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【解析版】龙口市2022年八年级(五四学制)下期末数学试卷
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这是一份【解析版】龙口市2022年八年级(五四学制)下期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022学年山东省烟台市龙口市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题(每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号填在下列表格内)
1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． x＞2 B． x≥2 C． x≠2 D． x≥0
2．方程（x﹣1）（x+2）=0的解是（ ）
A． x=1 B． x=﹣2 C． x1=﹣1，x2=2 D． x1=1，x2=﹣2
3．已知3x=4y，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知方程x2+kx﹣6=0的一个根是2，则它的另一个根为（ ）
A． 1 B． ﹣2 C． 3 D． ﹣3
5．如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A． B． C． ∠B=∠D D． ∠C=∠AED
6．用配方法解方程x2﹣2x﹣3=0，下列变形正确的是（ ）
A． （x﹣2）2=4 B． （x﹣1）2=3 C． （x﹣1）2=4 D． （x+1）2=4
7．已知二次根式与是同类二次根式，则a的值可以是（ ）
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
8．已知点P是线段AB的一个黄金分割点（AP＞PB），则PB：AB的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）
A． cm B． cm C． cm D． 5cm
10．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠EAO=15°，则∠BOE的度数为（ ）
A． 85° B． 80° C． 75° D． 70°
11．如图，身高1.6米的学生小李想测量学校的旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2米，BC=8米，则旗杆的高度是（ ）
A． 6.4米 B． 7米 C． 8米 D． 9米
12．若实数a，b（a≠b）分别满足方程a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，则的值为（ ）
A． B． C． 或2 D． 或2
二、填空题（请把正确答案填在题中的横线上）
13．若方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，则k= ．
14．已知=2a+1，那么a的取值范围是 ．
15．某药店开展促销活动，有一种药品连续两次降价，其标价如表，则平均每次降价的百分率是x，则列出关于x的方程是 ．
某药品
原价 60元/盒
现价 48.6元/盒
16．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为 ．
17．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE=∠C，如果AE=4cm，△ACE的面积是4cm2，四边形BCED的面积是5cm2，那么AB的长是 ．
18．如图，在矩形ABCD中，截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对开后与原矩形相似，那么原矩形中AD：AB= ．
三、解答题（请写出完整的解题步骤）
19．计算：
（1）﹣4
（2）﹣（2+）2．
20．解方程：2x2﹣3x﹣1=0．
21．若关于x的二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m=4的常数项为0，求m的值．
22．如图，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E，D是BC中点，连接AD与BE交于点F，求证：△AFE∽△BCE．
23．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
24．如图，在直角坐标系中，△ABO三个顶点及点P的坐标分别是O（0，0），A（4，2），B（2，4），P（4，4），以点P为位似中心，画△DEF与△ABO位似，且相似比为1：2，请在网格中画出符合条件的△DEF．
25．如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，点F是BE延长线与AC的交点，求的值．
26．观察下列等式：
①==；
②==；
③==﹣；…
回答下列问题：
（1）化简：= ；
（2）化简：= ；（n为正整数）；
（3）利用上面所揭示的规律计算：
+…++．
27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交C于F，EG⊥AB于G，请判断四边形GECF的形状，并证明你的结论．
28．如图1，正方形ABCD中，E、F分别在AD、DG上，EF的延长线交BC的延长线于G点，且∠AEB=∠BEG；
（1）求证：∠ABE=∠BGE；
（2）如图2，若AB=5，AE=2，求S△BEG；
（3）如图3，若E、F两点分别在AD、DC上运动，其它条件不变，试问：线段AE、EF、FC三者之间是否存在确定的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系，并证明；若不存在，请说明理由．
2022学年山东省烟台市龙口市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号填在下列表格内)
1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． x＞2 B． x≥2 C． x≠2 D． x≥0
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 二次根式的被开方数是非负数．
解答： 解：依题意得：x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：B．
点评： 考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．方程（x﹣1）（x+2）=0的解是（ ）
A． x=1 B． x=﹣2 C． x1=﹣1，x2=2 D． x1=1，x2=﹣2
考点： 解一元二次方程-因式分解法．
专题： 计算题．
分析： 方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解答： 解：方程（x﹣1）（x+2）=0，
可得x﹣1=0或x+2=0，
解得：x1=1，x2=﹣2，
故选D．
