x=；当x=0时，y=2t+2，
∴直线与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点坐标为（0，2t+2），
∵t>0，∴2t+2>2，当t=时，2t+2=3，此时=-6，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图1，
当t=2时，2t+2=6，此时=-3，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图2，当t=1时，2t+2=4，=-4，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，如图3，
∴且，故选：D.
【点睛】此题考查一次函数的图象的性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据t的值正确画出图象理解题意是解题的关键.
3．（2021·山东菏泽市·中考真题）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为，直线在轴上平移的距离为，、间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】C
【分析】根据平移的距离可以判断出矩形BC边的长，根据的最大值和平移的距离可以求得矩形AB边的长，从而求得面积
【详解】如图：根据平移的距离在4至7的时候线段长度不变，可知图中,
根据图像的对称性，，
由图（2）知线段最大值为，即 根据勾股定理
矩形的面积为
故答案为：C
【点睛】本题考查了矩形的面积计算，一次函数图形的实际意义，勾股定理，一次函数的分段函数转折点的意义；正确的分析函数图像，数形结合解决实际问题是解题的关键．
4．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥X轴，AO⊥AD，AO=AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE=4CE．反比例函数的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若，则k的值为（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】A
【分析】延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足分别为H，则可得△DEA≌△AGO，从而可得DE=AG，AE=OG，若设CE=a，则DE=AG=4a，AD=DC=DE+CE=5a，由勾股定理得AE=OG=3a，故可得点E、A的坐标，由AB与x轴平行，从而也可得点F的坐标，根据 ，即可求得a的值，从而可求得k的值．
【详解】如图，延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足分别为H
∵四边形ABCD是菱形∴CD=AD=AB，CD∥AB ∵AB∥x轴，AE⊥CD∴EG⊥x轴，∠D+∠DAE=90゜
∵OA⊥AD∴∠DAE+∠GAO=90゜∴∠GAO=∠D ∵OA=OD∴△DEA≌△AGO(AAS)∴DE=AG，AE=OG
设CE=a，则DE=AG=4CE=4a，AD=AB=DC=DE+CE=5a
在Rt△AED中，由勾股定理得：AE=3a ∴OG=AE=3a，GE=AG+AE=7a ∴A（3a,4a），E(3a,7a)
∵AB∥x轴，AG⊥x轴，FH⊥x轴∴四边形AGHF是矩形 ∴FH=AG=3a，AF=GH
∵E点在双曲线上∴ 即
∵F点在双曲线上，且F点的纵坐标为4a∴ 即∴
∵∴
解得： ∴ 故选：A．
【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，三角形全等的判定与性质等知识，关键是作辅助线及证明△DEA≌△AGO，从而求得E、A、F三点的坐标．
5．（2021·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】根据题意，图中各点的坐标均可以求出来，，，只需证明即可证明结论①；先求出直线OB的解析式，然后求直线OB与反比例函数的交点坐标，即可证明结论②；分别求出和，进行比较即可证明结论③；只需证明，即可求证结论④．
【详解】解：∵OABC为矩形，点B的坐标为（4，2），∴A点坐标为(4，0)，C点坐标为(0，2)，
根据反比例函数，当时，，即D点坐标为(1，2)，
当时，，即F点坐标为(4，)，∵，∴，
∵，∴，∴，
，∴，故结论①正确；
设直线OB的函数解析式为：，点B代入则有：，解得：，
故直线OB的函数解析式为：，当时，(舍)
即时，，∴点E的坐标为(2，1)，∴点E为OB的中点，∴，结论②正确；
∵，∴，由②得：，
，∴，故结论③正确；
在和中，，∴，
∴，故结论④正确，综上：①②③④均正确，故选：A．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，反比例函数与几何综合，结合题意求出图中各点坐标是解决本题的关键．
