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【解析版】唐山市迁安市2022学年八年级下期末数学试卷
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这是一份【解析版】唐山市迁安市2022学年八年级下期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河北省唐山市迁安市2022学年八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共16小题，每小题2分，满分32分，每小题只有一个选项符合要求）
1． （2015春•迁安市期末）下列四种调查中，适合用普查的是（ ）
A． 了解某市所有八年级学生的视力状况
B． 了解中小学生的主要娱乐方式
C． 登飞机前，对旅客进行安全检查
D． 估计某水库中每条鱼的平均重量
考点： 全面调查与抽样调查．
分析： 由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
解答： 解：A、了解某市所有八年级学生的视力状况，应用抽样调查；
B、了解中小学生的主要娱乐方式，因此抽样调查；
C、登飞机前，对旅客进行安全检查，应用普查；
D、估计某水库中每条鱼的平均重量，应用抽样调查；
故选：C．
点评： 本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2． （2010•本溪）已知一次函数y=（a﹣1）x+b的图象如图所示，那么a的取值范围是（ ）
A． a＞1 B． a＜1 C． a＞0 D． a＜0
考点： 一次函数图象与系数的关系．
专题： 压轴题；数形结合．
分析： 由图象不难看出：y随x的增大而增大，由此可以确定a﹣1＞0，然后即可取出a的取值范围．
解答： 解：由图象可以看出：y随x的增大而增大，
∴a﹣1＞0，
∴a＞1．
故选A．
点评： 此题利用的规律：在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
3． （2015春•迁安市期末）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2520°的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A． 14 B． 15 C． 16 D． 17
考点： 多边形内角与外角．
分析： 根据图示，可得原来多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到的新多边形的内角和增加180°，据此求出原来多边形的内角和为多少度；然后根据多边形的内角和定理，求出原多边形的边数为多少即可．
解答： 解：（2520°﹣180°）÷180°+2
=2340°÷180°+2
=13+2
=15
∴原多边形的边数为15．
故选：B．
点评： 此题主要考查了多边形的内角和定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是求出原来多边形的内角和为多少度．
4． （2015春•迁安市期末）在平面直角坐标系中有一点P（﹣3，4），则点P到原点O的距离是（ ）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
考点： 点的坐标．
分析： 根据勾股定理，可得答案．
解答： 解：PO==5，
故选：C．
点评： 本题考查了点的坐标，利用勾股定理是解题关键．
5． （2015春•迁安市期末）现将100个数据分成了①﹣⑧，如表所示，则第⑤组的频率为（ ）
组号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
频数 3 9 15 22 15 17 8
A． 11 B． 12 C． 0.11 D． 0.12
考点： 频数与频率．
分析： 根据各小组频数之和等于数据总和求出第⑤组的频数，根据频率=求出第⑤组的频率．
解答： 解：100﹣3﹣9﹣15﹣22﹣15﹣17﹣8=11，
11÷100=0.11，
故选：C．
点评： 本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．注意：每个小组的频数等于数据总数减去其余小组的频数，即各小组频数之和等于数据总和．频率=．
6． （2015春•迁安市期末）直线y=2x+4与两坐标轴围成的三角形面积是（ ）
A． 2 B． 4 C． 8 D． 16
考点： 一次函数图象上点的坐标特征．
专题： 应用题．
分析： 先求出x=0，y=0时对应的y，x值，利用点的坐标的几何意义即可求得直线y=2x+4与两坐标轴围成的三角形面积．
解答： 解：当x=0时，y=4；当y=0时，x=﹣2；
所以直线y=2x+4与两坐标轴围成的三角形面积是×4×|﹣2|=4．
故选B．
点评： 本题考查的知识点为：某条直线与x轴，y轴围成三角形的面积为=×直线与x轴的交点坐标的横坐标的绝对值×直线与y轴的交点坐标的纵坐标的绝对值．
7． （2015春•迁安市期末）一天早上小华步行上学，他离开家后不远便发现数学书忘在了家里，于是以相同的速度回家去拿，到家后发现弟弟把牛奶洒在了地上，就放下手中的东西，收拾好后才离开．为了不迟到，小华跑步到了学校，则小华离学校的距离y与时间t之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
考点： 函数的图象．
分析： 根据题意可得小华步行上学时小华离学校的距离减小，而后离开家后不远便发现数学书忘在了家里，于是以相同的速度回家去拿时小华离学校的距离增大，到家后发现弟弟把牛奶洒在了地上，就放下手中的东西，收拾好后才离开距离不变，小华跑步到了学校时小华离学校的距离减小直至为0．
解答： 解：由题意可得小华步行上学时小华离学校的距离减小，而后离开家后不远便发现数学书忘在了家里，于是以相同的速度回家去拿时小华离学校的距离增大，到家后发现弟弟把牛奶洒在了地上，就放下手中的东西，收拾好后才离开距离不变，小华跑步到了学校时小华离学校的距离减小直至为0，
故A选项符合，
故选A．
点评： 此题考查函数图象，关键是根据题意得出距离先减小再增大，然后不变后减小为0进行判断．
8． （2015春•迁安市期末）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A． OA=OC，OB=OD B． ∠BAD=∠BCD，AB∥CD
C． AD∥BC，AD=BC D． AB=CD，AO=CO
考点： 平行四边形的判定．
分析： 根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对每个选项进行筛选可得答案．
解答： 解：A、根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，故此选项可以证明四边形ABCD是平行四边形；
B、根据AB∥CD可得：∠ABC+∠BCD=180°，∠BAD+∠ADC=180°，又由∠BAD=∠BCD可得：∠ABC=∠ADC，根据两组对角对应相等的四边形是平行四边形可以判定；
C、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以证明四边形ABCD是平行四边形；
D、AB=CD，AO=CO不能证明四边形ABCD是平行四边形．
故选：D．
点评： 本题主要考查平行四边形的判定问题，熟练掌握平行四边形的性质，能够熟练判定一个四边形是否为平行四边形．
9． （2015•应城市二模）如图，▱ABCD的周长为20cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△CDE的周长为（ ）
