【解析版】济宁市邹城八中2022年九年级上期末数学试卷

这是一份【解析版】济宁市邹城八中2022年九年级上期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022学年山东省济宁市邹城八中九年级（上）期末数学试卷
　
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．“小小竹排水中游，巍巍青山两岸走”所描绘的图形变换主要是（　　）
A．平移变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．相似变换
　
2．下列事件中是必然事件的是（　　）
A．三角形内心到三个顶点的距离相等
B．方程x2﹣x+1=0有两个不等实根
C．面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比也是1：4
D．圆的切线垂直于经过切点的半径
　
3．抛物线y=﹣（x﹣3）2﹣5的对称轴是直线（　　）
A．x=﹣3 B．x=3 C．x=5 D．x=﹣5
　
4．如图，点P为反比例函数y=上的一动点，作PD⊥x轴于点D，△POD的面积为k，则函数y=kx﹣1的图象为（　　）

A． B． C． D．
　
5．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A． B． C． D．
　
6．如图，∠AOB=90°，∠B=30°，△A′OB′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的．若点A′在AB上，则旋转角α的大小可以是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
　
7．如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为（　　）

A．（0，0），2 B．（2，2）， C．（2，2），2 D．（2，2），3
　
8．已知：点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是函数y=﹣图象上的三点，且x1＜0＜x2＜x3则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．无法确定
　
9．某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉40只黄羊，发现其中两只有标志．从而估计该地区有黄羊（　　）
A．200只 B．400只 C．800只 D．1000只
　
10．如图（1），E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．如果点P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系的图象如图（2）所示，那么下列结论正确的是（　　）

A．AE=8
B．当0≤t≤10时，y=t2
C．sin∠EBD=
D．当t=12s时，△BPQ是等腰三角形
　
　
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．已知Rt△ABC的两直角边的长分别为6cm和8cm，则它的外接圆的半径为　　　　　　cm．
　
12．从﹣1，0，1这三个数中任取两个不同的数作二次函数y=x2+bx+c中的b、c，所得二次函数的图象一定经过原点的概率是　　　　　　．
　
13．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是　　　　　　．

　
14．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度为　　　　　　米．

　
15．已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为　　　　　　．
　
16．如图，Rt△AOB中，O为坐标原点，∠AOB=90°，∠B=30°，如果点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上运动，那么点B在函数　　　　　　（填函数解析式）的图象上运动．

　
　
三、解答题：本大题共7小题，共52分.
17．今年十一五规划中提出建设社会主义新农村，推进农村城市化的进程，继续减轻农民负担．小红同学对自己所在乡的农业税减免情况进行统计，得到如下三条信息：
信息一：小红所在的乡约有16000农民；
信息二：该乡前年人均上缴农业税25元，今年人均上缴农业税为16元；
信息三：去年、今年和明年这三年降低的百分率都相同．
请你根据以上三条信息，求出该乡农民明年减少多少农业税？
　
18．已知一次函数y=x+2的图象分别与坐标轴相交于A、B两点（如图所示），与反比例函数y=（x＞0）的图象相交于C点．
（1）写出A、B两点的坐标；
（2）作CD⊥x轴，垂足为D，如果OB是△ACD的中位线，求反比例函数y=（x＞0）的关系式．

　
19．有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别划有四个不同的稽核图形（如图）．小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次模牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；
（2）求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率．

　
20．如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．
（1）将△AOB向下平移3个单位后得到△A1O1B1，则点B1的坐标为　　　　　　；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并求出这时点A2的坐标为　　　　　　；
（3）在（2）中的旋转过程中，线段OA扫过的图形的面积　　　　　　．

　
21．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）证明：BC2=CD•CA；
（3）若DC=3，BC=4，求AB的长度．

　
22．某班研究性学习小组，到校外进行数学探究活动，发现一个如图所示的支架PAB，于是他们利用手中已有的工具进行一系列操作，并得到了相关数据，从而可求得支架顶端P到地面的距离．
实验工具：①3米长的卷尺；②铅垂线（一端系着圆锥型铁块的细线）．
实验步骤：
第一步，量得支架底部A、B两点之间的距离；
第二步，在AP上取一点C，挂上铅垂线CD，点D恰好落在直线AB上，量得CD和AD的长；
第三步，在BP上取一点E，挂上铅垂线EF，点F恰好落在直线AB上，量得EF和BF的长．
实验数据：
线段
AB
CD
AD
EF
BF
长度（米）
2.5
1
0.8
1.2
0.6
问：（1）根据以上实验数据，请你计算支架顶端P到地面的距离（精确到0.1米）；
（2）假定你是该小组成员，请你用一句话谈谈本次实践活动的感受．