6．（2021·山东日照·中考真题）抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号．②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大．④由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根．
【详解】解：①抛物线图象开口向上，，对称轴在直线轴左侧，，同号，，
抛物线与轴交点在轴下方，，，故①正确．
②，当时，由图象可得，
当时，，由图象可得，
，即，故②正确．
③，，，
点，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离，，故③错误．
④抛物线的顶点坐标为，，，无实数根．故④正确，
综上所述，①②④正确，故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数中，，与函数图象的关系．
7．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作，交x轴于点，以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长的交x轴于点；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为________（结果用含正整数n的代数式表示）．
【答案】
【分析】根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正方形的边长，然后再找规律得出第个正方形的边长．
【详解】解：点在直线上，点的横坐标为2，点纵坐标为1．
分别过，作轴的垂线，分别交于，下图只显示一条；
,
类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有
，
不妨设第1个至第个正方形的边长分别用：来表示，通过计算得：
，，
按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为，故答案是：．
【点睛】本题考查了三角形相似，解题的关键是：利用条件及三角形相似，先研究好前面几个正方形的边长，再从中去找计算第个正方形边长的方法与技巧．
8．（2021·广西柳州市·中考真题）如图，一次函数与反比例数的图像交于A，B两点，点M在以为圆心，半径为1的上，N是的中点，已知长的最大值为，则k的值是_______．
【答案】
【分析】根据题意得出是的中位线，所以取到最大值时，也取到最大值，就转化为研究也取到最大值时的值，根据三点共线时，取得最大值，解出的坐标代入反比例函数即可求解．
【详解】解：连接，如下图：
在中，分别是的中点，是的中位线，
已知长的最大值为，此时的，显然当三点共线时，取到最大值：，
，，
设，由两点间的距离公式：，
，解得：（取舍），，
将代入，解得：，故答案是：．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、三角形的中位线、圆，研究动点问题中线段最大值问题，解题的关键是：根据中位线的性质，利用转化思想，研究取最大值时的值．
9．（2021·浙江衢州市·中考真题）如图1，点C是半圆O的直径AB上一动点（不包括端点），，过点C作交半圆于点D，连结AD，过点C作交半圆于点E，连结EB．牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系．他根据学习函数的经验，记，，．请你一起参与探究函数、随自变量x变化的规律．
通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象．
x
…
0.30
0.80
1.60
2.40
3.20
4.00
4.80
5.60
…
…
2.01
2.98
3.46
3.33
2.83
2.11
1.27
0.38
…
…
5.60
4.95
3.95
2.96
2.06
1.24
0.57
0.10
…
（1）当时，＝ ．（2）在图2中画出函数的图象，并结合图象判断函数值与的大小关系．
（3）由（2）知“AC取某值时，有”．如图3，牛牛连结了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程．
【答案】（1）3；（2）当x约等于2时，y1=y2；当0
【分析】（1）根据圆的直径为6，半径为3可求；（2）按自变量由小到大的顺序描点并用平滑曲线连接即可得到所画图象，两图象有交点，过此交点作x轴的垂线，垂足表示的数即为自变量x的值，找到此值，即可比较两函数值的大小；（3）在（2）的基础上，取AC=2，借助于勾股定理、相似三角形等知识，分别计算EC和EB，即可得出结论的正确性．
【详解】解（1）当x=3时，动点C与圆心O重合，此时，y1=OE=3．故答案为：3
（2）函数y2的图象如图2所示，过两图象的交点M作x轴的垂线，垂足为N，则垂足N表示的数．
∴从图象可以看出：当时，；当0
（3）如图3，连结OD，过点E作于点H．
由（2）的初步判断，当时，，即EC=EB．不妨取AC=x=2，此时，，．
，∴在中，．
设，则，．
∵AD∥CE，∴∠DAC=∠ECO．又，∴．
∴．∴．∴．两边平方并整理得，．
解得，（不合题意，舍去）．∴OH=m=1．