A． 6cm B． 8cm C． 10cm D． 12cm
考点： 平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质．
分析： 先由平行四边形的性质和周长求出AD+DC=10，再根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，即可得出△CDE的周长=AD+DC．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC，OA=OC，
∵▱ABCD的周长为20cm，
∴AD+DC=10cm，
又∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=10cm；
故选：C．
点评： 本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，运用线段垂直平分线的性质得出AE=CE是解决问题的关键．
10． （2015春•迁安市期末）如图，平行四边形ABCD和矩形ACEF的位置如图所示，点D在EF上，则平行四边形ABCD和矩形ACEF的面积S1、S2的大小关系是（ ）
A． S1＞S2 B． S1=S2 C． S1＜S2 D． 3S1=2S2
考点： 平行四边形的性质；矩形的性质．
分析： 过D作DF⊥AC于F，根据平行四边形的判定得到四边形DFCE是矩形，于是得到DF=CE，根据矩形的面积公式和三角形的面积即可得到S1=S2．
解答： 解：过D作DF⊥AC于F，
∵四边形ACEF是矩形，
∴∠E=∠ECF=90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∴DF=CE，
∵S1=2S△ACD=2×=AC•DF，S2=AC•CE，
∴S1=S2，
故选B．
点评： 本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质以及平行四边形和矩形的面积的求法，正确的作出辅助线是解题的关键．
11． （2009•河北）如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为（ ）
A． B． C． D．
考点： 一次函数的图象；根据实际问题列一次函数关系式．
分析： 先求出一次函数的关系式，再根据函数图象与坐标轴的交点及函数图象的性质解答即可．
解答： 解：由题意知，函数关系为一次函数y=﹣2x+4，由k=﹣2＜0可知，y随x的增大而减小，且当x=0时，y=4，
当y=0时，x=2．
故选D．
点评： 本题考查学生对计算程序及函数性质的理解．根据计算程序可知此计算程序所反映的函数关系为一次函数y=﹣2x+4，然后根据一次函数的图象的性质求解．
12． （2013•宁波）如果三角形的两条边分别为4和6，那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数据中的（ ）
A． 6 B． 8 C． 10 D． 12
考点： 三角形中位线定理；三角形三边关系．
分析： 本题依据三角形三边关系，可求第三边大于2小于10，原三角形的周长大于12小于20，连接中点的三角形周长是原三角形周长的一半，那么新三角形的周长应大于6而小于10，看哪个符合就可以了．
解答： 解：设三角形的三边分别是a、b、c，令a=4，b=6，
则2＜c＜10，12＜三角形的周长＜20，
故6＜中点三角形周长＜10．
故选B．
点评： 本题重点考查了三角形的中位线定理，利用三角形三边关系，确定原三角形的周长范围是解题的关键．
13． （2015春•迁安市期末）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则方程2x=ax+4的解集为（ ）
A． x= B． x=3 C． x=﹣ D． x=﹣3
考点： 一次函数与一元一次方程．
分析： 可先求得A点坐标，再结合函数图象可知方程的解即为两函数图象的交点横坐标，可求得方程的解．
解答： 解：∵A点在直线y=2x上，
∴3=2m，解得m=，
∴A点坐标为（，3），
∵y=2x，y=ax+4，
∴方程2x=ax+4的解即为两函数图象的交点横坐标，
∴方程2x=ax+4的解为x=，
故选A．
点评： 本题主要考查函数图象交点的意义，掌握函数图象的交点即为对应方程组的解是解题的关键．
14． （2013•菏泽）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120° 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ）
A． 15°或30° B． 30°或45° C． 45°或60° D． 30°或60°
考点： 剪纸问题．
分析： 折痕为AC与BD，∠BAD=120°，根据菱形的性质：菱形的对角线平分对角，可得∠ABD=30°，易得∠BAC=60°，所以剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．
解答： 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠ABC，∠BAC=∠BAD，AD∥BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣120°=60°，
∴∠ABD=30°，∠BAC=60°．
∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．
故选D．
点评： 此题主要考查菱形的判定以及折叠问题，关键是熟练掌握菱形的性质：菱形的对角线平分每一组对角．
15． （2009•德州）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A． （0，0） B． （，﹣） C． （﹣，﹣） D． （﹣，﹣）
考点： 坐标与图形性质；垂线段最短．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 过A点作垂直于直线y=x的垂线AB，此时线段AB最短，因为直线y=x的斜率为1，所以∠AOB=45°，△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴垂足为C，则OC=BC=．因为B在第三象限，所以点B的坐标为（﹣，﹣）．
解答： 解：线段AB最短，说明AB此时为点A到y=x的距离．
过A点作垂直于直线y=x的垂线AB，
∵直线y=x与x轴的夹角∠AOB=45°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
过B作BC垂直x轴，垂足为C，
则BC为中垂线，
则OC=BC=．作图可知B在x轴下方，y轴的左方．
∴点B的横坐标为负，纵坐标为负，
∴当线段AB最短时，点B的坐标为（﹣，﹣）．
故选：C．
点评： 本题考查了动点坐标的确定，还考查了学生的动手操作能力，本题涉及到的知识点为：垂线段最短．
16． （2013•雅安）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（ ）个．
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 通过条件可以得出△ABE≌△ADF而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE再通过比较大小就可以得出结论
解答： 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF（故①正确）．
∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°（故②正确），
∵BC=CD，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．（故③正确）．
设EC=x，由勾股定理，得
EF=x，CG=x，
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x，
∴AC=，
∴AB=，
∴BE=﹣x=，
∴BE+DF=x﹣x≠x，（故④错误），
∵S△CEF=，
S△ABE==，
∴2S△ABE==S△CEF，（故⑤正确）．
综上所述，正确的有4个，
故选：C．
点评： 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
17． （1997•上海）函数中，自变量x的取值范围是 x≤2 ．
考点： 函数自变量的取值范围．
分析： 根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
解答： 解：根据题意得：2﹣x≥0，解得：x≤2．
故答案是：x≤2．
点评： 函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
18． （2015春•迁安市期末）已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为 cm ．
考点： 矩形的性质；线段垂直平分线的性质．
专题： 计算题．
分析： 连接EB，构造直角三角形，设AE为x，则DE=BE=4﹣x，利用勾股定理得到有关x的一元一次方程，求得即可．
解答： 解：连接EB，
∵EF垂直平分BD，
∴ED=EB，
设AE=xcm，则DE=EB=（4﹣x）cm，
在Rt△AEB中，
AE2+AB2=BE2，
即：x2+32=（4﹣x）2，
解得：x=，
故答案为：cm．
点评： 本题考查了勾股定理的内容，利用勾股定理不单单能在直角三角形中求边长，而且能利用勾股定理这一隐含的等量关系列出方程．
19． （2007•滨州）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 π 个平方单位．
考点： 扇形面积的计算；多边形内角与外角．
分析： 由于凸多边形的外角和为360°，所以这些阴影部分的面积正好是以1为半径的圆的面积．
解答： 解：由题意，得S=SA1+SA2+…+SAn==π．
故答案为：π．
点评： 本题主要考查了凸多边形的外角和是360度的实际运用．
20． （2015春•迁安市期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1）（1，2），（2，2），…，根据这个规律，第2015个点的坐标为 （45，10） ．
考点： 规律型：点的坐标．
分析： 根据图形，求出与2015最接近的完全平方数，再根据这个完全平方数个点的位置确定出与第2015个点关系，然后求解即可．
解答： 解：∵452=2025，
∴第2025个点的坐标是（45，0），
∴第2015个点在第2025个点的正上方10个单位处，
∴第2015个点的坐标为（45，10）．
故答案是：（45，10）．
点评： 本题考查了点的坐标的规律变化，观察出点的个数按照平方数的规律变化是解题的关键．
三、解答题（共6小题，满分56分）
21．（8分）（2015春•迁安市期末）在如图所示的方格图中，每个小正方形的顶点成为“格点”，且每个小正方形的边长均为1个长度单位，以格点为顶点的图形叫做“格点图形”，根据图形解决下列问题：
（1）图中格点△A′B′C′是由格点△ABC通过怎样变换得到的？
（2）如果建立直角坐标系后，点A的坐标为（﹣6，4），写出图中格点△DEF中各顶点的坐标，并求出过F点的正比例函数解析式．
考点： 作图-旋转变换；待定系数法求正比例函数解析式；作图-平移变换．
分析： （1）利用旋转和平移的性质得出△ABC变换的方法；
（2）利用A点坐标得出原点位置进而利用待定系数法求出正比例函数解析式．
解答： 解：（1）格点△A′B′C′是由格点△ABC先绕B点逆时针旋转90°，
然后向右平移12个长度单位（或格）得到的．（先平移后旋转也行）；
（2）△DEF各顶点的坐标为：D（﹣1，﹣1），E（﹣2，﹣6），F（6，﹣4），
设过F点的正比例函数解析式为y=kx，
将F（6，﹣4）代入上式得，
﹣4=6k，
解得：k=﹣，
故过A点的正比例函数的解析式为：y=﹣x．
点评： 此题主要考查了旋转变换和平移变换以及待定系数法求正比例函数解析式，根据题意得出变换规律是解题关键．
22．（8分）（2015春•迁安市期末）【知识链接】连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线
【动手操作】小明同学在探究证明中位线性质定理时，是沿着中位线将三角形剪开然后将他们无缝隙、无重叠
的拼在一起构成平行四边形，从而得出：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半
【定理证明】小明为证明定理，画出了图形，写出了不完整的已知和求证（如图1）；
（1）在图1方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按图2小明的想法写出证明．
考点： 三角形中位线定理．
分析： （1）作出图形，然后写出已知、求证；
（2）延长EF到D，使FD=EF，利用“边角边”证明△ADE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CF，全等三角形对应角相等可得∠A=∠ECF，根据两直线平行判断出AB∥CF，然后判断出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得结论．
解答： （1）解：中点，∥，=；
（2）证明：延长DE到点F，使EF=DE．连接CF，
在△ADE和△CEF中，
∵
∴△ADE≌△CEF，
∴AD=CF，∠A=∠ECF，
∴AD∥CF，
∵BD=AD=CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DE∥BC，且DF=BC，
∴DE=DF=．
点评： 本题考查了三角形的中位线定理的证明，关键在于作辅助线构造成全等三角形和平行四边形，文字叙述性命题的证明思路和方法需熟练掌握．
23．（9分）（2015春•迁安市期末）为了解某校七、八年级学生的睡眠情况，随机抽取了该校七、八年级学生部分学生进行调查．已知抽取七年级与八年级的学生人数相同，且八年级学生的D组有15人，利用抽样所得的数据绘制所示的统计图表．
睡眠情况分组表（单位：时）
组别 睡眠时间x
A x≤7.5
B 7.5≤x≤8.5
C 8.5≤x≤9.5
D 9.5≤x≤10.5
E x≥10.5
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）此次调查抽取样本容量是 120 ；七年级学生睡眠时间在A组的有 6 人；并补全七年级学生睡眠情况统计图；
（2）求“八年级学生睡眠情况统计图”中的a及a对应的扇形的圆心角度数；
（3）抽取的样本中七、八年级学生睡眠时间在C组的共有多少人？
（4）已知该校七年级学生有800人，八年级学生有850人，如果睡眠时间x（时）满足：7.5≤x≤9.5，称睡眠时间合格，试估计该校七、八年级学生睡眠时间合格的共有多少人？
考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；方差．
分析： （1）根据八年级D的频数和百分比可求得八年级被抽查的人数，从而得到七年级的被抽查的人数，故此可求得样本容量，用七年级被抽查的总人数减去各组的人数即可求得A组的频数，然后不全统计图即可；
