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2021-2022学年江西省赣州市章贡区八年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年江西省赣州市章贡区八年级（上）期末数学试卷 解析版，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江西省赣州市章贡区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题。（本大题6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列运算，正确的是（ ）
A．a2•a＝a2 B．a+a＝a2 C．a6÷a3＝a2 D．（a3）2＝a6
3．（3分）如果多项式x2+mx+9是完全平方式，那么m的值是（ ）
A．3 B．6 C．±6 D．±3
4．（3分）将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍
5．（3分）如图的4×4的正方形网格中，有A、B两点，在直线a上求一点P，使PA+PB最短，则点P应选在（ ）
A．C点 B．D点 C．E点 D．F点
6．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动（不与端点重合），且保持AD＝CE，连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE的面积是12；③AD+BE＞DE．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
二、填空题。（本大题6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）某种秋冬流感病毒的直径约为0.000000308米，该直径用科学记数法表示为 ．
8．（3分）若分式的值为0，则x＝ ．
9．（3分）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）
10．（3分）因式分解：3x﹣12x3＝ ．
11．（3分）如图，∠BAC＝100°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ＝ ．
12．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边的中点，点P在直线AC上，若△PAD是轴对称图形，则∠APD的度数为 ．
三、解答题。（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）解方程：＝0；
（2）已知等腰三角形的两边长为5cm和4cm，求它的周长．
14．（6分）化简求值：（2x+y）2﹣3x（x+y）﹣（x﹣2y）（x+2y），其中x＝，y＝﹣2．
15．（6分）已知△ABC和△CDE都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图1，当BC＝CD时，作△ABC的中线BF；
（2）如图2，当BC≠CD时，作△ABC的中线BG．
16．（6分）如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EC∥FD，EA＝FB．求证：AB＝CD．
17．（6分）化简分式（x+1﹣）÷，并从1、2、3这三个数中取一个合适的数作为x的值代入求值．
四、解答题。（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图所示，已知△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若BP⊥AD于点P，PF＝6，求BF的长．
19．（8分）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．
（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？
（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是 ．
（2）如图2，求证AD＝CD．
五、解答题。（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为 ．
（2）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．
22．（9分）【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则△ABD≌△ACE．
【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现．
【深入探究】（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD＝EC；②∠BOC＝60°；③∠AOE＝60°，其中正确的有 ．（将所有正确的序号填在横线上）
【延伸应用】（3）如图3，在四边形ABCD中，BD＝CD，AB＝BE，∠ABE＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠BED的数关系，并证明．
六、解答题。（本大题共12分）
23．（12分）如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．
（1）当t＝3时，BP＝ cm；
（2）当t为何值时，连接CP，DP，△CDP是等腰三角形；
（3）Q为AD边上的点，且DQ＝5，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△DCQ全等．
2021-2022学年江西省赣州市章贡区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）下列运算，正确的是（ ）
A．a2•a＝a2 B．a+a＝a2 C．a6÷a3＝a2 D．（a3）2＝a6
【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相加；合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为a2•a＝a3，故本选项错误；
B、应为a+a＝2a，故本选项错误；
C、应为a6÷a3＝a3，故本选项错误；
D、（a3）2＝a3×2＝a6，正确．
故选：D．