∴HC=OH+OC=1+1=2，．
∴．
又∵HB=OB-OH=3-1=2，∴．∴EC=EB．
∴通过以上计算可知，当取AC=2时，（2）中的结论EC=EB成立．
【点睛】本题考查了圆的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、函数的图象与函数值的大小比较等知识点，熟知上述的知识点是解题的基础，而通过“实验猜想证明”的探究方法是关键．
10．（2021·江苏常州市·中考真题）在平面直角坐标系中，对于A、两点，若在y轴上存在点T，使得，且，则称A、两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点、，点在一次函数的图像上．
（1）①如图，在点、、中，点M的关联点是_______（填“B”、“C”或“D”）；
②若在线段上存在点的关联点，则点的坐标是_______；
（2）若在线段上存在点Q的关联点，求实数m的取值范围；
（3）分别以点、Q为圆心，1为半径作、．若对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）①B；②；（2）或；（3）或．
【分析】由材料可知关联点的实质就是将点A绕y轴上点T顺时针或逆时针旋转90度的得到点．故先找到旋转90°坐标变化规律，再根据规律解答即可，（1）①根据关联点坐标变化规律列方程求解点T坐标，有解则是关联点；无解则不是；②关联点的纵坐标等于0，根据关联点坐标变化规律列方程求解即可；
（2）根据关联点坐标变化规律得出关联点，列不等式求解即可；
（3）根据关联点的变化规律可知圆心是互相关联点，由点E坐标求出点Q坐标即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，设，点，关联点，
将点A、点、点T向下平移个单位，点T对应点与原点重合，此时点A、点对应点、，
∵绕原点旋转90度的坐标变化规律为：点（x，y）顺时针旋转，对应点坐标为（y，-x）；逆时针旋转对应点坐标为（-y，x），∴绕原点旋转90度的坐标对应点坐标为或，
即顺时针旋转时，解得：，即关联点，
或逆时针旋转时，，解得：，即关联点，
即：在平面直角坐标系中，设，点，关联点坐标为或，
（1）①由关联点坐标变化规律可知，点关于在y轴上点的关联点坐标为：或，
若点是关联点，则或，解得：，即y轴上点或，故点是关联点；
若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点；
若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点；
故答案为：B；
②由关联点坐标变化规律可知，点关于点的关联点的坐标为或，
若，解得：，此时即点，不在线段上；
若，解得：，此时即点，在线段上；
综上所述：若在线段上存在点的关联点，则点
故答案为：；
（2）设点与点是关于点关联点，则点坐标为或，
又因为点在一次函数的图像上，即：，
点在线段上，点、，
当∴，∴，∴，
或，∴，当；
综上所述：当或时，在线段上存在点Q的关联点．
（3）对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，
故点E与点Q也是关于同一点的关联，设该点，则
设点与点是关于点关联点，则点坐标为或，
又因为在一次函数的图像上，即：，
∵点，若，解得：，即点，
若，解得：，即点，
综上所述：或．
【点睛】本题主要考查了坐标的旋转变换和一次函数图像上点的特征，解题关键是总结出绕点旋转90°的点坐标变化规律，再由规律列出方程或不等式求解．
11．（2021·四川雅安市·中考真题）已知反比例函数的图象经过点．
（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数的图象上点A的右侧取点C，作CH⊥x轴于H，过点A作y轴的垂线AG交直线于点D．①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，交于B，垂足分别为为F、E，连结OB，BD，求证：O，B，D三点共线；②若，求证：．
【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）①证明见详解；②证明见详解．
【分析】（1）根据反比例函数的图象经过点，可得即可；
（2）①利用锐角三角函数值tan∠EBO=，tan∠DBC=相等，可证∠EBO=∠DBC，利用平角定义∠DBC+∠OBC=∠EBO+∠OBC=180°即可；②设AC与OD交于K，先证四边形ABCD为矩形，可得∠KAD=∠KDA，KA=KC=，由，可得AO=AK，由∠AKO为△AKD的外角，可得∠AKO=2∠ADK，由AD∥OH 性质，可得∠DOH=∠ADK即可．
【详解】解：（1）∵反比例函数的图象经过点，∴，
∴该反比例函数的表达式为；
（2）①设点C（），则B（2，），D（），∴OE=，BE=2，CD=3-，BC=，
∴tan∠EBO=，tan∠DBC=，∴∠EBO=∠DBC，
∵∠DBC+∠OBC=∠EBO+∠OBC=180°，∴点O，点B，点D三点共线；
②设AC与OD交于K，∵AD⊥y轴，CB⊥y轴，∴AD∥BC∥x轴，