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
3．已知3x=4y，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考点： 比例的性质．
分析： 根据等式的性质，可得答案．
解答： 解：3x=4y，
等式的两边都除以3y，得=，
故选：A．
点评： 本题考查了比例的性质，利用了等式的性质2，等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的整式，结果不变．
4．已知方程x2+kx﹣6=0的一个根是2，则它的另一个根为（ ）
A． 1 B． ﹣2 C． 3 D． ﹣3
考点： 一元二次方程的解；根与系数的关系．
分析： 设方程的另一个根是m，根据韦达定理，可以得到两个的积等于﹣6，且两根的和等于﹣k，即可求解．
解答： 解：设方程的另一个根是m，根据韦达定理，可以得到：2m=﹣6且2+m=﹣k．解得m=﹣3．故选D．
点评： 本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，即韦达定理．利用韦达定理可以简化求根的计算．
5．如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A． B． C． ∠B=∠D D． ∠C=∠AED
考点： 相似三角形的判定．
专题： 几何综合题．
分析： 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
解答： 解：∵∠1=∠2
∴∠DAE=∠BAC
∴A，C，D都可判定△ABC∽△ADE
选项B中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选B．
点评： 此题考查了相似三角形的判定：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
6．用配方法解方程x2﹣2x﹣3=0，下列变形正确的是（ ）
A． （x﹣2）2=4 B． （x﹣1）2=3 C． （x﹣1）2=4 D． （x+1）2=4
考点： 解一元二次方程-配方法．
分析： 把常数项移项后，再在等式的两边同时加上1，进行配方．
解答： 解：由原方程，得
x2﹣2x+1=3+1，
即（x﹣1）2=4．
故选：C．
点评： 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
7．已知二次根式与是同类二次根式，则a的值可以是（ ）
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
考点： 同类二次根式．
专题： 常规题型．
分析： 根据题意，它们的被开方数相同，将各选项的值代入求解即可．
解答： 解：A、当a=5时，=，故A选项错误；
B、当a=6时，=2，与是同类二次根式，故B选项正确；
C、当a=7时，=，故C选项错误；
D、当a=8时，=2，故D选项错误．
故选：B．
点评： 本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
8．已知点P是线段AB的一个黄金分割点（AP＞PB），则PB：AB的值为（ ）
A． B． C． D．
考点： 黄金分割．
分析： 把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．
解答： 解：根据题意得AP=AB，
所以PB=AB﹣AP=AB，
所以PB：AB=．
故选A．
点评： 本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点；其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
9．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）
A． cm B． cm C． cm D． 5cm
考点： 菱形的性质．
分析： 根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．
解答： 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO=AC=3cm，BO=BD=4cm，AO⊥BO，
∴BC==5cm，
∴S菱形ABCD==×6×8=24cm2，
∵S菱形ABCD=BC×AE，
∴BC×AE=24，
∴AE=cm．
故选：B．
点评： 此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
10．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠EAO=15°，则∠BOE的度数为（ ）
A． 85° B． 80° C． 75° D． 70°
考点： 矩形的性质．
分析： 由矩形的性质得出OA=OB，再由角平分线得出△ABE是等腰直角三角形，得出AB=BE，证明△AOB是等边三角形，得出∠ABO=60°，OB=AB，得出OB=BE，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可得出结果．
解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，
∵∠EAO=15°，
∴∠BAO=45°+15°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°，OB=AB，
∴∠OBE=90﹣60°=30°，OB=BE，
∴∠BOE=（180°﹣30°）=75°．
故选：C．
点评： 本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
11．如图，身高1.6米的学生小李想测量学校的旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2米，BC=8米，则旗杆的高度是（ ）
A． 6.4米 B． 7米 C． 8米 D． 9米
考点： 相似三角形的应用．
专题： 压轴题．
分析： 因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．
解答： 解：设旗杆高度为h，
由题意得，h=8米．
故选：C．
点评： 本题考查了考查相似三角形的性质和投影知识，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
12．若实数a，b（a≠b）分别满足方程a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，则的值为（ ）
A． B． C． 或2 D． 或2
考点： 根与系数的关系．
分析： 由实数a，b满足条件a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，可把a，b看成是方程x2﹣7x+2=0的两个根，再利用根与系数的关系即可求解．
解答： 解：由实数a，b满足条件a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，
∴可把a，b看成是方程x2﹣7x+2=0的两个根，
∴a+b=7，ab=2，
