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【解析版】榆林市府谷县2022学年八年级上期末数学试卷
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这是一份【解析版】榆林市府谷县2022学年八年级上期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2022学年陕西省榆林市府谷县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1． 在直角坐标系中，点（2，1）在（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
2． 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A． 1、2、3.5 B． 4、5、9 C． 20、15、8 D． 5、15、8
3． 下列命题中，是真命题的是（ ）
A． 若a•b＞0，则a＞0，b＞0 B． 若a•b＜0，则a＜0，b＜0
C． 若a•b=0，则a=0，且b=0 D． 若a•b=0，则a=0，或b=0
4． 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）
A． 5个 B． 4个 C． 3个 D． 2个
5． 如图，△ABC经过怎样的平移得到△DEF（ ）
A． 把△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位
B． 把△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位
C． 把△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位
D． 把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位
6． 下列说法错误的是（ ）
A． 三角形的中线、高、角平分线都是线段
B． 任意三角形内角和都是180°
C． 三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形
D． 直角三角形两锐角互余
7． 在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（ ）
A． 5个 B． 4个 C． 3个 D． 2个
8． 如图，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（ ）
A． 30° B． 35° C． 40° D． 50°
9． 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文⇒密文（加密），接收方由密文⇒明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c
字母 a b c d e f g h i j k l m
序号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
字母 n o p q r s t u v w x y z
序号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（ ）
A． wkdrc B． wkhtc C． eqdjc D． eqhjc
10． 甲、乙两个准备在一段长为1200米的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4m/s和6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两之间的距离y（m）与时间t（s）的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上）
11． 如果正比例函数y=kx的图象经过点（1，﹣2），那么k的值等于 ．
12． 等腰三角形的对称轴有 条．
13． 命题“直角都相等”的逆命题是
，它是
命题．（填“真”或“假”）．
14． 如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是 ．
①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．
三、（本题共2小题，每小题8分，共16分）
15． 如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明．供选择的三个条件（请从其中选择一个）：
①AB=ED；
②BC=EF；
③∠ACB=∠DFE．
16． 如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．求证：BF=CE．
四、（本题共2小题，每小题8分，共16分）
17． 如图，已知直线L1经过点A（﹣1，0）与点B（2，3），另一条直线L2经过点B，且与x轴相交于点P（m，0）．
（1）求直线L1的解析式．
（2）若△APB的面积为3，求m的值．（提示：分两种情形，即点P在A的左侧和右侧）
18． 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，8），点B（6，8）．
（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：
①点P到A，B两点的距离相等；
②点P到∠xOy的两边的距离相等．
（2）在（1）作出点P后，写出点P的坐标．
五、（本题共2小题，每小题10分，共20分）
19． 已知函数y1=x﹣1和y2=﹣2x+3．
（1）同一坐标系中画出这两个函数的图象．
（2）求出这两个函数图象的交点坐标．
（3）观察图象，当x取什么范围时，y1＞y2？
20． 观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（2）实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．
六、（本题满分12分）
21． 已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA．
（1）若∠MFC=120°，求证：AM=2MB；
（2）求证：∠MPB=90°﹣∠FCM．
七、（本题满分12分）
22． 某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润=（售价﹣成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元；
（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；
（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）
八、（本题满分14分）
23． 某物流公司的快递车和货车每天往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟．图表示快递车距离A地的路程y（单位：千米）与所用时间x（单位：时）的函数图象．已知货车比快递车早1小时出发，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚1小时．
（1）请在图中画出货车距离A地的路程y（千米）与所用时间x（时）的函数图象；
（2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）；
（3）求两车最后一次相遇时，距离A地的路程和货车从A地出发了几小时？
2022学年陕西省榆林市府谷县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1． 在直角坐标系中，点（2，1）在（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点： 点的坐标．
分析： 应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．
解答： 解：因为点P（2，1）的横坐标是正数，纵坐标也是正数，所以点在平面直角坐标系的第一象限．
故选A．
点评： 解决本题的关键是牢记平面直角坐标系中四个象限的点的坐标的符号特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
2． 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A． 1、2、3.5 B． 4、5、9 C． 20、15、8 D． 5、15、8
考点： 三角形三边关系．
分析： 根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，利用排除法求解．
解答： 解：A、∵1+2=3＜3.5，∴不能组成三角形；
B、∵4+5=9，∴不能组成三角形；