（2）根据各部分的和等于1即可求得a，然后根据圆心角的度数=360°×百分比求解即可；
（3）根据频数=总数×百分比可求得八年级C组的频数，然后加上17即可；
（4）合格的总人数=七年级的总人数×七年级合格人数所占百分比+八年级的总人数×八年级合格人数所占百分比．
解答： 解：（1）15÷25%=60，
∵七八年抽取的学生数相同，
∴样本容量=60×2=120，
60﹣19﹣17﹣10﹣8=6，
补全条形统计图如下：
（2）根据题意得：a=1﹣（35%+25%+25%+10%）=5%；
a对应扇形的圆心角度数为：360°×5%=18°
（3）根据题意得60×35%=21（人），21+17=38（人），
所以抽取的样本中，七、八年级学生睡眠时间在C组的有38人；
（4）根据题意得：800×=800×60%=480（人）
850×（25%+35%）=510（人），
480+510=990（人）
则该校七、八年级学生中睡眠时间合格的共有990人．
点评： 本题主要考查的是条统计图和扇形统计图的认识，根据八年级D人数和所在的百分比求得被抽查的八年级同学的人数是解题的关键．
24．（9分）（2015春•迁安市期末）在“龟兔赛跑”中，兔子输给乌龟极不服气，所以它约乌龟再赛一场，以雪耻前辱．在这次赛跑中乌龟提高了速度，兔子也全力以赴．但兔子在跑步过程中腿受伤了，速度也由此减慢了，乌龟一直匀速跑到最后．如图是乌龟和兔子跑步的路程S（米）与乌龟出发的时间t（分）之间的函数图象．根据图象提供的信息解决问题：
（1）乌龟的速度为 2 米/分钟；
（2）兔子跑步的路程S（米）与时间t（分）之间的函数关系式；
（3）兔子出发多长时间追上乌龟．
考点： 一次函数的应用．
分析： （1）根据图象可以看出乌龟跑完全程100米，用时50分钟，即可知道它的速度；
（2）当12≤t≤15．根据图象经过（12，0）（15，60），运用待定系数法求出解析式，当15＜t≤30，图象经过（30，100）（15，60），运用待定系数法求出解析式；
（3）根据题意列方程，解方程即可得到答案．
解答： 解：（1）根据图象可以看出乌龟跑完全程100米，用时50分钟，所以它的速度为2米/分钟，
故答案为：2
（2）当12≤t≤15．设s=kt+b．
∵图象经过（12，0）（15，60）
∴
解得
∴s=20t﹣240，
当15＜t≤30，
设s=mt+n．
∵图象经过（30，100）（15，60）
∴
解得
∴s=t+20．
（3）乌龟跑步的路程S（米）与时间t（分）之间的函数关系式：s=2t，
依题意得：2t=20t﹣240，
解得：t=，所以﹣12=，
所以在兔子出发分钟时，兔子追上乌龟．
点评： 本题主要考查了函数图象以及待定系数法求一次函数解析式，理解两个函数图象的交点表示的意义，从函数图象准确获取信息是解题的关键．
25．（10分）（2015春•迁安市期末）为建设环境优美文明和谐的新农村，某村村委会决定在村道两旁种植A、B两种树木，需要购买两种树苗1000棵．已知购买一棵A品种树苗需花20元，购买一棵B品种树苗需花30元，另外每栽种一棵树苗需要植树费5元．设购买A品种树苗x棵，绿化村道的总费用为y元，解答下面问题
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）若绿化村道的总费用不超过31000元，则最多可购买B品种树苗多少棵？
（3）在（2）的条件下，由于A品种树苗成活率高，所以供应商把A品种树苗的单价上调了m（10≤m≤15）元，B品种树苗的单价不变，求出绿化总费用最低时的购买方案．
考点： 一次函数的应用．
分析： （1）设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗（1000﹣x）棵，根据总费用=（购买A种树苗的费用+种植A种树苗的费用）+（购买B种树苗的费用+种植B种树苗的费用），即可求出y（元）与x（棵）之间的函数关系式；
（2）根据绿化村道的总费用不超过31000元，列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围，即可求解．
（3）根据总费用=种植A种树苗的总费用+种植B种树苗的总费用，即可求出y（元）与x（棵）之间的函数关系式y=（m﹣10）x+35000，根据m的取值和一次函数的性质进行判断即可．
解答： 解：（1）y=（20+5）x+（30+5）（1000﹣x）=﹣10x+35000；
（2）﹣10x+35000≤31000，
解得：x≥400，
所以，最多可购买B种树苗600棵；
（3）y=（25+m）x+35（1000﹣x）
=（m﹣10）x+35000，
因为：10≤m≤15，所以当m=10时，无论怎样购买，绿化总费用都是35000元；
当10＜m≤15，则m﹣10＞0，所以y随x的减小而减小，所以取最小值400，y有最小值，所以购买方案是：A种树苗400棵，B种树苗600棵．
但无论怎样购买总费用均超过第（2）中的31000元，所以，按要求不能实现购买．
点评： 此题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．此题难度适中，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式、列出方程与不等式，明确不等关系的语句“不超过”的含义．
26．（12分）（2015春•迁安市期末）如图，平行四边形OABC中，OA=2，∠A=60°，AB交y轴于点D，点C（3，0），F是BC的中点，E在OC上从O向C移动，EF的延长线与AB的延长线交于点G．
（l）求D、B的坐标；
（2）求证：四边形ECGB是平行四边形；
（3）求当OE是多少时，四边形ECGB是矩形；OE是多少时，四边形ECGB是菱形．
（4）设OE=x，四边形OAGC的面积为y，请写出y与x的关系式．
考点： 四边形综合题．
分析： （1）由含30°直角三角形的性质可得AD=，由锐角三角函数易得OD的长，可得D点坐标，由平行四边形的性质可得AB的长，易得BD的长，可得B点坐标；
（2）由平行四边形的性质可得AG∥OC，∠BGE=∠GEC，由F是CB的中点，易证得△BFG≌△CFE，由全等三角形的性质可得BG=CE，由平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得结论；
（3）由矩形的性质可得∠BEC=90°，又因为∠A=∠BCE=60°，易得∠EBC=30°，可得EC的长，求得OE的长；由菱形的性质可得△BEC是等边三角形，易得EC的长，求得OE；
（4）由OE=x，可得BG=CE=3﹣x，利用平行四边形和三角形的面积公式可得四边形OAGC的面积，得y与x的关系式．
解答： （1）解：∵平行四边形OABC中，∠A=60°，
∴∠ADO=90°，∠AOD=30°，
∵OA=2，
∴AD=，OD=3，
∴D坐标（0，3），
∵AB=OC=3，
∴BD=AB﹣AD=3﹣=2，
∴B坐标（2，3）；
（2）证明：∵四边形OABC是平行四边形，
∴AG∥OC，
∴∠BGE=∠GEC，
∵F是CB的中点，
∴BF=CF，
又∵∠BFG=∠CFE，
在△BFG与△CFE中，
，
∴△BFG≌△CFE（ASA），
∴BG=CE，
∴四边形ECGB是平行四边形；
（3）解：∵四边形ECGB是矩形，
∴∠BEC=90°
∵∠A=∠BCE=60°．
∴∠EBC=30°，
∵OA=BC=2，
∴EC=，
∴OE=3﹣=2，
∵四边形ECGB是菱形，∠BCE=60°，
∴△BEC是等边三角形，
∴BC=EC=2，
∴OE=3﹣2=；
（4）解：∵OE=x，
∴BG=CE=3﹣x，
∴S△BGC=BG•OD=×（3﹣x）×3=﹣，
∴S四边形OAGC=S平行四边形OABC+S△BGC=3×3+x=．