　
23．矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0）、C（O，3），直线y=x与与BC边相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线y=ax2+bx经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴是否存在点P，使四边形ABDP的周长最小，并求出最小值；
（4）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点Q为对称轴上一动点，以 Q、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，直接写出符合条件的Q点的坐标．

　
　

2022学年山东省济宁市邹城八中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．“小小竹排水中游，巍巍青山两岸走”所描绘的图形变换主要是（　　）
A．平移变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．相似变换
考点： 几何变换的类型．
分析： 根据平移是图形沿某一直线方向移动一定的距离，可得答案．
解答： 解：“小小竹排水中游，巍巍青山两岸走”所描绘的图形变换主要是平移变换，
故选：A．
点评： 本题考查了平移变换，利用了平移的定义．
　
2．下列事件中是必然事件的是（　　）
A．三角形内心到三个顶点的距离相等
B．方程x2﹣x+1=0有两个不等实根
C．面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比也是1：4
D．圆的切线垂直于经过切点的半径
考点： 随机事件．
分析： 三角形内心的定义以及相似三角形的性质以及切线的判定分别得出答案．
解答： 解：A、三角形内心到三边的距离相等，故此选项错误；
B、方程x2﹣x+1=0没有实根，故此选项错误；
C、面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比也是1：2，故此选项错误；
D、圆的切线垂直于经过切点的半径，正确．
故选：D．
点评： 此题主要考查了必然事件的定义，正确把握三角形内心的定义以及相似三角形的性质是解题关键．
　
3．抛物线y=﹣（x﹣3）2﹣5的对称轴是直线（　　）
A．x=﹣3 B．x=3 C．x=5 D．x=﹣5
考点： 二次函数的性质．
分析： 本题函数式是抛物线的顶点式，可直接求顶点坐标及对称轴．
解答： 解：∵抛物线y=﹣（x﹣3）2﹣5是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点，抛物线对称轴是x=3．
故选B．
点评： 考查顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h，要掌握顶点式的性质．
　
4．如图，点P为反比例函数y=上的一动点，作PD⊥x轴于点D，△POD的面积为k，则函数y=kx﹣1的图象为（　　）

A． B． C． D．
考点： 反比例函数系数k的几何意义；一次函数的图象．
分析： 先根据反比例函数系数k的几何意义，求出k的值等于1，然后求出一次函数的解析式，再确定一次函数的图象经过点（0，﹣1）（1，0），即可确定选项．
解答： 解：设P点坐标为（x，y），
∵P点在第一象限且在函数y=的图象上，
∴xy=2，
∴S△OPD=xy=×2=1，即k=1．
∴一次函数y=kx﹣1的解析式为：y=x﹣1，
∴一次函数的图象经过点（0，﹣1），（1，0）的直线．
故选A．
点评： 考查了反比例函数的比例系数的几何意义，解答此题的关键是根据反比例函数系数k的几何意义求出k的值，再根据一次函数解析式确定与坐标轴的交点．
　
5．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A． B． C． D．
考点： 相似三角形的判定．
分析： 首先求得△ABC三边的长，然后分别求得A，B，C，D各三角形的三边的长，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．
解答： 解：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故选B．
点评： 此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，三组对应边的比相等的两个三角形相似定理的应用是解此题的关键．
　
6．如图，∠AOB=90°，∠B=30°，△A′OB′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的．若点A′在AB上，则旋转角α的大小可以是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
考点： 旋转的性质．
分析： 根据旋转的性质：旋转变化前后，图形的大小、形状都不改变，进行分析．
解答： 解：∵∠AOB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°．
∵△A′OB′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，
∴OA=OA′．
∴△OAA′是等边三角形．
∴∠AOA′=60°，即旋转角α的大小可以是60°．
故选C
点评： 本题考查图形旋转的性质及等边三角形的知识．难度中等．
　
7．如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为（　　）

A．（0，0），2 B．（2，2）， C．（2，2），2 D．（2，2），3
考点： 位似变换．
分析： 两对对应点的连线的交点即为位似中心；找到任意一对对应边的边长，让其相比即可求得k．
解答： 解：连接OD、AC，易得交点也就是位似中心为（2，2）；
k=OA：CD=6：3=2，
故选C．

