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2022年中考数学重难热点专题突破04 最值（范围）
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这是一份2022年中考数学重难热点专题突破04 最值（范围），共101页。
重难点04 最值（范围）问题
【命题趋势】
最值问题，在中考里，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方。在各地中考种都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
【满分技巧】
1）.在代数部分最值问题，多出现在函数部分，无论是一次函数还是二次函数，都需要先求自变量的取值范围，再求函数解析式，根据实际问题，求得最值。有关内容在前面的一次函数、二次函数中都有诸多体现。近几年，利用配方法求最值来解决一些实际问题，也常常见到。
2）.在几何最值问题，几何背景下的最值是考生感觉较难的，往往没有思路。常见的有：(1)几何图形中在特殊位置下的最值； (2)比较难的线段的最值问题，其依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等；③借助于圆的知识；④二次函数的最值法解决。
3）几何最值问题中的基本模型举例
轴对称最值
(将军饮马)
图形
原理
两点之间线段最短
两点之间线段最短
三角形三边关系
特征
A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值
A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值
A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值
转化
作其中一个定点关于定直线l的对称点
先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点
作其中一个定点关于定直线l的对称点
折叠最值
图形
原理
两点之间线段最短
特征
在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．
转化
转化成求AB'+B'N+NC的最小值
【限时检测】
A卷（建议用时：70分钟）
1．（2021·辽宁和平·二模）如图，若点，点，在x轴上找一点P，使最小，则点P坐标为（ ）
A．（－5，0） B．（－1，0） C．（0，0） D．（1，0）
2．（2021·福建·九年级期中）如图，直角坐标系中两点，P为线段上一动点，作点B关于射线的对称点C，连接，则线段的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
3．（2021·山东菏泽·中考模拟）如图，矩形的顶点的坐标为，是的中点，是上的一点，当的周长最小时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）已知在中，，．点为边上的动点，点为边上的动点，则线段的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
6．（2021·广西贵港市·中考真题）如图，在ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）如图所示，在矩形纸片中，，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则下列结论成立的是（ ）
①；②当点与点重合时；③的面积的取值范围是；
④当时，．
A．①③ B．③④ C．②③ D．②④
8．（2021山东东营·中考模拟）在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，7），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为_____．
9．（2021·山东聊城市·中考真题）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为__________．
10．（2021·湖南永州市·中考真题）如图，A，B两点的坐标分别为，在x轴上找一点P，使线段的值最小，则点P的坐标是_______________．
11．（2020·广东广州市·中考真题）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：）9.9，10.1，10.0，若用作为这条线段长度的近以值，当______时，最小．对另一条线段的长度进行了次测量，得到个结果（单位：），若用作为这条线段长度的近似值，当_____时，最小．
12．（2021·内蒙古中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当的值最小时，的面积为__________．
13．（2020·湖北中考真题）如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为_____．
14．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为_____．
15．（2021·四川内江·中考真题）如图，矩形，，，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．当点在轴上运动时，点也随之在轴上运动，在这个运动过程中，点到原点的最大距离为__ ．
16．（2020·湖南娄底市·中考真题）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积的和证明了勾股定理，还可以用来证明结论：若、且为定值，则当_______时，取得最大值．
17．（2021·辽宁丹东·中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则_________；若，P为的费马点，则_________．
18．（2020·四川绵阳市·中考真题）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为_____．
19．（2021·上海中考真题）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为__________．
20．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，AD＝，点P为边AB上一点．以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A'．连结AA'，AA' 交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连结AQ，MQ，则AQ＋MQ的最小值是________
21．（2021·内蒙古通辽·中考真题）如图，是⊙O的弦，，点C是⊙O上的一个动点，且，若点M，N分别是，的中点，则图中阴影部分面积的最大值是__________．
22．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为( )
A． B． C． D．
23．（2021·贵州安顺市·中考真题）在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是______．
24．（2021·天津中考真题）已知抛物线（a，c为常数，）经过点，顶点为D．（Ⅰ）当时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）当时，点，若，求该抛物线的解析式；（Ⅲ）当时，点，过点C作直线l平行于x轴，是x轴上的动点，是直线l上的动点．当a为何值时，的最小值为，并求此时点M，N的坐标．
B卷（建议用时：90分钟）
1．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·湖北鄂州·中考真题）如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（ ）
A．3 B． C． D．
3．（2021·河北桥西·二模）“已知点和直线，求点到直线的距离可用公式计算”．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心的坐标为，半径为，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2021·湖北中考真题）如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论：
①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2020·广西贵港市·中考真题）如图，动点在边长为2的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·湖南衡阳市·中考真题）如图，矩形纸片，点M、N分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点P与点A重合时，；③的面积S的取值范围是．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
8．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，，，把边AB沿对角线BD平移，点，分别对应点A，B．给出下列结论：①顺次连接点，，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线的对称点的距离为48；③的最大值为15；④的最小值为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2021·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM＝AB时，PB＋PM的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．2＋2 D．3＋3
10．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持，线段在x轴上平移，当的值最小时，点C的坐标为________．
12．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为____________．
13．（2021·辽宁营口市·中考真题）如图，，以O为圆心，4为半径作弧交于点A，交于点B，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点D，E为上一动点，连接，，则阴影部分周长的最小值为_________．
14．（2021·福建中考真题）如图，在矩形中，，点E，F分别是边上的动点，点E不与A，B重合，且，G是五边形内满足且的点．现给出以下结论：①与一定互补；②点G到边的距离一定相等；
③点G到边的距离可能相等；④点G到边的距离的最大值为．
其中正确的是_________．（写出所有正确结论的序号）
15．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______．
16．（2021·山东淄博市·中考真题）两张宽为的纸条交叉重叠成四边形，如图所示．若，则对角线上的动点到三点距离之和的最小值是__________．
17．（2021·山东威海市·中考真题）如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为__________________．
18．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）如图，已知正方形的边长为6，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为___________．
19．（2021·贵州铜仁市·中考真题）如图，、分别是正方形的边、上的动点，满足，连接、，相交于点，连接，若正方形的边长为2．则线段的最小值为______________．
20．（2021·山东青岛·中考真题）已知正方形的边长为3，为上一点，连接并延长，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，为的中点，为上一动点，分别连接，．若，则的最小值为__________．
21．（2021·湖北·武汉市开发区一中九年级阶段练习）如图，是的直径，，C为的三等分点（更靠近A点），点P是上一个动点，取弦的中点D，则线段的最大值为__________．
22．（2021·陕西中考真题）如图，正方形的边长为4，的半径为1．若在正方形内平移（可以与该正方形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为______．
23．（2021·广东中考真题）在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____．
24．（2021·内江·中考真题）已知非负实数，，满足，设的最大值为，最小值为，则的值为 __．
25．（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点D、E分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是_________．
26．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知点，点为直线上的一动点，点，，于点，连接．若直线与正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为________．
27．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，则BD长的最大值为__．
28．（2021·陕西中考真题）问题提出（1）如图1，在中，，，，E是的中点，点F在上且求四边形的面积．（结果保留根号）
问题解决（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点O、P、M、N分别在边、、、上，且满足，．已知五边形中，，，，，．满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最小值及这时点到点的距离；若不存在，请说明理由．
29．（2021·江苏徐州市·中考真题）如图1，正方形的边长为4，点在边上（不与重合），连接．将线段绕点顺时针旋转90°得到，将线段绕点逆时针旋转90°得到．连接．（1）求证：①的面积；②；
（2）如图2，的延长线交于点，取的中点，连接，求的取值范围．
30．（2021·四川广元市·中考真题）如图1，在中，，，点D是边上一点（含端点A、B），过点B作垂直于射线，垂足为E，点F在射线上，且，连接、．（1）求证：；（2）如图2，连接，点P、M、N分别为线段、、的中点，连接、、．求的度数及的值；（3）在（2）的条件下，若，直接写出面积的最大值．
31．（2021·甘肃武威市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于两点，直线交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为分别交直线于点．（1）求抛物线的表达式；（2）当，连接，求的面积；（3）①是轴上一点，当四边形是矩形时，求点的坐标；②在①的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值．
32．（2021·四川成都市·中考真题）在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．
（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长；
（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长；
（3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
33．（2021·四川宜宾市·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP＋EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
34．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点、（点在右侧），与轴交于点，点的横坐标恰好为．动点、同时从原点出发，沿射线分别以每秒和个单位长度运动，经过秒后，以为对角线作矩形，且矩形四边与坐标轴平行．（1）求的值及秒时点的坐标；（2）当矩形与抛物线有公共点时，求时间的取值范围；（3）在位于轴上方的抛物线图象上任取一点，作关于原点的对称点为，当点恰在抛物线上时，求长度的最小值，并求此时点的坐标．
重难点04 最值（范围）问题
【命题趋势】
最值问题，在中考里，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方。在各地中考种都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
【满分技巧】
1）.在代数部分最值问题，多出现在函数部分，无论是一次函数还是二次函数，都需要先求自变量的取值范围，再求函数解析式，根据实际问题，求得最值。有关内容在前面的一次函数、二次函数中都有诸多体现。近几年，利用配方法求最值来解决一些实际问题，也常常见到。
2）.在几何最值问题，几何背景下的最值是考生感觉较难的，往往没有思路。常见的有：(1)几何图形中在特殊位置下的最值； (2)比较难的线段的最值问题，其依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等；③借助于圆的知识；④二次函数的最值法解决。
3）几何最值问题中的基本模型举例
轴对称最值
(将军饮马)
图形
原理
两点之间线段最短
两点之间线段最短
三角形三边关系
特征
A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值
A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值
A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值
转化
作其中一个定点关于定直线l的对称点
先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点
作其中一个定点关于定直线l的对称点
折叠最值
图形
原理
两点之间线段最短
特征
在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．
转化
转化成求AB'+B'N+NC的最小值
【限时检测】
A卷（建议用时：70分钟）
1．（2021·辽宁和平·二模）如图，若点，点，在x轴上找一点P，使最小，则点P坐标为（ ）
A．（－5，0） B．（－1，0） C．（0，0） D．（1，0）
【答案】C
【分析】要使|PA−PB|最小让PA＝PB即可，根据两点间的距离公式，列出方程，即可求解．
【详解】解：根据题意要使|PA−PB|最小，则PA＝PB即可，设P（x，0），
∴，解得：x=0，∴P（0，0）故选：C．
【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，根据题意确定PA＝PB时P点符合题意是解题的关键．
2．（2021·福建·九年级期中）如图，直角坐标系中两点，P为线段上一动点，作点B关于射线的对称点C，连接，则线段的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】如图，当C位于y轴上时，AC取最小值，通过对称证明，进而求得AC的最小值.
【详解】解：如图，当C位于y轴上时，AC取最小值，
∵C是B关于射线的对称点，∴，，
又∵∴，∴∴，故答案为A.
【点睛】本题考查坐标系与图像的性质、三角形全等与轴对称的综合应用，找到AC取最小值的位置是解题的关键.
3．（2021·山东菏泽·中考模拟）如图，矩形的顶点的坐标为，是的中点，是上的一点，当的周长最小时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，画出A点关于y轴的对称点A＇,连接A＇D,与y轴交于点E,根据连接两点的连线中，线段最短，可知此时的周长最小，再由A,可得A＇（4,5），因D(-2，0)，即可求得直线DE表达式是，所以点的坐标是，故选B.