∵AF⊥x轴，DH⊥x轴，∴AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AF⊥x轴，AD∥x轴，∴AF⊥AD，∴∠BAD=90°，
∴四边形ABCD为矩形，∴∠KAD=∠KDA，KA=KC=，
∵，∴AO=AK，∴∠AOD=∠AKO，
又∵∠AKO为△AKD的外角，∴∠AKO=∠KAD+∠KDA=2∠ADK，
∵AD∥OH ，∴∠DOH=∠ADK，∴∠AOD=2∠DOH．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数，平角定义，矩形判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，平行线性质，掌握待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数，平角定义，矩形判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，平行线性质是解题关键．
12．（2021·江苏常州市·中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
（理解）（1）如图1，，垂足分别为C、D，E是的中点，连接．已知，．①分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：__________（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．
（应用）（2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n．设，记．
①当时，__________；当时，________；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
【答案】（1）①，=；②＞，＞；（2）①，1；②l的最小值是1，理由见详解
【分析】（1）①先证明，从而得，进而得CD的值，根据直角三角形的性质，直接得CE的值；②根据点到线之间，垂线段最短，即可得到结论；
（2）①把m，n的值直接代入=进行计算，即可；②过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，画出图形，用矩形的面积表示，进而即可得到结论．
【详解】解：（1）①∵，∴∠ACD+∠A=∠ACD+∠BCD=90°，即：∠A=∠BCD，
又∵∠ADC=∠CDB=90°，∴，∴，即：，
∴，即：（负值舍去），
∵E是的中点，∴==；
②∵，，∴＞，即：＞．故答案是：＞；
（2）①当时，==，
当时，==，故答案是：，1；
②l的最小值是：1，理由如下：由题意得：M(m，)，N(n，)，过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，
===[（①的面积+②的面积）+②的面积+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积+③的面积 +④的面积）]= [（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+③的面积]=(1+1+1+1+③的面积)≥1，∴l的最小值是1．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，反比例函数的图像和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
13．（2021·重庆中考真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
…
0
1
2
3
4
5
…
…
6
5
4
2
1
7
…
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：________，_________，__________；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：__________；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
【答案】（1）；3；4；（2）作图见解析；当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；（3）或
【分析】（1）将表格中的已知数据任意选择一组代入到解析式中，即可求出m，然后得到完整解析式，再根据表格代入求解其余参数即可；（2）根据作函数图象的基本步骤，在网格中准确作图，然后根据图象写出一条性质即可；（3）结合函数图象与不等式之间的联系，用函数的思想求解即可．
【详解】（1）由表格可知，点在该函数图象上，
∴将点代入函数解析式可得：，解得：，
∴原函数的解析式为：；
当时，；当时，；故答案为：；3；4；
（2）通过列表-描点-连线的方法作图，如图所示；
根据图像可知：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；
故答案为：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；