点评： 用到的知识点为：两对对应点的连线的交点为位似中心；任意一对对应边的比即为位似比．
　
8．已知：点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是函数y=﹣图象上的三点，且x1＜0＜x2＜x3则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．无法确定
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
专题： 压轴题．
分析： 对y=﹣，由x1＜0＜x2＜x3知，A点位于第二象限，y1最大，第四象限，y随x增大而增大，y2＜y3，故y2＜y3＜y1．
解答： 解：∵y=﹣中k=﹣3＜0，
∴此函数的图象在二、四象限，
∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是函数y=﹣图象上的三点，且x1＜0＜x2＜x3，
∴A点位于第二象限，y1＞0，B、C两点位于第四象限，
∵0＜x2＜x3，
∴y2＜y3，
∴y2＜y3＜y1．
故选B．
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要学会比较图象上点的坐标．
　
9．某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉40只黄羊，发现其中两只有标志．从而估计该地区有黄羊（　　）
A．200只 B．400只 C．800只 D．1000只
考点： 用样本估计总体．
分析： 根据先捕捉40只黄羊，发现其中2只有标志．说明有标记的占到，而有标记的共有20只，根据所占比例解得．
解答： 解：20÷=400（只）．
故选B．
点评： 此题考查了用样本估计总体；统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息，本题体现了统计思想，考查了用样本估计总体．
　
10．如图（1），E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．如果点P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系的图象如图（2）所示，那么下列结论正确的是（　　）

A．AE=8
B．当0≤t≤10时，y=t2
C．sin∠EBD=
D．当t=12s时，△BPQ是等腰三角形
考点： 动点问题的函数图象．
分析： 由图2可知，在点（10，40）至点（14，40）区间，△BPQ的面积不变，因此可推论BC=BE，由此分析动点P的运动过程如下：
（1）在BE段，BP=BQ；持续时间10s，则BE=BC=10；y是t的二次函数；
（2）在ED段，y=40是定值，持续时间4s，则ED=4；
（3）在DC段，y持续减小直至为0，y是t的一次函数．
解答： 解：（1）结论A错误．理由如下：
分析函数图象可知，BC=10cm，ED=4cm，故AE=AD﹣ED=BC﹣ED=10﹣4=6cm；

（2）结论B正确．理由如下：
如答图2所示，过点P作PG⊥BQ于点G，
∵BQ=BP=t，
∴y=S△BPQ=BQ•PG=BQ•BP•sin∠EBC=t•t•=t2．

（3）结论C错误．理由如下：
如答图1所示，连接EC，过点E作EF⊥BC于点F，
由函数图象可知，BC=BE=10cm，S△BEC=40=BC•EF=×10×EF，∴EF=8，
∴sin∠EBC===；

（4）结论D错误．理由如下：
当t=12s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，设为N，如答图3所示，连接NB，NC．
此时AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=8，NC=，
∵BC=10，
∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形．
故选：B．

点评： 本题考查动点问题的函数图象，需要结合几何图形与函数图象，认真分析动点的运动过程．突破点在于正确判断出BC=BE=10cm．
　
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．已知Rt△ABC的两直角边的长分别为6cm和8cm，则它的外接圆的半径为　5　cm．

考点： 三角形的外接圆与外心；点与圆的位置关系．
专题： 压轴题．
分析： 直角三角形的外接圆圆心就是斜边的中点，所以外接圆的半径就是斜边的一半．根据勾股定理，斜边为10cm，所以外接圆的半径就是5cm．
解答： 解：∵Rt△ABC的两直角边的长分别为6cm和8cm，
∴斜边为10cm，
∴外接圆的半径就是5cm．
点评： 本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．
　
12．从﹣1，0，1这三个数中任取两个不同的数作二次函数y=x2+bx+c中的b、c，所得二次函数的图象一定经过原点的概率是　　．

考点： 概率公式；二次函数图象上点的坐标特征．
分析： 从3个中取两个共有3×2=6种情况．再分别代入二次函数中，把（0，0）代入，找出满足的点的个数除以总的个数即可．
解答： 解：依题意有6种取法，满足条件的有：b=﹣1，c=0与b=1，c=0两种情况，
故概率为：=．
故本题答案为：．
点评： 本题综合考查函数图象上点的坐标特征与概率的确定．
　
13．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是　　．