C、20、15、8，能组成三角形；
D、5+8=13＜15，不能组成三角形．
故选：C．
点评： 本题主要考查三角形的三边性质，需要熟练掌握．
3． 下列命题中，是真命题的是（ ）
A． 若a•b＞0，则a＞0，b＞0 B． 若a•b＜0，则a＜0，b＜0
C． 若a•b=0，则a=0，且b=0 D． 若a•b=0，则a=0，或b=0
考点： 命题与定理．
分析： 分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
解答： 解：A、a•b＞0可得a、b同号，可能同为正，也可能同为负，是假命题；
B、a•b＜0可得a、b异号，所以错误，是假命题；
C、a•b=0可得a、b中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，是假命题；
D、若a•b=0，则a=0，或b=0，或二者同时为0，是真命题．
故选D．
点评： 本题主要考查乘法法则，只有深刻理解乘法法则才能求出正确答案，需要考生具备一定的思维能力．
4． 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）
A． 5个 B． 4个 C． 3个 D． 2个
考点： 等腰三角形的判定；三角形内角和定理．
专题： 证明题．
分析： 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案．
解答： 解：共有5个．
（1）∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线
∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠EBC=∠ECB，
∴△BCE是等腰三角形；
（3）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）=72°，
又BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，
∴△ABD是等腰三角形；
同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．
故选：A．
点评： 此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．
5． 如图，△ABC经过怎样的平移得到△DEF（ ）
A． 把△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位
B． 把△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位
C． 把△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位
D． 把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位
考点： 平移的性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据平移的性质可知，图中DE与AB是对应线段，DE是AB向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到的．
解答： 解：由题意可知把△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△DEF．
故选C．
点评： 本题主要考查了平移的性质，观察图象，分析对应线段作答．
6． 下列说法错误的是（ ）
A． 三角形的中线、高、角平分线都是线段
B． 任意三角形内角和都是180°
C． 三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形
D． 直角三角形两锐角互余
考点： 三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；直角三角形的性质．
专题： 推理填空题．
分析： 根据三角形的中线高角平分线定义即可判断A；由三角形内角和定理能判断B；由直角三角形的分类能判断C；根据直角三角形的性质能判断D．
解答： 解：A、三角形的中线高角平分线都是线段，故本选项错误；
B、根据三角形的内角和定理，三角形的内角和等于180°，故本选项错误；
C、因为三角形按角分为直角三角形和斜三角形（锐角三角形、钝角三角形），故本选项错误；
D、直角三角形两锐角互余，故本选项正确；
故选D．
点评： 本题考查了三角形的角平分线、中线、高，三角形的内角和定理，直角三角形的性质等知识点，熟练理解和掌握这些知识是解此题的关键．
7． 在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（ ）
A． 5个 B． 4个 C． 3个 D． 2个
考点： 等腰三角形的判定；坐标与图形性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的Q点，选择正确答案．
解答： 解：如上图：满足条件的点Q共有（0，2）（0，2）（0，﹣2）（0，4）．
故选B．
点评： 本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决特殊的问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．
8． 如图，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（ ）
A． 30° B． 35° C． 40° D． 50°
考点： 旋转的性质．
分析： 旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′=∠CAC′，AC=AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA=∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′．
解答： 解：∵CC′∥AB，∠CAB=70°，
∴∠C′CA=∠CAB=70°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC=AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠BAB′=∠CAC′=180°﹣2∠C′CA=40°．
故选：C．
点评： 本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
9． 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文⇒密文（加密），接收方由密文⇒明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c
字母 a b c d e f g h i j k l m
序号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
字母 n o p q r s t u v w x y z
序号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（ ）
A． wkdrc B． wkhtc C． eqdjc D． eqhjc
考点： 有理数的混合运算．
专题： 应用题；压轴题．
分析： m对应的数字是12，12+10=22，除以26的余数仍然是22，因此对应的字母是w；a对应的数字是0，0+10=10，除以26的余数仍然是10，因此对应的字母是k；t对应的数字是19，19+10=29，除以26的余数仍然是3，因此对应的字母是d；…，所以本题译成密文后是wkdrc．
解答： 解：m、a、t、h、s分别对应的数字为12、0、19、7、18，它们分别加10除以26所得的余数为22、10、3、17、2，所对应的密文为wkdrc．
故选：A．
点评： 本题是阅读理解题，解决本题的关键是读懂题意，理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度．
10． 甲、乙两个准备在一段长为1200米的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4m/s和6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两之间的距离y（m）与时间t（s）的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
考点： 函数的图象．
专题： 压轴题．
分析： 甲在乙前面，而乙的速度大于甲，则此过程为乙先追上甲后再超过甲，全程时间以乙跑的时间计算，算出相遇时间判断图象．
解答： 解：此过程可看作追及过程，由相遇到越来越远，按照等量关系“甲在相遇前跑的路程+100=乙在相遇前跑的路程”列出等式
v乙t=v甲t+100，根据
