【解析版】2022年济宁市曲阜市八年级上期中数学试卷

2022学年山东省济宁市曲阜市八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，1）关于x轴的对称点在（　　）

　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

2．下列平面图形中，不是轴对称图形的是（　　）

　 A． B． C． D．

3．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（　　）

　 A． 17 B． 15 C． 13 D． 13或17

4．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（　　）

　 A． 85° B． 80° C． 75° D． 70°

5．如图，已知AB∥CD，OA、OC分别平分∠BAC和∠ACD，OM⊥AC于点M，且OM=3，则AB、CD之间的距离为（　　）

　 A． 2 B． 4 C． 6 D． 8

6．如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（　　）

　 A． 16cm B． 18cm C． 20cm D． 22cm

7．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD：S△ACD=（　　）

　 A． 3：4 B． 4：3 C． 16：9 D． 9：16

8．一个多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是（　　）

　 A． 五边形 B． 六边形 C． 七边形 D． 八边形

9．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（　　）

　 A． ∠BCA=∠F B． ∠B=∠E C． BC∥EF D． ∠A=∠EDF

10．如图，在Rt直角△ABC中，∠B=45°，AB=AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF=EF，其中正确结论是（　　）

　 A． ①②④ B． ②③④ C． ①②③ D． ①②③④

二、填空题

11．如图，在△ABC中，∠C=40°，CA=CB，则△ABC的外角∠ABD=　　　　　　°．

12．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形为　　　　　　边形．

13．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD=　　　　　　．

14．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是　　　　　　海里．

15．如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的黑色部分分别表示四个人球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反弹），那么该球最后将落入的球袋是　　　　　　号袋（填球袋的编号）．

16．如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是　　　　　　．

三、解答题（共52分）

17．如图，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D点，若∠B=30°，∠DAE=55°，求∠ACD的度数．

18．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DC垂直于横梁AC，AB=8m，∠A=30°，立柱BC，DE要多长？

19．如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD=BC，∠DAB=∠CBA，求证：AC=BD．

20．在棋盘中建立如图的直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图，它们分别是（﹣1，1），（0，0）和（1，0）．

（1）如图2，添加棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴；

（2）在其他格点位置添加一颗棋子P，使A，O，B，P四颗棋子成为一个轴对称图形，请直接写出棋子P的位置的坐标．（写出2个即可）

21．如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．

求证：AF平分∠BAC．

22．如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．

（1）若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？（要求：尺规作图，保留作图痕迹．写出必要的文字说明）

（2）若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？

23．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．

（1）求∠F的度数；

（2）若CD=2，求DF的长．

24．如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．

（1）求证：∠FMC=∠FCM；

（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．

2022学年山东省济宁市曲阜市八年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，1）关于x轴的对称点在（　　）