考点： 圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．
专题： 网格型．
分析：根据同弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠AED，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出cos∠ABC的值，即为cos∠AED的值．
解答： 解：∵∠AED与∠ABC都对，
∴∠AED=∠ABC，
在Rt△ABC中，AB=2，AC=1，
根据勾股定理得：BC=，
则cos∠AED=cos∠ABC==．
故答案为：
点评： 此题考查了圆周角定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．
　
14．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度为　5.6　米．


考点： 相似三角形的应用．
专题： 应用题；压轴题．
分析： 根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．
解答： 解：根据题意，易得∠CDE=∠ABE=90°，∠CED=∠AEB，
则△ABE∽△CDE，
则，即，
解得：AB=5.6米．
故答案为：5.6．
点评： 应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答．
　
15．已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为　（2，1）或（﹣2，1）或（0，﹣1）　．

考点： 二次函数综合题．
专题： 计算题．
分析： 当⊙P与x轴相切时，圆心P的纵坐标为1或﹣1，根据圆心P在抛物线上，所以当y为±1时，可以求出点P的横坐标．
解答： 解：当y=1时，有1=x2﹣1，x2=4，∴x=±2．即点P（2，1）或（﹣2，1）．
当y=﹣1时，有﹣1=x2﹣1，x=0．即点P（0，﹣1）．
故答案是：（2，1）或（﹣2，1）或（0，﹣1）．
点评： 本题考查的是二次函数的综合题，利用圆与x轴相切得到点P的纵坐标，然后代入抛物线求出点P的横坐标，确定圆心P的坐标．
　
16．如图，Rt△AOB中，O为坐标原点，∠AOB=90°，∠B=30°，如果点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上运动，那么点B在函数　　（填函数解析式）的图象上运动．


考点： 反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；相似三角形的判定与性质．
专题： 压轴题；动点型．
分析： 如图分别过A、B作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D．设A（a，b），则ab=1．根据两角对应相等的两三角形相似，得出△OAC∽△BOD，由相似三角形的对应边成比例，则BD、OD都可用含a、b的代数式表示，从而求出BD•OD的积，进而得出结果．
解答： 解：分别过A、B作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D．设A（a，b）．
∵点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴ab=1．
在△OAC与△BOD中，∠AOC=90°﹣∠BOD=∠OBD，∠OCA=∠BDO=90°，
∴△OAC∽△BOD，
∴OC：BD=AC：OD=OA：OB，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠B=30°，∴OA：OB=1：，
∴b：BD=a：OD=1：，
∴BD=b，OD=a，
∴BD•OD=3ab=3，
又∵点B在第四象限，
∴点B在函数的图象上运动．
故答案为：．

点评： 本题主要考查了相似三角形的判定及性质，用待定系数法求函数的解析式，三角函数的定义等知识，综合性较强，难度适中．
　
三、解答题：本大题共7小题，共52分.
17．今年十一五规划中提出建设社会主义新农村，推进农村城市化的进程，继续减轻农民负担．小红同学对自己所在乡的农业税减免情况进行统计，得到如下三条信息：
信息一：小红所在的乡约有16000农民；
信息二：该乡前年人均上缴农业税25元，今年人均上缴农业税为16元；
信息三：去年、今年和明年这三年降低的百分率都相同．
请你根据以上三条信息，求出该乡农民明年减少多少农业税？

考点： 一元二次方程的应用．
专题： 增长率问题．
分析： 因为该乡前年人均上缴农业税25元，今年人均上缴农业税为16元，去年、今年和明年这三年降低的百分率都相同，所以可设该降低的百分率为x，则有方程25（1﹣x）2=16，解之即可求出x的值，又因小红所在的乡约有16000农民，所以该乡农民明年减少的农业税=16000×16×x．
解答： 解：设降低的百分率为x，根据题意，得：
25（1﹣x）2=16，
解得x1=0.2=20%，x2=1.8（舍去），
所以全乡明年少上缴农业税16000×16×20%=51200（元）．
答：白清乡农民明年减少农业税51200元．
点评：本题需仔细分析题意，从题目条件中提炼出增长率模型，利用方程解决问题．
　
18．已知一次函数y=x+2的图象分别与坐标轴相交于A、B两点（如图所示），与反比例函数y=（x＞0）的图象相交于C点．
（1）写出A、B两点的坐标；
（2）作CD⊥x轴，垂足为D，如果OB是△ACD的中位线，求反比例函数y=（x＞0）的关系式．