甲、乙跑步的速度分别为4m/s和6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，
则乙要追上甲，所需时间为t=50，
全程乙跑完后计时结束t总==200，
则计时结束后甲乙的距离△s=（v乙﹣v甲）×（t总﹣t）=300m
由上述分析可看出，C选项函数图象符合
故选：C．
点评： 本题考查的是函数图象与实际结合的问题，需注意相遇的时间、全程时间以及最后甲乙的距离这几个点．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上）
11． 如果正比例函数y=kx的图象经过点（1，﹣2），那么k的值等于 ﹣2 ．
考点： 待定系数法求正比例函数解析式．
专题： 待定系数法．
分析： 把点的坐标代入函数解析式，就可以求出k的值．
解答： 解：∵图象经过点（1，﹣2），
∴1×k=﹣2，
解得：k=﹣2．
故答案为：﹣2．
点评： 本题主要考查函数图象经过点的意义，经过点，说明点的坐标满足函数解析式．
12． 等腰三角形的对称轴有 一条或三条 条．
考点： 轴对称图形．
专题： 常规题型．
分析： 等腰三角形是轴对称图形，注意分一般等腰三角形和特殊等腰三角形两种情况考虑．
解答： 解：一般等腰三角形有一条，即底边上的中线所在的直线；
若是特殊的等腰三角形即等边三角形，则有三条，即每条边上的中线所在的直线．
故答案为：一条或三条．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质及轴对称图形；做题时很易出错，往往只想到一般的等腰三角形，要注意两种情况的考虑．
13． 命题“直角都相等”的逆命题是
相等的角都是直角 ，它是
假 命题．（填“真”或“假”）．
考点： 命题与定理．
分析： 把一个命题的题设和结论互换就可得到它的逆命题，根据真命题与假命题的概念，判断正确的命题叫真命题，判断错误的命题叫假命题，即可判断出命题的真假．
解答： 解：命题“直角都相等”的逆命题是：相等的角都是直角，
∵相等的角不一定都是直角，
∴命题是假命题，
故答案为：相等的角都是直角，假．
点评： 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，还考查了真假命题的定义，难度适中．
14． 如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是 ②③④ ．
①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．
考点： 等腰三角形的判定与性质．
专题： 压轴题．
分析： 可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②是否正确；③④要通过作等腰三角形来判断其结论是否成立．
解答： 解：应添加的条件是②③④；
证明：②当∠BAD=∠CAD时，
∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高；
则△ABD≌△ACD，
∴△BAC是等腰三角形；
③延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF；
∵AB+BD=CD+AC，
∴DE=DF，又AD⊥BC；
∴△AEF是等腰三角形；
∴∠E=∠F；
∵AB=BE，
∴∠ABC=2∠E；
同理，得∠ACB=2∠F；
∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形；
④△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得：
AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，
即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）；
∵AB﹣BD=AC﹣CD①，
∴AB+BD=AC+CD②；
∴①+②得：，
2AB=2AC；
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形
故答案为：②③④．
点评： 此题主要考查的是等腰三角形的判定和性质；本题的难点是结论③的证明，能够正确的构建出等腰三角形是解答③题的关键．
三、（本题共2小题，每小题8分，共16分）
15． 如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明．供选择的三个条件（请从其中选择一个）：
①AB=ED；
②BC=EF；
③∠ACB=∠DFE．
考点： 全等三角形的判定与性质．
分析： 只有FB=CE，AC=DF．不能证明AB∥ED；可添加：①AB=ED，可用SSS证明△ABC≌△DEF，得到∠B=∠E，再根据平行线的判定方法可得AB∥ED；也可添加：③∠ACB=∠DFE，可用SAS证明△ABC≌△DEF；但不能添加②，这就是SSA，不能判定△ABC≌△DEF．
解答： 解：不能；
可添加：①AB=ED，可用SSS证明△ABC≌△DEF；
∵FB=CE，
∴FB+FC=CE+FC，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B=∠E，
∴AB∥ED．
点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定，关键是掌握证明三角形全等的方法，以及全等三角形的性质定理．
16． 如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．求证：BF=CE．
考点： 全等三角形的判定与性质．
分析： 由已知条件“过点C、B作AD及其延长线的垂线”易证两个直角相等；再由AD是中线知BD=CD，对顶角∠BDF与∠CDE相等，利用“AAS”来证明△BDF≌△CDE；最后根据全等三角形的对应边相等来证明BF=CE．
解答： 证明：根据题意，知CE⊥AF，BF⊥AF，
∴∠CED=∠BFD=90°，
又∵AD是边BC上的中线，
∴BD=DC；
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
∠BDF=∠CDE（对顶角相等），BD=CD，∠CED=∠BFD，
∴△BDF≌△CDE（AAS），
∴BF=CE（全等三角形的对应边相等）．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是通过平行线的判定定理（在同一平面内，垂直于同一条线段的两条直线平行）证明CE∥BF，然后通过平行线的性质（两直线平行，内错角相等）求得∠DBF=∠DCE才能构建是全等三角形△BDF≌△CDE．
四、（本题共2小题，每小题8分，共16分）
17． 如图，已知直线L1经过点A（﹣1，0）与点B（2，3），另一条直线L2经过点B，且与x轴相交于点P（m，0）．
（1）求直线L1的解析式．
（2）若△APB的面积为3，求m的值．（提示：分两种情形，即点P在A的左侧和右侧）
考点： 待定系数法求一次函数解析式．
专题： 分类讨论；待定系数法．
分析： （1）设直线L1的解析式为y=kx+b，由题意列出方程组求解；
（2）分两种情形，即点P在A的左侧和右侧分别求出P点坐标，再求解．
解答： 解：（1）设直线L1的解析式为y=kx+b，
∵直线L1经过点A（﹣1，0）与点B（2，3），
∴，
解得．
所以直线L1的解析式为y=x+1．
（2）当点P在点A的右侧时，AP=m﹣（﹣1）=m+1，
有S△APB=×（m+1）×3=3，
解得：m=1．
此时点P的坐标为（1，0）．
当点P在点A的左侧时，AP=﹣1﹣m，
有S△APB=×|﹣m﹣1|×3=3，
解得：m=﹣3，
此时，点P的坐标为（﹣3，0）．
综上所述，m的值为1或﹣3．
点评： 本题要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数求得函数解析式；利用P点坐标求三角形的面积．
18． 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，8），点B（6，8）．
（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：
①点P到A，B两点的距离相等；
②点P到∠xOy的两边的距离相等．
（2）在（1）作出点P后，写出点P的坐标．
考点： 作图—复杂作图．
分析： （1）点P到A，B两点的距离相等，即作AB的垂直平分线，点P到∠xOy的两边的距离相等，即作角的平分线，两线的交点就是点P的位置．
（2）根据坐标系读出点P的坐标．
解答： 解：（1）作图如右，点P即为所求作的点．
（2）设AB的中垂线交AB于E，交x轴于F，
由作图可得，EF⊥AB，EF⊥x轴，且OF=3，
∵OP是坐标轴的角平分线，
∴P（3，3），
同理可得：P（3，﹣3），
综上所述：符合题意的点的坐标为：（3，3），（3，﹣3）．
点评： 本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等和角平分线上的点到角两边的距离相等．