4．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）已知在中，，．点为边上的动点，点为边上的动点，则线段的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作点F关于直线AB的对称点F’，如下图所示，此时EF+EB= EF’+EB，再由点到直线的距离垂线段长度最短求解即可．
【详解】解：作点F关于直线AB的对称点F’，连接AF’，如下图所示：
由对称性可知，EF=EF’，此时EF+EB= EF’+EB，由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知，
当BF’⊥AF’时，EF+EB有最小值BF0，此时E位于上图中的E0位置，
由对称性知，∠CAF0=∠BAC=90°-75°=15°，∴∠BAF0=30°，
由直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半可知，BF0=AB=，故选：B．
【点睛】本题考查了30°角所对直角边等于斜边的一半，垂线段最短求线段最值等，本题的核心思路是作点F关于AC的对称点，将EF线段转移，再由点到直线的距离最短求解．
5．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，由题意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，进而可得△PCD≌△QED，则有∠PCD=∠QED=90°，然后可得点Q是在QE所在直线上运动，所以CQ的最小值为CQ⊥QE时，最后问题可求解．
【详解】解：以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示：
∵是等边三角形，∴，
∵∠CDQ是公共角，∴∠PDC=∠QDE，∴△PCD≌△QED（SAS），
∵，，点D是边的中点，
∴∠PCD=∠QED=90°，，∴点Q是在QE所在直线上运动，
∴当CQ⊥QE时，CQ取的最小值，∴，∴；故选B．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键．
6．（2021·广西贵港市·中考真题）如图，在ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】如图，取的中点，连接，．首先证明，求出，，根据，可得结论．
【详解】解：如图，取的中点，连接，．
，，，，，
，，，
，，的最小值为4，故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出，的长，属于中考常考题型．
7．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）如图所示，在矩形纸片中，，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则下列结论成立的是（ ）
①；②当点与点重合时；③的面积的取值范围是；
④当时，．
A．①③ B．③④ C．②③ D．②④
【答案】D
【分析】①根据题意可知四边形BFGE为菱形，所以EF⊥BG且BN=GN，若BN=AB，则BG=2AB=6，又因为点E是AD边上的动点，所以3
若BN=AB，则BG=2AB=6，又∵点E是AD边上的动点，∴3
在Rt△ABE中即
解得：AE=，∴BF=DE=6-=．∴HF=-=．
在Rt△EFH中 =；故②正确；
③当点E与点A重合时，如图所示，的面积有最小值= =，
当点G与点D重合时的面积有最大值==．故<<．③错误．
④因为，则EG=BF=6-=．根据勾股定理可得ME= ，
∴．故④正确．故选D．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质等知识，掌握相关知识找到临界点是解题的关键．
8．（2021山东东营·中考模拟）在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，7），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为_____．
【答案】（﹣，0）
分析：要使得MB-MA的值最大，只需取其中一点关于x轴的对称点，与另一点连成直线，然后求该直线x轴交点即为所求．
【解析】取点B关于x轴的对称点B′，则直线AB′交x轴于点M．点M即为所求．
设直线AB′解析式为：y=kx+b 把点A（-1，-1）B′（2，-7）代入
解得∴直线AB′为：y=-2x-3，
当y=0时，x=-∴M坐标为（-，0）故答案为：（-，0）
点睛：本题考查轴对称-最短路线问题、坐标与图象变换，解答本题的关键是明确题意，利用三角形两边之差小于第三边和一次函数的性质解答．
9．（2021·山东聊城市·中考真题）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为__________．
【答案】
【分析】先得出D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4），再通过转化，将求四边形BDEF的周长的最小值转化为求FG+BF的最小值，再利用两点之间线段最短得到当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，用待定系数法求出直线BG的解析式后，令y=0，即可求出点F的坐标，最后得到点E的坐标．
【详解】解：如图所示，∵D（0，4），∴D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4），∴ED=EH，
将点H向左平移3个单位，得到点G（-3，-4），∴EF=HG，EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，∴EH=FG，∴FG =ED，
∵B（-4，6），∴BD=，
又∵EF＝3，∴四边形BDEF的周长=BD+DE+EF+BF=+FG+3+BF,
要使四边形BDEF的周长最小，则应使FG+BF的值最小，
而当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，设直线BG的解析式为：
∵B（-4，6），G（-3，-4），∴，∴，∴，
当y=0时，，∴，∴故答案为：．
【点睛】本题综合考查了轴对称的性质、最短路径问题、平移的性质、用待定系数法求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是“转化”，即将不同的线段之间通过转化建立相等关系，将求四边形的周长的最小值问题转化为三点共线和最短的问题等，本题蕴含了数形结合与转化的思想方法等．
10．（2021·湖南永州市·中考真题）如图，A，B两点的坐标分别为，在x轴上找一点P，使线段的值最小，则点P的坐标是_______________．
【答案】
【分析】连接点A，B交轴于点P，则 PA+PB的值最小，此时点P即为所求．
【详解】解：连接点A，B，设直线AB的解析式为
点，点解得直线AB的解析式为
当时，则解得故答案为：
【点睛】本题考查了两线段之和的最值问题，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点等知识，熟练掌握解题方法是解题关键．
11．（2020·广东广州市·中考真题）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：）9.9，10.1，10.0，若用作为这条线段长度的近以值，当______时，最小．对另一条线段的长度进行了次测量，得到个结果（单位：），若用作为这条线段长度的近似值，当_____时，最小．
【答案】10.0； ．
【分析】（1）把整理得：，设，利用二次函数性质求出当时有最小值；
（2）把整理得：， 设，利用二次函数的性质可求出当 取最小值时的值．
【详解】解：（1）整理得：，
设，由二次函数的性质可知：当时，函数有最小值，
即：当时，的值最小，故答案为：10.0；
（2）整理得：，
设，由二次函数性质可知：
当时，有最小值，即：当时，的值最小，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数模型的应用，关键是设，整理成二次函数，利用二次函数的性质—何时取最小值来解决即可．
12．（2021·内蒙古中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当的值最小时，的面积为__________．
【答案】4
【分析】根据题意画出函数图像，要使的值最小，需运用对称相关知识求出点E的坐标，然后求的面积即可．
【详解】解：根据题意可求出，
抛物线的对称轴为：，
根据函数对称关系，点B关于的对称点为点A，
连接AD与交于点E，此时的值最小，过D点作x轴垂线，垂足为F，
设抛物线对称轴与x轴交点为G，
∵，∴，∴，∴，
过点C作的垂线，垂足为H，所以四边形ACHE的面积等于与梯形ACHG的面积和，
即，则S四边形ACHE-，故答案为：4．
【点睛】本题主要考查二次函数的交点坐标、对称轴、相似三角形、对称等知识点，根据题意画出图形，可以根据对称求出点E的坐标是解决本题的关键．
13．（2020·湖北中考真题）如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为_____．
【答案】12
【分析】以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，
∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB≌△DCA（SAS），∴BE=AD，
∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6
【点睛】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD转化为BE从而求解，是一道较好的中考题．
14．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为_____．
【答案】3
【分析】过C作CF⊥AB交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值为CF，根据等边三角形的性质得到BF＝AB＝6＝3，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：过C作CF⊥AB交AD于E，
则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值为CF，
∵△ABC为等边三角形，边长为6，∴BF＝AB＝6＝3，
∴CF＝＝＝3，∴CE+EF的最小值为3，故答案为：3．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，解题的关键是画出符合条件的图形．
15．（2021·四川内江·中考真题）如图，矩形，，，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．当点在轴上运动时，点也随之在轴上运动，在这个运动过程中，点到原点的最大距离为 __．
【答案】
【分析】取 的中点 ，连接 ， ，由勾股定理可求 的长，由直角三角形的性质可求 的长，由三角形的三边可求解．
【详解】如图，取的中点，连接，，
矩形，，，，，
点是的中点，，，
，点是的中点，，
在中，，当点在上时，，
的最大值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形的三边形关系，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造三角形是解题的关键．
16．（2020·湖南娄底市·中考真题）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积的和证明了勾股定理，还可以用来证明结论：若、且为定值，则当_______时，取得最大值．
【答案】=
【分析】设为定值，则，先根据“张爽弦图”得出，再利用平方数的非负性即可得．
【详解】设为定值，则
由“张爽弦图”可知， 即
要使的值最大，则需最小
又当时，取得最小值，最小值为0
则当时，取得最大值，最大值为故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、平方数的非负性，掌握勾股定理是解题关键．
17．（2021·辽宁丹东·中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则_________；若，P为的费马点，则_________．
【答案】5
【分析】①作出图形，过分别作,勾股定理解直角三角形即可
②作出图形，将绕点逆时针旋转60，P为的费马点则四点共线，即，再用勾股定理求得即可
【详解】①如图,过作，垂足为,
过分别作, 则, P为的费马点
5
②如图：.
将绕点逆时针旋转60 由旋转可得：
是等边三角形，
P为的费马点,即四点共线时候，
=故答案为：①5，②
【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数，等腰三角形性质，作出旋转的图形是解题的关键．本题旋转也可，但必须绕顶点旋转．
18．（2020·四川绵阳市·中考真题）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为_____．
【答案】
【分析】取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解决问题．
【详解】解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．
∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，∴OM＝AD＝2，
∵AB∥CD，∴∠GCF＝∠B＝60°，∴∠DGO＝∠CGE＝30°，
∵AD＝BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠ADC＝∠BCD＝120°，
∴∠DOG＝30°＝∠DGO，∴DG＝DO＝2，∵CD＝4，∴CG＝2，
∴OG＝2，GF＝，OF＝3，∴ME≥OF﹣OM＝3﹣2，
∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为3﹣2．
【点睛】本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
19．（2021·上海中考真题）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为__________．
【答案】
【分析】先确定正方形的中心O与各边的所有点的连线中的最大值与最小值，后结合旋转的条件即可求解．
【详解】解：如图1，设的中点为E，连接OA，OE，则AE=OE=1，∠AEO=90°，．
∴点O与正方形边上的所有点的连线中，最小，等于1，最大，等于．
∵，∴点P与正方形边上的所有点的连线中，
如图2所示，当点E落在上时，最大值PE=PO-EO=2-1=1；
如图3所示，当点A落在上时，最小值．
∴当正方形ABCD绕中心O旋转时，点P到正方形的距离d的取值范围是．
故答案为：
【点睛】本题考查了新定义、正方形的性质、勾股定理等知识点，准确理解新定义的含义和熟知正方形的性质是解题的关键．
20．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，AD＝，点P为边AB上一点．以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A'．连结AA'，AA' 交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连结AQ，MQ，则AQ＋MQ的最小值是________
【答案】
【分析】如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．想办法求出RM，RT，求出MT的最小值，再根据QA＋QM＝QM＋QT≥MT，可得结论．
【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点T，
取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠RAT＝90°，
∵AR＝DR＝，AT＝2AB＝4，∴RT＝，
∵A，A′关于DP对称，∴AA′⊥DP，∴∠AMD＝90°，∵AR＝RD，∴RM＝AD＝，
∵MT≥RT−RM，∴MT≥4，∴MT的最小值为4，
∵QA＋QM＝QT＋QM≥MT，∴QA＋QM≥4，∴QA＋QM的最小值为4．故答案为：4．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是求出MT的最小值，属于中考常考题型．
21．（2021·内蒙古通辽·中考真题）如图，是⊙O的弦，，点C是⊙O上的一个动点，且，若点M，N分别是，的中点，则图中阴影部分面积的最大值是__________．
【答案】
【分析】阴影面积由弓形ADB面积加上△MNB的面积，而弓形面积不变，因此只需要求出△MNB的最大面积，由M,N为AB,BC的中点，所以MN是△ABC的中位线，所以△BMN∽△BAC，所以S△BMN=S△ABC，求出△ABC的最大面积即可，而AB边为定值，当点C到AB的距离最大，三角形面积最大，当CM⊥AB时，三角形面积最大，即可求出阴影面积最大值．
【详解】连接OA,OB，连接OM，如图
∵ ,∴，
∵M为AB中点，∴OM⊥AB，, ∴,
设OM=x，则AO=2x，在Rt△AOM中 即 ，解得x=1，即 ,
S弓形ADB=S扇形OADB=，
∵M,N为边AB,BC的中点，∴∥AC，∴,∴,
当C,O,M在同一直线上时，△ABC的面积最大，由垂径定理可知，AC=BC,
又∵∠ACB=60°，∴△ABC为等边三角形，∴ ,
在Rt△ACM中，,∴的最大值为： ,
∴,∴阴影面积的最大值为：．故填：．
【点睛】本题考查弓形面积，扇形面积，圆心角与圆周角关系，三角形的中位线，相似三角形的性质，垂径定理，勾股定理，解题关键是将不规则面积转化为规则图形的面积．
22．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，
设Q(，)，则PM=，QM=，
∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N，
在△PQM和△Q′PN中，，∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，
∴PN=QM=，Q′N=PM=，∴ON=1+PN=，∴Q′(，)，
∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，
当m=2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′的最小值为，故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
23．（2021·贵州安顺市·中考真题）在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是______．
【答案】，2．
【分析】设为正方形ABCD的一个内接正三角形，不妨假设F、G分别在AB，CD上，E在AD上，作的高EK，可得点E，K，G，D四点共圆，从而得点K为一个定点，当GF最大时，的面积最大，当GF最小时，的面积最小，进而即可求解．
【详解】解：设为正方形ABCD的一个内接正三角形，不妨假设F、G分别在AB，CD上，E在AD上，如图，作的高EK，
∵∠EKG=∠EDG=90°，∴点E，K，G，D四点共圆，∴∠KDE=∠KGE=60°，
同理：∠KAE=∠KFE=60°，∴是一个正三角形，点K为一个定点，
∵正三角形的面积取决于它的边长，
∴当GF最大时，的面积最大，当GF最小时，的面积最小，
∴当KF⊥AB时，FG最小，即FG最小，此时，FG=AD=2，
当点F与点B重合时，KF最大，即FG最大，此时的面积最大，
过点K作AB的平行线交AD于点M，交BC于点N，
∴MK 为的高，∴MK=DKsin60°=ADsin60°=，∴KN=AB-MK=，
∵K为BG的中点，N为BC的中点，∴CG=2KN=，
∴FG=．
故答案是：，2．
【点睛】本题主要考查正方形和等边三角形的性质以及四边形外接圆的性质和判定，解直角三角形，根据题意画出图形，证明正方形的内接正三角形的一边中点是一个定点，是解题的关键．
24．（2021·天津中考真题）已知抛物线（a，c为常数，）经过点，顶点为D．（Ⅰ）当时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）当时，点，若，求该抛物线的解析式；（Ⅲ）当时，点，过点C作直线l平行于x轴，是x轴上的动点，是直线l上的动点．当a为何值时，的最小值为，并求此时点M，N的坐标．
【答案】（Ⅰ）抛物线的顶点坐标为；（Ⅱ）或；（Ⅲ）点M的坐标为，点N的坐标为
【分析】（Ⅰ）结合题意，通过列一元一次方程并求解，即可得到抛物线的解析式，将解析式化为顶点式，即可得到答案.（Ⅱ）根据题意，得抛物线的解析式为；根据抛物线对称轴的性质，计算得点D的坐标为；过点D作轴于点G，根据勾股定理和一元二次方程的性质，得，，从而得到答案；（Ⅲ）当时，将点向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得；作点F关于x轴的对称点，当满足条件的点M落在线段上时，根据两点之间线段最短的性质，得最小，结合题意，根据勾股定理和一元二次方程性质，得，从而得直线的解析式，通过计算即可得到答案．
【详解】（Ⅰ）当时，抛物线的解析式为．
∵抛物线经过点∴解得：∴抛物线的解析式为
∵∴抛物线的顶点坐标为；
（Ⅱ）当时，由抛物线经过点，可知
∴抛物线的解析式为∴抛物线的对称轴为：