∴====．
故选A．
点评： 本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把a，b看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解题．
二、填空题（请把正确答案填在题中的横线上）
13．若方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，则k= ±6 ．
考点： 根的判别式．
专题： 计算题．
分析： 根据根判别式△=b2﹣4ac的意义得到△=0，即k2﹣4×1×9=0，然后解方程即可．
解答： 解：∵方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即k2﹣4•1•9=0，解得k=±6．
故答案为±6．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的根判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
14．已知=2a+1，那么a的取值范围是 a≥﹣ ．
考点： 二次根式的性质与化简．
分析： 直接利用二次根式的性质得出2a+1≥0求出即可．
解答： 解：∵=2a+1，
∴2a+1≥0，
解得：a≥﹣．
故答案为：a≥﹣．
点评： 此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
15．某药店开展促销活动，有一种药品连续两次降价，其标价如表，则平均每次降价的百分率是x，则列出关于x的方程是 60（1﹣x）2=48.6 ．
某药品
原价 60元/盒
现价 48.6元/盒
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 增长率问题．
分析： 可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）=48.6，把相应数值代入即可求解．
解答： 解：第一次降价后的价格为60（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，
为0（61﹣x）×（1﹣x），则列出的方程60（1﹣x）2=48.6．
故答案为：60（1﹣x）2=48.6；
点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
16．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为 ﹣2 ．
考点： 一元二次方程的解．
分析： 利用方程解的定义找到相等关系n2+mn+2n=0，再把所求的代数式化简后整理出m+n=﹣2，即为所求．
解答： 解：把n代入方程得到n2+mn+2n=0，
将其变形为n（m+n+2）=0，
因为n≠0
所以解得m+n=﹣2．
点评： 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
17．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE=∠C，如果AE=4cm，△ACE的面积是4cm2，四边形BCED的面积是5cm2，那么AB的长是 6cm ．
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 由∠ADE=∠C，∠A是公共角，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ADE∽△ACB，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得=（）2，然后由AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCDE的面积为5，即可求得AB的长．
解答： 解：∵∠AED=∠B，∠A是公共角，
∴△ADE∽△ACB，
∴=（）2，
∵△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，
∴△ABC的面积为9，
∵AE=4，
∴=（）2，
解得：AB=6cm．
故答案为：6cm．
点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用．
18．如图，在矩形ABCD中，截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对开后与原矩形相似，那么原矩形中AD：AB= 或2 ．
考点： 相似多边形的性质．
分析： 用AD和AB表示出DE，然后分两种情况利用相似多边形对应边成比例列式计算即可得解．
解答： 解：∵四边形ABFE是正方形，
∴DE=AD﹣AB，
∵剩下的矩形对开后与原矩形相似，
∴=，
即=，
整理得，2AD2﹣2AD•AB﹣AB2=0，
解得AD=AB，AD=AB（舍去），
∴AD：AB=，
或=，
=，
整理得AD=2AB，
∴AD：AB=2，
综上所述，AD：AB=或2．
故答案为：或2．
点评： 本题考查了相似多边形的性质，主要利用了相似多边形对应边成比例的性质，难点在于要分情况讨论．
三、解答题（请写出完整的解题步骤）
19．计算：
（1）﹣4
（2）﹣（2+）2．
考点： 二次根式的混合运算．
分析： （1）先进行二次根式的化简，然后合并；
（2）先进行二次根式的化简以及完全平方公式，然后合并．
解答： 解：（1）原式=3+﹣2
=2；
（2）原式=﹣﹣7﹣4
=﹣4﹣5．
点评： 本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并．
20．解方程：2x2﹣3x﹣1=0．
考点： 解一元二次方程-公式法．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 利用公式法解方程即可求解．
解答： 解：2x2﹣3x﹣1=0，
a=2，b=﹣3，c=﹣1，
∴△=9+8=17，
∴x=，
x1=，x2=．
点评： 此题这样考查了利用公式法解一元二次方程，解题的关键 是熟练掌握求根公式即可解决问题．
21．若关于x的二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m=4的常数项为0，求m的值．
考点： 一元二次方程的一般形式．
专题： 计算题．
分析： 根据方程中常数项为0，求出m的值，检验即可．
解答： 解：∵关于x的二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m﹣4=0的常数项为0，
∴m2﹣3m﹣4=0，即（m﹣4）（m+1）=0，
解得：m=4或m=﹣1，
当m=﹣1时，方程为5x=0，不合题意；
则m的值为4．
点评： 此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．如图，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E，D是BC中点，连接AD与BE交于点F，求证：△AFE∽△BCE．
考点： 相似三角形的判定．
专题： 证明题．