五、（本题共2小题，每小题10分，共20分）
19． 已知函数y1=x﹣1和y2=﹣2x+3．
（1）同一坐标系中画出这两个函数的图象．
（2）求出这两个函数图象的交点坐标．
（3）观察图象，当x取什么范围时，y1＞y2？
考点： 两条直线相交或平行问题．
专题： 作图题；数形结合．
分析： （1）找出y1，y2与横纵纵坐标的交点即可画出；
（2）令x﹣1=﹣2x+3即得到交点；
（3）由（2）中所得交点结合图象即求得．
解答： 解：（1）如右图
（2）令x﹣1=﹣2x+3，得x=，
∴代入得：y=
∴交点坐标为（，）；
（3）当x＞时，从图象上函数y1的图象在y2图象的上面，
即此时y1＞y2
点评： 本题考查两直线的相交问题，（1）中求得两直线与横纵坐标的交点即可求得直线，（2）令两直线相等，即可求得两直线的交点坐标．（3）从（2）中得到的交点结合图象即求得．
20． 观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（2）实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．
考点： 翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的判定；矩形的性质．
专题： 操作型．
分析： （1）由两次折叠知，点A在EF的中垂线上，所以AE=AF；
（2）由图知，∠α=∠FED﹣（180°﹣∠AEB）÷2．
解答： 解：（1）同意．如图，设AD与EF交于点G．
由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．
又由折叠知，∠AGE=∠DGE，∠AGE+∠DGE=180°，
所以∠AGE=∠AGF=90°，
所以∠AEF=∠AFE．所以AE=AF，
即△AEF为等腰三角形．
（2）由折叠知，四边形ABFE是正方形，∠AEB=45°，
所以∠BED=135度．
又由折叠知，∠BEG=∠DEG，
所以∠DEG=67.5度．
从而∠α=67.5°﹣45°=22.5°．
点评： 本题是一道折叠操作性考题．重点考查学生通过观察学习，领悟感受，探究发现折叠图形的对称只是，培养其自主学习能力，本题的关键是成轴对称的两个图形全等，对应角相等．
在解答此题时，有的人往往知道结论，书写不规范，建议教师在以后的教学中，在培养学生自主学习能力的同时，还要注重培养有条理表达和规范证明的能力．
六、（本题满分12分）
21． 已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA．
（1）若∠MFC=120°，求证：AM=2MB；
（2）求证：∠MPB=90°﹣∠FCM．
考点： 直角梯形；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
专题： 证明题．
分析： （1）连接MD，由于点E是DC的中点，ME⊥DC，所以MD=MC，然后利用已知条件证明△AMD≌△FMC，根据全等三角形的性质可以推出∴∠MAD=∠MFC=120°，接着得到∠MAB=30°，再根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可证明AM=2BM；
（2）利用（1）的结论得到∠ADM=∠FCM，又AD∥BC，所以∠ADM=∠CMD，由此得到∠CMD=∠FCM，再利用等腰三角形的性质即可得到∠CME=∠FCM，再根据已知条件即可解决问题．
解答： 证明：（1）连接MD，
∵点E是DC的中点，ME⊥DC，
∴MD=MC，
又∵AD=CF，MF=MA，
∴△AMD≌△FMC，
∴∠MAD=∠MFC=120°，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∴∠MAB=30°，
在Rt△AMB中，∠MAB=30°，
∴BM=AM，
即AM=2BM；
（2）连接MD，
∵点E是DC的中点，ME⊥DC，
∴MD=MC，
又∵AD=CF，MF=MA，
∴△AMD≌△FMC，
∴∠ADM=∠FCM，
∵AD∥BC，
∴∠ADM=∠CMD
∴∠CMD=∠FCM，
∵MD=MC，ME⊥DC，
∴∠DME=∠CME=∠CMD，
∴∠CME=∠FCM，
在Rt△MBP中，∠MPB=90°﹣∠CME=90°﹣∠FCM．
点评： 此题主要考查了梯形的性质、全等三角形的性质与判定，及等腰三角形的性质与判定，综合性比较强．
七、（本题满分12分）
22． 某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润=（售价﹣成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元；
（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；
（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）
考点： 一次函数的应用；分段函数．
专题： 压轴题；图表型．
分析： （1）根据销售记录每升利润为1元，所以销售利润为4万元时销售量为4万升；
（2）设BC所对应的函数关系式为y=kx+b（k≠0），求出图象中B点和C点的坐标代入关系式中即可．
（3）判断利润率最大，应该看倾斜度．
解答： 解：解法一：
（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为4÷（5﹣4）=4（万升）．
答：销售量x为4万升时销售利润为4万元；
（2）点A的坐标为（4，4），从13日到15日销售利润为5.5﹣4=1.5（万元），
所以销售量为1.5÷（5.5﹣4）=1（万升），所以点B的坐标为（5，5.5）．
设线段AB所对应的函数关系式为y=kx+b，则解得
∴线段AB所对应的函数关系式为y=1.5x﹣2（4≤x≤5）．
从15日到31日销售5万升，利润为1×1.5+4×（5.5﹣4.5）=5.5（万元）．
∴本月销售该油品的利润为5.5+5.5=11（万元），所以点C的坐标为（10，11）．
设线段BC所对应的函数关系式为y=mx+n，则解得
所以线段BC所对应的函数关系式为y=1.1x（5≤x≤10）；
（3）线段AB倾斜度最大，所以利润率最高．
解法二：
（1）根据题意，线段OA所对应的函数关系式为y=（5﹣4）x，即y=x（0≤x≤4）．
当y=4时，x=4．
答：销售量为4万升时，销售利润为4万元．
（2）设线段AB所对应的函数关系式为y=kx+b（k≠0），则解得
∴线段AB所对应的函数关系式为y=1.5x﹣2（4≤x≤5）．
设BC所对应的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
∵截止至15日进油时的销售利润为5.5万元，
且13日油价调整为5.5元/升，
∴5.5=4+（5.5﹣4）x，
x=1（万升）．
∴B点坐标为（5，5.5）．
∵15日进油4万升，进价4.5元/升，
又∵本月共销售10万升，
∴本月总利润为：
y=5.5+（5.5﹣4）×（6﹣4﹣1）+4×（5.5﹣4.5）
=5.5+1.5+4
=11（万元）．
∴C点坐标为（10，11）．
将B点和C点坐标代入y=kx+b得方程组为：
，
解得：．
故线段BC所对应的函数关系式为：y=1.1x．（5≤x≤10）．
（3）线段AB倾斜度最大，所以利润率最高．
点评： 这是一道分段函数难度中上的考题，主要考查从图表获取信息和利用一次函数解决实际问题的能力．本题的关键是要仔细审题，找出数量变化与对应函数图象的关系，思考：险段AB，OA，BC对应的函数有哪些不同其根本原因是每升的成本，利润的变化，导致销售量的变化，正确计算出三种情形中的每升利润，是解决这一分段函数的重中之重．
八、（本题满分14分）
23． 某物流公司的快递车和货车每天往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟．图表示快递车距离A地的路程y（单位：千米）与所用时间x（单位：时）的函数图象．已知货车比快递车早1小时出发，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚1小时．
（1）请在图中画出货车距离A地的路程y（千米）与所用时间x（时）的函数图象；
（2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）；
（3）求两车最后一次相遇时，距离A地的路程和货车从A地出发了几小时？
考点： 一次函数的应用；分段函数．
专题： 压轴题．
分析： （1）货车从出发到返回共10小时，所以前4小时一段、后4小时一段、中间2小时路程不变；
（2）分别求出函数解析式解方程组即可．
解答： 解：（1）根据题意，图象经过（﹣1，0）、（3，200）和（5，200）、（9，0）．
如图：
（2）4次；
（3）如图，设直线EF的解析式为y=k1x+b1
∵图象过（9，0），（5，200），
∴，
∴，
∴y=﹣50x+450 ①，
设直线CD的解析式为y=k2x+b2
∵图象过（8，0），（6，200），
∴，
∴，
∴y=﹣100x+800 ②，