3．（3分）如果多项式x2+mx+9是完全平方式，那么m的值是（ ）
A．3 B．6 C．±6 D．±3
【分析】根据完全平方式的结构特征求m．
【解答】解：∵多项式x2+mx+9是完全平方式，
∴Δ＝m2﹣4×1×9＝0
∴m2＝36．
∴m＝±6．
故选：C．
4．（3分）将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：＝，
故选：D．
5．（3分）如图的4×4的正方形网格中，有A、B两点，在直线a上求一点P，使PA+PB最短，则点P应选在（ ）
A．C点 B．D点 C．E点 D．F点
【分析】首先求得点A关于直线a的对称点A′，连接A′B，即可求得答案．
【解答】解：如图，点A′是点A关于直线a的对称点，连接A′B，则A′B与直线a的交点，即为点P，此时PA+PB最短，
∵A′B与直线a交于点C，
∴点P应选C点．
故选：A．
6．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动（不与端点重合），且保持AD＝CE，连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE的面积是12；③AD+BE＞DE．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
【分析】连接CF，根据等腰直角三角形的性质得到∠A＝45°，求得∠A＝∠BCF，根据全等三角形的性质得到DF＝EF，∠AFD＝∠CFE，得到∠DFE＝90°，于是得到△DEF是等腰直角三角形，所以此结论正确；根据全等三角形的性质得到四边形CDFE的面积＝S△ACF＝S△ABC＝××8×8＝16，故②错误；根据全等三角形的性质得到AD＝CE，得到CD＝BE，根据三角形的三边关系即可得到结论．
【解答】解：①连接CF，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°，
∵F是AB边上的中点，
∴CF＝AF＝BF，CF⊥AB，∠ACF＝∠BCF＝45°，
∴∠AFC＝90°，
∴∠A＝∠BCF，
在△ADF和△CEF中，
，
∴△ADF≌△CEF（SAS），
∴DF＝EF，∠AFD＝∠CFE，
∴∠AFD+∠DFC＝∠CFE+∠DFC＝90°，
即∠DFE＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，所以此结论正确；
②∵△ADF≌△CEF，
∴四边形CDFE的面积＝S△ACF＝S△ABC＝××8×8＝16，故②错误；
③∵△ADF≌△CEF，
∴AD＝CE，
∵AC＝BC，
∴CD＝BE，
∵CD+CE＞DE，
∴AD+BE＞DE，故③正确，
故选：B．
二、填空题。（本大题6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）某种秋冬流感病毒的直径约为0.000000308米，该直径用科学记数法表示为 3.08×10﹣7米 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：某种秋冬流感病毒的直径约为0.000000308米，该直径用科学记数法表示为3.08×10﹣7米．
故答案为：3.08×10﹣7米．
8．（3分）若分式的值为0，则x＝ ﹣1 ．
【分析】根据分式的值等于0的条件：分子＝0且分母≠0即可求解．
【解答】解：根据题意得x2﹣1＝0，且x﹣1≠0，
解得：x＝﹣1．
故答案是：﹣1．
9．（3分）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 ∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE ．（只需写出一个条件即可）
【分析】利用∠1＝∠2得到∠BAC＝∠EAD，由于AC＝AD，然后根据全等三角形的判定方法添加条件．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，
即∠BAC＝∠EAD，
∵AC＝AD，
∴当添加∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；
当添加∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；
当添加AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED．
故答案为∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．
10．（3分）因式分解：3x﹣12x3＝ 3x（1+2x）（1﹣2x） ．
【分析】先提公因式，然后利用平方差公式继续分解即可．
【解答】解：3x﹣12x3
＝3x（1﹣4x2）
＝3x（1+2x）（1﹣2x），
故答案为：3x（1+2x）（1﹣2x）．
11．（3分）如图，∠BAC＝100°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ＝ 20° ．
【分析】由MP和NQ分别垂直平分AB和AC，可得PA＝PB，AQ＝CQ，即可证得∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，又由∠BAC＝120°，可求得∠B+∠C的度数，即可得∠BAP+∠CAQ的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵PM垂直平分AB，
∴PA＝PB，
∴∠B＝∠BAP，
同理：QC＝QA，
∴∠C＝∠CAQ，
∵∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝80°，
∴∠BAP+∠CAQ＝80°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝20°．
故答案为：20°．
12．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边的中点，点P在直线AC上，若△PAD是轴对称图形，则∠APD的度数为 15°或30°或75°或120° ．
【分析】当△PAD是等腰三角形时，是轴对称图形．分四种情形分别求解即可．
【解答】解：如图，当△PAD是等腰三角形时，是轴对称图形．
当AP＝AD时，可得∠AP1D＝15°，∠AP3D＝75°．
当PA＝PD时，可得∠AP2D＝120°．
当DA＝DP时，可得∠AP4D＝30°，
综上所述，满足条件的∠APD的值为120°或75°或30°或15°．