分析： 根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠FAD=∠CBE，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．
解答： 证明：∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠FAE+∠AFE=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠BFD=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠FAD=∠CBE，
∴△AFE∽△BCE．
点评： 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰三角形的性质，证题的关键是挖掘题目的隐藏条件：对顶角相等．
23．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 销售问题；压轴题．
分析： 设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额=每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可．
解答： 解：设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）=6000，
整理，得x2﹣15x+50=0，
解这个方程，得x1=5，x2=10．
要使顾客得到实惠，应取x=5．
答：每千克水果应涨价5元．
点评： 解答此题的关键是熟知此题的等量关系是：盈利额=每千克盈利×日销售量．
24．如图，在直角坐标系中，△ABO三个顶点及点P的坐标分别是O（0，0），A（4，2），B（2，4），P（4，4），以点P为位似中心，画△DEF与△ABO位似，且相似比为1：2，请在网格中画出符合条件的△DEF．
考点： 作图-位似变换．
分析： 利用位似图形的性质分别得出对应点位置进而得出答案．
解答： 解：如图所示：
．
点评： 此题主要考查了位似变换，根据位似图形的性质结合分类讨论得出是解题关键．
25．如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，点F是BE延长线与AC的交点，求的值．
考点： 三角形中位线定理．
分析： 作DH∥AC交BF于点H，根据相似三角形的性质证明DH=AF，根据三角形中位线定理证明DH=FC，得到答案．
解答： 解：作DH∥AC交BF于点H，
∵DH∥AC，点E是AD的中点，
∴DH=AF，
∵DH∥AC，AD是△ABC的中线，
∴DH=FC，
∴=．
点评： 本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．
26．观察下列等式：
①==；
②==；
③==﹣；…
回答下列问题：
（1）化简：= ﹣ ；
（2）化简：= ﹣ ；（n为正整数）；
（3）利用上面所揭示的规律计算：
+…++．
考点： 分母有理化．
专题： 规律型．
分析： （1）根据已知得出式子变化规律写出答案即可；
（2）进而由（1）的规律得出答案；
（3）利用发现的规律化简各式进而求出即可．
解答： 解：（1）=﹣；
故答案为：﹣；
（2）=﹣；（n为正整数）；
故答案为：﹣；
（3）+…++
=﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣
=﹣1．
点评： 此题主要考查了分母有理化，正确发现式子中变化规律是解题关键．
27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交C于F，EG⊥AB于G，请判断四边形GECF的形状，并证明你的结论．
考点： 菱形的判定．
分析： 根据全等三角形的判定定理HL进行证明Rt△AEG≌Rt△AEC（HL），得到GE=EC；根据平行线EG∥CD的性质、∠BAC平分线的性质以及等量代换推知∠FEC=∠CFE，易证CF=CE；从而根据邻边相等的平行四边形是菱形进行判断．
解答： 四边形GECF是菱形，
证明：∵∠ACB=90°，
∴AC⊥EC．
又∵EG⊥AB，AE是∠BAC的平分线，
∴GE=CE．
在Rt△AEG与Rt△AEC中，
，
∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL）；
∴GE=EC，
∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥AB．
又∵EG⊥AB，
∴EG∥CD，
∴∠CFE=∠GEA．
∵Rt△AEG≌Rt△AEC，
∴∠GEA=∠CEA，
∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
∴GE=EC=FC．
又∵EG∥CD，即GE∥FC，
∴四边形GECF是菱形．
点评： 本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质，关键是掌握菱形的判定：
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四条边都相等的四边形是菱形．
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
28．如图1，正方形ABCD中，E、F分别在AD、DG上，EF的延长线交BC的延长线于G点，且∠AEB=∠BEG；
（1）求证：∠ABE=∠BGE；
（2）如图2，若AB=5，AE=2，求S△BEG；
（3）如图3，若E、F两点分别在AD、DC上运动，其它条件不变，试问：线段AE、EF、FC三者之间是否存在确定的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系，并证明；若不存在，请说明理由．
考点： 四边形综合题．
分析： （1）在△BEG中利用三角形内角和定理，然后根据平行线的性质可得∠AEB=∠GBE，据此即可求证；
（2）作GH⊥BE于点H，则△BGE是等腰三角形，证明△ABE∽△BGH，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；
（3）作BQ⊥GE于点Q，连接BF，证明△ABE≌△QBE，直角△BQF≌直角△BCF根据全等三角形的对应边相等即可证得AE+FC=EF．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠GBE，
∴∠BGE=180°﹣∠BEG﹣∠GBE，即∠BGE=180°﹣2∠AEB．
∵∠ABE=90°﹣∠AEB，即2∠ABE=180°﹣2∠AEB，
∴∠ABE=∠BGE；
（2）解：作GH⊥BE于点H．
在直角△ABE中，BE==．
∵∠GBE=∠BEG，
∴△GBE是等腰三角形．
∴BH=EH=BE=．
∵∠AEB=∠GBH，∠A=∠BHG=90°，
∴△ABE∽△BGH，
∴，即，
∴GH=．
∴S△BEG=BE•GH=××=；
（3）解：AE+FC=EF．
作BQ⊥GE于点Q．
在△ABE和△QBE中，
，
∴△ABE≌△QBE，
∴AB=QB，AE=QE，而AB=BC，
∴BQ=BC．
连接BF．
在直角△BQF和直角△BCF中，
，
∴直角△BQF≌直角△BCF，
∴QF=FC，
∴AE+FC=EQ+QF=EF．