（3）要求不等式的解集，
实际上求出函数的图象位于函数图象上方的自变量的范围，
∴由图象可知，当或时，满图条件，故答案为：或．
【点睛】本题考查新函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题关键．
14．（2021·四川自贡市·中考真题）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数的图象，并探究其性质．
列表如下：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
a
0
b
…
（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①当时，函数图象关于直线对称；②时，函数有最小值，最小值为；
③时，函数y的值随x的增大而减小．其中正确的是_________．（请写出所有正确命题的序号）
（3）结合图象，请直接写出不等式的解集_________．
【答案】（1），，画出函数的图象见解析；（2）②；（3）
【分析】（1）把和分别代入函数解析式，即可求得a、b的值，再利用描点法作出图像即可；
（2）结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；（3）根据图象求得即可．
【详解】解：（1）当时，，
当时，，∴，，
画出函数的图象如图：
（2）①函数图象关于直线对称，原说法错误；
②时，函数有最小值，最小值为，原说法正确；
③时，函数y的值随x的增大而减小，则原说法正确．
其中正确的是②，③．故答案为：②，③；
（3）画出直线，
由图象可知：当时，函数的图象在直线的上方，
∴不等式的解集为．故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．
15．（2021·江苏盐城市·中考真题）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点绕着某定点顺时针旋转一定的角度，能得到一个新的点．经过进一步探究，小明发现，当上述点在某函数图像上运动时，点也随之运动，并且点的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点的坐标和角度的大小来解决相关问题．
（初步感知）如图1，设，，点是一次函数图像上的动点，已知该一次函数的图像经过点．（1）点旋转后，得到的点的坐标为________；
（2）若点的运动轨迹经过点，求原一次函数的表达式．
（深入感悟）（3）如图2，设，，点反比例函数的图像上的动点，过点作二、四象限角平分线的垂线，垂足为，求的面积．
（灵活运用）（4）如图3，设A，，点是二次函数图像上的动点，已知点、，试探究的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在最小值，
【分析】（1）根据旋转的定义得，观察点和在同一直线上即可直接得出结果．
（2）根据题意得出的坐标，再利用待定系数法求出原一次函数表达式即可．（3）先根据计算出交点坐标，再分类讨论①当时，先证明再计算面积．②当-时，证，再计算即可．（4）先证明为等边三角形，再证明，根据在中，，写出，从而得出的函数表达式，当直线与抛物线相切时取最小值，得出，由计算得出的面积最小值．
【详解】（1）由题意可得:∴的坐标为故答案为：；
（2）∵，由题意得坐标为
∵，在原一次函数上，∴设原一次函数解析式为
则∴∴原一次函数表达式为；
（3）设双曲线与二、四象限平分线交于点，则解得
①当时 作轴于
∵∴ ∵ ∴
∴在和中∴
即；
②当-时 作于轴于点 ∵ ∴
∴
∴∴
在和中∴∴；
（4）连接，，将，绕逆时针旋转得，，作轴于
∵，∴ ∴
∴为等边三角形，此时与重合，即
连接，∵∴
∴在和中∴
∴，∴作轴于
在中， ∴
∴，即，此时的函数表达式为：
设过且与平行 的直线解析式为
∵∴当直线与抛物线相切时取最小值
则 即∴
当时，得∴
设与轴交于点 ∵ ∴
【点睛】本题考查旋转、全等三角形的判定和性质、一次函数的解析式、反比例函数的几何意义、两函数的交点问题，函数的最小值的问题，灵活进行角的转换是关键．
16．（2021·四川达州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；（2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值．（3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的横坐标分别为：2，，或．
【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式，设解析式为将，两点代入求得，c的值即可；（2）胡不归问题，要求的值，将折线化为直线，构造相似三角形将转化为，再利用三角形两边之和大于第三边求得最值；（3）分2种情形讨论：①AB为矩形的一条边，利用等腰直角三角形三角形的性质可以求得N点的坐标;
②AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,RN=AB,利用两点距离公式求解方程可得N点的坐标．