解由①②组成的方程组得：，
∴最后一次相遇时距离A地的路程为100km，货车应从A地出发8小时．
点评： 本题主要考查二元一次方程组与一次函数的联系．
2022学年陕西省榆林市府谷县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1． 在直角坐标系中，点（2，1）在（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
2． 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A． 1、2、3.5 B． 4、5、9 C． 20、15、8 D． 5、15、8
3． 下列命题中，是真命题的是（ ）
A． 若a•b＞0，则a＞0，b＞0 B． 若a•b＜0，则a＜0，b＜0
C． 若a•b=0，则a=0，且b=0 D． 若a•b=0，则a=0，或b=0
4． 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）
A． 5个 B． 4个 C． 3个 D． 2个
5． 如图，△ABC经过怎样的平移得到△DEF（ ）
A． 把△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位
B． 把△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位
C． 把△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位
D． 把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位
6． 下列说法错误的是（ ）
A． 三角形的中线、高、角平分线都是线段
B． 任意三角形内角和都是180°
C． 三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形
D． 直角三角形两锐角互余
7． 在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（ ）
A． 5个 B． 4个 C． 3个 D． 2个
8． 如图，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（ ）
A． 30° B． 35° C． 40° D． 50°
9． 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文⇒密文（加密），接收方由密文⇒明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c
字母 a b c d e f g h i j k l m
序号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
字母 n o p q r s t u v w x y z
序号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（ ）
A． wkdrc B． wkhtc C． eqdjc D． eqhjc
10． 甲、乙两个准备在一段长为1200米的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4m/s和6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两之间的距离y（m）与时间t（s）的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上）
11． 如果正比例函数y=kx的图象经过点（1，﹣2），那么k的值等于 ．
12． 等腰三角形的对称轴有 条．
13． 命题“直角都相等”的逆命题是
，它是
命题．（填“真”或“假”）．
14． 如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是 ．
①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．
三、（本题共2小题，每小题8分，共16分）
15． 如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明．供选择的三个条件（请从其中选择一个）：
①AB=ED；
②BC=EF；
③∠ACB=∠DFE．
16． 如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．求证：BF=CE．
四、（本题共2小题，每小题8分，共16分）
17． 如图，已知直线L1经过点A（﹣1，0）与点B（2，3），另一条直线L2经过点B，且与x轴相交于点P（m，0）．
（1）求直线L1的解析式．
（2）若△APB的面积为3，求m的值．（提示：分两种情形，即点P在A的左侧和右侧）
18． 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，8），点B（6，8）．
（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：
①点P到A，B两点的距离相等；
②点P到∠xOy的两边的距离相等．
（2）在（1）作出点P后，写出点P的坐标．
五、（本题共2小题，每小题10分，共20分）
19． 已知函数y1=x﹣1和y2=﹣2x+3．
（1）同一坐标系中画出这两个函数的图象．
（2）求出这两个函数图象的交点坐标．
（3）观察图象，当x取什么范围时，y1＞y2？
20． 观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（2）实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．
六、（本题满分12分）
21． 已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA．
（1）若∠MFC=120°，求证：AM=2MB；
（2）求证：∠MPB=90°﹣∠FCM．
七、（本题满分12分）
22． 某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润=（售价﹣成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元；
（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；
（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）
八、（本题满分14分）
23． 某物流公司的快递车和货车每天往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟．图表示快递车距离A地的路程y（单位：千米）与所用时间x（单位：时）的函数图象．已知货车比快递车早1小时出发，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚1小时．
（1）请在图中画出货车距离A地的路程y（千米）与所用时间x（时）的函数图象；
（2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）；
（3）求两车最后一次相遇时，距离A地的路程和货车从A地出发了几小时？
2022学年陕西省榆林市府谷县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1． 在直角坐标系中，点（2，1）在（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点： 点的坐标．
分析： 应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．
解答： 解：因为点P（2，1）的横坐标是正数，纵坐标也是正数，所以点在平面直角坐标系的第一象限．
故选A．
点评： 解决本题的关键是牢记平面直角坐标系中四个象限的点的坐标的符号特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
2． 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A． 1、2、3.5 B． 4、5、9 C． 20、15、8 D． 5、15、8
考点： 三角形三边关系．
分析： 根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，利用排除法求解．
解答： 解：A、∵1+2=3＜3.5，∴不能组成三角形；
B、∵4+5=9，∴不能组成三角形；
C、20、15、8，能组成三角形；
D、5+8=13＜15，不能组成三角形．
故选：C．
点评： 本题主要考查三角形的三边性质，需要熟练掌握．
3． 下列命题中，是真命题的是（ ）
A． 若a•b＞0，则a＞0，b＞0 B． 若a•b＜0，则a＜0，b＜0