点评： 本题考查正方形的性质以及相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明△ABE≌△QBE，直角△BQF≌直角△BCF是关键．
2022学年山东省烟台市龙口市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题(每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号填在下列表格内)
1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． x＞2 B． x≥2 C． x≠2 D． x≥0
2．方程（x﹣1）（x+2）=0的解是（ ）
A． x=1 B． x=﹣2 C． x1=﹣1，x2=2 D． x1=1，x2=﹣2
3．已知3x=4y，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知方程x2+kx﹣6=0的一个根是2，则它的另一个根为（ ）
A． 1 B． ﹣2 C． 3 D． ﹣3
5．如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A． B． C． ∠B=∠D D． ∠C=∠AED
6．用配方法解方程x2﹣2x﹣3=0，下列变形正确的是（ ）
A． （x﹣2）2=4 B． （x﹣1）2=3 C． （x﹣1）2=4 D． （x+1）2=4
7．已知二次根式与是同类二次根式，则a的值可以是（ ）
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
8．已知点P是线段AB的一个黄金分割点（AP＞PB），则PB：AB的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）
A． cm B． cm C． cm D． 5cm
10．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠EAO=15°，则∠BOE的度数为（ ）
A． 85° B． 80° C． 75° D． 70°
11．如图，身高1.6米的学生小李想测量学校的旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2米，BC=8米，则旗杆的高度是（ ）
A． 6.4米 B． 7米 C． 8米 D． 9米
12．若实数a，b（a≠b）分别满足方程a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，则的值为（ ）
A． B． C． 或2 D． 或2
二、填空题（请把正确答案填在题中的横线上）
13．若方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，则k= ．
14．已知=2a+1，那么a的取值范围是 ．
15．某药店开展促销活动，有一种药品连续两次降价，其标价如表，则平均每次降价的百分率是x，则列出关于x的方程是 ．
某药品
原价 60元/盒
现价 48.6元/盒
16．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为 ．
17．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE=∠C，如果AE=4cm，△ACE的面积是4cm2，四边形BCED的面积是5cm2，那么AB的长是 ．
18．如图，在矩形ABCD中，截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对开后与原矩形相似，那么原矩形中AD：AB= ．
三、解答题（请写出完整的解题步骤）
19．计算：
（1）﹣4
（2）﹣（2+）2．
20．解方程：2x2﹣3x﹣1=0．
21．若关于x的二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m=4的常数项为0，求m的值．
22．如图，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E，D是BC中点，连接AD与BE交于点F，求证：△AFE∽△BCE．
23．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
24．如图，在直角坐标系中，△ABO三个顶点及点P的坐标分别是O（0，0），A（4，2），B（2，4），P（4，4），以点P为位似中心，画△DEF与△ABO位似，且相似比为1：2，请在网格中画出符合条件的△DEF．
25．如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，点F是BE延长线与AC的交点，求的值．
26．观察下列等式：
①==；
②==；
③==﹣；…
回答下列问题：
（1）化简：= ；
（2）化简：= ；（n为正整数）；
（3）利用上面所揭示的规律计算：
+…++．
27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交C于F，EG⊥AB于G，请判断四边形GECF的形状，并证明你的结论．
28．如图1，正方形ABCD中，E、F分别在AD、DG上，EF的延长线交BC的延长线于G点，且∠AEB=∠BEG；
（1）求证：∠ABE=∠BGE；
（2）如图2，若AB=5，AE=2，求S△BEG；
（3）如图3，若E、F两点分别在AD、DC上运动，其它条件不变，试问：线段AE、EF、FC三者之间是否存在确定的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系，并证明；若不存在，请说明理由．
2022学年山东省烟台市龙口市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号填在下列表格内)
1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． x＞2 B． x≥2 C． x≠2 D． x≥0
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 二次根式的被开方数是非负数．
解答： 解：依题意得：x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：B．
点评： 考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．方程（x﹣1）（x+2）=0的解是（ ）
A． x=1 B． x=﹣2 C． x1=﹣1，x2=2 D． x1=1，x2=﹣2
考点： 解一元二次方程-因式分解法．
专题： 计算题．
分析： 方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解答： 解：方程（x﹣1）（x+2）=0，
可得x﹣1=0或x+2=0，
解得：x1=1，x2=﹣2，
故选D．
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
3．已知3x=4y，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考点： 比例的性质．
分析： 根据等式的性质，可得答案．