当时，∴抛物线的顶点D的坐标为；过点D作轴于点G
在中，，，∴
在中，，，∴．
∵，即，∴解得：，
∴抛物线的解析式为或．
（Ⅲ）当时，将点向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得．
作点F关于x轴的对称点，得点的坐标为
当满足条件的点M落在线段上时，最小，此时，．
过点作轴于点H
在中，，，∴．
又，即．解得：，（舍）
∴点的坐标为，点的坐标为．∴直线的解析式为．
当时，．∴，∴点M的坐标为，点N的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数、一元一次方程、勾股定理、一元二次方程、平移、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、勾股定理、一元二次方程、平移的性质，从而完成求解．
B卷（建议用时：90分钟）
1．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的性质得到，得到，，过B作于H，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，当时，PQ的值最小，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：，，，解得：（负值舍去），
，，，
，，，，
过B作于H，，，
，，当时，PQ的值最小，
，
，，，故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
2．（2021·湖北鄂州·中考真题）如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的长，并得到点P是BO的中点，由线段长度即可得到是等边三角形，利用特殊三边关系即可求解．
【详解】解： 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆
由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短
点P是BO的中点在中，是等边三角形
在中，．
【点睛】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．
3．（2021·河北桥西·二模）“已知点和直线，求点到直线的距离可用公式计算”．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心的坐标为，半径为，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，过作于 交于 则此时最短，由新定义求解的长度即可得到答案．
【详解】解：如图，过作于 交于 则此时最短，
由新定义可得：
故选：
【点睛】本题考查的是点到直线的距离，垂线段最短，圆外一点与圆的最短距离，新定义的理解，弄懂新定义的含义是解题的关键．
4．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算．
【详解】如图所示，（1）为上一动点，点关于线段的对称点为点，连接，则，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线相交于点，与相交于点M．
四边形是平行四边形
则
（2）找一点， 连接，则，过点作的平行线，连接则．
此时（1）中周长取到最小值
四边形是平行四边形 四边形是正方形，
又，，
又是等腰三角形
，则圆的半径，
故选：B．
【点睛】本题难度较大，需要具备一定的几何分析方法．关键是要找到周长取最小值时的位置．
5．（2021·湖北中考真题）如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论：
①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】延长，交于点，交于点，连接，交于点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据矩形的判定与性质可得，由此可判断①；先根据三角形全等的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此可判断③；根据直角三角形的性质可得，从而可得，由此可判断②；先根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再解直角三角形可得的最小值，从而可得的最小值，由此可判断④．
【详解】解：如图，延长，交于点，交于点，连接，交于点，
四边形是正方形，，，
在和中，，，，
，四边形是矩形，
，，即结论①正确；
，，，即结论③正确；
，，，
，即，结论②正确；由垂线段最短可知，当时，取得最小值，
此时在中，，
又，的最小值与的最小值相等，即为，结论④错误；
综上，正确的结论为①②③，共有3个，故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
6．（2020·广西贵港市·中考真题）如图，动点在边长为2的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作点E关于DC的对称点E，设AB的中点为点O，连接OE，交DC于点P，连接PE，由轴对称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE＋PM的最小值为OE的值减去以AB为直径的圆的半径OM，根据正方形的性质及勾股定理计算即可．
【详解】解答：解：作点E关于DC的对称点E，设AB的中点为点O，连接OE，交DC于点P，连接PE，如图：
∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，
∴点M在以AB为直径的圆上，OM＝AB＝1，
∵正方形ABCD的边长为2，∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，
∵E是AD的中点，∴DE＝AD＝×2＝1，
∵点E与点E关于DC对称，∴DE＝DE＝1，PE＝PE，∴AE＝AD＋DE＝2＋1＝3，
在Rt△AOE中，OE＝＝＝，
∴线段PE＋PM的最小值为：PE＋PM＝PE＋PM＝ME＝OE−OM＝−1．故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
7．（2021·湖南衡阳市·中考真题）如图，矩形纸片，点M、N分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点P与点A重合时，；③的面积S的取值范围是．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】C
【分析】根据矩形的性质与折叠的性质，证明出，，通过等量代换，得到PM=CN，则由一组邻边相等的平行四边形是菱形得到结论正确；用勾股定理，，由菱形的性质对角线互相垂直，再用勾股定理求出；当过点D时，最小面积，当P点与A点重合时，S最大为，得出答案．
【详解】解：①如图1，
∵，∴，∵折叠，∴，NC=NP
∴，∴，∴PM=CN，∴，∴四边形为平行四边形，
∵，∴平行四边形为菱形，故①正确，符合题意；
②当点P与A重合时，如图2所示
设，则，在中，，
即，解得：，∴，，∴，
又∵四边形为菱形，∴，且，∴
∴，故②错误，不符合题意．
③当过点D时，如图3所示：
此时，最短，四边形的面积最小，则S最小为，
当P点与A点重合时，最长，四边形的面积最大，则S最大为，
∴，故③正确，符合题意．故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、折叠问题、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理与性质定理、勾股定理是解决本题的关键．
8．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，，，把边AB沿对角线BD平移，点，分别对应点A，B．给出下列结论：①顺次连接点，，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线的对称点的距离为48；③的最大值为15；④的最小值为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据平移的性质和平行四边形的判定方法判断①，再利用等积法得出点C到BD的距离，从而对②做出判断，再根据三角形的三边关系判断③，如图，作关于的对称点，交于 连接，过作于 分别交于 证明 是最小值时的位置，再利用勾股定理求解，对④做出判断．
【详解】解：由平移的性质可得AB//且AB=
∵四边形ABCD为矩形∴AB//CD，AB=CD=15∴//CD且=CD
∴四边形CD为平行四边形，故①正确
在矩形ABCD中，BD===25,过A作AM⊥BD，CN⊥BD，则AM=CN
∴S△ABD=AB·CD= BD·AM∴AM=CN==12∴点C到的距离为24
∴点C到它关于直线的对称点的距离为48∴故②正确
∵∴当在一条直线时最大，此时与D重合
∴的最大值==15∴故③正确，
如图，作关于的对称点，交于 连接，过作于 分别交于 则 为的中位线， ，
由可得，
此时最小，由②同理可得：
设 则
由勾股定理可得：
整理得： 解得：（负根舍去），
∴故④正确故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质以及平移的性质,锐角三角函数的应用等知识点，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
9．（2021·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM＝AB时，PB＋PM的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．2＋2 D．3＋3
【答案】B
【分析】作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，则PB＋PM的最小值为B'M的长，过点B'作B'H⊥AB交H点，在Rt△BB'H中，B'H＝3，HB＝3，可求MH＝1，在Rt△MHB'中，B'M＝2，所以PB＋PM的最小值为2．
【详解】解：作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，
∴BP＝B'P，BC＝B'C，∴PB＋PM＝B'P＋PM≥B'M，∴PB＋PM的最小值为B'M的长，
过点B'作B'H⊥AB交H点，
∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴∠CBA＝60°，∵AB＝6，∴BC＝3，∴BB'＝BC＋B'C＝6，
在Rt△BB'H中，∠B'BH＝60°，∴∠BB'H＝30°，∴BH＝3，
由勾股定理可得：，∴AH＝AB－BH＝3，
∵AM＝AB，∴AM＝2，∴MH＝AH－AM＝1，在Rt△MHB'中，，
∴PB＋PM的最小值为2，故选：B．
【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，涉及到解直角三角形，解题的关键是做辅助线，找出PB＋PM的最小值为B'M的长．
10．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的性质得到，得到，，过B作于H，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，当时，PQ的值最小，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：，，，解得：（负值舍去），
，，，
，，，，
过B作于H，，，
，，当时，PQ的值最小，
，，，，故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
11．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持，线段在x轴上平移，当的值最小时，点C的坐标为________．
【答案】（-1，0）
【分析】作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到点D坐标，从而可得点C坐标．
【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，可知四边形B′B″DC为平行四边形，
则B′C=B″D，由对称性质可得：BC=B′C，∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，
则此时AB″最小，即AD+BC最小，∵A（3，6），B（-2，2），∴B′（-2，-2），∴B″（-1，-2），
设直线AB″的表达式为：y=kx+b，则，解得：，∴直线AB″的表达式为：y=2x，
令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），∴点C坐标为（-1，0），故答案为：（-1，0）．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，一次函数表达式，解题的关键是找到AD+BC最小时的情形．
12．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根据勾股定理可以求得CB′的值，从而可以解答本题．
【详解】以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，，如图所示，
则∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′，∴△APP′是等边三角形，∴AP=PP′，∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，
∵PP′+P′B′+PC≥CB′，∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，
∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2，∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB•cos∠BAC=2×cos30°=，
∴CB′=，故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想．
13．（2021·辽宁营口市·中考真题）如图，，以O为圆心，4为半径作弧交于点A，交于点B，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点D，E为上一动点，连接，，则阴影部分周长的最小值为_________．
【答案】
【分析】先求出的长，作点D关于OM的对称点，连接B交OM于点，连接O，则B+ D= B+ =B，此时，BE+DE的最小值= B，进而即可求解．
【详解】解：由题意得：OC平分∠MON，∴∠BOD=，∴的长=，
作点D关于OM的对称点，连接B交OM于点，连接O，则B+ D= B+ =B，此时，BE+DE的最小值= B，∵∠AO=∠AOD=∠BOD=20°，∴∠BO=60 °，
∵O=OD=OB，∴是等边三角形，∴B=OB=4，
∴阴影部分周长的最小值=，故答案是：．
【点睛】本题主要考查弧长公式以及等边三角形的判定和性质，通过轴对称的性质，构造BE+DE的最小值= B，是解题的关键．
14．（2021·福建中考真题）如图，在矩形中，，点E，F分别是边上的动点，点E不与A，B重合，且，G是五边形内满足且的点．现给出以下结论：①与一定互补；②点G到边的距离一定相等；
③点G到边的距离可能相等；④点G到边的距离的最大值为．
其中正确的是_________．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】①利用四边形内角和为即可求证；
②过作，证明即可得结论；
③分别求出G到边的距离的范围，再进行判断；
④点G到边的距离的最大值为当时，GE即为所求．
【详解】 ①四边形是矩形
,四边形内角和为①正确．
②如图：过作
，
又即点G到边的距离一定相等②正确．
③如图：过作
而
所以点G到边的距离不可能相等③不正确．
④如图：
当时，点G到边的距离的最大
④正确．综上所述：①②④正确．故答案为①②④．
【点睛】本题考查了动点问题，四边形内角和为，全等三角形的证明，点到直线的距离，锐角三角函数，矩形的性质，熟悉矩形的性质是解题的关键．
15．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______．
【答案】
【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小为MH，再算出MC的长度， 在直角三角形MPC中利用三角函数即可解得MH
【详解】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小
∵菱形中，∴AB=BC=AC=10，△ABC为等边三角形
∴∠PBC=30°，∠ACB=60°∴在直角△PBH中，∠PBH=30°∴PH=
∴此时得到最小值，
∵AC=10，AM=3,∴MC=7又∠MPC=60°∴MH=MCsin60°=故答案为：
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键.
16．（2021·山东淄博市·中考真题）两张宽为的纸条交叉重叠成四边形，如图所示．若，则对角线上的动点到三点距离之和的最小值是__________．
【答案】
【分析】由题意易得四边形是菱形，过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，易得，，然后根据勾股定理可得，则，，进而可得，要使为最小，即的值为最小，则可过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，最后根据“胡不归”问题可求解．
【详解】解：∵纸条的对边平行，即，∴四边形是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都为，∴，∴，∴四边形是菱形，
过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，如图所示：
∴，∴，∴，
∵，，∴，，
∴，∴，
∴，，
∴，
过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，如图所示：
∴，要使的值为最小，则需满足为最小，根据三角不等关系可得：，所以当B、P、M三点共线时，取最小，即为BM的长，如图所示：
∴，∴，
∴的最小值为，即的最小值为；故答案为．
【点睛】本题主要考查三角函数、菱形的性质与判定及含30°直角三角形的性质，解题的关键是利用“胡不归”原理找到最小值的情况，然后根据三角函数及菱形的性质进行求解即可．
17．（2021·山东威海市·中考真题）如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为__________________．
【答案】．
【分析】根据SAS证明△DEA≌△AFB，得∠ADE=∠BAF，再证明∠DGA=90°，进一步可得点G在以AD为直径的半圆上，且O，G，B三点共线时BG取得最小值．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC-∠DAE，AD=AB，
∵AE=BF∴△DEA≌△AFB，
∴∠DAF+∠BAF=∠DAB=90°， ∠ADE+∠DAF=90°∴∠DGA=90°
∴点G在以AD为直径的圆上移动，连接OB，OG，如图：
∴ 在Rt△AOB中，∠OAB=90°∴OB=
∵ ∴当且公当O，G，B三点共线时BG取得最小值．
∴BC的最小值为：．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形三边关系，圆周角定理等相关知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
18．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）如图，已知正方形的边长为6，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为___________．
【答案】-3
【分析】根据正方形的性质得到∠ADC＝90°，推出∠DFC＝90°，点F在以DC为直径的半圆上移动，，如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADF＋∠CDF＝90°，
∵，∴∠DCF＋∠CDF＝90°，∴∠DFC＝90°，∴点F在以DC为直径的半圆上移动，
如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，
连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，OF＝3，
∵∠G＝90°，PG＝DG＝AB＝6，∴OG＝9，∴OP＝，
∴FP＝-3，∴BE＋FE的长度最小值为-3，故答案为：-3．
【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
19．（2021·贵州铜仁市·中考真题）如图，、分别是正方形的边、上的动点，满足，连接、，相交于点，连接，若正方形的边长为2．则线段的最小值为______________．
【答案】
【分析】先证明△BCE≌△CDF，推出，确定当A、G、C三点共线时，AG最短，此时点G与点O重合，由此求出答案．
【详解】解：连接AC、BD，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，，
∵ ，∴BE=CF，∴△BCE≌△CDF，∴，
∵，∴，∴，