【详解】解：（1）∵过，
∴∴，∴抛物线的解析式为：
（2）在上取一点，使得，连接，
∵对称轴．∴， ，
∴，∴ ∴
∴ 当，，三点在同一点直线上时，最小为．
在中，， ∴
即最小值为．
（3）情形①如图，AB为矩形的一条边时，联立得 是等腰，
分别过 两点作的垂线，交于点，
过作轴，轴,
,也是等腰直角三角形 设，则，所以
代入，解得,（不符题意，舍）
同理，设，则 ，所以
代入，解得,（不符题意，舍）
② AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,则
，
设 ，则
整理得： 解得：（不符题意，舍），（不符题意，舍），
，
综上所述：点的横坐标分别为：2，，或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函数与一次函数交点，矩形的性质，等腰直角三角形性质，平面直角坐标系中两点距离计算等知识，能正确做出辅助线，找到相似三角形是解题的关键．
17．（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，抛物线与轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，项点为D，点B的坐标为．
（1）填空：点A的坐标为_________，点D的坐标为_________，抛物线的解析式为_________；
（2）当二次函数的自变量：满足时，函数y的最小值为，求m的值；
（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（1，0），（2，-1），；（2）m的值为或；（3）点P的坐标为：（2，1），（2，2）
【分析】（1）根据抛物线的对称轴及点B坐标可求出点A坐标，根据对称轴可求出b的值，把点A或B的坐标代入抛物线解析式可求出C的值，通过配方可求出顶点坐标；
（2）根据抛物线开口向上，分两种情况讨论求解即可；
（3）设P（1，t），由为斜边，则，根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=2，点B坐标为（3，0），且点A在B点的左侧，∴A（1，0）
又x= ∴ 把A（1，0）代入得，
∴抛物线的解析式为∴顶点D坐标为（2，-1）
故答案为：（1，0），（2，-1），；
（2）∵抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，①当，即时， 解得，（舍去）或
②当时，解得，或（舍去）所以，m的值为或
（3）假设存在，设P（2，t）当时，如图，
过点C作CG⊥PE于点G，则CG=2，PG=3-t
，∴ ，即
整理得， 解得，，经检验：，是原方程的根且符合题意，
∴点P的坐标为（2，1），（2，2）综上，点P的坐标为：（2，1），（2，2）
【点睛】本题考查了二次函数综合题，二次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质，灵活应用以上知识解决问题是本题的关键．
18．（2021·福建中考真题）已知抛物线与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线过点，求的最小值；（2）已知点中恰有两点在抛物线上．①求抛物线的解析式；②设直线l：与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和于点B，C．求证：与的面积相等．
【答案】（1）-1；（2）①；②见解析
【分析】（1）先求得c=1，根据抛物线与x轴只有一个公共点，转化为判别式△=0，从而构造二次函数求解即可；（2）①根据抛物线与x轴只有一个公共点，得抛物线上的点只能落在x轴的同侧，据此判断即可；②证明AB=BC即可
【详解】解：因为抛物线与x轴只有一个公共点，
以方程有两个相等的实数根，所以，即．
（1）因为抛物线过点，所以，所以，即．
所以，当时，取到最小值．
（2）①因为抛物线与x轴只有一个公共点，所以抛物线上的点只能落在x轴的同侧．
又点中恰有两点在抛物线的图象上，所以只能是在抛物线的图象上，由对称性可得抛物线的对称轴为，所以，即，因为，所以．
又点在抛物线的图象上，所以，故抛物线的解析式为．
②由题意设，则．
记直线为m，分别过M，N作，垂足分别为E，F，即，
因为，所以．
又，所以，所以．
所以，所以，即．
所以，
即．①
把代入，得，解得，
所以．②
将②代入①，得，即，解得，即．
所以过点A且与x轴垂直的直线为，将代入，得，即，
将代入，得，即，
所以，因此，所以与的面积相等．
【点睛】本小题考查一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积等基础知识，突出运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识，灵活运用函数与方程思想、数形结合思想及化归与转化思想求解是解题的关键．
19．（2021·湖南）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，点是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，求的面积的最大值；（3）如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）的面积最大值为；（3）点的坐标为或或．