解答： 解：3x=4y，
等式的两边都除以3y，得=，
故选：A．
点评： 本题考查了比例的性质，利用了等式的性质2，等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的整式，结果不变．
4．已知方程x2+kx﹣6=0的一个根是2，则它的另一个根为（ ）
A． 1 B． ﹣2 C． 3 D． ﹣3
考点： 一元二次方程的解；根与系数的关系．
分析： 设方程的另一个根是m，根据韦达定理，可以得到两个的积等于﹣6，且两根的和等于﹣k，即可求解．
解答： 解：设方程的另一个根是m，根据韦达定理，可以得到：2m=﹣6且2+m=﹣k．解得m=﹣3．故选D．
点评： 本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，即韦达定理．利用韦达定理可以简化求根的计算．
5．如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A． B． C． ∠B=∠D D． ∠C=∠AED
考点： 相似三角形的判定．
专题： 几何综合题．
分析： 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
解答： 解：∵∠1=∠2
∴∠DAE=∠BAC
∴A，C，D都可判定△ABC∽△ADE
选项B中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选B．
点评： 此题考查了相似三角形的判定：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
6．用配方法解方程x2﹣2x﹣3=0，下列变形正确的是（ ）
A． （x﹣2）2=4 B． （x﹣1）2=3 C． （x﹣1）2=4 D． （x+1）2=4
考点： 解一元二次方程-配方法．
分析： 把常数项移项后，再在等式的两边同时加上1，进行配方．
解答： 解：由原方程，得
x2﹣2x+1=3+1，
即（x﹣1）2=4．
故选：C．
点评： 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
7．已知二次根式与是同类二次根式，则a的值可以是（ ）
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
考点： 同类二次根式．
专题： 常规题型．
分析： 根据题意，它们的被开方数相同，将各选项的值代入求解即可．
解答： 解：A、当a=5时，=，故A选项错误；
B、当a=6时，=2，与是同类二次根式，故B选项正确；
C、当a=7时，=，故C选项错误；
D、当a=8时，=2，故D选项错误．
故选：B．
点评： 本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
8．已知点P是线段AB的一个黄金分割点（AP＞PB），则PB：AB的值为（ ）
A． B． C． D．
考点： 黄金分割．
分析： 把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．
解答： 解：根据题意得AP=AB，
所以PB=AB﹣AP=AB，
所以PB：AB=．
故选A．
点评： 本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点；其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
9．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）
A． cm B． cm C． cm D． 5cm
考点： 菱形的性质．
分析： 根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．
解答： 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO=AC=3cm，BO=BD=4cm，AO⊥BO，
∴BC==5cm，
∴S菱形ABCD==×6×8=24cm2，
∵S菱形ABCD=BC×AE，
∴BC×AE=24，
∴AE=cm．
故选：B．
点评： 此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
10．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠EAO=15°，则∠BOE的度数为（ ）
A． 85° B． 80° C． 75° D． 70°
考点： 矩形的性质．
分析： 由矩形的性质得出OA=OB，再由角平分线得出△ABE是等腰直角三角形，得出AB=BE，证明△AOB是等边三角形，得出∠ABO=60°，OB=AB，得出OB=BE，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可得出结果．
解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，
∵∠EAO=15°，
∴∠BAO=45°+15°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°，OB=AB，
∴∠OBE=90﹣60°=30°，OB=BE，
∴∠BOE=（180°﹣30°）=75°．
故选：C．
点评： 本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
11．如图，身高1.6米的学生小李想测量学校的旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2米，BC=8米，则旗杆的高度是（ ）
A． 6.4米 B． 7米 C． 8米 D． 9米
考点： 相似三角形的应用．
专题： 压轴题．
分析： 因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．
解答： 解：设旗杆高度为h，
由题意得，h=8米．
故选：C．
点评： 本题考查了考查相似三角形的性质和投影知识，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
12．若实数a，b（a≠b）分别满足方程a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，则的值为（ ）
A． B． C． 或2 D． 或2
考点： 根与系数的关系．
分析： 由实数a，b满足条件a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，可把a，b看成是方程x2﹣7x+2=0的两个根，再利用根与系数的关系即可求解．
解答： 解：由实数a，b满足条件a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，
∴可把a，b看成是方程x2﹣7x+2=0的两个根，
∴a+b=7，ab=2，
∴====．
故选A．
点评： 本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把a，b看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解题．