当A、G、C三点共线时，AG最短，连接MF、MO，
∵，∴，∴当A、G、C三点共线时，此时点G与点O重合，
∵AD=2，OA=OD，,∴,故答案为：．
【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质熟记各定义并应用解决问题是解题的关键．
20．（2021·山东青岛·中考真题）已知正方形的边长为3，为上一点，连接并延长，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，为的中点，为上一动点，分别连接，．若，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】由正方形的性质，可得A点与C点关于BD对称，则有MN +CM=MN+AM≥AN，所以当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小为AN，先证明△DCG~△FCE，再由，可得，分别求出DE=1，CE=2，CF=6，即可求出AN．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴A点与C点关于BD对称，
∴CM=AM，∴MN+CM=MN+AM≥AN，∴当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小，
∵AD∥CF，∴∠DAE=∠F，∵∠DAE+∠DEH=90°，∵DG⊥AF，∴∠CDG+∠DEH=90°，
∴∠DAE=∠CDG，∴∠CDG=∠F，∴△DCG~△FCE，∵，∴ ，
∵正方形边长为3，∴CF=6，∵AD∥CF， ，∴DE=1，CE=2，
在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2，∴ ，
∵N是EF的中点， ，在Rt△ADE中，EA2=AD2+DE2，∴ ，
∴ ，∴MN+MC的最小值为 ．故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握正方形的性质，用轴对称求最短距离的方法，灵活应用三角形相似、勾股定理是解题的关键．
21．（2021·湖北·武汉市开发区一中九年级阶段练习）如图，是的直径，，C为的三等分点（更靠近A点），点P是上一个动点，取弦的中点D，则线段的最大值为__________．
【答案】+1
【分析】如图，连接OD，OC，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题．
【详解】解：如图，连接OD，OC，
∵AD＝DP，∴OD⊥PA，∴∠ADO＝90°，
∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，
∵C为的三等分点，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴CK⊥OA，
在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK=，
∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值为+1，故答案为：+1．
【点睛】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．
22．（2021·陕西中考真题）如图，正方形的边长为4，的半径为1．若在正方形内平移（可以与该正方形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为______．
【答案】
【分析】由题意易得当与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到上的点的距离取得最大，进而根据题意作图，则连接AC，交于点E，然后可得AE的长即为点A到上的点的距离为最大，由题意易得，则有△OFC是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质可得，最后问题可求解．
【详解】解：由题意得当与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到上的点的距离取得最大，如图所示：
连接AC，OF，AC交于点E，此时AE的长即为点A到上的点的距离为最大，如图所示，
∵四边形是正方形，且边长为4，∴，
∴△OFC是等腰直角三角形，，∵的半径为1，∴，
∴，∴，∴，
即点A到上的点的距离的最大值为；故答案为．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、切点的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、切点的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．
23．（2021·广东中考真题）在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____．
【答案】
【分析】由已知，，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点在以为圆心为半径的圆上，线段长度的最小值为．
【详解】如图： 以为半径作圆，过圆心作，
以为圆心为半径作圆，则点在圆上，
,
线段长度的最小值为: ．故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
24．（2021·内江·中考真题）已知非负实数，，满足，设的最大值为，最小值为，则的值为 __．
【答案】
【分析】设，则，，，可得；利用a，b，c为非负实数可得k的取值范围，从而求得m，n的值，结论可求．
【详解】解：设，则，，，
．
，，为非负实数，，解得：．
当时，取最大值，当时，取最小值．
，．．故答案为：
【点睛】本题主要考查了比例的性质，解不等式组，非负数的应用等，设是解题的关键．
25．（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点D、E分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是_________．
【答案】
【分析】连接DF，先根据相似三角形判定与性质证明,得到,进而根据CD=2BD，CF=2AF，得到,根据△ABC中，AB=4，BC=5，得到当AB⊥BC时，△ABC面积最大，即可求出△AFE面积的最大值．
【详解】解：如图，连接DF，∵CD=2BD，CF=2AF，∴，
∵∠C=∠C，∴△CDF∽△CBA，∴,∠CFD=∠CAB，
∴DF∥BA，∴△DFE∽△ABE，∴,∴,
∵CF=2AF，∴,∴,
∵CD=2BD，∴,∴,
∵△ABC中，AB=4，BC=5，∴，当AB⊥BC时，△ABC面积最大，为，
此时△AFE面积最大为．故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据相似三角形的性质与判定得到,理解等高三角形的面积比等于底的比是解题关键．
26．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知点，点为直线上的一动点，点，，于点，连接．若直线与正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为________．
【答案】
【分析】设直线y＝﹣2与y轴交于G，过A作AH⊥直线y＝﹣2于H，AF⊥y轴于F，根据平行线的性质得到∠ABH＝α，由三角函数的定义得到，根据相似三角形的性质得到比例式，于是得到GB（n+2）（3﹣n）（n）2，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，设直线y＝﹣2与y轴交于G，过A作AH⊥直线y＝﹣2于H，AF⊥y轴于F，
∵BH∥x轴，∴∠ABH＝α，在Rt△ABH中， ,，
即= ∵sinα随BA的减小而增大，
∴当BA最小时sinα有最大值；即BH最小时，sinα有最大值，即BG最大时，sinα有最大值，
∵∠BGC＝∠ACB＝∠AFC＝90°，∴∠GBC+∠BCG＝∠BCG+∠ACF＝90°，
∴∠GBC＝∠ACF，∴△ACF∽△CBG，∴，
∵，即，∴BG（n+2）（3﹣n）（n）2，
∵∴当n时，BG最大值故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线证得△ACF∽△CBG是解题的关键．
27．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，则BD长的最大值为__．
【答案】9
【分析】由旋转知△BPD是顶角为120°的等腰三角形，可求得BD＝BP，当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP＝BA最大，求出AB的长即可解决问题．
【详解】解：∵将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，
∴BP＝PD，∴△BPD是等腰三角形，∴∠PBD＝30°，过点P作PH⊥BD于点H，∴BH＝DH，
∵cos30°＝＝，∴BH＝BP，∴BD＝BP，
∴当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP＝BA最大，
过点A作AG⊥BC于点G，∵AB＝AC，AG⊥BC，∴BG＝BC＝3，
∵cos∠ABC＝，∴，∴AB＝9，∴BD最大值为：BP＝9．答案为：9．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角函数等知识，证明出BD=BP是解题的关键．
28．（2021·陕西中考真题）问题提出（1）如图1，在中，，，，E是的中点，点F在上且求四边形的面积．（结果保留根号）
问题解决（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点O、P、M、N分别在边、、、上，且满足，．已知五边形中，，，，，．满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最小值及这时点到点的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在符合设计要求的四边形面积的最小值为，这时，点N到点A的距离为．
【分析】（1）在中，设边上的高为h，根据题意求出h的值，，计算即可；（2）存在．如图，分别延长与，交于点F，则四边形是矩形．
设，则， ， ，，在根据列出关于x的一元二次方程，根据二次函数最值得方法求解即可．
【详解】解：（1）在中，设边上的高为h．∵，，∴
∵，∴点到的距离为．∴．
（2）存在．如图，分别延长与，交于点F，则四边形是矩形．
设，则， ， ，．
由题意，易知，
∴
．∴当时，．
，．
∴符合设计要求的四边形面积的最小值为，这时，点N到点A的距离为．
【点睛】本题主要考查平行四边形性质，运用锐角三角函数求边长，根据二次函数图像求最值问题，正确列出所求图形面积的式子是解题关键．
29．（2021·江苏徐州市·中考真题）如图1，正方形的边长为4，点在边上（不与重合），连接．将线段绕点顺时针旋转90°得到，将线段绕点逆时针旋转90°得到．连接．（1）求证：①的面积；②；
（2）如图2，的延长线交于点，取的中点，连接，求的取值范围．
【答案】（1）①见详解；②见详解；（2）4≤MN＜
【分析】（1）①过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，证明，即可得到结论；②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，证明，结合，可得GD=EH，同理：FG=AH，从而得，进而即可得到结论；
（2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，可得∠AMD=90°，MN=EF，HG= 2AD=8，EH+FG= AD=4，然后求出当点P与点D重合时， EF最大值=，当点P与AD的中点重合时，EF最小值= HG=8，进而即可得到答案．
【详解】（1）①证明：过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，
∵∠FPG+∠PFG=90°，∠FPG+∠CPD=90°，∴∠FPG=∠CPD，
又∵∠PGF=∠CDP=90°，PC=PF，∴（AAS），∴FG=PD，
∴的面积；
②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，
∵∠EPH+∠PEH=90°，∠EPH +∠BPA=90°，∴∠PEH =∠BPA，
又∵∠PHE=∠BAP=90°，PB=PE，∴（AAS），∴EH=PA，
由①得：FG=PD，∴EH+FG=PA+PD=AD=CD，由①得：，∴PG=CD，
∴PD+GD= CD= EH+FG，∴FG+ GD= EH+FG，∴GD=EH，同理：FG=AH，
又∵∠AHE=∠FGD，∴，∴；
（2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，
由（1）得：，∴∠HAE=∠GFD，
∵∠GFD+∠GDF=90°，∴∠HAE+∠GDF=90°，
∵∠HAE=∠MAD，∠GDF=∠MDA，∴∠MAD+∠MDA=90°，∴∠AMD=90°，
∵点N是EF的中点，∴MN=EF，
∵EH=DG=AP，AH=FG=PD，∴HG=AH+DG+AD=PD+AP+AD=2AD=8，EH+FG=AP+PD=AD=4，
当点P与点D重合时，FG=0，EH=4，HG=8，
此时EF最大值=，当点P与AD的中点重合时，FG=2，EH=2，HG=8，
此时EF最小值= HG=8，∴的取值范围是：4≤MN＜．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，添加辅助线，构造直角全等的直角三角形，是解题的关键．
30．（2021·四川广元市·中考真题）如图1，在中，，，点D是边上一点（含端点A、B），过点B作垂直于射线，垂足为E，点F在射线上，且，连接、．（1）求证：；（2）如图2，连接，点P、M、N分别为线段、、的中点，连接、、．求的度数及的值；（3）在（2）的条件下，若，直接写出面积的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；；（3）
【分析】（1）根据两边对应成比例，夹角相等判定即可．（2）的值可以根据中位线性质，进行角转换，通过三角形内角和定理求解即可，的比值转换为的比值即可求得.（3）过点作垂直于的延长线于点，，将相关线段关系转化为CE，可得关系，观察图象，当时，可得最大值．
【详解】（1）证明：∵，∴,
∵垂直于射线, ∴ 又∵∴,
∵即： 又∵ ∴
（2）解：∵点P、M、N分别为线段、、的中点∴，，
∴, ∴
又∵∴
又∵ ∴ ∴
又∵ ∴
又∵又∵∴ ∴
（3）如下图：
过点作垂直于的延长线于点,
又∵∴∴
∴当取得最大值时，取得最大值，
在以的中点为圆心，为直径的圆上运动，
当时，最大，∴，
【点睛】本题考查的是三角形相似和判定、以及三角形面积最大值的求法，根据题意找见相关的等量是解题关键．
31．（2021·甘肃武威市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于两点，直线交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为分别交直线于点．（1）求抛物线的表达式；（2）当，连接，求的面积；（3）①是轴上一点，当四边形是矩形时，求点的坐标；②在①的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）①；②
【分析】（1）直接利用待定系数法即可求出答案．（2）由题意可求出，．利用三角函数可知在和中，，由此即可求出，从而可求出．即可求出D点坐标，继而求出．再根据，即可求出FD的长，最后利用三角形面积公式即可求出最后答案．（3）①连接，交于点．根据矩形的性质可知，．由可推出．由，可推出．再根据直线BC的解析式可求出C点坐标，即可得出OC的长，由此可求出AC的长，即可求出CH的长，最后即得出OH的长，即可得出H点坐标．②在中，利用勾股定理可求出的长，再根据结合可推出，即要使最小，就要最小，由题意可知当点在上时，为最小．即求出BC长即可．在中，利用勾股定理求出的长，即得出周长的最小值为．
【详解】解：（1）∵抛物线过两点，
，解得，，．
（2）．同理，．
又轴，轴，∴在和中，，即，
．当时，，
，即 ，．
（3）①如图，连接，交于点．
∵四边形是矩形，．
又，∴，．
∵四边形是矩形，．，
∵当x=0时，，∴，，
，，．
②在中，，
．
∴要使最小，就要最小．
，∴当点在上时，为最小．
在中，．周长的最小值是．
【点睛】本题为二次函数综合题．考查二次函数的图象和性质，解直角三角形，一次函数的图象和性质，矩形的性质，平行线分线段成比例，三角形三边关系以及勾股定理等知识，综合性强，较难．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
32．（2021·四川成都市·中考真题）在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．
（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长；
（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长；
（3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，最小值为1
【分析】（1）根据题意利用勾股定理可求出AC长为4．再根据旋转的性质可知，最后由等腰三角形的性质即可求出的长．（2）作交于点D，作交于点E．由旋转可得，．再由平行线的性质可知，即可推出，从而间接求出，．由三角形面积公式可求出．再利用勾股定理即可求出，进而求出．最后利用平行线分线段成比例即可求出的长．（3）作且交延长线于点P，连接．由题意易证明，
，，即得出．再由平行线性质可知，即得出，即可证明，由此即易证，得出，即点D为中点．从而证明DE为的中位线，即．即要使DE最小，最小即可．根据三角形三边关系可得当点三点共线时最小，且最小值即为，由此即可求出DE的最小值．
【详解】（1）在中，．
根据旋转性质可知，即为等腰三角形．
∵，即，∴，∴．
（2）如图，作交于点D，作交于点E．
由旋转可得，．
∵，∴，∴，∴，．
∵，即，∴．
在中，，∴．∴．
∵，∴，即，∴．
（3）如图，作且交延长线于点P，连接．∵，∴，
∵，即，
又∵，∴．∵，∴，
∴，∴，∴．
∴在和中 ，∴，
∴，即点D为中点．∵点E为AC中点，
∴DE为的中位线，∴，即要使DE最小，最小即可．
根据图可知，即当点三点共线时最小，且最小值为．∴此时，即DE最小值为1．
【点睛】本题为旋转综合题．考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质以及三角形三边关系，综合性强，为困难题．正确的作出辅助线为难点也是解题关键．
33．（2021·四川宜宾市·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP＋EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2+2x+6；（2）直角三角形，见解析；（3）存在，
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式；（2）分别求出三角形三边的平方，然后运用勾股定理逆定理即可证明；（3）在CE上截取CF=（即CF等于半径的一半），连接BF交⊙C于点P，连接EP，则BF的长即为所求．
【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），∴设该抛物线的表达式为y=a（x-2）2+8，
∵与y轴交于点C（0，6），∴把点C（0，6）代入得：a=，∴该抛物线的表达式为y=x2+2x+6；
（2）△BCE是直角三角形．理由如下：
∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，∴当y=0时，（x-2）2+8=0，解得：x1=-2，x2=6，
∴A（-2，0），B（6，0），∴BC2=62+62=72，CE2=（8-6）2+22=8，BE2=（6-2）2+82=80，
∴BE2=BC2+CE2，∴∠BCE=90°，∴△BCE是直角三角形；
（3）如图，在CE上截取CF=（即CF等于半径的一半），连接BF交⊙C于点P，连接EP，
则BF的长即为所求．
连接CP，∵CP为半径，∴ ，又∵∠FCP=∠PCE，∴△FCP∽△PCE，
∴ ，FP=EP，∴BF=BP+EP，
由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+EP为最小值．
∵CF=CE，E（2，8），∴F（，），∴BF=
【点睛】本题考查二次函数综合，待定系数法，二次函数图象和性质，勾股定理及其逆定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质等，题目综合性较强，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数图象和性质，圆的性质，相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．
34．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点、（点在右侧），与轴交于点，点的横坐标恰好为．动点、同时从原点出发，沿射线分别以每秒和个单位长度运动，经过秒后，以为对角线作矩形，且矩形四边与坐标轴平行．（1）求的值及秒时点的坐标；（2）当矩形与抛物线有公共点时，求时间的取值范围；（3）在位于轴上方的抛物线图象上任取一点，作关于原点的对称点为，当点恰在抛物线上时，求长度的最小值，并求此时点的坐标．