考点： 反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；三角形中位线定理．
专题： 计算题．
分析： （1）分别把x=0和y=0代入一次函数的解析式，即可求出A、B的坐标；
（2）根据三角形的中位线求出OA=OD=3，即可得出D、C的横坐标是3，代入一次函数的解析式，求出C的坐标，代入反比例函数的解析式，求出k即可．
解答： 解：（1）∵y=x+2，
∴当x=0时，y=2，
当y=0时，x=﹣3，
∴A的坐标是（﹣3，0），B的坐标是（0，2）．

（2）∵A（﹣3，0），
∴OA=3，
∵OB是△ACD的中位线，
∴OA=OD=3，
即D点、C点的横坐标都是3，
把x=3代入y=x+2得：y=2+2=4，
即C的坐标是（3，4），
∵把C的坐标代入y=得：k=3×4=12，
∴反比例函数y=（x＞0）的关系式是y=（x＞0）．
点评： 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，具有一定的代表性．
　
19．有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别划有四个不同的稽核图形（如图）．小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次模牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；
（2）求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率．


考点： 列表法与树状图法；中心对称图形．
专题： 阅读型．
分析： （1）画出树状图分析数据、列出可能的情况．
（2）根据中心对称图形的概念可知，当摸出圆和平行四边形时为中心对称图形，除以总情况数即可．
解答： 解：（1）
A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）
共产生16种结果，每种结果出现的可能性相同，
即：（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）
（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）
（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）
（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）；

（2）其中两张牌都是中心对称图形的有4种，即
（B，B）（B，C）（C，B）（C，C）
∴P（两张都是中心对称图形）==．
点评： 正确利用树状图分析两次摸牌所有可能结果是关键，区分中心对称图形是要点．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
　
20．如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．
（1）将△AOB向下平移3个单位后得到△A1O1B1，则点B1的坐标为　（1，0）　；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并求出这时点A2的坐标为　（﹣2，3）　；
（3）在（2）中的旋转过程中，线段OA扫过的图形的面积　　．


考点： 作图-旋转变换；扇形面积的计算；坐标与图形变化-平移．
分析： （1）根据平移的性质，上下平移在在对应点的坐标上，纵坐标上上加下减就可以求出结论；
（2）过点O作OA的垂线，在上面取一点A2使OA2=OA，同样的方法求出点B2，顺次连接A2、B2、O就得出△A2OB2，就可以相应的结论；
（3）根据条件就是求扇形A2OA的面积即可．
解答： 解：（1）由题意，得
B1（1，3﹣3），
∴B1（1，0）．
故答案为：（1，0）；
（2）如图，①，过点O作OA的垂线，在上面取一点A2使OA2=OA，
②，同样的方法求出点B2，顺次连接A2、B2、O就得出△A2OB2，
∴△A2OB2是所求作的图形．由作图得
A2（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）；
（3）由勾股定理，得
OA=，
∴线段OA扫过的图形的面积为：=．
故答案为：．

点评： 本题考查了旋转作图的运用，勾股定理的运用，扇形的面积公式的运用，平移的运用，解答时根据图形变化的性质求解是关键．
　
21．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）证明：BC2=CD•CA；
（3）若DC=3，BC=4，求AB的长度．


考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）连结OD，由OA=OD得∠A=∠ADO，而∠CBD+∠CDB=90°，∠CBD=∠A，则∠ADO+∠CDB=90°，即∠ODB=90°，于是可根据切线的判定定理得到直线BD与⊙O相切；
（2）先证明△CBD∽△CAB，然后利用相似比即可得到结论；
（3）在Rt△BCD中，根据勾股定理可计算出BD=5，再利用△CBD∽△CAB，根据相似比可计算出AB．
解答： 解：（1）直线BD与⊙O相切．理由如下：
连结OD，如图，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
又∵∠CBD=∠A，
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=90°，
∴OD⊥DB，
∴直线BD与⊙O相切；
（2）∵∠DCB=∠BCA，∠CBD=∠A，
∴△CBD∽△CAB，
∴，
∴BC2=CD•CA；
（3）在Rt△BCD中，DC=3，BC=4，
∴BD==5，
∵△CBD∽△CAB，
∴，即=
∴AB=．