二、填空题（请把正确答案填在题中的横线上）
13．若方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，则k= ±6 ．
考点： 根的判别式．
专题： 计算题．
分析： 根据根判别式△=b2﹣4ac的意义得到△=0，即k2﹣4×1×9=0，然后解方程即可．
解答： 解：∵方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即k2﹣4•1•9=0，解得k=±6．
故答案为±6．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的根判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
14．已知=2a+1，那么a的取值范围是 a≥﹣ ．
考点： 二次根式的性质与化简．
分析： 直接利用二次根式的性质得出2a+1≥0求出即可．
解答： 解：∵=2a+1，
∴2a+1≥0，
解得：a≥﹣．
故答案为：a≥﹣．
点评： 此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
15．某药店开展促销活动，有一种药品连续两次降价，其标价如表，则平均每次降价的百分率是x，则列出关于x的方程是 60（1﹣x）2=48.6 ．
某药品
原价 60元/盒
现价 48.6元/盒
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 增长率问题．
分析： 可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）=48.6，把相应数值代入即可求解．
解答： 解：第一次降价后的价格为60（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，
为0（61﹣x）×（1﹣x），则列出的方程60（1﹣x）2=48.6．
故答案为：60（1﹣x）2=48.6；
点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
16．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为 ﹣2 ．
考点： 一元二次方程的解．
分析： 利用方程解的定义找到相等关系n2+mn+2n=0，再把所求的代数式化简后整理出m+n=﹣2，即为所求．
解答： 解：把n代入方程得到n2+mn+2n=0，
将其变形为n（m+n+2）=0，
因为n≠0
所以解得m+n=﹣2．
点评： 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
17．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE=∠C，如果AE=4cm，△ACE的面积是4cm2，四边形BCED的面积是5cm2，那么AB的长是 6cm ．
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 由∠ADE=∠C，∠A是公共角，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ADE∽△ACB，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得=（）2，然后由AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCDE的面积为5，即可求得AB的长．
解答： 解：∵∠AED=∠B，∠A是公共角，
∴△ADE∽△ACB，
∴=（）2，
∵△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，
∴△ABC的面积为9，
∵AE=4，
∴=（）2，
解得：AB=6cm．
故答案为：6cm．
点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用．
18．如图，在矩形ABCD中，截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对开后与原矩形相似，那么原矩形中AD：AB= 或2 ．
考点： 相似多边形的性质．
分析： 用AD和AB表示出DE，然后分两种情况利用相似多边形对应边成比例列式计算即可得解．
解答： 解：∵四边形ABFE是正方形，
∴DE=AD﹣AB，
∵剩下的矩形对开后与原矩形相似，
∴=，
即=，
整理得，2AD2﹣2AD•AB﹣AB2=0，
解得AD=AB，AD=AB（舍去），
∴AD：AB=，
或=，
=，
整理得AD=2AB，
∴AD：AB=2，
综上所述，AD：AB=或2．
故答案为：或2．
点评： 本题考查了相似多边形的性质，主要利用了相似多边形对应边成比例的性质，难点在于要分情况讨论．
三、解答题（请写出完整的解题步骤）
19．计算：
（1）﹣4
（2）﹣（2+）2．
考点： 二次根式的混合运算．
分析： （1）先进行二次根式的化简，然后合并；
（2）先进行二次根式的化简以及完全平方公式，然后合并．
解答： 解：（1）原式=3+﹣2
=2；
（2）原式=﹣﹣7﹣4
=﹣4﹣5．
点评： 本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并．
20．解方程：2x2﹣3x﹣1=0．
考点： 解一元二次方程-公式法．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 利用公式法解方程即可求解．
解答： 解：2x2﹣3x﹣1=0，
a=2，b=﹣3，c=﹣1，
∴△=9+8=17，
∴x=，
x1=，x2=．
点评： 此题这样考查了利用公式法解一元二次方程，解题的关键 是熟练掌握求根公式即可解决问题．
21．若关于x的二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m=4的常数项为0，求m的值．
考点： 一元二次方程的一般形式．
专题： 计算题．
分析： 根据方程中常数项为0，求出m的值，检验即可．
解答： 解：∵关于x的二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m﹣4=0的常数项为0，
∴m2﹣3m﹣4=0，即（m﹣4）（m+1）=0，
解得：m=4或m=﹣1，
当m=﹣1时，方程为5x=0，不合题意；
则m的值为4．
点评： 此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．如图，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E，D是BC中点，连接AD与BE交于点F，求证：△AFE∽△BCE．
考点： 相似三角形的判定．
专题： 证明题．
分析： 根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠FAD=∠CBE，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．