C． 若a•b=0，则a=0，且b=0 D． 若a•b=0，则a=0，或b=0
考点： 命题与定理．
分析： 分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
解答： 解：A、a•b＞0可得a、b同号，可能同为正，也可能同为负，是假命题；
B、a•b＜0可得a、b异号，所以错误，是假命题；
C、a•b=0可得a、b中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，是假命题；
D、若a•b=0，则a=0，或b=0，或二者同时为0，是真命题．
故选D．
点评： 本题主要考查乘法法则，只有深刻理解乘法法则才能求出正确答案，需要考生具备一定的思维能力．
4． 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）
A． 5个 B． 4个 C． 3个 D． 2个
考点： 等腰三角形的判定；三角形内角和定理．
专题： 证明题．
分析： 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案．
解答： 解：共有5个．
（1）∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线
∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠EBC=∠ECB，
∴△BCE是等腰三角形；
（3）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）=72°，
又BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，
∴△ABD是等腰三角形；
同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．
故选：A．
点评： 此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．
5． 如图，△ABC经过怎样的平移得到△DEF（ ）
A． 把△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位
B． 把△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位
C． 把△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位
D． 把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位
考点： 平移的性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据平移的性质可知，图中DE与AB是对应线段，DE是AB向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到的．
解答： 解：由题意可知把△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△DEF．
故选C．
点评： 本题主要考查了平移的性质，观察图象，分析对应线段作答．
6． 下列说法错误的是（ ）
A． 三角形的中线、高、角平分线都是线段
B． 任意三角形内角和都是180°
C． 三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形
D． 直角三角形两锐角互余
考点： 三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；直角三角形的性质．
专题： 推理填空题．
分析： 根据三角形的中线高角平分线定义即可判断A；由三角形内角和定理能判断B；由直角三角形的分类能判断C；根据直角三角形的性质能判断D．
解答： 解：A、三角形的中线高角平分线都是线段，故本选项错误；
B、根据三角形的内角和定理，三角形的内角和等于180°，故本选项错误；
C、因为三角形按角分为直角三角形和斜三角形（锐角三角形、钝角三角形），故本选项错误；
D、直角三角形两锐角互余，故本选项正确；
故选D．
点评： 本题考查了三角形的角平分线、中线、高，三角形的内角和定理，直角三角形的性质等知识点，熟练理解和掌握这些知识是解此题的关键．
7． 在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（ ）
A． 5个 B． 4个 C． 3个 D． 2个
考点： 等腰三角形的判定；坐标与图形性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的Q点，选择正确答案．
解答： 解：如上图：满足条件的点Q共有（0，2）（0，2）（0，﹣2）（0，4）．
故选B．
点评： 本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决特殊的问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．
8． 如图，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（ ）
A． 30° B． 35° C． 40° D． 50°
考点： 旋转的性质．
分析： 旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′=∠CAC′，AC=AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA=∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′．
解答： 解：∵CC′∥AB，∠CAB=70°，
∴∠C′CA=∠CAB=70°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC=AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠BAB′=∠CAC′=180°﹣2∠C′CA=40°．
故选：C．
点评： 本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
9． 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文⇒密文（加密），接收方由密文⇒明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c
字母 a b c d e f g h i j k l m
序号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
字母 n o p q r s t u v w x y z
序号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（ ）
A． wkdrc B． wkhtc C． eqdjc D． eqhjc
考点： 有理数的混合运算．
专题： 应用题；压轴题．
分析： m对应的数字是12，12+10=22，除以26的余数仍然是22，因此对应的字母是w；a对应的数字是0，0+10=10，除以26的余数仍然是10，因此对应的字母是k；t对应的数字是19，19+10=29，除以26的余数仍然是3，因此对应的字母是d；…，所以本题译成密文后是wkdrc．
解答： 解：m、a、t、h、s分别对应的数字为12、0、19、7、18，它们分别加10除以26所得的余数为22、10、3、17、2，所对应的密文为wkdrc．
故选：A．
点评： 本题是阅读理解题，解决本题的关键是读懂题意，理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度．
10． 甲、乙两个准备在一段长为1200米的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4m/s和6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两之间的距离y（m）与时间t（s）的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
考点： 函数的图象．
专题： 压轴题．
分析： 甲在乙前面，而乙的速度大于甲，则此过程为乙先追上甲后再超过甲，全程时间以乙跑的时间计算，算出相遇时间判断图象．
解答： 解：此过程可看作追及过程，由相遇到越来越远，按照等量关系“甲在相遇前跑的路程+100=乙在相遇前跑的路程”列出等式
v乙t=v甲t+100，根据
甲、乙跑步的速度分别为4m/s和6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，
则乙要追上甲，所需时间为t=50，
全程乙跑完后计时结束t总==200，
则计时结束后甲乙的距离△s=（v乙﹣v甲）×（t总﹣t）=300m
由上述分析可看出，C选项函数图象符合