故答案为：120°或75°或30°或15°．
三、解答题。（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）解方程：＝0；
（2）已知等腰三角形的两边长为5cm和4cm，求它的周长．
【分析】（1）按解分式方程的步骤求解即可．
（2）根据三角形边的性质确定第三边，再求周长．
【解答】解：（1）去分母得：2x﹣（x+1）＝0
∴x＝1．
检验：当x＝1时，x（x+1）＝2≠0．
∴原方程的解为：x＝1．
（2）设这个等腰三角形的第三边为x，则x＝4或x＝5．
当x＝4时，4+4＞5，符合题意，这个等腰三角形的周长为：4+4+5＝13（厘米）．
当x＝5时，4+5＞5，符合题意，这个等腰三角形的周长为：4+5+5＝14（厘米）．
∴这个等腰三角形的周长为13或14厘米．
14．（6分）化简求值：（2x+y）2﹣3x（x+y）﹣（x﹣2y）（x+2y），其中x＝，y＝﹣2．
【分析】先根据整式的乘法法则和乘法公式算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：原式＝4x2+4xy+y2﹣3x2﹣3xy﹣x2+4y2
＝xy+5y2；
将x＝，y＝﹣2代入，原式＝×（﹣2）+5×（﹣2）2＝19．
15．（6分）已知△ABC和△CDE都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图1，当BC＝CD时，作△ABC的中线BF；
（2）如图2，当BC≠CD时，作△ABC的中线BG．
【分析】（1）连接BE交AC于点F，线段BF即为所求．
（2）延长BA交DE的延长线于W，连接AD，CW交于点O，连接OB交AC于G，线段BG即为所求．
【解答】解：（1）如图1中，线段BF即为所求．
（2）如图2中，线段BG即为所求．
16．（6分）如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EC∥FD，EA＝FB．求证：AB＝CD．
【分析】首先利用平行线的性质得出，∠A＝∠FBD，∠D＝∠ECA，进而得出△EAC≌△FBD，即可得出AC＝BD，进而得出答案．
【解答】证明：∵EA∥FB，∴∠A＝∠FBD，
∵EC∥FD，∴∠D＝∠ECA，
在△EAC和△FBD中，
，
∴△EAC≌△FBD（AAS），
∴AC＝BD，
∴AB+BC＝BC+CD，
∴AB＝CD．
17．（6分）化简分式（x+1﹣）÷，并从1、2、3这三个数中取一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝÷
＝÷
＝•
＝，
当x＝1，2时，原式没有意义；
当x＝3时，原式＝＝5．
四、解答题。（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图所示，已知△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若BP⊥AD于点P，PF＝6，求BF的长．
【分析】（1）利用等边三角形的性质得AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，再利用SAS即可证明△ABE≌△CAD；
（2）由（1）得∠ABE＝∠CAD，则∠BFP＝∠ABE+∠BAF＝∠BAC＝60°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）解：由（1）得△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠BFP＝∠ABE+∠BAF＝∠BAC＝60°，
∵BP⊥AD，
∴∠BPF＝90°，
∴∠PBF＝30°，
∴BF＝PF＝12．
19．（8分）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．
（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？
（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？
【分析】（1）设当前参加生产的工人有x人，根据每人每小时完成的工作量不变，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用每人每小时完成的工作量＝工作总量÷工作时间÷参与工作的人数，即可求出每人每小时完成的工作量，设还需要生产y天才能完成任务，根据工作总量＝工作效率×工作时间×工作人数，即可得出关于y的方程求解．
【解答】解：（1）设当前参加生产的工人有x人，由题意可得：
，
解得：x＝30，
经检验：x＝30是原分式方程的解，且符合题意，
∴当前参加生产的工人有30人；
（2）每人每小时完成的数量为：16÷8÷40＝0.05（万剂），
设还需要生产y天才能完成任务，由题意可得：
4×15+（30+10）×10×0.05y＝760，
解得：y＝35，
35+4＝39（天），
∴该厂共需要39天才能完成任务．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是 角平分线上的点到角两边的距离相等 ．
（2）如图2，求证AD＝CD．
【分析】（1）根据角平分线的性质定理即可解决问题；
（2）如图2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．只要证明△DEA≌△DFC即可解决问题．
【解答】（1）解：∵α＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BCD＝180°﹣α＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴DA＝DC，
这个性质是角平分线上的点到角两边的距离相等，
故答案为：角平分线上的点到角两边的距离相等；
（2）证明：如图2中，
作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F，
∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，
∴DE＝DF，
∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠BCD，
∵∠E＝∠DFC＝90°，
在△DEA与△DFC中，
，
∴△DEA≌△DFC（AAS），
∴DA＝DC．
五、解答题。（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为 （a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ．