解答： 证明：∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠FAE+∠AFE=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠BFD=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠FAD=∠CBE，
∴△AFE∽△BCE．
点评： 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰三角形的性质，证题的关键是挖掘题目的隐藏条件：对顶角相等．
23．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 销售问题；压轴题．
分析： 设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额=每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可．
解答： 解：设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）=6000，
整理，得x2﹣15x+50=0，
解这个方程，得x1=5，x2=10．
要使顾客得到实惠，应取x=5．
答：每千克水果应涨价5元．
点评： 解答此题的关键是熟知此题的等量关系是：盈利额=每千克盈利×日销售量．
24．如图，在直角坐标系中，△ABO三个顶点及点P的坐标分别是O（0，0），A（4，2），B（2，4），P（4，4），以点P为位似中心，画△DEF与△ABO位似，且相似比为1：2，请在网格中画出符合条件的△DEF．
考点： 作图-位似变换．
分析： 利用位似图形的性质分别得出对应点位置进而得出答案．
解答： 解：如图所示：
．
点评： 此题主要考查了位似变换，根据位似图形的性质结合分类讨论得出是解题关键．
25．如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，点F是BE延长线与AC的交点，求的值．
考点： 三角形中位线定理．
分析： 作DH∥AC交BF于点H，根据相似三角形的性质证明DH=AF，根据三角形中位线定理证明DH=FC，得到答案．
解答： 解：作DH∥AC交BF于点H，
∵DH∥AC，点E是AD的中点，
∴DH=AF，
∵DH∥AC，AD是△ABC的中线，
∴DH=FC，
∴=．
点评： 本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．
26．观察下列等式：
①==；
②==；
③==﹣；…
回答下列问题：
（1）化简：= ﹣ ；
（2）化简：= ﹣ ；（n为正整数）；
（3）利用上面所揭示的规律计算：
+…++．
考点： 分母有理化．
专题： 规律型．
分析： （1）根据已知得出式子变化规律写出答案即可；
（2）进而由（1）的规律得出答案；
（3）利用发现的规律化简各式进而求出即可．
解答： 解：（1）=﹣；
故答案为：﹣；
（2）=﹣；（n为正整数）；
故答案为：﹣；
（3）+…++
=﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣
=﹣1．
点评： 此题主要考查了分母有理化，正确发现式子中变化规律是解题关键．
27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交C于F，EG⊥AB于G，请判断四边形GECF的形状，并证明你的结论．
考点： 菱形的判定．
分析： 根据全等三角形的判定定理HL进行证明Rt△AEG≌Rt△AEC（HL），得到GE=EC；根据平行线EG∥CD的性质、∠BAC平分线的性质以及等量代换推知∠FEC=∠CFE，易证CF=CE；从而根据邻边相等的平行四边形是菱形进行判断．
解答： 四边形GECF是菱形，
证明：∵∠ACB=90°，
∴AC⊥EC．
又∵EG⊥AB，AE是∠BAC的平分线，
∴GE=CE．
在Rt△AEG与Rt△AEC中，
，
∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL）；
∴GE=EC，
∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥AB．
又∵EG⊥AB，
∴EG∥CD，
∴∠CFE=∠GEA．
∵Rt△AEG≌Rt△AEC，
∴∠GEA=∠CEA，
∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
∴GE=EC=FC．
又∵EG∥CD，即GE∥FC，
∴四边形GECF是菱形．
点评： 本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质，关键是掌握菱形的判定：
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四条边都相等的四边形是菱形．
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
28．如图1，正方形ABCD中，E、F分别在AD、DG上，EF的延长线交BC的延长线于G点，且∠AEB=∠BEG；
（1）求证：∠ABE=∠BGE；
（2）如图2，若AB=5，AE=2，求S△BEG；
（3）如图3，若E、F两点分别在AD、DC上运动，其它条件不变，试问：线段AE、EF、FC三者之间是否存在确定的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系，并证明；若不存在，请说明理由．
考点： 四边形综合题．
分析： （1）在△BEG中利用三角形内角和定理，然后根据平行线的性质可得∠AEB=∠GBE，据此即可求证；
（2）作GH⊥BE于点H，则△BGE是等腰三角形，证明△ABE∽△BGH，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；
（3）作BQ⊥GE于点Q，连接BF，证明△ABE≌△QBE，直角△BQF≌直角△BCF根据全等三角形的对应边相等即可证得AE+FC=EF．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠GBE，
∴∠BGE=180°﹣∠BEG﹣∠GBE，即∠BGE=180°﹣2∠AEB．
∵∠ABE=90°﹣∠AEB，即2∠ABE=180°﹣2∠AEB，
∴∠ABE=∠BGE；
（2）解：作GH⊥BE于点H．
在直角△ABE中，BE==．
∵∠GBE=∠BEG，
∴△GBE是等腰三角形．
∴BH=EH=BE=．
∵∠AEB=∠GBH，∠A=∠BHG=90°，
∴△ABE∽△BGH，
∴，即，
∴GH=．
∴S△BEG=BE•GH=××=；
（3）解：AE+FC=EF．
作BQ⊥GE于点Q．
在△ABE和△QBE中，
，
∴△ABE≌△QBE，
∴AB=QB，AE=QE，而AB=BC，
∴BQ=BC．
连接BF．
在直角△BQF和直角△BCF中，
，
∴直角△BQF≌直角△BCF，
∴QF=FC，
∴AE+FC=EQ+QF=EF．
点评： 本题考查正方形的性质以及相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明△ABE≌△QBE，直角△BQF≌直角△BCF是关键．
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