　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标． 

分析： 根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出点的坐标，再根据各象限内点的坐标特征解答．

解答： 解：点P（﹣1，1）关于x轴的对称点为（﹣1，﹣1），在第三象限．

故选C．

点评： 本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

2．下列平面图形中，不是轴对称图形的是（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 轴对称图形． 

分析： 根据轴对称图形的定义作答．

如果把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

解答： 解：根据轴对称图形的概念，可知只有A沿任意一条直线折叠直线两旁的部分都不能重合．

故选：A．

点评： 轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．

3．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（　　）

　 A． 17 B． 15 C． 13 D． 13或17

考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系． 

专题： 分类讨论．

分析： 由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．

解答： 解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；

②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．

故这个等腰三角形的周长是17．

故选：A．

点评： 本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．

4．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（　　）

　 A． 85° B． 80° C． 75° D． 70°

考点： 三角形内角和定理． 

分析： 先根据∠A=50°，∠ABC=70°得出∠C的度数，再由BD平分∠ABC求出∠ABD的度数，再根据三角形的外角等于和它不相邻的内角的和解答．

解答： 解：∵∠ABC=70°，BD平分∠ABC，

∴∠ABD=70°×=35°，

∴∠BDC=50°+35°=85°，

故选：A．

点评： 本题考查的是三角形的外角和内角的关系，熟知三角形的外角等于和它不相邻的内角的和是解题的关键．

5．如图，已知AB∥CD，OA、OC分别平分∠BAC和∠ACD，OM⊥AC于点M，且OM=3，则AB、CD之间的距离为（　　）

　 A． 2 B． 4 C． 6 D． 8

考点： 角平分线的性质；平行线之间的距离． 

分析： 作OF⊥AB，延长FO与CD交于G点，根据角平分线的性质可得，OM=OF=OG，即可求得AB与CD之间的距离．

解答： 解：作OF⊥AB，延长FO与CD交于G点，

∵AB∥CD，

∴FG垂直CD，

∴FG就是AB与CD之间的距离．

∵∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于M，

∴OM=OF=OG，

∴AB与CD之间的距离等于2OM=6．

故选C．

点评： 本题主要考查角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，作出AB与CD之间的距离是正确解决本题的关键．

6．如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（　　）

　 A． 16cm B． 18cm C． 20cm D． 22cm

考点： 平移的性质． 

专题： 几何图形问题．

分析： 根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=2+AB+BC+2+AC即可得出答案．

解答： 解：根据题意，将周长为16cm的△ABC沿BC向右平移2cm得到△DEF，

∴AD=CF=2cm，BF=BC+CF=BC+2cm，DF=AC；

又∵AB+BC+AC=16cm，

∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=2+AB+BC+2+AC=20cm．

故选：C．

点评： 本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF=AD，DF=AC是解题的关键．

7．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD：S△ACD=（　　）

　 A． 3：4 B． 4：3 C． 16：9 D． 9：16

考点： 三角形的面积． 

分析： 利用角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．

解答： 解：∵AD是△ABC的角平分线，

∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，

∴h1=h2，

∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=8：6=4：3，

故选：B．

点评： 本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键．

8．一个多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是（　　）

　 A． 五边形 B． 六边形 C． 七边形 D． 八边形

考点： 多边形内角与外角． 

分析： 首先计算出多边形的外角的度数，再根据外角和÷外角度数=边数可得答案．

解答： 解：∵多边形的每个内角都是108°，

∴每个外角是180°﹣108°=72°，

∴这个多边形的边数是360°÷72°=5，

∴这个多边形是五边形，

故选：A．

点评： 此题主要考查了多边形的外角与内角，关键是掌握多边形的外角与它相邻的内角互补．

9．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（　　）

　 A． ∠BCA=∠F B． ∠B=∠E C． BC∥EF D． ∠A=∠EDF

考点： 全等三角形的判定． 

分析： 全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可．

解答： 解：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；

B、∵在△ABC和△DEF中

，

∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确；

C、∵BC∥EF，

∴∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；

D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．

故选B．

点评： 本题考查了对平行线的性质和全等三角形的判定的应用，注意：有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形才全等，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．

10．如图，在Rt直角△ABC中，∠B=45°，AB=AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF=EF，其中正确结论是（　　）

　 A． ①②④ B． ②③④ C． ①②③ D． ①②③④

考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 

分析： 根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD=∠B=45°，根据同角的余角相等求出∠ADF=∠BDE，然后利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DE=DF、BE=AF，从而得到△DEF是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出AE=CF，判断出②正确；根据BE+CF=AF+AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE+CF＞EF，判断出④错误．

解答： 解：∵∠B=45°，AB=AC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵点D为BC中点，

∴AD=CD=BD，AD⊥BC，∠CAD=45°，

∴∠CAD=∠B，

∵∠MDN是直角，

∴∠ADF+∠ADE=90°，

∵∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，

∴∠ADF=∠BDE，

在△BDE和△ADF中，，

∴△BDE≌△ADF（ASA），

故③正确；

∴DE=DF、BE=AF，

∴△DEF是等腰直角三角形，

故①正确；

∵AE=AB﹣BE，CF=AC﹣AF，

∴AE=CF，

故②正确；

∵BE+CF=AF+AE

∴BE+CF＞EF，

故④错误；

综上所述，正确的结论有①②③；

故选：C．

点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．

二、填空题

11．如图，在△ABC中，∠C=40°，CA=CB，则△ABC的外角∠ABD=　110　°．

考点： 等腰三角形的性质． 

分析： 先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠A，再根据三角形的外角等于等于与它不相邻的两个内角的和，进行计算即可．