（2）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．
【分析】（1）根据图2中，各个部分面积与大正方形面积之间的关系可得答案；
（2）由（1）的结论，进行应用即可；
（3）设两个正方形的边长为a，b，得出a+b＝8，a2+b2＝26，根据完全平方公式计算出ab的值即可．
【解答】解：（1）图2，大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，
小正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，
每个长方形的长为a，宽为b，因此面积为ab，
由面积之间的关系可得，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）由（1）得，（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，
即（m+n）2＝42+4×（﹣3），
∴m+n＝2或m+n＝﹣2；
（3）设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，则S1＝a2，S2＝b2，
由于AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，
因此a+b＝8，a2+b2＝26，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，即64＝26+2ab，
∴ab＝19，
∴阴影部分的面积为ab＝．
22．（9分）【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则△ABD≌△ACE．
【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现．
【深入探究】（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD＝EC；②∠BOC＝60°；③∠AOE＝60°，其中正确的有 ①②③ ．（将所有正确的序号填在横线上）
【延伸应用】（3）如图3，在四边形ABCD中，BD＝CD，AB＝BE，∠ABE＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠BED的数关系，并证明．
【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD＝∠CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC＝60°，再判断出△BCF≌△ACO，得出∠AOC＝120°，进而得出∠AOE＝60°，即可得出结论；
（3）先判断出△BDC是等边三角形，得出BD＝BC，∠DBC＝60°，进而判断出△ABD≌△EBC（SAS），由全等三角形的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，①正确，∠ADB＝∠AEC，
记AD与CE的交点为G，
∵∠AGE＝∠DGO，
∴180°﹣∠ADB﹣∠DGO＝180°﹣∠AEC﹣∠AGE，
∴∠DOE＝∠DAE＝60°，
∴∠BOC＝60°，②正确，
在OB上取一点F，使OF＝OC，连接CF，
∴△OCF是等边三角形，
∴CF＝OC，∠OFC＝∠OCF＝60°＝∠ACB，
∴∠BCF＝∠ACO，
∵AB＝AC，
∴△BCF≌△ACO（SAS），
∴∠AOC＝∠BFC＝180°﹣∠OFC＝120°，
∴∠AOE＝180°﹣∠AOC＝60°，③正确，
即：正确的有①②③，
故答案为①②③；
（3）∠A+∠BED＝180°．
如图3，
证明：∵∠BDC＝60°，BD＝CD，
∴△BDC是等边三角形，
∴BD＝BC，∠DBC＝60°，
∵∠ABC＝60°＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵AB＝BE，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴∠BEC＝∠A，
∵∠BED+∠BEC＝180°，
∴∠A+∠BED＝180°．
六、解答题。（本大题共12分）
23．（12分）如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．
（1）当t＝3时，BP＝ 2 cm；
（2）当t为何值时，连接CP，DP，△CDP是等腰三角形；
（3）Q为AD边上的点，且DQ＝5，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△DCQ全等．
【分析】（1）当t＝3时，点P运动到线段BC上，即可得到BP的长度；
（2）由△ABP的面积为长方形面积的三分之一，分为点P在BC上和点P在AD上两种情况讨论，即可得到答案；
（3）根据题意，要使一个三角形与△DCQ全等，则点P的位置可以有四个，根据点P运动的位置，即可计算出时间．
【解答】解：（1）当t＝3时，点P走过的路程为：2×3＝6，
∵AB＝4，
∴点P运动到线段BC上，
∴BP＝6﹣4＝2，
故答案为：2；
（2）∵矩形ABCD的面积＝4×6＝24，
∴三角形ABP的面积＝×24＝8，
∵AB＝4，
∴△ABP的高为：8×2÷4＝4，
如图，
当点P在BC上时，BP＝4，
∴t＝（4+4）÷2＝4，
当点P在AD上时，AP＝4，
∴t＝（4+6+4+2）÷2＝8，
∴当t＝4 s或8 s时，△ABP的面积为长方形面积的三分之一；
（3）根据题意，如图，连接CQ，则AB＝CD＝4，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90o，DQ＝5，
∴要使一个三角形与△DCQ全等，则另一条直角边必须等于DQ，
①当点P运动到P1时，CP1＝DQ＝5，此时△DCQ≌△CDP1，
∴点P的路程为：AB+BP1＝4+1＝5，
∴t＝5÷2＝2.5，
②当点P运动到P2时，BP2＝DQ＝5，此时△CDQ≌△ABP2，
∴点P的路程为：AB+BP2＝4+5＝9，
∴t＝9÷2＝4.5，
③当点P运动到P3时，AP3＝DQ＝5，此时△CDQ≌△ABP3，
∴点P的路程为：AB+BC+CD+DP3＝4+6+4+1＝15，
∴t＝15÷2＝7.5，
④当点P运动到P4时，即P与Q重合时，DP4＝DQ＝5，此时△CDQ≌△CDP4，
∴点P的路程为：AB+BC+CD+DP4＝4+6+4+5＝19，