故选：C．
点评： 本题考查的是函数图象与实际结合的问题，需注意相遇的时间、全程时间以及最后甲乙的距离这几个点．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上）
11． 如果正比例函数y=kx的图象经过点（1，﹣2），那么k的值等于 ﹣2 ．
考点： 待定系数法求正比例函数解析式．
专题： 待定系数法．
分析： 把点的坐标代入函数解析式，就可以求出k的值．
解答： 解：∵图象经过点（1，﹣2），
∴1×k=﹣2，
解得：k=﹣2．
故答案为：﹣2．
点评： 本题主要考查函数图象经过点的意义，经过点，说明点的坐标满足函数解析式．
12． 等腰三角形的对称轴有 一条或三条 条．
考点： 轴对称图形．
专题： 常规题型．
分析： 等腰三角形是轴对称图形，注意分一般等腰三角形和特殊等腰三角形两种情况考虑．
解答： 解：一般等腰三角形有一条，即底边上的中线所在的直线；
若是特殊的等腰三角形即等边三角形，则有三条，即每条边上的中线所在的直线．
故答案为：一条或三条．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质及轴对称图形；做题时很易出错，往往只想到一般的等腰三角形，要注意两种情况的考虑．
13． 命题“直角都相等”的逆命题是
相等的角都是直角 ，它是
假 命题．（填“真”或“假”）．
考点： 命题与定理．
分析： 把一个命题的题设和结论互换就可得到它的逆命题，根据真命题与假命题的概念，判断正确的命题叫真命题，判断错误的命题叫假命题，即可判断出命题的真假．
解答： 解：命题“直角都相等”的逆命题是：相等的角都是直角，
∵相等的角不一定都是直角，
∴命题是假命题，
故答案为：相等的角都是直角，假．
点评： 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，还考查了真假命题的定义，难度适中．
14． 如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是 ②③④ ．
①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．
考点： 等腰三角形的判定与性质．
专题： 压轴题．
分析： 可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②是否正确；③④要通过作等腰三角形来判断其结论是否成立．
解答： 解：应添加的条件是②③④；
证明：②当∠BAD=∠CAD时，
∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高；
则△ABD≌△ACD，
∴△BAC是等腰三角形；
③延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF；
∵AB+BD=CD+AC，
∴DE=DF，又AD⊥BC；
∴△AEF是等腰三角形；
∴∠E=∠F；
∵AB=BE，
∴∠ABC=2∠E；
同理，得∠ACB=2∠F；
∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形；
④△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得：
AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，
即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）；
∵AB﹣BD=AC﹣CD①，
∴AB+BD=AC+CD②；
∴①+②得：，
2AB=2AC；
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形
故答案为：②③④．
点评： 此题主要考查的是等腰三角形的判定和性质；本题的难点是结论③的证明，能够正确的构建出等腰三角形是解答③题的关键．
三、（本题共2小题，每小题8分，共16分）
15． 如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明．供选择的三个条件（请从其中选择一个）：
①AB=ED；
②BC=EF；
③∠ACB=∠DFE．
考点： 全等三角形的判定与性质．
分析： 只有FB=CE，AC=DF．不能证明AB∥ED；可添加：①AB=ED，可用SSS证明△ABC≌△DEF，得到∠B=∠E，再根据平行线的判定方法可得AB∥ED；也可添加：③∠ACB=∠DFE，可用SAS证明△ABC≌△DEF；但不能添加②，这就是SSA，不能判定△ABC≌△DEF．
解答： 解：不能；
可添加：①AB=ED，可用SSS证明△ABC≌△DEF；
∵FB=CE，
∴FB+FC=CE+FC，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B=∠E，
∴AB∥ED．
点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定，关键是掌握证明三角形全等的方法，以及全等三角形的性质定理．
16． 如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．求证：BF=CE．
考点： 全等三角形的判定与性质．
分析： 由已知条件“过点C、B作AD及其延长线的垂线”易证两个直角相等；再由AD是中线知BD=CD，对顶角∠BDF与∠CDE相等，利用“AAS”来证明△BDF≌△CDE；最后根据全等三角形的对应边相等来证明BF=CE．
解答： 证明：根据题意，知CE⊥AF，BF⊥AF，
∴∠CED=∠BFD=90°，
又∵AD是边BC上的中线，
∴BD=DC；
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
∠BDF=∠CDE（对顶角相等），BD=CD，∠CED=∠BFD，
∴△BDF≌△CDE（AAS），
∴BF=CE（全等三角形的对应边相等）．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是通过平行线的判定定理（在同一平面内，垂直于同一条线段的两条直线平行）证明CE∥BF，然后通过平行线的性质（两直线平行，内错角相等）求得∠DBF=∠DCE才能构建是全等三角形△BDF≌△CDE．
四、（本题共2小题，每小题8分，共16分）
17． 如图，已知直线L1经过点A（﹣1，0）与点B（2，3），另一条直线L2经过点B，且与x轴相交于点P（m，0）．
（1）求直线L1的解析式．
（2）若△APB的面积为3，求m的值．（提示：分两种情形，即点P在A的左侧和右侧）
考点： 待定系数法求一次函数解析式．
专题： 分类讨论；待定系数法．
分析： （1）设直线L1的解析式为y=kx+b，由题意列出方程组求解；
（2）分两种情形，即点P在A的左侧和右侧分别求出P点坐标，再求解．
解答： 解：（1）设直线L1的解析式为y=kx+b，
∵直线L1经过点A（﹣1，0）与点B（2，3），
∴，
解得．
所以直线L1的解析式为y=x+1．
（2）当点P在点A的右侧时，AP=m﹣（﹣1）=m+1，
有S△APB=×（m+1）×3=3，
解得：m=1．
此时点P的坐标为（1，0）．
当点P在点A的左侧时，AP=﹣1﹣m，
有S△APB=×|﹣m﹣1|×3=3，
解得：m=﹣3，
此时，点P的坐标为（﹣3，0）．
综上所述，m的值为1或﹣3．
点评： 本题要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数求得函数解析式；利用P点坐标求三角形的面积．
18． 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，8），点B（6，8）．
（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：
①点P到A，B两点的距离相等；
②点P到∠xOy的两边的距离相等．
（2）在（1）作出点P后，写出点P的坐标．
考点： 作图—复杂作图．
分析： （1）点P到A，B两点的距离相等，即作AB的垂直平分线，点P到∠xOy的两边的距离相等，即作角的平分线，两线的交点就是点P的位置．
（2）根据坐标系读出点P的坐标．
解答： 解：（1）作图如右，点P即为所求作的点．
（2）设AB的中垂线交AB于E，交x轴于F，
由作图可得，EF⊥AB，EF⊥x轴，且OF=3，
∵OP是坐标轴的角平分线，
∴P（3，3），
同理可得：P（3，﹣3），
综上所述：符合题意的点的坐标为：（3，3），（3，﹣3）．
点评： 本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等和角平分线上的点到角两边的距离相等．
五、（本题共2小题，每小题10分，共20分）
19． 已知函数y1=x﹣1和y2=﹣2x+3．
（1）同一坐标系中画出这两个函数的图象．
（2）求出这两个函数图象的交点坐标．
（3）观察图象，当x取什么范围时，y1＞y2？
考点： 两条直线相交或平行问题．
专题： 作图题；数形结合．