点评： 本题主要考查了平行四边形的性质，含30°直角三角形的性质，矩形的性质，菱形的性质等，综合运用各性质定理，平行四边形和三角形的面积公式是解答此题的关键．
河北省唐山市迁安市2022学年八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共16小题，每小题2分，满分32分，每小题只有一个选项符合要求）
1． （2015春•迁安市期末）下列四种调查中，适合用普查的是（ ）
A． 了解某市所有八年级学生的视力状况
B． 了解中小学生的主要娱乐方式
C． 登飞机前，对旅客进行安全检查
D． 估计某水库中每条鱼的平均重量
考点： 全面调查与抽样调查．
分析： 由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
解答： 解：A、了解某市所有八年级学生的视力状况，应用抽样调查；
B、了解中小学生的主要娱乐方式，因此抽样调查；
C、登飞机前，对旅客进行安全检查，应用普查；
D、估计某水库中每条鱼的平均重量，应用抽样调查；
故选：C．
点评： 本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2． （2010•本溪）已知一次函数y=（a﹣1）x+b的图象如图所示，那么a的取值范围是（ ）
A． a＞1 B． a＜1 C． a＞0 D． a＜0
考点： 一次函数图象与系数的关系．
专题： 压轴题；数形结合．
分析： 由图象不难看出：y随x的增大而增大，由此可以确定a﹣1＞0，然后即可取出a的取值范围．
解答： 解：由图象可以看出：y随x的增大而增大，
∴a﹣1＞0，
∴a＞1．
故选A．
点评： 此题利用的规律：在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
3． （2015春•迁安市期末）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2520°的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A． 14 B． 15 C． 16 D． 17
考点： 多边形内角与外角．
分析： 根据图示，可得原来多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到的新多边形的内角和增加180°，据此求出原来多边形的内角和为多少度；然后根据多边形的内角和定理，求出原多边形的边数为多少即可．
解答： 解：（2520°﹣180°）÷180°+2
=2340°÷180°+2
=13+2
=15
∴原多边形的边数为15．
故选：B．
点评： 此题主要考查了多边形的内角和定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是求出原来多边形的内角和为多少度．
4． （2015春•迁安市期末）在平面直角坐标系中有一点P（﹣3，4），则点P到原点O的距离是（ ）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
考点： 点的坐标．
分析： 根据勾股定理，可得答案．
解答： 解：PO==5，
故选：C．
点评： 本题考查了点的坐标，利用勾股定理是解题关键．
5． （2015春•迁安市期末）现将100个数据分成了①﹣⑧，如表所示，则第⑤组的频率为（ ）
组号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
频数 3 9 15 22 15 17 8
A． 11 B． 12 C． 0.11 D． 0.12
考点： 频数与频率．
分析： 根据各小组频数之和等于数据总和求出第⑤组的频数，根据频率=求出第⑤组的频率．
解答： 解：100﹣3﹣9﹣15﹣22﹣15﹣17﹣8=11，
11÷100=0.11，
故选：C．
点评： 本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．注意：每个小组的频数等于数据总数减去其余小组的频数，即各小组频数之和等于数据总和．频率=．
6． （2015春•迁安市期末）直线y=2x+4与两坐标轴围成的三角形面积是（ ）
A． 2 B． 4 C． 8 D． 16
考点： 一次函数图象上点的坐标特征．
专题： 应用题．
分析： 先求出x=0，y=0时对应的y，x值，利用点的坐标的几何意义即可求得直线y=2x+4与两坐标轴围成的三角形面积．
解答： 解：当x=0时，y=4；当y=0时，x=﹣2；
所以直线y=2x+4与两坐标轴围成的三角形面积是×4×|﹣2|=4．
故选B．
点评： 本题考查的知识点为：某条直线与x轴，y轴围成三角形的面积为=×直线与x轴的交点坐标的横坐标的绝对值×直线与y轴的交点坐标的纵坐标的绝对值．
7． （2015春•迁安市期末）一天早上小华步行上学，他离开家后不远便发现数学书忘在了家里，于是以相同的速度回家去拿，到家后发现弟弟把牛奶洒在了地上，就放下手中的东西，收拾好后才离开．为了不迟到，小华跑步到了学校，则小华离学校的距离y与时间t之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
考点： 函数的图象．
分析： 根据题意可得小华步行上学时小华离学校的距离减小，而后离开家后不远便发现数学书忘在了家里，于是以相同的速度回家去拿时小华离学校的距离增大，到家后发现弟弟把牛奶洒在了地上，就放下手中的东西，收拾好后才离开距离不变，小华跑步到了学校时小华离学校的距离减小直至为0．
解答： 解：由题意可得小华步行上学时小华离学校的距离减小，而后离开家后不远便发现数学书忘在了家里，于是以相同的速度回家去拿时小华离学校的距离增大，到家后发现弟弟把牛奶洒在了地上，就放下手中的东西，收拾好后才离开距离不变，小华跑步到了学校时小华离学校的距离减小直至为0，
故A选项符合，
故选A．
点评： 此题考查函数图象，关键是根据题意得出距离先减小再增大，然后不变后减小为0进行判断．
8． （2015春•迁安市期末）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A． OA=OC，OB=OD B． ∠BAD=∠BCD，AB∥CD
C． AD∥BC，AD=BC D． AB=CD，AO=CO
考点： 平行四边形的判定．
分析： 根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对每个选项进行筛选可得答案．
解答： 解：A、根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，故此选项可以证明四边形ABCD是平行四边形；
B、根据AB∥CD可得：∠ABC+∠BCD=180°，∠BAD+∠ADC=180°，又由∠BAD=∠BCD可得：∠ABC=∠ADC，根据两组对角对应相等的四边形是平行四边形可以判定；
C、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以证明四边形ABCD是平行四边形；
D、AB=CD，AO=CO不能证明四边形ABCD是平行四边形．
故选：D．
点评： 本题主要考查平行四边形的判定问题，熟练掌握平行四边形的性质，能够熟练判定一个四边形是否为平行四边形．
9． （2015•应城市二模）如图，▱ABCD的周长为20cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△CDE的周长为（ ）
A． 6cm B． 8cm C． 10cm D． 12cm
考点： 平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质．