∴t＝19÷2＝9.5，
综上所述，时间的值可以是：t＝2.5，4.5，7.5或9.5，
故答案为：2.5或4.5或7.5或9.5．
2021-2022学年江西省赣州市章贡区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题。（本大题6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列运算，正确的是（ ）
A．a2•a＝a2 B．a+a＝a2 C．a6÷a3＝a2 D．（a3）2＝a6
3．（3分）如果多项式x2+mx+9是完全平方式，那么m的值是（ ）
A．3 B．6 C．±6 D．±3
4．（3分）将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍
5．（3分）如图的4×4的正方形网格中，有A、B两点，在直线a上求一点P，使PA+PB最短，则点P应选在（ ）
A．C点 B．D点 C．E点 D．F点
6．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动（不与端点重合），且保持AD＝CE，连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE的面积是12；③AD+BE＞DE．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
二、填空题。（本大题6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）某种秋冬流感病毒的直径约为0.000000308米，该直径用科学记数法表示为 ．
8．（3分）若分式的值为0，则x＝ ．
9．（3分）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）
10．（3分）因式分解：3x﹣12x3＝ ．
11．（3分）如图，∠BAC＝100°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ＝ ．
12．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边的中点，点P在直线AC上，若△PAD是轴对称图形，则∠APD的度数为 ．
三、解答题。（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）解方程：＝0；
（2）已知等腰三角形的两边长为5cm和4cm，求它的周长．
14．（6分）化简求值：（2x+y）2﹣3x（x+y）﹣（x﹣2y）（x+2y），其中x＝，y＝﹣2．
15．（6分）已知△ABC和△CDE都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图1，当BC＝CD时，作△ABC的中线BF；
（2）如图2，当BC≠CD时，作△ABC的中线BG．
16．（6分）如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EC∥FD，EA＝FB．求证：AB＝CD．
17．（6分）化简分式（x+1﹣）÷，并从1、2、3这三个数中取一个合适的数作为x的值代入求值．
四、解答题。（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图所示，已知△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若BP⊥AD于点P，PF＝6，求BF的长．
19．（8分）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．
（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？
（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是 ．
（2）如图2，求证AD＝CD．
五、解答题。（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为 ．
（2）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．
22．（9分）【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则△ABD≌△ACE．
【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现．
【深入探究】（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD＝EC；②∠BOC＝60°；③∠AOE＝60°，其中正确的有 ．（将所有正确的序号填在横线上）
【延伸应用】（3）如图3，在四边形ABCD中，BD＝CD，AB＝BE，∠ABE＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠BED的数关系，并证明．
六、解答题。（本大题共12分）
23．（12分）如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．
（1）当t＝3时，BP＝ cm；
（2）当t为何值时，连接CP，DP，△CDP是等腰三角形；
（3）Q为AD边上的点，且DQ＝5，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△DCQ全等．
2021-2022学年江西省赣州市章贡区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）下列运算，正确的是（ ）
A．a2•a＝a2 B．a+a＝a2 C．a6÷a3＝a2 D．（a3）2＝a6
【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相加；合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为a2•a＝a3，故本选项错误；
B、应为a+a＝2a，故本选项错误；
C、应为a6÷a3＝a3，故本选项错误；
D、（a3）2＝a3×2＝a6，正确．
故选：D．
3．（3分）如果多项式x2+mx+9是完全平方式，那么m的值是（ ）
A．3 B．6 C．±6 D．±3
【分析】根据完全平方式的结构特征求m．
【解答】解：∵多项式x2+mx+9是完全平方式，
∴Δ＝m2﹣4×1×9＝0
∴m2＝36．
∴m＝±6．
故选：C．