解答： 解：∵CA=CB，

∴∠A=∠ABC，

∵∠C=40°，

∴∠A=70°

∴∠ABD=∠A+∠C=110°．

故答案为：110．

点评： 此题考查了等腰三角形的性质，用到的知识点是等腰三角形的性质、三角形的外角等于等于与它不相邻的两个内角的和．

12．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形为　八　边形．

考点： 多边形内角与外角． 

分析： 根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．

解答： 解：设多边形的边数是n，根据题意得，

（n﹣2）•180°=3×360°，

解得n=8，

∴这个多边形为八边形．

故答案为：八．

点评： 本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写．

13．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD=　18°　．

考点： 等腰三角形的性质． 

专题： 几何图形问题．

分析： 根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数．

解答： 解：∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠ACB=72°．

∵BD⊥AC于点D，

∴∠CBD=90°﹣72°=18°．

故答案为：18°．

点评： 本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．

14．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是　25　海里．

考点： 解直角三角形的应用-方向角问题． 

分析： 根据题中所给信息，求出∠BCA=90°，再求出∠CBA=45°，从而得到△ABC为等腰直角三角形，然后根据解直角三角形的知识解答．

解答： 解：根据题意，得∠1=∠2=30°，

∵∠ACD=60°，

∴∠ACB=30°+60°=90°，

∴∠CBA=75°﹣30°=45°，

∴△ABC为等腰直角三角形，

∵BC=50×0.5=25，

∴AC=BC=25（海里）．

故答案为：25．

点评： 本题考查了等腰直角三角形和方位角，根据方位角求出三角形各角的度数是解题的关键．

15．如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的黑色部分分别表示四个人球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反弹），那么该球最后将落入的球袋是　3　号袋（填球袋的编号）．

考点： 生活中的轴对称现象． 

分析： 根据入射角等于反射角进行画图确定该球最后将落入的球袋．

解答： 解：如图所示，则该球最后将落入的球袋是3号袋．

故答案为：3．

点评： 此题考查了生活中的轴对称现象，注意一个常识，即入射角等于反射角，能够准确画图．

16．如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是　16　．

考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 

专题： 转化思想．

分析： 通过证明△AEB≌△AFD，将求四边形AECF的面积转化为求正方形的面积．

解答： 解：∵∠EAB+∠BAF=∠FAD+∠EAB=90°

∴∠EAB=∠FAD，又因为四边形ABCD为正方形

∴△AEB≌△AFD

即可得四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积．

所以答案是16．

点评： 本题在于证明△AEB≌△AFD从而把所要求的面积转化为正方形的面积，属中档题．

三、解答题（共52分）

17．如图，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D点，若∠B=30°，∠DAE=55°，求∠ACD的度数．

考点： 三角形的外角性质． 

分析： 先根据角平分线的定义得出∠CAE的度数，再由三角形外角的性质得出∠ACB的度数，根据平角的定义即可得出结论．

解答： 解：∵∠DAE=55°，ADF平分∠CAE，

∴∠CAE=110°，

∵∠CAE是△ABC的外角，∠B=30°，

∴∠ACB=110°﹣30°=80°，

∴∠ACD=180°﹣80°=100°．

点评： 本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和．

18．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DC垂直于横梁AC，AB=8m，∠A=30°，立柱BC，DE要多长？

考点： 含30度角的直角三角形． 

专题： 应用题．

分析： 由DE⊥AC，BC⊥AC，AB=8m，∠A=30°，易求BC，DE=AD，由D是斜梁AB的中点，求得AD，进而可求DE．

解答： 解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，AB=8m，∠A=30°，

∴BC=AB=4（m），DE=AD，

∵D是斜梁AB的中点，

∴AD=AB=4（m），

∴DE=AD=2（m）．

答：立柱BC的长4m，DE的长2m．

点评： 此题考查含30°直角三角形的性质：在直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半．

19．如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD=BC，∠DAB=∠CBA，求证：AC=BD．

考点： 全等三角形的判定与性质． 

专题： 证明题．

分析： 根据“SAS”可证明△ADB≌△BAC，由全等三角形的性质即可证明AC=BD．

解答： 证明：在△ADB和△BAC中，

，

∴△ADB≌△BAC（SAS），

∴AC=BD．

点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

20．在棋盘中建立如图的直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图，它们分别是（﹣1，1），（0，0）和（1，0）．