点评： 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了相似三角形的判定与性质和勾股定理．
　
22．某班研究性学习小组，到校外进行数学探究活动，发现一个如图所示的支架PAB，于是他们利用手中已有的工具进行一系列操作，并得到了相关数据，从而可求得支架顶端P到地面的距离．
实验工具：①3米长的卷尺；②铅垂线（一端系着圆锥型铁块的细线）．
实验步骤：
第一步，量得支架底部A、B两点之间的距离；
第二步，在AP上取一点C，挂上铅垂线CD，点D恰好落在直线AB上，量得CD和AD的长；
第三步，在BP上取一点E，挂上铅垂线EF，点F恰好落在直线AB上，量得EF和BF的长．
实验数据：
线段
AB
CD
AD
EF
BF
长度（米）
2.5
1
0.8
1.2
0.6
问：（1）根据以上实验数据，请你计算支架顶端P到地面的距离（精确到0.1米）；
（2）假定你是该小组成员，请你用一句话谈谈本次实践活动的感受．


考点： 相似三角形的应用．
专题： 压轴题；阅读型．
分析： （1）利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出P点到地面的距离即可．
（2）结合（1）的阶梯过程，本题主要应用了相似三角形的应用．
解答： 解：（1）∵△ACD∽△APG，
∴CD：PG=AD：AG，即1：PG=0.8：（0.8+1.7+0.6+FG），
化简得：0.8PG=3.1+FG①，
又∵△BFE∽△BGP，
∴BF：BG=EF：PG，即1.2：PG=0.6：（0.6+FG），
化简得：PG=1.2+2FG②，
①×2﹣②得：PG=≈8.3m．

（2）通过本次活动我学会了利用相似三角形的相似比，列出方程，解决现实生活中的实际问题，生活处处有数学，只要我们善于动手和动脑．（本题总结性强，可以灵活多变．）

点评： 本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出P点到地面的距离，体现了转化的思想．
　
23．矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0）、C（O，3），直线y=x与与BC边相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线y=ax2+bx经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴是否存在点P，使四边形ABDP的周长最小，并求出最小值；
（4）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点Q为对称轴上一动点，以 Q、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，直接写出符合条件的Q点的坐标．


考点： 一次函数综合题．
分析： （1）已知直线y=x与BC交于点D（x，3），把y=3代入等式可得点D的坐标；
（2）如图抛物线y=ax2+bx经过D（4，3）、A（6，0）两点，把已知坐标代入解析式得出a，b的值即可；
（3）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得D点关于x轴的对称轴的对称点，根据两点之间线段最短：AP+PD=AE，可得AE的长，根据四边形的周长公式，可得ABDP的周长．
（4）证明Rt△P1OM∽Rt△CDO以及Rt△P2P1O≌Rt△DCO后推出CD=P1P2=4得出符合条件的坐标．
解答： 解：（1）由题知，直线y=x与BC交于点D（x，3）．
把y=3代入y=x中得，x=4，
∴D（4，3）；
（2）抛物线y=ax2+bx经过D（4，3）、A（6，0）两点，
把x=4，y=3；x=6，y=0，分别代入y=ax2+bx中，得
解得 ．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x；
（3）如图1：作D（4，3）点关于对称轴x=3的对称点E（2，3），连接AE交对称轴于点P，

直线AE的解析式为y=kx+b，图象经过点A，点E，得，
解得，
直线AE的解析式为y=﹣x+，
当x=3时，y=﹣×3+=，即P（3，）．
四边形ABDP周长的最小值=AB+DB+DP+AP=AB+DB+AE
=3+2+
=3+2+5=10；
（4）如图2：抛物线的对称轴与x轴交于点P1，符合条件．

∵CB∥OA，
∴∠Q1OM=∠CDO，
∵∠DCO=∠OQ1M=90°，
∴Rt△Q1OM∽Rt△CDO．
∵x=﹣=3，
∴该点坐标为Q1（3，0）．
过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点P2，
∵对称轴平行于y轴，
∴∠Q2MO=∠DOC，
∴Rt△Q2MO∽Rt△DCO．
在Rt△Q2Q1O和Rt△DCO中，
，
∴RtQ2Q1O≌Rt△DCO（AAS）．
∴CD=Q1Q2=4，
∵点Q2位于第四象限，
∴Q2（3，﹣4）．
因此，符合条件的点有两个，分别是Q1（3，0），Q2（3，﹣4）．
点评： 此题考查函数性质与坐标关系，最后一问探究点的存在性问题，几何图形形式问题和直角三角形性质，综合性比较强，难度较大．