【答案】（1），；（2）；（3），
【分析】（1）将，代入，求出a，即可得到抛物线解析式，当秒时，，设的坐标为，建立方程求解即可；（2）经过秒后，，，由（1）方法知，的坐标为，的坐标为进而得出的坐标为，的坐标为将代入，将代入，解方程即可得到答案；（3）设，则关于原点的对称点为，当点恰好在抛物线上时，坐标为．过和作坐标轴平行线相交于点S，如图③则．又得，消去得，即可求解．
【详解】解：（1）由题意知，交点A坐标为，代入，
解得，∴抛物线解析式为．
当秒时，，设的坐标为， 则，解得或（舍），
所以的坐标为．
（2）经过秒后，，，由（1）方法知，的坐标为，的坐标为，
由矩形的邻边与坐标轴平行可知，的坐标为，的坐标为．
矩形在沿着射线移动的过程中，点与抛物线最先相交，
如图①，然后公共点变为2个，点与抛物线最后相离，然后渐行渐远．
如图②，将代入，得，解得，或（舍），
将代入，得，解得，或（舍）．
所以，当矩形与抛物线有公共点时，时间的取值范围是．
（3）设，则关于原点的对称点为，当点恰好在抛物线上时，坐标为．过和作坐标轴平行线相交于点S，如图③则
．又得，
消去得，
当时，长度的最小值为．此时，，解得，
所以，点的坐标是．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，勾股定理，矩形的性质，中心对称等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
重难点04 最值（范围）问题
【命题趋势】
最值问题，在中考里，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方。在各地中考种都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
【满分技巧】
1）.在代数部分最值问题，多出现在函数部分，无论是一次函数还是二次函数，都需要先求自变量的取值范围，再求函数解析式，根据实际问题，求得最值。有关内容在前面的一次函数、二次函数中都有诸多体现。近几年，利用配方法求最值来解决一些实际问题，也常常见到。
2）.在几何最值问题，几何背景下的最值是考生感觉较难的，往往没有思路。常见的有：(1)几何图形中在特殊位置下的最值； (2)比较难的线段的最值问题，其依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等；③借助于圆的知识；④二次函数的最值法解决。
3）几何最值问题中的基本模型举例
轴对称最值
(将军饮马)
图形
原理
两点之间线段最短
两点之间线段最短
三角形三边关系
特征
A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值
A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值
A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值
转化
作其中一个定点关于定直线l的对称点
先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点
作其中一个定点关于定直线l的对称点
折叠最值
图形
原理
两点之间线段最短
特征
在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．
转化
转化成求AB'+B'N+NC的最小值
【限时检测】
A卷（建议用时：70分钟）
1．（2021·辽宁和平·二模）如图，若点，点，在x轴上找一点P，使最小，则点P坐标为（ ）
A．（－5，0） B．（－1，0） C．（0，0） D．（1，0）
2．（2021·福建·九年级期中）如图，直角坐标系中两点，P为线段上一动点，作点B关于射线的对称点C，连接，则线段的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
3．（2021·山东菏泽·中考模拟）如图，矩形的顶点的坐标为，是的中点，是上的一点，当的周长最小时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）已知在中，，．点为边上的动点，点为边上的动点，则线段的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
6．（2021·广西贵港市·中考真题）如图，在ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）如图所示，在矩形纸片中，，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则下列结论成立的是（ ）
①；②当点与点重合时；③的面积的取值范围是；
④当时，．
A．①③ B．③④ C．②③ D．②④
8．（2021山东东营·中考模拟）在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，7），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为_____．
9．（2021·山东聊城市·中考真题）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为__________．
10．（2021·湖南永州市·中考真题）如图，A，B两点的坐标分别为，在x轴上找一点P，使线段的值最小，则点P的坐标是_______________．
11．（2020·广东广州市·中考真题）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：）9.9，10.1，10.0，若用作为这条线段长度的近以值，当______时，最小．对另一条线段的长度进行了次测量，得到个结果（单位：），若用作为这条线段长度的近似值，当_____时，最小．
12．（2021·内蒙古中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当的值最小时，的面积为__________．
13．（2020·湖北中考真题）如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为_____．
14．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为_____．
15．（2021·四川内江·中考真题）如图，矩形，，，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．当点在轴上运动时，点也随之在轴上运动，在这个运动过程中，点到原点的最大距离为__ ．
16．（2020·湖南娄底市·中考真题）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积的和证明了勾股定理，还可以用来证明结论：若、且为定值，则当_______时，取得最大值．
17．（2021·辽宁丹东·中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则_________；若，P为的费马点，则_________．
18．（2020·四川绵阳市·中考真题）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为_____．
19．（2021·上海中考真题）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为__________．
20．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，AD＝，点P为边AB上一点．以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A'．连结AA'，AA' 交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连结AQ，MQ，则AQ＋MQ的最小值是________
21．（2021·内蒙古通辽·中考真题）如图，是⊙O的弦，，点C是⊙O上的一个动点，且，若点M，N分别是，的中点，则图中阴影部分面积的最大值是__________．
22．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为( )
A． B． C． D．
23．（2021·贵州安顺市·中考真题）在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是______．
24．（2021·天津中考真题）已知抛物线（a，c为常数，）经过点，顶点为D．（Ⅰ）当时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）当时，点，若，求该抛物线的解析式；（Ⅲ）当时，点，过点C作直线l平行于x轴，是x轴上的动点，是直线l上的动点．当a为何值时，的最小值为，并求此时点M，N的坐标．
B卷（建议用时：90分钟）
1．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·湖北鄂州·中考真题）如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（ ）
A．3 B． C． D．
3．（2021·河北桥西·二模）“已知点和直线，求点到直线的距离可用公式计算”．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心的坐标为，半径为，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2021·湖北中考真题）如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论：
①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2020·广西贵港市·中考真题）如图，动点在边长为2的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·湖南衡阳市·中考真题）如图，矩形纸片，点M、N分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点P与点A重合时，；③的面积S的取值范围是．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
8．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，，，把边AB沿对角线BD平移，点，分别对应点A，B．给出下列结论：①顺次连接点，，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线的对称点的距离为48；③的最大值为15；④的最小值为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2021·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM＝AB时，PB＋PM的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．2＋2 D．3＋3
10．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持，线段在x轴上平移，当的值最小时，点C的坐标为________．
12．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为____________．
13．（2021·辽宁营口市·中考真题）如图，，以O为圆心，4为半径作弧交于点A，交于点B，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点D，E为上一动点，连接，，则阴影部分周长的最小值为_________．
14．（2021·福建中考真题）如图，在矩形中，，点E，F分别是边上的动点，点E不与A，B重合，且，G是五边形内满足且的点．现给出以下结论：①与一定互补；②点G到边的距离一定相等；
③点G到边的距离可能相等；④点G到边的距离的最大值为．
其中正确的是_________．（写出所有正确结论的序号）
15．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______．
16．（2021·山东淄博市·中考真题）两张宽为的纸条交叉重叠成四边形，如图所示．若，则对角线上的动点到三点距离之和的最小值是__________．
17．（2021·山东威海市·中考真题）如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为__________________．
18．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）如图，已知正方形的边长为6，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为___________．
19．（2021·贵州铜仁市·中考真题）如图，、分别是正方形的边、上的动点，满足，连接、，相交于点，连接，若正方形的边长为2．则线段的最小值为______________．
20．（2021·山东青岛·中考真题）已知正方形的边长为3，为上一点，连接并延长，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，为的中点，为上一动点，分别连接，．若，则的最小值为__________．
21．（2021·湖北·武汉市开发区一中九年级阶段练习）如图，是的直径，，C为的三等分点（更靠近A点），点P是上一个动点，取弦的中点D，则线段的最大值为__________．
22．（2021·陕西中考真题）如图，正方形的边长为4，的半径为1．若在正方形内平移（可以与该正方形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为______．
23．（2021·广东中考真题）在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____．
24．（2021·内江·中考真题）已知非负实数，，满足，设的最大值为，最小值为，则的值为 __．
25．（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点D、E分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是_________．
26．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知点，点为直线上的一动点，点，，于点，连接．若直线与正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为________．
27．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，则BD长的最大值为__．
28．（2021·陕西中考真题）问题提出（1）如图1，在中，，，，E是的中点，点F在上且求四边形的面积．（结果保留根号）
问题解决（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点O、P、M、N分别在边、、、上，且满足，．已知五边形中，，，，，．满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最小值及这时点到点的距离；若不存在，请说明理由．
29．（2021·江苏徐州市·中考真题）如图1，正方形的边长为4，点在边上（不与重合），连接．将线段绕点顺时针旋转90°得到，将线段绕点逆时针旋转90°得到．连接．（1）求证：①的面积；②；
（2）如图2，的延长线交于点，取的中点，连接，求的取值范围．
30．（2021·四川广元市·中考真题）如图1，在中，，，点D是边上一点（含端点A、B），过点B作垂直于射线，垂足为E，点F在射线上，且，连接、．（1）求证：；（2）如图2，连接，点P、M、N分别为线段、、的中点，连接、、．求的度数及的值；（3）在（2）的条件下，若，直接写出面积的最大值．
31．（2021·甘肃武威市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于两点，直线交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为分别交直线于点．（1）求抛物线的表达式；（2）当，连接，求的面积；（3）①是轴上一点，当四边形是矩形时，求点的坐标；②在①的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值．
32．（2021·四川成都市·中考真题）在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．
（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长；
（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长；
（3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
33．（2021·四川宜宾市·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP＋EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
34．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点、（点在右侧），与轴交于点，点的横坐标恰好为．动点、同时从原点出发，沿射线分别以每秒和个单位长度运动，经过秒后，以为对角线作矩形，且矩形四边与坐标轴平行．（1）求的值及秒时点的坐标；（2）当矩形与抛物线有公共点时，求时间的取值范围；（3）在位于轴上方的抛物线图象上任取一点，作关于原点的对称点为，当点恰在抛物线上时，求长度的最小值，并求此时点的坐标．
重难点04 最值（范围）问题
【命题趋势】
最值问题，在中考里，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方。在各地中考种都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
【满分技巧】
1）.在代数部分最值问题，多出现在函数部分，无论是一次函数还是二次函数，都需要先求自变量的取值范围，再求函数解析式，根据实际问题，求得最值。有关内容在前面的一次函数、二次函数中都有诸多体现。近几年，利用配方法求最值来解决一些实际问题，也常常见到。
2）.在几何最值问题，几何背景下的最值是考生感觉较难的，往往没有思路。常见的有：(1)几何图形中在特殊位置下的最值； (2)比较难的线段的最值问题，其依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等；③借助于圆的知识；④二次函数的最值法解决。
3）几何最值问题中的基本模型举例
轴对称最值
(将军饮马)
图形
原理
两点之间线段最短
两点之间线段最短
三角形三边关系
特征
A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值
A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值
A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值
转化
作其中一个定点关于定直线l的对称点
先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点
作其中一个定点关于定直线l的对称点
折叠最值
图形
原理
两点之间线段最短
特征
在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．
转化
转化成求AB'+B'N+NC的最小值
【限时检测】
A卷（建议用时：70分钟）
1．（2021·辽宁和平·二模）如图，若点，点，在x轴上找一点P，使最小，则点P坐标为（ ）
A．（－5，0） B．（－1，0） C．（0，0） D．（1，0）
【答案】C
【分析】要使|PA−PB|最小让PA＝PB即可，根据两点间的距离公式，列出方程，即可求解．
【详解】解：根据题意要使|PA−PB|最小，则PA＝PB即可，设P（x，0），
∴，解得：x=0，∴P（0，0）故选：C．
【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，根据题意确定PA＝PB时P点符合题意是解题的关键．
2．（2021·福建·九年级期中）如图，直角坐标系中两点，P为线段上一动点，作点B关于射线的对称点C，连接，则线段的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】如图，当C位于y轴上时，AC取最小值，通过对称证明，进而求得AC的最小值.
【详解】解：如图，当C位于y轴上时，AC取最小值，
∵C是B关于射线的对称点，∴，，
又∵∴，∴∴，故答案为A.
【点睛】本题考查坐标系与图像的性质、三角形全等与轴对称的综合应用，找到AC取最小值的位置是解题的关键.
3．（2021·山东菏泽·中考模拟）如图，矩形的顶点的坐标为，是的中点，是上的一点，当的周长最小时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，画出A点关于y轴的对称点A＇,连接A＇D,与y轴交于点E,根据连接两点的连线中，线段最短，可知此时的周长最小，再由A,可得A＇（4,5），因D(-2，0)，即可求得直线DE表达式是，所以点的坐标是，故选B.