分析： 先由平行四边形的性质和周长求出AD+DC=10，再根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，即可得出△CDE的周长=AD+DC．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC，OA=OC，
∵▱ABCD的周长为20cm，
∴AD+DC=10cm，
又∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=10cm；
故选：C．
点评： 本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，运用线段垂直平分线的性质得出AE=CE是解决问题的关键．
10． （2015春•迁安市期末）如图，平行四边形ABCD和矩形ACEF的位置如图所示，点D在EF上，则平行四边形ABCD和矩形ACEF的面积S1、S2的大小关系是（ ）
A． S1＞S2 B． S1=S2 C． S1＜S2 D． 3S1=2S2
考点： 平行四边形的性质；矩形的性质．
分析： 过D作DF⊥AC于F，根据平行四边形的判定得到四边形DFCE是矩形，于是得到DF=CE，根据矩形的面积公式和三角形的面积即可得到S1=S2．
解答： 解：过D作DF⊥AC于F，
∵四边形ACEF是矩形，
∴∠E=∠ECF=90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∴DF=CE，
∵S1=2S△ACD=2×=AC•DF，S2=AC•CE，
∴S1=S2，
故选B．
点评： 本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质以及平行四边形和矩形的面积的求法，正确的作出辅助线是解题的关键．
11． （2009•河北）如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为（ ）
A． B． C． D．
考点： 一次函数的图象；根据实际问题列一次函数关系式．
分析： 先求出一次函数的关系式，再根据函数图象与坐标轴的交点及函数图象的性质解答即可．
解答： 解：由题意知，函数关系为一次函数y=﹣2x+4，由k=﹣2＜0可知，y随x的增大而减小，且当x=0时，y=4，
当y=0时，x=2．
故选D．
点评： 本题考查学生对计算程序及函数性质的理解．根据计算程序可知此计算程序所反映的函数关系为一次函数y=﹣2x+4，然后根据一次函数的图象的性质求解．
12． （2013•宁波）如果三角形的两条边分别为4和6，那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数据中的（ ）
A． 6 B． 8 C． 10 D． 12
考点： 三角形中位线定理；三角形三边关系．
分析： 本题依据三角形三边关系，可求第三边大于2小于10，原三角形的周长大于12小于20，连接中点的三角形周长是原三角形周长的一半，那么新三角形的周长应大于6而小于10，看哪个符合就可以了．
解答： 解：设三角形的三边分别是a、b、c，令a=4，b=6，
则2＜c＜10，12＜三角形的周长＜20，
故6＜中点三角形周长＜10．
故选B．
点评： 本题重点考查了三角形的中位线定理，利用三角形三边关系，确定原三角形的周长范围是解题的关键．
13． （2015春•迁安市期末）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则方程2x=ax+4的解集为（ ）
A． x= B． x=3 C． x=﹣ D． x=﹣3
考点： 一次函数与一元一次方程．
分析： 可先求得A点坐标，再结合函数图象可知方程的解即为两函数图象的交点横坐标，可求得方程的解．
解答： 解：∵A点在直线y=2x上，
∴3=2m，解得m=，
∴A点坐标为（，3），
∵y=2x，y=ax+4，
∴方程2x=ax+4的解即为两函数图象的交点横坐标，
∴方程2x=ax+4的解为x=，
故选A．
点评： 本题主要考查函数图象交点的意义，掌握函数图象的交点即为对应方程组的解是解题的关键．
14． （2013•菏泽）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120° 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ）
A． 15°或30° B． 30°或45° C． 45°或60° D． 30°或60°
考点： 剪纸问题．
分析： 折痕为AC与BD，∠BAD=120°，根据菱形的性质：菱形的对角线平分对角，可得∠ABD=30°，易得∠BAC=60°，所以剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．
解答： 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠ABC，∠BAC=∠BAD，AD∥BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣120°=60°，
∴∠ABD=30°，∠BAC=60°．
∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．
故选D．
点评： 此题主要考查菱形的判定以及折叠问题，关键是熟练掌握菱形的性质：菱形的对角线平分每一组对角．
15． （2009•德州）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A． （0，0） B． （，﹣） C． （﹣，﹣） D． （﹣，﹣）
考点： 坐标与图形性质；垂线段最短．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 过A点作垂直于直线y=x的垂线AB，此时线段AB最短，因为直线y=x的斜率为1，所以∠AOB=45°，△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴垂足为C，则OC=BC=．因为B在第三象限，所以点B的坐标为（﹣，﹣）．
解答： 解：线段AB最短，说明AB此时为点A到y=x的距离．
过A点作垂直于直线y=x的垂线AB，
∵直线y=x与x轴的夹角∠AOB=45°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
过B作BC垂直x轴，垂足为C，
则BC为中垂线，
则OC=BC=．作图可知B在x轴下方，y轴的左方．
∴点B的横坐标为负，纵坐标为负，
∴当线段AB最短时，点B的坐标为（﹣，﹣）．
故选：C．
点评： 本题考查了动点坐标的确定，还考查了学生的动手操作能力，本题涉及到的知识点为：垂线段最短．
16． （2013•雅安）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（ ）个．
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 通过条件可以得出△ABE≌△ADF而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE再通过比较大小就可以得出结论
解答： 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF（故①正确）．
∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°（故②正确），
∵BC=CD，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．（故③正确）．
设EC=x，由勾股定理，得