【分析】（1）由题意易得平移后的抛物线的表达式为，然后把点A的坐标代入求解即可；（2）由（1）及题意易得，则有△AOC是等腰直角三角形，∠CAO=∠ACO=45°，进而可得直线AC的解析式为，设点，则，然后可得△AED和△PEF都为等腰直角三角形，过点F作FT⊥PD于点，则有，由三角形面积公式可得，要使面积最大则PE的值为最大即可，最后问题可求解；
（3）由题意可知当以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分①当以AC为平行四边形的边时，②当以AC为平行四边形的对角线时，然后利用等腰直角三角形、平行四边形的性质及中点坐标公式分类进行求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：平移后的抛物线的表达式为，则把点代入得：，解得：，
∴抛物线的表达式为，即为；
（2）由（1）可得抛物线的表达式为，则有，∴，
∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠CAO=∠ACO=45°，
∵，∴∠AED=∠CAO=45°，∴∠AED=∠PEF=45°，
∵，∴△PEF是等腰直角三角形，过点F作FT⊥PD于点，如图所示：
∴，∴，∴要使面积最大则PE的值为最大即可，
设直线AC的解析式为，代入点A、C的坐标得：，解得：，
∴直线AC的解析式为，设点，则，
∴，
∵-1＜0，开口向下，∴当时，PE有最大值，即为，
∴△PEF面积的最大值为；
（3）存在以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由（2）可得，，∠CAO=∠ACO=45°，抛物线的对称轴为直线，
∴，∠CAO=∠ADQ=45°，①当以AC为平行四边形的边时，如图所示：
过点P作PG⊥l于点G，∵四边形APQC是平行四边形，
∴，AC∥PQ，∴∠ADQ=∠PQG=45°，∴△PQG是等腰直角三角形，
∴，∴点P的横坐标为-4，∴；
②当以AC为平行四边形的边时，如图所示：同理①可得点P的横坐标为2，∴；
③当以AC为平行四边形的对角线时，如图所示：
∵四边形AQCP是平行四边形，∴，
设点，∴由中点坐标公式可得：，∴，∴；
综上所述：当以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、二次函数的综合及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质、二次函数的综合及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．
20．（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．(1)求抛物线的表达式；(2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA45°时，求点P的坐标；(3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．
【答案】（1）；（2）（6，-7）；（3）PH=或1.5或
【分析】（1）根据待定系数法解答即可；（2）求得点C的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断∠ACB=90°，继而可得∠ACO=∠CBA，在x轴上取点E（2，0），连接CE，易得△OCE是等腰直角三角形，可得∠OCE=45°，进一步可推出∠ACE=∠CAQ，可得CE∥PQ，然后利用待定系数法分别求出直线CE与PQ的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可；（3）设直线AP交y轴于点G，如图，由题意可得若△PFH为等腰三角形，则△CFG也为等腰三角形，设G（0，m），求出直线AF和直线BC的解析式后，再解方程组求出点F的坐标，然后分三种情况求出m的值，再求出直线AP的解析式，进而可求出点P的坐标，于是问题可求解．
【详解】解：（1）把A(-1，0)，B(4，0)代入，得
，解得：，∴抛物线的解析式是；
（2）令x=0，则y=2，即C（0，2），
∵，，AB2=25，∴，∴∠ACB=90°，
∵∠ACO+∠CAO=∠CBA+∠CAO=90°，∴∠ACO=∠CBA，
在x轴上取点E（2，0），连接CE，如图，则CE=OE=2，
∴∠OCE=45°，∴∠ACE=∠ACO+45°=∠CBA+45°=∠CAQ，∴CE∥PQ，
∵C（0，2），E（2，0），∴直线CE的解析式为y=-x+2，
设直线PQ的解析式为y=-x+n，把点A（-1，0）代入，可得n=-1，∴直线PQ的解析式为y=-x-1，
解方程组，得或，∴点P的坐标是（6，-7）；
（3）设直线AP交y轴于点G，如图，∵PH∥y轴，∴∠PHC=∠OCB，∠FPH=∠CGF，
∴若△PFH为等腰三角形，则△CFG也为等腰三角形，
∵C（0，2），B（4，0），∴直线BC的解析式为，