4．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）已知在中，，．点为边上的动点，点为边上的动点，则线段的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作点F关于直线AB的对称点F’，如下图所示，此时EF+EB= EF’+EB，再由点到直线的距离垂线段长度最短求解即可．
【详解】解：作点F关于直线AB的对称点F’，连接AF’，如下图所示：
由对称性可知，EF=EF’，此时EF+EB= EF’+EB，由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知，
当BF’⊥AF’时，EF+EB有最小值BF0，此时E位于上图中的E0位置，
由对称性知，∠CAF0=∠BAC=90°-75°=15°，∴∠BAF0=30°，
由直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半可知，BF0=AB=，故选：B．
【点睛】本题考查了30°角所对直角边等于斜边的一半，垂线段最短求线段最值等，本题的核心思路是作点F关于AC的对称点，将EF线段转移，再由点到直线的距离最短求解．
5．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，由题意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，进而可得△PCD≌△QED，则有∠PCD=∠QED=90°，然后可得点Q是在QE所在直线上运动，所以CQ的最小值为CQ⊥QE时，最后问题可求解．
【详解】解：以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示：
∵是等边三角形，∴，
∵∠CDQ是公共角，∴∠PDC=∠QDE，∴△PCD≌△QED（SAS），
∵，，点D是边的中点，
∴∠PCD=∠QED=90°，，∴点Q是在QE所在直线上运动，
∴当CQ⊥QE时，CQ取的最小值，∴，∴；故选B．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键．
6．（2021·广西贵港市·中考真题）如图，在ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】如图，取的中点，连接，．首先证明，求出，，根据，可得结论．
【详解】解：如图，取的中点，连接，．
，，，，，
，，，
，，的最小值为4，故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出，的长，属于中考常考题型．
7．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）如图所示，在矩形纸片中，，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则下列结论成立的是（ ）
①；②当点与点重合时；③的面积的取值范围是；
④当时，．
A．①③ B．③④ C．②③ D．②④
【答案】D
【分析】①根据题意可知四边形BFGE为菱形，所以EF⊥BG且BN=GN，若BN=AB，则BG=2AB=6，又因为点E是AD边上的动点，所以3
若BN=AB，则BG=2AB=6，又∵点E是AD边上的动点，∴3
在Rt△ABE中即
解得：AE=，∴BF=DE=6-=．∴HF=-=．
在Rt△EFH中 =；故②正确；
③当点E与点A重合时，如图所示，的面积有最小值= =，
当点G与点D重合时的面积有最大值==．故<<．③错误．
④因为，则EG=BF=6-=．根据勾股定理可得ME= ，
∴．故④正确．故选D．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质等知识，掌握相关知识找到临界点是解题的关键．
8．（2021山东东营·中考模拟）在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，7），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为_____．
【答案】（﹣，0）
分析：要使得MB-MA的值最大，只需取其中一点关于x轴的对称点，与另一点连成直线，然后求该直线x轴交点即为所求．
【解析】取点B关于x轴的对称点B′，则直线AB′交x轴于点M．点M即为所求．
设直线AB′解析式为：y=kx+b 把点A（-1，-1）B′（2，-7）代入
解得∴直线AB′为：y=-2x-3，
当y=0时，x=-∴M坐标为（-，0）故答案为：（-，0）
点睛：本题考查轴对称-最短路线问题、坐标与图象变换，解答本题的关键是明确题意，利用三角形两边之差小于第三边和一次函数的性质解答．
9．（2021·山东聊城市·中考真题）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为__________．
【答案】
【分析】先得出D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4），再通过转化，将求四边形BDEF的周长的最小值转化为求FG+BF的最小值，再利用两点之间线段最短得到当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，用待定系数法求出直线BG的解析式后，令y=0，即可求出点F的坐标，最后得到点E的坐标．
【详解】解：如图所示，∵D（0，4），∴D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4），∴ED=EH，
将点H向左平移3个单位，得到点G（-3，-4），∴EF=HG，EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，∴EH=FG，∴FG =ED，
∵B（-4，6），∴BD=，
又∵EF＝3，∴四边形BDEF的周长=BD+DE+EF+BF=+FG+3+BF,
要使四边形BDEF的周长最小，则应使FG+BF的值最小，
而当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，设直线BG的解析式为：
∵B（-4，6），G（-3，-4），∴，∴，∴，
当y=0时，，∴，∴故答案为：．
【点睛】本题综合考查了轴对称的性质、最短路径问题、平移的性质、用待定系数法求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是“转化”，即将不同的线段之间通过转化建立相等关系，将求四边形的周长的最小值问题转化为三点共线和最短的问题等，本题蕴含了数形结合与转化的思想方法等．
10．（2021·湖南永州市·中考真题）如图，A，B两点的坐标分别为，在x轴上找一点P，使线段的值最小，则点P的坐标是_______________．
【答案】
【分析】连接点A，B交轴于点P，则 PA+PB的值最小，此时点P即为所求．
【详解】解：连接点A，B，设直线AB的解析式为
点，点解得直线AB的解析式为
当时，则解得故答案为：
【点睛】本题考查了两线段之和的最值问题，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点等知识，熟练掌握解题方法是解题关键．
11．（2020·广东广州市·中考真题）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：）9.9，10.1，10.0，若用作为这条线段长度的近以值，当______时，最小．对另一条线段的长度进行了次测量，得到个结果（单位：），若用作为这条线段长度的近似值，当_____时，最小．
【答案】10.0； ．
【分析】（1）把整理得：，设，利用二次函数性质求出当时有最小值；
（2）把整理得：， 设，利用二次函数的性质可求出当 取最小值时的值．
【详解】解：（1）整理得：，
设，由二次函数的性质可知：当时，函数有最小值，
即：当时，的值最小，故答案为：10.0；
（2）整理得：，
设，由二次函数性质可知：
当时，有最小值，即：当时，的值最小，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数模型的应用，关键是设，整理成二次函数，利用二次函数的性质—何时取最小值来解决即可．
12．（2021·内蒙古中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当的值最小时，的面积为__________．
【答案】4
【分析】根据题意画出函数图像，要使的值最小，需运用对称相关知识求出点E的坐标，然后求的面积即可．
【详解】解：根据题意可求出，
抛物线的对称轴为：，
根据函数对称关系，点B关于的对称点为点A，
连接AD与交于点E，此时的值最小，过D点作x轴垂线，垂足为F，
设抛物线对称轴与x轴交点为G，
∵，∴，∴，∴，
过点C作的垂线，垂足为H，所以四边形ACHE的面积等于与梯形ACHG的面积和，
即，则S四边形ACHE-，故答案为：4．
【点睛】本题主要考查二次函数的交点坐标、对称轴、相似三角形、对称等知识点，根据题意画出图形，可以根据对称求出点E的坐标是解决本题的关键．
13．（2020·湖北中考真题）如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为_____．
【答案】12
【分析】以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，
∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB≌△DCA（SAS），∴BE=AD，
∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6
【点睛】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD转化为BE从而求解，是一道较好的中考题．
14．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为_____．
【答案】3
【分析】过C作CF⊥AB交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值为CF，根据等边三角形的性质得到BF＝AB＝6＝3，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：过C作CF⊥AB交AD于E，
则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值为CF，
∵△ABC为等边三角形，边长为6，∴BF＝AB＝6＝3，
∴CF＝＝＝3，∴CE+EF的最小值为3，故答案为：3．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，解题的关键是画出符合条件的图形．
15．（2021·四川内江·中考真题）如图，矩形，，，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．当点在轴上运动时，点也随之在轴上运动，在这个运动过程中，点到原点的最大距离为 __．
【答案】
【分析】取 的中点 ，连接 ， ，由勾股定理可求 的长，由直角三角形的性质可求 的长，由三角形的三边可求解．
【详解】如图，取的中点，连接，，
矩形，，，，，
点是的中点，，，
，点是的中点，，
在中，，当点在上时，，
的最大值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形的三边形关系，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造三角形是解题的关键．
16．（2020·湖南娄底市·中考真题）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积的和证明了勾股定理，还可以用来证明结论：若、且为定值，则当_______时，取得最大值．
【答案】=
【分析】设为定值，则，先根据“张爽弦图”得出，再利用平方数的非负性即可得．
【详解】设为定值，则
由“张爽弦图”可知， 即
要使的值最大，则需最小
又当时，取得最小值，最小值为0
则当时，取得最大值，最大值为故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、平方数的非负性，掌握勾股定理是解题关键．
17．（2021·辽宁丹东·中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则_________；若，P为的费马点，则_________．
【答案】5
【分析】①作出图形，过分别作,勾股定理解直角三角形即可
②作出图形，将绕点逆时针旋转60，P为的费马点则四点共线，即，再用勾股定理求得即可
【详解】①如图,过作，垂足为,
过分别作, 则, P为的费马点
5
②如图：.
将绕点逆时针旋转60 由旋转可得：
是等边三角形，
P为的费马点,即四点共线时候，
=故答案为：①5，②
【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数，等腰三角形性质，作出旋转的图形是解题的关键．本题旋转也可，但必须绕顶点旋转．
18．（2020·四川绵阳市·中考真题）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为_____．
【答案】
【分析】取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解决问题．
【详解】解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．
∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，∴OM＝AD＝2，
∵AB∥CD，∴∠GCF＝∠B＝60°，∴∠DGO＝∠CGE＝30°，
∵AD＝BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠ADC＝∠BCD＝120°，
∴∠DOG＝30°＝∠DGO，∴DG＝DO＝2，∵CD＝4，∴CG＝2，
∴OG＝2，GF＝，OF＝3，∴ME≥OF﹣OM＝3﹣2，
∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为3﹣2．
【点睛】本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
19．（2021·上海中考真题）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为__________．
【答案】
【分析】先确定正方形的中心O与各边的所有点的连线中的最大值与最小值，后结合旋转的条件即可求解．
【详解】解：如图1，设的中点为E，连接OA，OE，则AE=OE=1，∠AEO=90°，．
∴点O与正方形边上的所有点的连线中，最小，等于1，最大，等于．
∵，∴点P与正方形边上的所有点的连线中，
如图2所示，当点E落在上时，最大值PE=PO-EO=2-1=1；
如图3所示，当点A落在上时，最小值．
∴当正方形ABCD绕中心O旋转时，点P到正方形的距离d的取值范围是．
故答案为：
【点睛】本题考查了新定义、正方形的性质、勾股定理等知识点，准确理解新定义的含义和熟知正方形的性质是解题的关键．
20．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，AD＝，点P为边AB上一点．以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A'．连结AA'，AA' 交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连结AQ，MQ，则AQ＋MQ的最小值是________
【答案】
【分析】如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．想办法求出RM，RT，求出MT的最小值，再根据QA＋QM＝QM＋QT≥MT，可得结论．
【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点T，
取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠RAT＝90°，
∵AR＝DR＝，AT＝2AB＝4，∴RT＝，
∵A，A′关于DP对称，∴AA′⊥DP，∴∠AMD＝90°，∵AR＝RD，∴RM＝AD＝，
∵MT≥RT−RM，∴MT≥4，∴MT的最小值为4，
∵QA＋QM＝QT＋QM≥MT，∴QA＋QM≥4，∴QA＋QM的最小值为4．故答案为：4．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是求出MT的最小值，属于中考常考题型．
21．（2021·内蒙古通辽·中考真题）如图，是⊙O的弦，，点C是⊙O上的一个动点，且，若点M，N分别是，的中点，则图中阴影部分面积的最大值是__________．
【答案】
【分析】阴影面积由弓形ADB面积加上△MNB的面积，而弓形面积不变，因此只需要求出△MNB的最大面积，由M,N为AB,BC的中点，所以MN是△ABC的中位线，所以△BMN∽△BAC，所以S△BMN=S△ABC，求出△ABC的最大面积即可，而AB边为定值，当点C到AB的距离最大，三角形面积最大，当CM⊥AB时，三角形面积最大，即可求出阴影面积最大值．
【详解】连接OA,OB，连接OM，如图
∵ ,∴，
∵M为AB中点，∴OM⊥AB，, ∴,
设OM=x，则AO=2x，在Rt△AOM中 即 ，解得x=1，即 ,
S弓形ADB=S扇形OADB=，
∵M,N为边AB,BC的中点，∴∥AC，∴,∴,
当C,O,M在同一直线上时，△ABC的面积最大，由垂径定理可知，AC=BC,
又∵∠ACB=60°，∴△ABC为等边三角形，∴ ,
在Rt△ACM中，,∴的最大值为： ,
∴,∴阴影面积的最大值为：．故填：．
【点睛】本题考查弓形面积，扇形面积，圆心角与圆周角关系，三角形的中位线，相似三角形的性质，垂径定理，勾股定理，解题关键是将不规则面积转化为规则图形的面积．
22．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，
设Q(，)，则PM=，QM=，
∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N，
在△PQM和△Q′PN中，，∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，
∴PN=QM=，Q′N=PM=，∴ON=1+PN=，∴Q′(，)，
∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，
当m=2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′的最小值为，故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
23．（2021·贵州安顺市·中考真题）在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是______．
【答案】，2．
【分析】设为正方形ABCD的一个内接正三角形，不妨假设F、G分别在AB，CD上，E在AD上，作的高EK，可得点E，K，G，D四点共圆，从而得点K为一个定点，当GF最大时，的面积最大，当GF最小时，的面积最小，进而即可求解．
【详解】解：设为正方形ABCD的一个内接正三角形，不妨假设F、G分别在AB，CD上，E在AD上，如图，作的高EK，
∵∠EKG=∠EDG=90°，∴点E，K，G，D四点共圆，∴∠KDE=∠KGE=60°，
同理：∠KAE=∠KFE=60°，∴是一个正三角形，点K为一个定点，
∵正三角形的面积取决于它的边长，
∴当GF最大时，的面积最大，当GF最小时，的面积最小，
∴当KF⊥AB时，FG最小，即FG最小，此时，FG=AD=2，
当点F与点B重合时，KF最大，即FG最大，此时的面积最大，
过点K作AB的平行线交AD于点M，交BC于点N，
∴MK 为的高，∴MK=DKsin60°=ADsin60°=，∴KN=AB-MK=，
∵K为BG的中点，N为BC的中点，∴CG=2KN=，
∴FG=．
故答案是：，2．
【点睛】本题主要考查正方形和等边三角形的性质以及四边形外接圆的性质和判定，解直角三角形，根据题意画出图形，证明正方形的内接正三角形的一边中点是一个定点，是解题的关键．
24．（2021·天津中考真题）已知抛物线（a，c为常数，）经过点，顶点为D．（Ⅰ）当时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）当时，点，若，求该抛物线的解析式；（Ⅲ）当时，点，过点C作直线l平行于x轴，是x轴上的动点，是直线l上的动点．当a为何值时，的最小值为，并求此时点M，N的坐标．
【答案】（Ⅰ）抛物线的顶点坐标为；（Ⅱ）或；（Ⅲ）点M的坐标为，点N的坐标为
【分析】（Ⅰ）结合题意，通过列一元一次方程并求解，即可得到抛物线的解析式，将解析式化为顶点式，即可得到答案.（Ⅱ）根据题意，得抛物线的解析式为；根据抛物线对称轴的性质，计算得点D的坐标为；过点D作轴于点G，根据勾股定理和一元二次方程的性质，得，，从而得到答案；（Ⅲ）当时，将点向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得；作点F关于x轴的对称点，当满足条件的点M落在线段上时，根据两点之间线段最短的性质，得最小，结合题意，根据勾股定理和一元二次方程性质，得，从而得直线的解析式，通过计算即可得到答案．
【详解】（Ⅰ）当时，抛物线的解析式为．
∵抛物线经过点∴解得：∴抛物线的解析式为
∵∴抛物线的顶点坐标为；
（Ⅱ）当时，由抛物线经过点，可知
∴抛物线的解析式为∴抛物线的对称轴为：
当时，∴抛物线的顶点D的坐标为；过点D作轴于点G
在中，，，∴
在中，，，∴．
∵，即，∴解得：，
∴抛物线的解析式为或．
（Ⅲ）当时，将点向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得．
作点F关于x轴的对称点，得点的坐标为
当满足条件的点M落在线段上时，最小，此时，．
过点作轴于点H
在中，，，∴．
又，即．解得：，（舍）
∴点的坐标为，点的坐标为．∴直线的解析式为．