分析： （1）找出y1，y2与横纵纵坐标的交点即可画出；
（2）令x﹣1=﹣2x+3即得到交点；
（3）由（2）中所得交点结合图象即求得．
解答： 解：（1）如右图
（2）令x﹣1=﹣2x+3，得x=，
∴代入得：y=
∴交点坐标为（，）；
（3）当x＞时，从图象上函数y1的图象在y2图象的上面，
即此时y1＞y2
点评： 本题考查两直线的相交问题，（1）中求得两直线与横纵坐标的交点即可求得直线，（2）令两直线相等，即可求得两直线的交点坐标．（3）从（2）中得到的交点结合图象即求得．
20． 观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（2）实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．
考点： 翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的判定；矩形的性质．
专题： 操作型．
分析： （1）由两次折叠知，点A在EF的中垂线上，所以AE=AF；
（2）由图知，∠α=∠FED﹣（180°﹣∠AEB）÷2．
解答： 解：（1）同意．如图，设AD与EF交于点G．
由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．
又由折叠知，∠AGE=∠DGE，∠AGE+∠DGE=180°，
所以∠AGE=∠AGF=90°，
所以∠AEF=∠AFE．所以AE=AF，
即△AEF为等腰三角形．
（2）由折叠知，四边形ABFE是正方形，∠AEB=45°，
所以∠BED=135度．
又由折叠知，∠BEG=∠DEG，
所以∠DEG=67.5度．
从而∠α=67.5°﹣45°=22.5°．
点评： 本题是一道折叠操作性考题．重点考查学生通过观察学习，领悟感受，探究发现折叠图形的对称只是，培养其自主学习能力，本题的关键是成轴对称的两个图形全等，对应角相等．
在解答此题时，有的人往往知道结论，书写不规范，建议教师在以后的教学中，在培养学生自主学习能力的同时，还要注重培养有条理表达和规范证明的能力．
六、（本题满分12分）
21． 已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA．
（1）若∠MFC=120°，求证：AM=2MB；
（2）求证：∠MPB=90°﹣∠FCM．
考点： 直角梯形；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
专题： 证明题．
分析： （1）连接MD，由于点E是DC的中点，ME⊥DC，所以MD=MC，然后利用已知条件证明△AMD≌△FMC，根据全等三角形的性质可以推出∴∠MAD=∠MFC=120°，接着得到∠MAB=30°，再根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可证明AM=2BM；
（2）利用（1）的结论得到∠ADM=∠FCM，又AD∥BC，所以∠ADM=∠CMD，由此得到∠CMD=∠FCM，再利用等腰三角形的性质即可得到∠CME=∠FCM，再根据已知条件即可解决问题．
解答： 证明：（1）连接MD，
∵点E是DC的中点，ME⊥DC，
∴MD=MC，
又∵AD=CF，MF=MA，
∴△AMD≌△FMC，
∴∠MAD=∠MFC=120°，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∴∠MAB=30°，
在Rt△AMB中，∠MAB=30°，
∴BM=AM，
即AM=2BM；
（2）连接MD，
∵点E是DC的中点，ME⊥DC，
∴MD=MC，
又∵AD=CF，MF=MA，
∴△AMD≌△FMC，
∴∠ADM=∠FCM，
∵AD∥BC，
∴∠ADM=∠CMD
∴∠CMD=∠FCM，
∵MD=MC，ME⊥DC，
∴∠DME=∠CME=∠CMD，
∴∠CME=∠FCM，
在Rt△MBP中，∠MPB=90°﹣∠CME=90°﹣∠FCM．
点评： 此题主要考查了梯形的性质、全等三角形的性质与判定，及等腰三角形的性质与判定，综合性比较强．
七、（本题满分12分）
22． 某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润=（售价﹣成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元；
（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；
（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）
考点： 一次函数的应用；分段函数．
专题： 压轴题；图表型．
分析： （1）根据销售记录每升利润为1元，所以销售利润为4万元时销售量为4万升；
（2）设BC所对应的函数关系式为y=kx+b（k≠0），求出图象中B点和C点的坐标代入关系式中即可．
（3）判断利润率最大，应该看倾斜度．
解答： 解：解法一：
（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为4÷（5﹣4）=4（万升）．
答：销售量x为4万升时销售利润为4万元；
（2）点A的坐标为（4，4），从13日到15日销售利润为5.5﹣4=1.5（万元），
所以销售量为1.5÷（5.5﹣4）=1（万升），所以点B的坐标为（5，5.5）．
设线段AB所对应的函数关系式为y=kx+b，则解得
∴线段AB所对应的函数关系式为y=1.5x﹣2（4≤x≤5）．
从15日到31日销售5万升，利润为1×1.5+4×（5.5﹣4.5）=5.5（万元）．
∴本月销售该油品的利润为5.5+5.5=11（万元），所以点C的坐标为（10，11）．
设线段BC所对应的函数关系式为y=mx+n，则解得
所以线段BC所对应的函数关系式为y=1.1x（5≤x≤10）；
（3）线段AB倾斜度最大，所以利润率最高．
解法二：
（1）根据题意，线段OA所对应的函数关系式为y=（5﹣4）x，即y=x（0≤x≤4）．
当y=4时，x=4．
答：销售量为4万升时，销售利润为4万元．
（2）设线段AB所对应的函数关系式为y=kx+b（k≠0），则解得
∴线段AB所对应的函数关系式为y=1.5x﹣2（4≤x≤5）．
设BC所对应的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
∵截止至15日进油时的销售利润为5.5万元，
且13日油价调整为5.5元/升，
∴5.5=4+（5.5﹣4）x，
x=1（万升）．
∴B点坐标为（5，5.5）．
∵15日进油4万升，进价4.5元/升，
又∵本月共销售10万升，
∴本月总利润为：
y=5.5+（5.5﹣4）×（6﹣4﹣1）+4×（5.5﹣4.5）
=5.5+1.5+4
=11（万元）．
∴C点坐标为（10，11）．
将B点和C点坐标代入y=kx+b得方程组为：
，
解得：．
故线段BC所对应的函数关系式为：y=1.1x．（5≤x≤10）．
（3）线段AB倾斜度最大，所以利润率最高．
点评： 这是一道分段函数难度中上的考题，主要考查从图表获取信息和利用一次函数解决实际问题的能力．本题的关键是要仔细审题，找出数量变化与对应函数图象的关系，思考：险段AB，OA，BC对应的函数有哪些不同其根本原因是每升的成本，利润的变化，导致销售量的变化，正确计算出三种情形中的每升利润，是解决这一分段函数的重中之重．
八、（本题满分14分）
23． 某物流公司的快递车和货车每天往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟．图表示快递车距离A地的路程y（单位：千米）与所用时间x（单位：时）的函数图象．已知货车比快递车早1小时出发，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚1小时．
（1）请在图中画出货车距离A地的路程y（千米）与所用时间x（时）的函数图象；
（2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）；
（3）求两车最后一次相遇时，距离A地的路程和货车从A地出发了几小时？
考点： 一次函数的应用；分段函数．
专题： 压轴题．
分析： （1）货车从出发到返回共10小时，所以前4小时一段、后4小时一段、中间2小时路程不变；
（2）分别求出函数解析式解方程组即可．
解答： 解：（1）根据题意，图象经过（﹣1，0）、（3，200）和（5，200）、（9，0）．
如图：
（2）4次；
（3）如图，设直线EF的解析式为y=k1x+b1
∵图象过（9，0），（5，200），
∴，
∴，
∴y=﹣50x+450 ①，
设直线CD的解析式为y=k2x+b2
∵图象过（8，0），（6，200），
∴，
∴，
∴y=﹣100x+800 ②，
解由①②组成的方程组得：，
∴最后一次相遇时距离A地的路程为100km，货车应从A地出发8小时．
点评： 本题主要考查二元一次方程组与一次函数的联系．
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