EF=x，CG=x，
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x，
∴AC=，
∴AB=，
∴BE=﹣x=，
∴BE+DF=x﹣x≠x，（故④错误），
∵S△CEF=，
S△ABE==，
∴2S△ABE==S△CEF，（故⑤正确）．
综上所述，正确的有4个，
故选：C．
点评： 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
17． （1997•上海）函数中，自变量x的取值范围是 x≤2 ．
考点： 函数自变量的取值范围．
分析： 根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
解答： 解：根据题意得：2﹣x≥0，解得：x≤2．
故答案是：x≤2．
点评： 函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
18． （2015春•迁安市期末）已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为 cm ．
考点： 矩形的性质；线段垂直平分线的性质．
专题： 计算题．
分析： 连接EB，构造直角三角形，设AE为x，则DE=BE=4﹣x，利用勾股定理得到有关x的一元一次方程，求得即可．
解答： 解：连接EB，
∵EF垂直平分BD，
∴ED=EB，
设AE=xcm，则DE=EB=（4﹣x）cm，
在Rt△AEB中，
AE2+AB2=BE2，
即：x2+32=（4﹣x）2，
解得：x=，
故答案为：cm．
点评： 本题考查了勾股定理的内容，利用勾股定理不单单能在直角三角形中求边长，而且能利用勾股定理这一隐含的等量关系列出方程．
19． （2007•滨州）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 π 个平方单位．
考点： 扇形面积的计算；多边形内角与外角．
分析： 由于凸多边形的外角和为360°，所以这些阴影部分的面积正好是以1为半径的圆的面积．
解答： 解：由题意，得S=SA1+SA2+…+SAn==π．
故答案为：π．
点评： 本题主要考查了凸多边形的外角和是360度的实际运用．
20． （2015春•迁安市期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1）（1，2），（2，2），…，根据这个规律，第2015个点的坐标为 （45，10） ．
考点： 规律型：点的坐标．
分析： 根据图形，求出与2015最接近的完全平方数，再根据这个完全平方数个点的位置确定出与第2015个点关系，然后求解即可．
解答： 解：∵452=2025，
∴第2025个点的坐标是（45，0），
∴第2015个点在第2025个点的正上方10个单位处，
∴第2015个点的坐标为（45，10）．
故答案是：（45，10）．
点评： 本题考查了点的坐标的规律变化，观察出点的个数按照平方数的规律变化是解题的关键．
三、解答题（共6小题，满分56分）
21．（8分）（2015春•迁安市期末）在如图所示的方格图中，每个小正方形的顶点成为“格点”，且每个小正方形的边长均为1个长度单位，以格点为顶点的图形叫做“格点图形”，根据图形解决下列问题：
（1）图中格点△A′B′C′是由格点△ABC通过怎样变换得到的？
（2）如果建立直角坐标系后，点A的坐标为（﹣6，4），写出图中格点△DEF中各顶点的坐标，并求出过F点的正比例函数解析式．
考点： 作图-旋转变换；待定系数法求正比例函数解析式；作图-平移变换．
分析： （1）利用旋转和平移的性质得出△ABC变换的方法；
（2）利用A点坐标得出原点位置进而利用待定系数法求出正比例函数解析式．
解答： 解：（1）格点△A′B′C′是由格点△ABC先绕B点逆时针旋转90°，
然后向右平移12个长度单位（或格）得到的．（先平移后旋转也行）；
（2）△DEF各顶点的坐标为：D（﹣1，﹣1），E（﹣2，﹣6），F（6，﹣4），
设过F点的正比例函数解析式为y=kx，
将F（6，﹣4）代入上式得，
﹣4=6k，
解得：k=﹣，
故过A点的正比例函数的解析式为：y=﹣x．
点评： 此题主要考查了旋转变换和平移变换以及待定系数法求正比例函数解析式，根据题意得出变换规律是解题关键．
22．（8分）（2015春•迁安市期末）【知识链接】连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线
【动手操作】小明同学在探究证明中位线性质定理时，是沿着中位线将三角形剪开然后将他们无缝隙、无重叠
的拼在一起构成平行四边形，从而得出：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半
【定理证明】小明为证明定理，画出了图形，写出了不完整的已知和求证（如图1）；
（1）在图1方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按图2小明的想法写出证明．
考点： 三角形中位线定理．
分析： （1）作出图形，然后写出已知、求证；
（2）延长EF到D，使FD=EF，利用“边角边”证明△ADE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CF，全等三角形对应角相等可得∠A=∠ECF，根据两直线平行判断出AB∥CF，然后判断出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得结论．
解答： （1）解：中点，∥，=；
（2）证明：延长DE到点F，使EF=DE．连接CF，
在△ADE和△CEF中，
∵
∴△ADE≌△CEF，
∴AD=CF，∠A=∠ECF，
∴AD∥CF，
∵BD=AD=CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DE∥BC，且DF=BC，
∴DE=DF=．
点评： 本题考查了三角形的中位线定理的证明，关键在于作辅助线构造成全等三角形和平行四边形，文字叙述性命题的证明思路和方法需熟练掌握．
23．（9分）（2015春•迁安市期末）为了解某校七、八年级学生的睡眠情况，随机抽取了该校七、八年级学生部分学生进行调查．已知抽取七年级与八年级的学生人数相同，且八年级学生的D组有15人，利用抽样所得的数据绘制所示的统计图表．
睡眠情况分组表（单位：时）
组别 睡眠时间x
A x≤7.5
B 7.5≤x≤8.5
C 8.5≤x≤9.5
D 9.5≤x≤10.5
E x≥10.5
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）此次调查抽取样本容量是 120 ；七年级学生睡眠时间在A组的有 6 人；并补全七年级学生睡眠情况统计图；
（2）求“八年级学生睡眠情况统计图”中的a及a对应的扇形的圆心角度数；
（3）抽取的样本中七、八年级学生睡眠时间在C组的共有多少人？
（4）已知该校七年级学生有800人，八年级学生有850人，如果睡眠时间x（时）满足：7.5≤x≤9.5，称睡眠时间合格，试估计该校七、八年级学生睡眠时间合格的共有多少人？
考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；方差．
分析： （1）根据八年级D的频数和百分比可求得八年级被抽查的人数，从而得到七年级的被抽查的人数，故此可求得样本容量，用七年级被抽查的总人数减去各组的人数即可求得A组的频数，然后不全统计图即可；
（2）根据各部分的和等于1即可求得a，然后根据圆心角的度数=360°×百分比求解即可；
（3）根据频数=总数×百分比可求得八年级C组的频数，然后加上17即可；
（4）合格的总人数=七年级的总人数×七年级合格人数所占百分比+八年级的总人数×八年级合格人数所占百分比．