当时，．∴，∴点M的坐标为，点N的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数、一元一次方程、勾股定理、一元二次方程、平移、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、勾股定理、一元二次方程、平移的性质，从而完成求解．
B卷（建议用时：90分钟）
1．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的性质得到，得到，，过B作于H，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，当时，PQ的值最小，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：，，，解得：（负值舍去），
，，，
，，，，
过B作于H，，，
，，当时，PQ的值最小，
，
，，，故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
2．（2021·湖北鄂州·中考真题）如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的长，并得到点P是BO的中点，由线段长度即可得到是等边三角形，利用特殊三边关系即可求解．
【详解】解： 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆
由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短
点P是BO的中点在中，是等边三角形
在中，．
【点睛】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．
3．（2021·河北桥西·二模）“已知点和直线，求点到直线的距离可用公式计算”．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心的坐标为，半径为，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，过作于 交于 则此时最短，由新定义求解的长度即可得到答案．
【详解】解：如图，过作于 交于 则此时最短，
由新定义可得：
故选：
【点睛】本题考查的是点到直线的距离，垂线段最短，圆外一点与圆的最短距离，新定义的理解，弄懂新定义的含义是解题的关键．
4．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算．
【详解】如图所示，（1）为上一动点，点关于线段的对称点为点，连接，则，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线相交于点，与相交于点M．
四边形是平行四边形
则
（2）找一点， 连接，则，过点作的平行线，连接则．
此时（1）中周长取到最小值
四边形是平行四边形 四边形是正方形，
又，，
又是等腰三角形
，则圆的半径，
故选：B．
【点睛】本题难度较大，需要具备一定的几何分析方法．关键是要找到周长取最小值时的位置．
5．（2021·湖北中考真题）如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论：
①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】延长，交于点，交于点，连接，交于点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据矩形的判定与性质可得，由此可判断①；先根据三角形全等的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此可判断③；根据直角三角形的性质可得，从而可得，由此可判断②；先根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再解直角三角形可得的最小值，从而可得的最小值，由此可判断④．
【详解】解：如图，延长，交于点，交于点，连接，交于点，
四边形是正方形，，，
在和中，，，，
，四边形是矩形，
，，即结论①正确；
，，，即结论③正确；
，，，
，即，结论②正确；由垂线段最短可知，当时，取得最小值，
此时在中，，
又，的最小值与的最小值相等，即为，结论④错误；
综上，正确的结论为①②③，共有3个，故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
6．（2020·广西贵港市·中考真题）如图，动点在边长为2的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作点E关于DC的对称点E，设AB的中点为点O，连接OE，交DC于点P，连接PE，由轴对称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE＋PM的最小值为OE的值减去以AB为直径的圆的半径OM，根据正方形的性质及勾股定理计算即可．
【详解】解答：解：作点E关于DC的对称点E，设AB的中点为点O，连接OE，交DC于点P，连接PE，如图：
∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，
∴点M在以AB为直径的圆上，OM＝AB＝1，
∵正方形ABCD的边长为2，∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，
∵E是AD的中点，∴DE＝AD＝×2＝1，
∵点E与点E关于DC对称，∴DE＝DE＝1，PE＝PE，∴AE＝AD＋DE＝2＋1＝3，
在Rt△AOE中，OE＝＝＝，
∴线段PE＋PM的最小值为：PE＋PM＝PE＋PM＝ME＝OE−OM＝−1．故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
7．（2021·湖南衡阳市·中考真题）如图，矩形纸片，点M、N分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点P与点A重合时，；③的面积S的取值范围是．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】C
【分析】根据矩形的性质与折叠的性质，证明出，，通过等量代换，得到PM=CN，则由一组邻边相等的平行四边形是菱形得到结论正确；用勾股定理，，由菱形的性质对角线互相垂直，再用勾股定理求出；当过点D时，最小面积，当P点与A点重合时，S最大为，得出答案．
【详解】解：①如图1，
∵，∴，∵折叠，∴，NC=NP
∴，∴，∴PM=CN，∴，∴四边形为平行四边形，
∵，∴平行四边形为菱形，故①正确，符合题意；
②当点P与A重合时，如图2所示
设，则，在中，，
即，解得：，∴，，∴，
又∵四边形为菱形，∴，且，∴
∴，故②错误，不符合题意．
③当过点D时，如图3所示：
此时，最短，四边形的面积最小，则S最小为，
当P点与A点重合时，最长，四边形的面积最大，则S最大为，
∴，故③正确，符合题意．故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、折叠问题、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理与性质定理、勾股定理是解决本题的关键．
8．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，，，把边AB沿对角线BD平移，点，分别对应点A，B．给出下列结论：①顺次连接点，，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线的对称点的距离为48；③的最大值为15；④的最小值为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据平移的性质和平行四边形的判定方法判断①，再利用等积法得出点C到BD的距离，从而对②做出判断，再根据三角形的三边关系判断③，如图，作关于的对称点，交于 连接，过作于 分别交于 证明 是最小值时的位置，再利用勾股定理求解，对④做出判断．
【详解】解：由平移的性质可得AB//且AB=
∵四边形ABCD为矩形∴AB//CD，AB=CD=15∴//CD且=CD
∴四边形CD为平行四边形，故①正确
在矩形ABCD中，BD===25,过A作AM⊥BD，CN⊥BD，则AM=CN
∴S△ABD=AB·CD= BD·AM∴AM=CN==12∴点C到的距离为24
∴点C到它关于直线的对称点的距离为48∴故②正确
∵∴当在一条直线时最大，此时与D重合
∴的最大值==15∴故③正确，
如图，作关于的对称点，交于 连接，过作于 分别交于 则 为的中位线， ，
由可得，
此时最小，由②同理可得：
设 则
由勾股定理可得：
整理得： 解得：（负根舍去），
∴故④正确故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质以及平移的性质,锐角三角函数的应用等知识点，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
9．（2021·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM＝AB时，PB＋PM的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．2＋2 D．3＋3
【答案】B
【分析】作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，则PB＋PM的最小值为B'M的长，过点B'作B'H⊥AB交H点，在Rt△BB'H中，B'H＝3，HB＝3，可求MH＝1，在Rt△MHB'中，B'M＝2，所以PB＋PM的最小值为2．
【详解】解：作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，
∴BP＝B'P，BC＝B'C，∴PB＋PM＝B'P＋PM≥B'M，∴PB＋PM的最小值为B'M的长，
过点B'作B'H⊥AB交H点，
∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴∠CBA＝60°，∵AB＝6，∴BC＝3，∴BB'＝BC＋B'C＝6，
在Rt△BB'H中，∠B'BH＝60°，∴∠BB'H＝30°，∴BH＝3，
由勾股定理可得：，∴AH＝AB－BH＝3，
∵AM＝AB，∴AM＝2，∴MH＝AH－AM＝1，在Rt△MHB'中，，
∴PB＋PM的最小值为2，故选：B．
【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，涉及到解直角三角形，解题的关键是做辅助线，找出PB＋PM的最小值为B'M的长．
10．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的性质得到，得到，，过B作于H，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，当时，PQ的值最小，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：，，，解得：（负值舍去），
，，，
，，，，
过B作于H，，，
，，当时，PQ的值最小，
，，，，故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
11．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持，线段在x轴上平移，当的值最小时，点C的坐标为________．
【答案】（-1，0）
【分析】作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到点D坐标，从而可得点C坐标．
【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，可知四边形B′B″DC为平行四边形，
则B′C=B″D，由对称性质可得：BC=B′C，∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，
则此时AB″最小，即AD+BC最小，∵A（3，6），B（-2，2），∴B′（-2，-2），∴B″（-1，-2），
设直线AB″的表达式为：y=kx+b，则，解得：，∴直线AB″的表达式为：y=2x，
令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），∴点C坐标为（-1，0），故答案为：（-1，0）．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，一次函数表达式，解题的关键是找到AD+BC最小时的情形．
12．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根据勾股定理可以求得CB′的值，从而可以解答本题．
【详解】以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，，如图所示，
则∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′，∴△APP′是等边三角形，∴AP=PP′，∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，
∵PP′+P′B′+PC≥CB′，∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，
∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2，∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB•cos∠BAC=2×cos30°=，
∴CB′=，故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想．
13．（2021·辽宁营口市·中考真题）如图，，以O为圆心，4为半径作弧交于点A，交于点B，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点D，E为上一动点，连接，，则阴影部分周长的最小值为_________．
【答案】
【分析】先求出的长，作点D关于OM的对称点，连接B交OM于点，连接O，则B+ D= B+ =B，此时，BE+DE的最小值= B，进而即可求解．
【详解】解：由题意得：OC平分∠MON，∴∠BOD=，∴的长=，
作点D关于OM的对称点，连接B交OM于点，连接O，则B+ D= B+ =B，此时，BE+DE的最小值= B，∵∠AO=∠AOD=∠BOD=20°，∴∠BO=60 °，
∵O=OD=OB，∴是等边三角形，∴B=OB=4，
∴阴影部分周长的最小值=，故答案是：．
【点睛】本题主要考查弧长公式以及等边三角形的判定和性质，通过轴对称的性质，构造BE+DE的最小值= B，是解题的关键．
14．（2021·福建中考真题）如图，在矩形中，，点E，F分别是边上的动点，点E不与A，B重合，且，G是五边形内满足且的点．现给出以下结论：①与一定互补；②点G到边的距离一定相等；
③点G到边的距离可能相等；④点G到边的距离的最大值为．
其中正确的是_________．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】①利用四边形内角和为即可求证；
②过作，证明即可得结论；
③分别求出G到边的距离的范围，再进行判断；
④点G到边的距离的最大值为当时，GE即为所求．
【详解】 ①四边形是矩形
,四边形内角和为①正确．
②如图：过作
，
又即点G到边的距离一定相等②正确．
③如图：过作
而
所以点G到边的距离不可能相等③不正确．
④如图：
当时，点G到边的距离的最大
④正确．综上所述：①②④正确．故答案为①②④．
【点睛】本题考查了动点问题，四边形内角和为，全等三角形的证明，点到直线的距离，锐角三角函数，矩形的性质，熟悉矩形的性质是解题的关键．
15．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______．
【答案】
【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小为MH，再算出MC的长度， 在直角三角形MPC中利用三角函数即可解得MH
【详解】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小
∵菱形中，∴AB=BC=AC=10，△ABC为等边三角形
∴∠PBC=30°，∠ACB=60°∴在直角△PBH中，∠PBH=30°∴PH=
∴此时得到最小值，
∵AC=10，AM=3,∴MC=7又∠MPC=60°∴MH=MCsin60°=故答案为：
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键.
16．（2021·山东淄博市·中考真题）两张宽为的纸条交叉重叠成四边形，如图所示．若，则对角线上的动点到三点距离之和的最小值是__________．
【答案】
【分析】由题意易得四边形是菱形，过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，易得，，然后根据勾股定理可得，则，，进而可得，要使为最小，即的值为最小，则可过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，最后根据“胡不归”问题可求解．
【详解】解：∵纸条的对边平行，即，∴四边形是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都为，∴，∴，∴四边形是菱形，
过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，如图所示：
∴，∴，∴，
∵，，∴，，
∴，∴，
∴，，
∴，
过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，如图所示：
∴，要使的值为最小，则需满足为最小，根据三角不等关系可得：，所以当B、P、M三点共线时，取最小，即为BM的长，如图所示：
∴，∴，
∴的最小值为，即的最小值为；故答案为．
【点睛】本题主要考查三角函数、菱形的性质与判定及含30°直角三角形的性质，解题的关键是利用“胡不归”原理找到最小值的情况，然后根据三角函数及菱形的性质进行求解即可．
17．（2021·山东威海市·中考真题）如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为__________________．
【答案】．
【分析】根据SAS证明△DEA≌△AFB，得∠ADE=∠BAF，再证明∠DGA=90°，进一步可得点G在以AD为直径的半圆上，且O，G，B三点共线时BG取得最小值．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC-∠DAE，AD=AB，
∵AE=BF∴△DEA≌△AFB，
∴∠DAF+∠BAF=∠DAB=90°， ∠ADE+∠DAF=90°∴∠DGA=90°
∴点G在以AD为直径的圆上移动，连接OB，OG，如图：
∴ 在Rt△AOB中，∠OAB=90°∴OB=
∵ ∴当且公当O，G，B三点共线时BG取得最小值．
∴BC的最小值为：．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形三边关系，圆周角定理等相关知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
18．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）如图，已知正方形的边长为6，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为___________．
【答案】-3
【分析】根据正方形的性质得到∠ADC＝90°，推出∠DFC＝90°，点F在以DC为直径的半圆上移动，，如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADF＋∠CDF＝90°，
∵，∴∠DCF＋∠CDF＝90°，∴∠DFC＝90°，∴点F在以DC为直径的半圆上移动，
如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，
连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，OF＝3，
∵∠G＝90°，PG＝DG＝AB＝6，∴OG＝9，∴OP＝，
∴FP＝-3，∴BE＋FE的长度最小值为-3，故答案为：-3．
【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
19．（2021·贵州铜仁市·中考真题）如图，、分别是正方形的边、上的动点，满足，连接、，相交于点，连接，若正方形的边长为2．则线段的最小值为______________．
【答案】
【分析】先证明△BCE≌△CDF，推出，确定当A、G、C三点共线时，AG最短，此时点G与点O重合，由此求出答案．
【详解】解：连接AC、BD，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，，
∵ ，∴BE=CF，∴△BCE≌△CDF，∴，
∵，∴，∴，
当A、G、C三点共线时，AG最短，连接MF、MO，
∵，∴，∴当A、G、C三点共线时，此时点G与点O重合，
∵AD=2，OA=OD，,∴,故答案为：．
【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质熟记各定义并应用解决问题是解题的关键．
20．（2021·山东青岛·中考真题）已知正方形的边长为3，为上一点，连接并延长，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，为的中点，为上一动点，分别连接，．若，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】由正方形的性质，可得A点与C点关于BD对称，则有MN +CM=MN+AM≥AN，所以当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小为AN，先证明△DCG~△FCE，再由，可得，分别求出DE=1，CE=2，CF=6，即可求出AN．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴A点与C点关于BD对称，