4．（3分）将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：＝，
故选：D．
5．（3分）如图的4×4的正方形网格中，有A、B两点，在直线a上求一点P，使PA+PB最短，则点P应选在（ ）
A．C点 B．D点 C．E点 D．F点
【分析】首先求得点A关于直线a的对称点A′，连接A′B，即可求得答案．
【解答】解：如图，点A′是点A关于直线a的对称点，连接A′B，则A′B与直线a的交点，即为点P，此时PA+PB最短，
∵A′B与直线a交于点C，
∴点P应选C点．
故选：A．
6．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动（不与端点重合），且保持AD＝CE，连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE的面积是12；③AD+BE＞DE．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
【分析】连接CF，根据等腰直角三角形的性质得到∠A＝45°，求得∠A＝∠BCF，根据全等三角形的性质得到DF＝EF，∠AFD＝∠CFE，得到∠DFE＝90°，于是得到△DEF是等腰直角三角形，所以此结论正确；根据全等三角形的性质得到四边形CDFE的面积＝S△ACF＝S△ABC＝××8×8＝16，故②错误；根据全等三角形的性质得到AD＝CE，得到CD＝BE，根据三角形的三边关系即可得到结论．
【解答】解：①连接CF，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°，
∵F是AB边上的中点，
∴CF＝AF＝BF，CF⊥AB，∠ACF＝∠BCF＝45°，
∴∠AFC＝90°，
∴∠A＝∠BCF，
在△ADF和△CEF中，
，
∴△ADF≌△CEF（SAS），
∴DF＝EF，∠AFD＝∠CFE，
∴∠AFD+∠DFC＝∠CFE+∠DFC＝90°，
即∠DFE＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，所以此结论正确；
②∵△ADF≌△CEF，
∴四边形CDFE的面积＝S△ACF＝S△ABC＝××8×8＝16，故②错误；
③∵△ADF≌△CEF，
∴AD＝CE，
∵AC＝BC，
∴CD＝BE，
∵CD+CE＞DE，
∴AD+BE＞DE，故③正确，
故选：B．
二、填空题。（本大题6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）某种秋冬流感病毒的直径约为0.000000308米，该直径用科学记数法表示为 3.08×10﹣7米 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：某种秋冬流感病毒的直径约为0.000000308米，该直径用科学记数法表示为3.08×10﹣7米．
故答案为：3.08×10﹣7米．
8．（3分）若分式的值为0，则x＝ ﹣1 ．
【分析】根据分式的值等于0的条件：分子＝0且分母≠0即可求解．
【解答】解：根据题意得x2﹣1＝0，且x﹣1≠0，
解得：x＝﹣1．
故答案是：﹣1．
9．（3分）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 ∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE ．（只需写出一个条件即可）
【分析】利用∠1＝∠2得到∠BAC＝∠EAD，由于AC＝AD，然后根据全等三角形的判定方法添加条件．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，
即∠BAC＝∠EAD，
∵AC＝AD，
∴当添加∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；
当添加∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；
当添加AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED．
故答案为∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．
10．（3分）因式分解：3x﹣12x3＝ 3x（1+2x）（1﹣2x） ．
【分析】先提公因式，然后利用平方差公式继续分解即可．
【解答】解：3x﹣12x3
＝3x（1﹣4x2）
＝3x（1+2x）（1﹣2x），
故答案为：3x（1+2x）（1﹣2x）．
11．（3分）如图，∠BAC＝100°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ＝ 20° ．
【分析】由MP和NQ分别垂直平分AB和AC，可得PA＝PB，AQ＝CQ，即可证得∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，又由∠BAC＝120°，可求得∠B+∠C的度数，即可得∠BAP+∠CAQ的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵PM垂直平分AB，
∴PA＝PB，
∴∠B＝∠BAP，
同理：QC＝QA，
∴∠C＝∠CAQ，
∵∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝80°，
∴∠BAP+∠CAQ＝80°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝20°．
故答案为：20°．
12．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边的中点，点P在直线AC上，若△PAD是轴对称图形，则∠APD的度数为 15°或30°或75°或120° ．
【分析】当△PAD是等腰三角形时，是轴对称图形．分四种情形分别求解即可．
【解答】解：如图，当△PAD是等腰三角形时，是轴对称图形．
当AP＝AD时，可得∠AP1D＝15°，∠AP3D＝75°．
当PA＝PD时，可得∠AP2D＝120°．
当DA＝DP时，可得∠AP4D＝30°，
综上所述，满足条件的∠APD的值为120°或75°或30°或15°．
故答案为：120°或75°或30°或15°．
三、解答题。（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）解方程：＝0；
（2）已知等腰三角形的两边长为5cm和4cm，求它的周长．