（1）如图2，添加棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴；

（2）在其他格点位置添加一颗棋子P，使A，O，B，P四颗棋子成为一个轴对称图形，请直接写出棋子P的位置的坐标．（写出2个即可）

考点： 利用轴对称设计图案；坐标与图形性质． 

专题： 作图题．

分析： （1）根据A，B，O，C的位置，结合轴对称图形的性质进而画出对称轴即可；

（2）利用轴对称图形的性质得出P点位置．

解答： 解：（1）如图2所示，C点的位置为（﹣1，2），A，O，B，C四颗棋子组成等腰梯形，直线l为该图形的对称轴；

（2）如图1所示：P（0，﹣1），P′（﹣1，﹣1）都符合题意．

点评： 此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．

21．如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．

求证：AF平分∠BAC．

考点： 等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质． 

专题： 证明题．

分析： 先根据AB=AC，可得∠ABC=∠ACB，再由垂直，可得90°的角，在△BCE和△BCD中，利用内角和为180°，可分别求∠BCE和∠DBC，利用等量减等量差相等，可得FB=FC，再易证△ABF≌△ACF，从而证出AF平分∠BAC．

解答： 证明：∵AB=AC（已知），

∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．

∵BD、CE分别是高，

∴BD⊥AC，CE⊥AB（高的定义）．

∴∠CEB=∠BDC=90°．

∴∠ECB=90°﹣∠ABC，∠DBC=90°﹣∠ACB．

∴∠ECB=∠DBC（等量代换）．

∴FB=FC（等角对等边），

在△ABF和△ACF中，

，

∴△ABF≌△ACF（SSS），

∴∠BAF=∠CAF（全等三角形对应角相等），

∴AF平分∠BAC．

点评： 本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；等量减等量差相等的利用是解答本题的关键．

22．如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．

（1）若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？（要求：尺规作图，保留作图痕迹．写出必要的文字说明）

（2）若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？

考点： 轴对称-最短路线问题；作图—应用与设计作图． 

分析： （1）欲求到A、B两地的距离相等，即作出AB的中垂线与EF的交点M即可，交点即为厂址所在位置．

（2）利用轴对称求最短路线的方法得出A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，即可得出答案．

解答： 解：（1）作出AB的中垂线与EF的交点M，交点M即为厂址所在位置；

（2）如图所示：作A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，点N即为所求．

A

点评： 此题主要考查了学生对线段中垂线的作法，应用设计与作图以及轴对称求最短路径，对到两点距离相等问题的掌握和得出A点对称点是解题关键．

23．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．

（1）求∠F的度数；

（2）若CD=2，求DF的长．

考点： 等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形． 

专题： 几何图形问题．

分析： （1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；

（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．

解答： 解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=60°，

∵DE∥AB，

∴∠EDC=∠B=60°，

∵EF⊥DE，

∴∠DEF=90°，

∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；

（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，

∴△EDC是等边三角形．

∴ED=DC=2，

∵∠DEF=90°，∠F=30°，

∴DF=2DE=4．

点评： 本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．

24．如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．

（1）求证：∠FMC=∠FCM；

（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．

考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 

专题： 几何综合题．

分析： （1）根据等腰直角三角形的性质得出DF⊥AE，DF=AF=EF，进而利用全等三角形的判定得出△DFC≌△AFM（AAS），即可得出答案；

（2）由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，即可得出∠FDE=∠FMC=45°，即可理由平行线的判定得出答案．

解答： （1）证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，

∴DF⊥AE，DF=AF=EF，

又∵∠ABC=90°，

∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，

∴∠DCF=∠AMF，

在△DFC和△AFM中，

，

∴△DFC≌△AFM（AAS），

∴CF=MF，

∴∠FMC=∠FCM；

（2）AD⊥MC，

理由：由（1）知，∠MFC=90°，FD=FA=FE，FM=FC，

∴∠FDE=∠FMC=45°，

∴DE∥CM，

∴AD⊥MC．

点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，得出∠DCF=∠AMF是解题关键．