∴CM=AM，∴MN+CM=MN+AM≥AN，∴当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小，
∵AD∥CF，∴∠DAE=∠F，∵∠DAE+∠DEH=90°，∵DG⊥AF，∴∠CDG+∠DEH=90°，
∴∠DAE=∠CDG，∴∠CDG=∠F，∴△DCG~△FCE，∵，∴ ，
∵正方形边长为3，∴CF=6，∵AD∥CF， ，∴DE=1，CE=2，
在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2，∴ ，
∵N是EF的中点， ，在Rt△ADE中，EA2=AD2+DE2，∴ ，
∴ ，∴MN+MC的最小值为 ．故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握正方形的性质，用轴对称求最短距离的方法，灵活应用三角形相似、勾股定理是解题的关键．
21．（2021·湖北·武汉市开发区一中九年级阶段练习）如图，是的直径，，C为的三等分点（更靠近A点），点P是上一个动点，取弦的中点D，则线段的最大值为__________．
【答案】+1
【分析】如图，连接OD，OC，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题．
【详解】解：如图，连接OD，OC，
∵AD＝DP，∴OD⊥PA，∴∠ADO＝90°，
∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，
∵C为的三等分点，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴CK⊥OA，
在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK=，
∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值为+1，故答案为：+1．
【点睛】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．
22．（2021·陕西中考真题）如图，正方形的边长为4，的半径为1．若在正方形内平移（可以与该正方形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为______．
【答案】
【分析】由题意易得当与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到上的点的距离取得最大，进而根据题意作图，则连接AC，交于点E，然后可得AE的长即为点A到上的点的距离为最大，由题意易得，则有△OFC是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质可得，最后问题可求解．
【详解】解：由题意得当与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到上的点的距离取得最大，如图所示：
连接AC，OF，AC交于点E，此时AE的长即为点A到上的点的距离为最大，如图所示，
∵四边形是正方形，且边长为4，∴，
∴△OFC是等腰直角三角形，，∵的半径为1，∴，
∴，∴，∴，
即点A到上的点的距离的最大值为；故答案为．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、切点的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、切点的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．
23．（2021·广东中考真题）在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____．
【答案】
【分析】由已知，，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点在以为圆心为半径的圆上，线段长度的最小值为．
【详解】如图： 以为半径作圆，过圆心作，
以为圆心为半径作圆，则点在圆上，
,
线段长度的最小值为: ．故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
24．（2021·内江·中考真题）已知非负实数，，满足，设的最大值为，最小值为，则的值为 __．
【答案】
【分析】设，则，，，可得；利用a，b，c为非负实数可得k的取值范围，从而求得m，n的值，结论可求．
【详解】解：设，则，，，
．
，，为非负实数，，解得：．
当时，取最大值，当时，取最小值．
，．．故答案为：
【点睛】本题主要考查了比例的性质，解不等式组，非负数的应用等，设是解题的关键．
25．（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点D、E分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是_________．
【答案】
【分析】连接DF，先根据相似三角形判定与性质证明,得到,进而根据CD=2BD，CF=2AF，得到,根据△ABC中，AB=4，BC=5，得到当AB⊥BC时，△ABC面积最大，即可求出△AFE面积的最大值．
【详解】解：如图，连接DF，∵CD=2BD，CF=2AF，∴，
∵∠C=∠C，∴△CDF∽△CBA，∴,∠CFD=∠CAB，
∴DF∥BA，∴△DFE∽△ABE，∴,∴,
∵CF=2AF，∴,∴,
∵CD=2BD，∴,∴,
∵△ABC中，AB=4，BC=5，∴，当AB⊥BC时，△ABC面积最大，为，
此时△AFE面积最大为．故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据相似三角形的性质与判定得到,理解等高三角形的面积比等于底的比是解题关键．
26．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知点，点为直线上的一动点，点，，于点，连接．若直线与正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为________．
【答案】
【分析】设直线y＝﹣2与y轴交于G，过A作AH⊥直线y＝﹣2于H，AF⊥y轴于F，根据平行线的性质得到∠ABH＝α，由三角函数的定义得到，根据相似三角形的性质得到比例式，于是得到GB（n+2）（3﹣n）（n）2，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，设直线y＝﹣2与y轴交于G，过A作AH⊥直线y＝﹣2于H，AF⊥y轴于F，
∵BH∥x轴，∴∠ABH＝α，在Rt△ABH中， ,，
即= ∵sinα随BA的减小而增大，
∴当BA最小时sinα有最大值；即BH最小时，sinα有最大值，即BG最大时，sinα有最大值，
∵∠BGC＝∠ACB＝∠AFC＝90°，∴∠GBC+∠BCG＝∠BCG+∠ACF＝90°，
∴∠GBC＝∠ACF，∴△ACF∽△CBG，∴，
∵，即，∴BG（n+2）（3﹣n）（n）2，
∵∴当n时，BG最大值故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线证得△ACF∽△CBG是解题的关键．
27．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，则BD长的最大值为__．
【答案】9
【分析】由旋转知△BPD是顶角为120°的等腰三角形，可求得BD＝BP，当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP＝BA最大，求出AB的长即可解决问题．
【详解】解：∵将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，
∴BP＝PD，∴△BPD是等腰三角形，∴∠PBD＝30°，过点P作PH⊥BD于点H，∴BH＝DH，
∵cos30°＝＝，∴BH＝BP，∴BD＝BP，
∴当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP＝BA最大，
过点A作AG⊥BC于点G，∵AB＝AC，AG⊥BC，∴BG＝BC＝3，
∵cos∠ABC＝，∴，∴AB＝9，∴BD最大值为：BP＝9．答案为：9．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角函数等知识，证明出BD=BP是解题的关键．
28．（2021·陕西中考真题）问题提出（1）如图1，在中，，，，E是的中点，点F在上且求四边形的面积．（结果保留根号）
问题解决（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点O、P、M、N分别在边、、、上，且满足，．已知五边形中，，，，，．满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最小值及这时点到点的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在符合设计要求的四边形面积的最小值为，这时，点N到点A的距离为．
【分析】（1）在中，设边上的高为h，根据题意求出h的值，，计算即可；（2）存在．如图，分别延长与，交于点F，则四边形是矩形．
设，则， ， ，，在根据列出关于x的一元二次方程，根据二次函数最值得方法求解即可．
【详解】解：（1）在中，设边上的高为h．∵，，∴
∵，∴点到的距离为．∴．
（2）存在．如图，分别延长与，交于点F，则四边形是矩形．
设，则， ， ，．
由题意，易知，
∴
．∴当时，．
，．
∴符合设计要求的四边形面积的最小值为，这时，点N到点A的距离为．
【点睛】本题主要考查平行四边形性质，运用锐角三角函数求边长，根据二次函数图像求最值问题，正确列出所求图形面积的式子是解题关键．
29．（2021·江苏徐州市·中考真题）如图1，正方形的边长为4，点在边上（不与重合），连接．将线段绕点顺时针旋转90°得到，将线段绕点逆时针旋转90°得到．连接．（1）求证：①的面积；②；
（2）如图2，的延长线交于点，取的中点，连接，求的取值范围．
【答案】（1）①见详解；②见详解；（2）4≤MN＜
【分析】（1）①过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，证明，即可得到结论；②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，证明，结合，可得GD=EH，同理：FG=AH，从而得，进而即可得到结论；
（2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，可得∠AMD=90°，MN=EF，HG= 2AD=8，EH+FG= AD=4，然后求出当点P与点D重合时， EF最大值=，当点P与AD的中点重合时，EF最小值= HG=8，进而即可得到答案．
【详解】（1）①证明：过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，
∵∠FPG+∠PFG=90°，∠FPG+∠CPD=90°，∴∠FPG=∠CPD，
又∵∠PGF=∠CDP=90°，PC=PF，∴（AAS），∴FG=PD，
∴的面积；
②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，
∵∠EPH+∠PEH=90°，∠EPH +∠BPA=90°，∴∠PEH =∠BPA，
又∵∠PHE=∠BAP=90°，PB=PE，∴（AAS），∴EH=PA，
由①得：FG=PD，∴EH+FG=PA+PD=AD=CD，由①得：，∴PG=CD，
∴PD+GD= CD= EH+FG，∴FG+ GD= EH+FG，∴GD=EH，同理：FG=AH，
又∵∠AHE=∠FGD，∴，∴；
（2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，
由（1）得：，∴∠HAE=∠GFD，
∵∠GFD+∠GDF=90°，∴∠HAE+∠GDF=90°，
∵∠HAE=∠MAD，∠GDF=∠MDA，∴∠MAD+∠MDA=90°，∴∠AMD=90°，
∵点N是EF的中点，∴MN=EF，
∵EH=DG=AP，AH=FG=PD，∴HG=AH+DG+AD=PD+AP+AD=2AD=8，EH+FG=AP+PD=AD=4，
当点P与点D重合时，FG=0，EH=4，HG=8，
此时EF最大值=，当点P与AD的中点重合时，FG=2，EH=2，HG=8，
此时EF最小值= HG=8，∴的取值范围是：4≤MN＜．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，添加辅助线，构造直角全等的直角三角形，是解题的关键．
30．（2021·四川广元市·中考真题）如图1，在中，，，点D是边上一点（含端点A、B），过点B作垂直于射线，垂足为E，点F在射线上，且，连接、．（1）求证：；（2）如图2，连接，点P、M、N分别为线段、、的中点，连接、、．求的度数及的值；（3）在（2）的条件下，若，直接写出面积的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；；（3）
【分析】（1）根据两边对应成比例，夹角相等判定即可．（2）的值可以根据中位线性质，进行角转换，通过三角形内角和定理求解即可，的比值转换为的比值即可求得.（3）过点作垂直于的延长线于点，，将相关线段关系转化为CE，可得关系，观察图象，当时，可得最大值．
【详解】（1）证明：∵，∴,
∵垂直于射线, ∴ 又∵∴,
∵即： 又∵ ∴
（2）解：∵点P、M、N分别为线段、、的中点∴，，
∴, ∴
又∵∴
又∵ ∴ ∴
又∵ ∴
又∵又∵∴ ∴
（3）如下图：
过点作垂直于的延长线于点,
又∵∴∴
∴当取得最大值时，取得最大值，
在以的中点为圆心，为直径的圆上运动，
当时，最大，∴，
【点睛】本题考查的是三角形相似和判定、以及三角形面积最大值的求法，根据题意找见相关的等量是解题关键．
31．（2021·甘肃武威市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于两点，直线交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为分别交直线于点．（1）求抛物线的表达式；（2）当，连接，求的面积；（3）①是轴上一点，当四边形是矩形时，求点的坐标；②在①的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）①；②
【分析】（1）直接利用待定系数法即可求出答案．（2）由题意可求出，．利用三角函数可知在和中，，由此即可求出，从而可求出．即可求出D点坐标，继而求出．再根据，即可求出FD的长，最后利用三角形面积公式即可求出最后答案．（3）①连接，交于点．根据矩形的性质可知，．由可推出．由，可推出．再根据直线BC的解析式可求出C点坐标，即可得出OC的长，由此可求出AC的长，即可求出CH的长，最后即得出OH的长，即可得出H点坐标．②在中，利用勾股定理可求出的长，再根据结合可推出，即要使最小，就要最小，由题意可知当点在上时，为最小．即求出BC长即可．在中，利用勾股定理求出的长，即得出周长的最小值为．
【详解】解：（1）∵抛物线过两点，
，解得，，．
（2）．同理，．
又轴，轴，∴在和中，，即，
．当时，，
，即 ，．
（3）①如图，连接，交于点．
∵四边形是矩形，．
又，∴，．
∵四边形是矩形，．，
∵当x=0时，，∴，，
，，．
②在中，，
．
∴要使最小，就要最小．
，∴当点在上时，为最小．
在中，．周长的最小值是．
【点睛】本题为二次函数综合题．考查二次函数的图象和性质，解直角三角形，一次函数的图象和性质，矩形的性质，平行线分线段成比例，三角形三边关系以及勾股定理等知识，综合性强，较难．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
32．（2021·四川成都市·中考真题）在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．
（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长；
（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长；
（3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，最小值为1
【分析】（1）根据题意利用勾股定理可求出AC长为4．再根据旋转的性质可知，最后由等腰三角形的性质即可求出的长．（2）作交于点D，作交于点E．由旋转可得，．再由平行线的性质可知，即可推出，从而间接求出，．由三角形面积公式可求出．再利用勾股定理即可求出，进而求出．最后利用平行线分线段成比例即可求出的长．（3）作且交延长线于点P，连接．由题意易证明，
，，即得出．再由平行线性质可知，即得出，即可证明，由此即易证，得出，即点D为中点．从而证明DE为的中位线，即．即要使DE最小，最小即可．根据三角形三边关系可得当点三点共线时最小，且最小值即为，由此即可求出DE的最小值．
【详解】（1）在中，．
根据旋转性质可知，即为等腰三角形．
∵，即，∴，∴．
（2）如图，作交于点D，作交于点E．
由旋转可得，．
∵，∴，∴，∴，．
∵，即，∴．
在中，，∴．∴．
∵，∴，即，∴．
（3）如图，作且交延长线于点P，连接．∵，∴，
∵，即，
又∵，∴．∵，∴，
∴，∴，∴．
∴在和中 ，∴，
∴，即点D为中点．∵点E为AC中点，
∴DE为的中位线，∴，即要使DE最小，最小即可．
根据图可知，即当点三点共线时最小，且最小值为．∴此时，即DE最小值为1．
【点睛】本题为旋转综合题．考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质以及三角形三边关系，综合性强，为困难题．正确的作出辅助线为难点也是解题关键．
33．（2021·四川宜宾市·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP＋EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2+2x+6；（2）直角三角形，见解析；（3）存在，
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式；（2）分别求出三角形三边的平方，然后运用勾股定理逆定理即可证明；（3）在CE上截取CF=（即CF等于半径的一半），连接BF交⊙C于点P，连接EP，则BF的长即为所求．
【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），∴设该抛物线的表达式为y=a（x-2）2+8，
∵与y轴交于点C（0，6），∴把点C（0，6）代入得：a=，∴该抛物线的表达式为y=x2+2x+6；
（2）△BCE是直角三角形．理由如下：
∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，∴当y=0时，（x-2）2+8=0，解得：x1=-2，x2=6，
∴A（-2，0），B（6，0），∴BC2=62+62=72，CE2=（8-6）2+22=8，BE2=（6-2）2+82=80，
∴BE2=BC2+CE2，∴∠BCE=90°，∴△BCE是直角三角形；
（3）如图，在CE上截取CF=（即CF等于半径的一半），连接BF交⊙C于点P，连接EP，
则BF的长即为所求．
连接CP，∵CP为半径，∴ ，又∵∠FCP=∠PCE，∴△FCP∽△PCE，
∴ ，FP=EP，∴BF=BP+EP，
由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+EP为最小值．
∵CF=CE，E（2，8），∴F（，），∴BF=
【点睛】本题考查二次函数综合，待定系数法，二次函数图象和性质，勾股定理及其逆定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质等，题目综合性较强，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数图象和性质，圆的性质，相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．
34．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点、（点在右侧），与轴交于点，点的横坐标恰好为．动点、同时从原点出发，沿射线分别以每秒和个单位长度运动，经过秒后，以为对角线作矩形，且矩形四边与坐标轴平行．（1）求的值及秒时点的坐标；（2）当矩形与抛物线有公共点时，求时间的取值范围；（3）在位于轴上方的抛物线图象上任取一点，作关于原点的对称点为，当点恰在抛物线上时，求长度的最小值，并求此时点的坐标．
【答案】（1），；（2）；（3），
【分析】（1）将，代入，求出a，即可得到抛物线解析式，当秒时，，设的坐标为，建立方程求解即可；（2）经过秒后，，，由（1）方法知，的坐标为，的坐标为进而得出的坐标为，的坐标为将代入，将代入，解方程即可得到答案；（3）设，则关于原点的对称点为，当点恰好在抛物线上时，坐标为．过和作坐标轴平行线相交于点S，如图③则．又得，消去得，即可求解．
【详解】解：（1）由题意知，交点A坐标为，代入，
解得，∴抛物线解析式为．
当秒时，，设的坐标为， 则，解得或（舍），
所以的坐标为．
（2）经过秒后，，，由（1）方法知，的坐标为，的坐标为，
由矩形的邻边与坐标轴平行可知，的坐标为，的坐标为．
矩形在沿着射线移动的过程中，点与抛物线最先相交，
如图①，然后公共点变为2个，点与抛物线最后相离，然后渐行渐远．
如图②，将代入，得，解得，或（舍），
将代入，得，解得，或（舍）．
所以，当矩形与抛物线有公共点时，时间的取值范围是．
（3）设，则关于原点的对称点为，当点恰好在抛物线上时，坐标为．过和作坐标轴平行线相交于点S，如图③则
．又得，
消去得，
当时，长度的最小值为．此时，，解得，
所以，点的坐标是．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，勾股定理，矩形的性质，中心对称等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
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