【分析】（1）按解分式方程的步骤求解即可．
（2）根据三角形边的性质确定第三边，再求周长．
【解答】解：（1）去分母得：2x﹣（x+1）＝0
∴x＝1．
检验：当x＝1时，x（x+1）＝2≠0．
∴原方程的解为：x＝1．
（2）设这个等腰三角形的第三边为x，则x＝4或x＝5．
当x＝4时，4+4＞5，符合题意，这个等腰三角形的周长为：4+4+5＝13（厘米）．
当x＝5时，4+5＞5，符合题意，这个等腰三角形的周长为：4+5+5＝14（厘米）．
∴这个等腰三角形的周长为13或14厘米．
14．（6分）化简求值：（2x+y）2﹣3x（x+y）﹣（x﹣2y）（x+2y），其中x＝，y＝﹣2．
【分析】先根据整式的乘法法则和乘法公式算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：原式＝4x2+4xy+y2﹣3x2﹣3xy﹣x2+4y2
＝xy+5y2；
将x＝，y＝﹣2代入，原式＝×（﹣2）+5×（﹣2）2＝19．
15．（6分）已知△ABC和△CDE都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图1，当BC＝CD时，作△ABC的中线BF；
（2）如图2，当BC≠CD时，作△ABC的中线BG．
【分析】（1）连接BE交AC于点F，线段BF即为所求．
（2）延长BA交DE的延长线于W，连接AD，CW交于点O，连接OB交AC于G，线段BG即为所求．
【解答】解：（1）如图1中，线段BF即为所求．
（2）如图2中，线段BG即为所求．
16．（6分）如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EC∥FD，EA＝FB．求证：AB＝CD．
【分析】首先利用平行线的性质得出，∠A＝∠FBD，∠D＝∠ECA，进而得出△EAC≌△FBD，即可得出AC＝BD，进而得出答案．
【解答】证明：∵EA∥FB，∴∠A＝∠FBD，
∵EC∥FD，∴∠D＝∠ECA，
在△EAC和△FBD中，
，
∴△EAC≌△FBD（AAS），
∴AC＝BD，
∴AB+BC＝BC+CD，
∴AB＝CD．
17．（6分）化简分式（x+1﹣）÷，并从1、2、3这三个数中取一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝÷
＝÷
＝•
＝，
当x＝1，2时，原式没有意义；
当x＝3时，原式＝＝5．
四、解答题。（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图所示，已知△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若BP⊥AD于点P，PF＝6，求BF的长．
【分析】（1）利用等边三角形的性质得AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，再利用SAS即可证明△ABE≌△CAD；
（2）由（1）得∠ABE＝∠CAD，则∠BFP＝∠ABE+∠BAF＝∠BAC＝60°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）解：由（1）得△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠BFP＝∠ABE+∠BAF＝∠BAC＝60°，
∵BP⊥AD，
∴∠BPF＝90°，
∴∠PBF＝30°，
∴BF＝PF＝12．
19．（8分）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．
（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？
（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？
【分析】（1）设当前参加生产的工人有x人，根据每人每小时完成的工作量不变，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用每人每小时完成的工作量＝工作总量÷工作时间÷参与工作的人数，即可求出每人每小时完成的工作量，设还需要生产y天才能完成任务，根据工作总量＝工作效率×工作时间×工作人数，即可得出关于y的方程求解．
【解答】解：（1）设当前参加生产的工人有x人，由题意可得：
，
解得：x＝30，
经检验：x＝30是原分式方程的解，且符合题意，
∴当前参加生产的工人有30人；
（2）每人每小时完成的数量为：16÷8÷40＝0.05（万剂），
设还需要生产y天才能完成任务，由题意可得：
4×15+（30+10）×10×0.05y＝760，
解得：y＝35，
35+4＝39（天），
∴该厂共需要39天才能完成任务．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是 角平分线上的点到角两边的距离相等 ．
（2）如图2，求证AD＝CD．
【分析】（1）根据角平分线的性质定理即可解决问题；
（2）如图2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．只要证明△DEA≌△DFC即可解决问题．
【解答】（1）解：∵α＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BCD＝180°﹣α＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴DA＝DC，
这个性质是角平分线上的点到角两边的距离相等，
故答案为：角平分线上的点到角两边的距离相等；
（2）证明：如图2中，
作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F，
∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，
∴DE＝DF，
∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠BCD，
∵∠E＝∠DFC＝90°，
在△DEA与△DFC中，
，
∴△DEA≌△DFC（AAS），
∴DA＝DC．
五、解答题。（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为 （a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ．
（2）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．