解答： 解：（1）15÷25%=60，
∵七八年抽取的学生数相同，
∴样本容量=60×2=120，
60﹣19﹣17﹣10﹣8=6，
补全条形统计图如下：
（2）根据题意得：a=1﹣（35%+25%+25%+10%）=5%；
a对应扇形的圆心角度数为：360°×5%=18°
（3）根据题意得60×35%=21（人），21+17=38（人），
所以抽取的样本中，七、八年级学生睡眠时间在C组的有38人；
（4）根据题意得：800×=800×60%=480（人）
850×（25%+35%）=510（人），
480+510=990（人）
则该校七、八年级学生中睡眠时间合格的共有990人．
点评： 本题主要考查的是条统计图和扇形统计图的认识，根据八年级D人数和所在的百分比求得被抽查的八年级同学的人数是解题的关键．
24．（9分）（2015春•迁安市期末）在“龟兔赛跑”中，兔子输给乌龟极不服气，所以它约乌龟再赛一场，以雪耻前辱．在这次赛跑中乌龟提高了速度，兔子也全力以赴．但兔子在跑步过程中腿受伤了，速度也由此减慢了，乌龟一直匀速跑到最后．如图是乌龟和兔子跑步的路程S（米）与乌龟出发的时间t（分）之间的函数图象．根据图象提供的信息解决问题：
（1）乌龟的速度为 2 米/分钟；
（2）兔子跑步的路程S（米）与时间t（分）之间的函数关系式；
（3）兔子出发多长时间追上乌龟．
考点： 一次函数的应用．
分析： （1）根据图象可以看出乌龟跑完全程100米，用时50分钟，即可知道它的速度；
（2）当12≤t≤15．根据图象经过（12，0）（15，60），运用待定系数法求出解析式，当15＜t≤30，图象经过（30，100）（15，60），运用待定系数法求出解析式；
（3）根据题意列方程，解方程即可得到答案．
解答： 解：（1）根据图象可以看出乌龟跑完全程100米，用时50分钟，所以它的速度为2米/分钟，
故答案为：2
（2）当12≤t≤15．设s=kt+b．
∵图象经过（12，0）（15，60）
∴
解得
∴s=20t﹣240，
当15＜t≤30，
设s=mt+n．
∵图象经过（30，100）（15，60）
∴
解得
∴s=t+20．
（3）乌龟跑步的路程S（米）与时间t（分）之间的函数关系式：s=2t，
依题意得：2t=20t﹣240，
解得：t=，所以﹣12=，
所以在兔子出发分钟时，兔子追上乌龟．
点评： 本题主要考查了函数图象以及待定系数法求一次函数解析式，理解两个函数图象的交点表示的意义，从函数图象准确获取信息是解题的关键．
25．（10分）（2015春•迁安市期末）为建设环境优美文明和谐的新农村，某村村委会决定在村道两旁种植A、B两种树木，需要购买两种树苗1000棵．已知购买一棵A品种树苗需花20元，购买一棵B品种树苗需花30元，另外每栽种一棵树苗需要植树费5元．设购买A品种树苗x棵，绿化村道的总费用为y元，解答下面问题
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）若绿化村道的总费用不超过31000元，则最多可购买B品种树苗多少棵？
（3）在（2）的条件下，由于A品种树苗成活率高，所以供应商把A品种树苗的单价上调了m（10≤m≤15）元，B品种树苗的单价不变，求出绿化总费用最低时的购买方案．
考点： 一次函数的应用．
分析： （1）设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗（1000﹣x）棵，根据总费用=（购买A种树苗的费用+种植A种树苗的费用）+（购买B种树苗的费用+种植B种树苗的费用），即可求出y（元）与x（棵）之间的函数关系式；
（2）根据绿化村道的总费用不超过31000元，列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围，即可求解．
（3）根据总费用=种植A种树苗的总费用+种植B种树苗的总费用，即可求出y（元）与x（棵）之间的函数关系式y=（m﹣10）x+35000，根据m的取值和一次函数的性质进行判断即可．
解答： 解：（1）y=（20+5）x+（30+5）（1000﹣x）=﹣10x+35000；
（2）﹣10x+35000≤31000，
解得：x≥400，
所以，最多可购买B种树苗600棵；
（3）y=（25+m）x+35（1000﹣x）
=（m﹣10）x+35000，
因为：10≤m≤15，所以当m=10时，无论怎样购买，绿化总费用都是35000元；
当10＜m≤15，则m﹣10＞0，所以y随x的减小而减小，所以取最小值400，y有最小值，所以购买方案是：A种树苗400棵，B种树苗600棵．
但无论怎样购买总费用均超过第（2）中的31000元，所以，按要求不能实现购买．
点评： 此题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．此题难度适中，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式、列出方程与不等式，明确不等关系的语句“不超过”的含义．
26．（12分）（2015春•迁安市期末）如图，平行四边形OABC中，OA=2，∠A=60°，AB交y轴于点D，点C（3，0），F是BC的中点，E在OC上从O向C移动，EF的延长线与AB的延长线交于点G．
（l）求D、B的坐标；
（2）求证：四边形ECGB是平行四边形；
（3）求当OE是多少时，四边形ECGB是矩形；OE是多少时，四边形ECGB是菱形．
（4）设OE=x，四边形OAGC的面积为y，请写出y与x的关系式．
考点： 四边形综合题．
分析： （1）由含30°直角三角形的性质可得AD=，由锐角三角函数易得OD的长，可得D点坐标，由平行四边形的性质可得AB的长，易得BD的长，可得B点坐标；
（2）由平行四边形的性质可得AG∥OC，∠BGE=∠GEC，由F是CB的中点，易证得△BFG≌△CFE，由全等三角形的性质可得BG=CE，由平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得结论；
（3）由矩形的性质可得∠BEC=90°，又因为∠A=∠BCE=60°，易得∠EBC=30°，可得EC的长，求得OE的长；由菱形的性质可得△BEC是等边三角形，易得EC的长，求得OE；
（4）由OE=x，可得BG=CE=3﹣x，利用平行四边形和三角形的面积公式可得四边形OAGC的面积，得y与x的关系式．
解答： （1）解：∵平行四边形OABC中，∠A=60°，
∴∠ADO=90°，∠AOD=30°，
∵OA=2，
∴AD=，OD=3，
∴D坐标（0，3），
∵AB=OC=3，
∴BD=AB﹣AD=3﹣=2，
∴B坐标（2，3）；
（2）证明：∵四边形OABC是平行四边形，
∴AG∥OC，
∴∠BGE=∠GEC，
∵F是CB的中点，
∴BF=CF，
又∵∠BFG=∠CFE，
在△BFG与△CFE中，
，
∴△BFG≌△CFE（ASA），
∴BG=CE，
∴四边形ECGB是平行四边形；
（3）解：∵四边形ECGB是矩形，
∴∠BEC=90°
∵∠A=∠BCE=60°．
∴∠EBC=30°，
∵OA=BC=2，
∴EC=，
∴OE=3﹣=2，
∵四边形ECGB是菱形，∠BCE=60°，
∴△BEC是等边三角形，
∴BC=EC=2，
∴OE=3﹣2=；
（4）解：∵OE=x，
∴BG=CE=3﹣x，
∴S△BGC=BG•OD=×（3﹣x）×3=﹣，
∴S四边形OAGC=S平行四边形OABC+S△BGC=3×3+x=．
点评： 本题主要考查了平行四边形的性质，含30°直角三角形的性质，矩形的性质，菱形的性质等，综合运用各性质定理，平行四边形和三角形的面积公式是解答此题的关键．
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