设G（0，m），∵A（-1，0），∴直线AF的解析式为y=mx+m，
解方程组，得，∴点F的坐标是，
∴，
当CG=CF时，，解得：（舍去负值），
此时直线AF的解析式为y=x+，
解方程组，得或，
∴点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，），
∴PH=；
当FG=FC时，，解得m=或m=（舍）或m=2（舍），此时直线AF的解析式为y=x+，解方程组，得或，
∴点P的坐标是（3，2），此时点H的坐标是（3，），∴PH=2-=1.5；
当GF=GC时，，解得或m=2（舍去），
此时直线AF的解析式为y=x+，解方程组，得或，
∴点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，），∴PH=；
综上，PH=或1.5或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．
21．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，抛物线与轴交于除原点和点，且其顶点关于轴的对称点坐标为．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点，使得抛物线上的任意一点到定点的距离与点到直线的距离总相等．①证明上述结论并求出点的坐标；②过点的直线与抛物线交于两点．证明：当直线绕点旋转时，是定值，并求出该定值；（3）点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，使四边形周长最小，直接写出的坐标．
【答案】（1）；（2）；，证明见解析（3），
【分析】（1）先求出顶点的坐标为，在设抛物线的解析式为，根据抛物线过原点，即可求出其解析式；（2）设点坐标为，点坐标为，利用两点间距离公式，结合题目已知列出等量关系；设直线的解析式为，直线与抛物线交于点，直线方程与抛物线联立得出，在结合的结论，分别表示出的值，即可求解；（3）先求出点的坐标，分别作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接，交轴于点，交轴于点，则点即为所求
【详解】解：（1）点B关于轴对称点的坐标为点的坐标为
设抛物线的解析式为
抛物点过原点解得抛物线解析式为：即
（2）设点坐标为，点坐标为
由题意可得： 整理得：
点的坐标为
设直线的解析式为，直线与抛物线交于点
整理得：
由得
整理得：
（3）点在抛物线上，
如图：作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点
则点，点，连接，交轴于点，交轴于点，则此时四边形PQBC周长最小 设直线的解析式为 解得
直线的解析式为点坐标为，点坐标为
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，点到直线的距离，两点间距离公式，以及线段最值问题，以及点的对称问题，综合性较强
22．（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，抛物线与轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，项点为D，点B的坐标为．（1）填空：点A的坐标为_________，点D的坐标为_________，抛物线的解析式为_________；（2）当二次函数的自变量：满足时，函数y的最小值为，求m的值；（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（1，0），（2，-1），；（2）m的值为或；（3）点P的坐标为：（2，1），（2，2）
【分析】（1）根据抛物线的对称轴及点B坐标可求出点A坐标，根据对称轴可求出b的值，把点A或B的坐标代入抛物线解析式可求出C的值，通过配方可求出顶点坐标；
（2）根据抛物线开口向上，分两种情况讨论求解即可；
（3）设P（1，t），由为斜边，则，根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=2，点B坐标为（3，0），且点A在B点的左侧，∴A（1，0）
又x= ∴ 把A（1，0）代入得，
∴抛物线的解析式为∴顶点D坐标为（2，-1）
故答案为：（1，0），（2，-1），；
（2）∵抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，①当，即时， 解得，（舍去）或
②当时，解得，或（舍去）所以，m的值为或
（3）假设存在，设P（2，t）当时，如图，
过点C作CG⊥PE于点G，则CG=2，PG=3-t
，∴ ，即
整理得， 解得，，经检验：，是原方程的根且符合题意，
∴点P的坐标为（2，1），（2，2）综上，点P的坐标为：（2，1），（2，2）
【点睛】本题考查了二次函数综合题，二次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质，灵活应用以上知识解决问题是本题的关键．
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