【分析】（1）根据图2中，各个部分面积与大正方形面积之间的关系可得答案；
（2）由（1）的结论，进行应用即可；
（3）设两个正方形的边长为a，b，得出a+b＝8，a2+b2＝26，根据完全平方公式计算出ab的值即可．
【解答】解：（1）图2，大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，
小正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，
每个长方形的长为a，宽为b，因此面积为ab，
由面积之间的关系可得，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）由（1）得，（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，
即（m+n）2＝42+4×（﹣3），
∴m+n＝2或m+n＝﹣2；
（3）设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，则S1＝a2，S2＝b2，
由于AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，
因此a+b＝8，a2+b2＝26，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，即64＝26+2ab，
∴ab＝19，
∴阴影部分的面积为ab＝．
22．（9分）【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则△ABD≌△ACE．
【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现．
【深入探究】（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD＝EC；②∠BOC＝60°；③∠AOE＝60°，其中正确的有 ①②③ ．（将所有正确的序号填在横线上）
【延伸应用】（3）如图3，在四边形ABCD中，BD＝CD，AB＝BE，∠ABE＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠BED的数关系，并证明．
【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD＝∠CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC＝60°，再判断出△BCF≌△ACO，得出∠AOC＝120°，进而得出∠AOE＝60°，即可得出结论；
（3）先判断出△BDC是等边三角形，得出BD＝BC，∠DBC＝60°，进而判断出△ABD≌△EBC（SAS），由全等三角形的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，①正确，∠ADB＝∠AEC，
记AD与CE的交点为G，
∵∠AGE＝∠DGO，
∴180°﹣∠ADB﹣∠DGO＝180°﹣∠AEC﹣∠AGE，
∴∠DOE＝∠DAE＝60°，
∴∠BOC＝60°，②正确，
在OB上取一点F，使OF＝OC，连接CF，
∴△OCF是等边三角形，
∴CF＝OC，∠OFC＝∠OCF＝60°＝∠ACB，
∴∠BCF＝∠ACO，
∵AB＝AC，
∴△BCF≌△ACO（SAS），
∴∠AOC＝∠BFC＝180°﹣∠OFC＝120°，
∴∠AOE＝180°﹣∠AOC＝60°，③正确，
即：正确的有①②③，
故答案为①②③；
（3）∠A+∠BED＝180°．
如图3，
证明：∵∠BDC＝60°，BD＝CD，
∴△BDC是等边三角形，
∴BD＝BC，∠DBC＝60°，
∵∠ABC＝60°＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵AB＝BE，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴∠BEC＝∠A，
∵∠BED+∠BEC＝180°，
∴∠A+∠BED＝180°．
六、解答题。（本大题共12分）
23．（12分）如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．
（1）当t＝3时，BP＝ 2 cm；
（2）当t为何值时，连接CP，DP，△CDP是等腰三角形；
（3）Q为AD边上的点，且DQ＝5，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△DCQ全等．
【分析】（1）当t＝3时，点P运动到线段BC上，即可得到BP的长度；
（2）由△ABP的面积为长方形面积的三分之一，分为点P在BC上和点P在AD上两种情况讨论，即可得到答案；
（3）根据题意，要使一个三角形与△DCQ全等，则点P的位置可以有四个，根据点P运动的位置，即可计算出时间．
【解答】解：（1）当t＝3时，点P走过的路程为：2×3＝6，
∵AB＝4，
∴点P运动到线段BC上，
∴BP＝6﹣4＝2，
故答案为：2；
（2）∵矩形ABCD的面积＝4×6＝24，
∴三角形ABP的面积＝×24＝8，
∵AB＝4，
∴△ABP的高为：8×2÷4＝4，
如图，
当点P在BC上时，BP＝4，
∴t＝（4+4）÷2＝4，
当点P在AD上时，AP＝4，
∴t＝（4+6+4+2）÷2＝8，
∴当t＝4 s或8 s时，△ABP的面积为长方形面积的三分之一；
（3）根据题意，如图，连接CQ，则AB＝CD＝4，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90o，DQ＝5，
∴要使一个三角形与△DCQ全等，则另一条直角边必须等于DQ，
①当点P运动到P1时，CP1＝DQ＝5，此时△DCQ≌△CDP1，
∴点P的路程为：AB+BP1＝4+1＝5，
∴t＝5÷2＝2.5，
②当点P运动到P2时，BP2＝DQ＝5，此时△CDQ≌△ABP2，
∴点P的路程为：AB+BP2＝4+5＝9，
∴t＝9÷2＝4.5，
③当点P运动到P3时，AP3＝DQ＝5，此时△CDQ≌△ABP3，
∴点P的路程为：AB+BC+CD+DP3＝4+6+4+1＝15，
∴t＝15÷2＝7.5，
④当点P运动到P4时，即P与Q重合时，DP4＝DQ＝5，此时△CDQ≌△CDP4，
∴点P的路程为：AB+BC+CD+DP4＝4+6+4+5＝19，
∴t＝19÷2＝9.5，
综上所述，时间的值可以是：t＝2.5，4.5，7.5或9.5，
故答案为：2.5或4.5或7.5或9.5．
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