2021四川省仁寿一中南校区高一下学期期中考试数学试题（教师版）含答案

半期考试

一、选择题

1．已知点和向量，若，则点B的坐标为(  D   )

A． B． C． D．

2．在中，若，，，则（ B   ）

A． B． C． D．

3．在等差数列 中,  ，则的值为（ C ）

A．24 B．12 C．48 D．6

4．在各项均为正数的等比数列中，，则 A

A．9         B．10             C．11            D．12

5．在中，角所对的边分别为，若，则A

A． B． C． D．

6.如图，E是平行四边形ABCD的边AD的中点，设等差数列的前n项和为，若，则（ D   ）

A．25         B．       C．          D．55

7．已知等差数列的公差为，前项和为，且、、成等比数列，则．C

A． B． C． D．

8．．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ D  ）

A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定

9．已知数列，．若该数列是递减数列，则实数的取值范围是（  A  ）．

A． B． C． D．

10.已知等差数列{an}中，Sn是它的前n项和．若S16>0，且S17<0，则当Sn最大时n的值为(  B   )

A．7 B．8 C．9 D．10

11.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，且，则tanC＝（ C   ）

A． B． C． D．

12．在锐角中，若，且，则的取值范围是（  B ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知且，则在方向上投影为_4__.

14．已知数列的前n项和公式，则其通项公式__

15．已知中角、、所对的边分别为、、，，，，则_4  ．

16．在中,已知,,,为线段上的点,且,则的最大值为 3 .

二、解答题

17．已知向量，若三点共线.

（1）求实数的值；

（2）若，求的坐标；

解：（1）

∵三点共线,∴存在实数,使得,        …………………………2分

即,得

∵是平面内两个不共线的非零向量,∴

解得,.        …………………………5分

（2）因为,所以,

设,因为,,所以…………………………7分

解得或,   …………………………9分

所以或.   …………………………10分

18．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且的面积为．

1求a及sinC的值；

2求的值．

解：1在,…………………………2分

且,

的面积为,．…………4分

再根据正弦定理可得,即．……………6分

2…………………………8分

,…………………………10分

故．…12分

19．已知数列的前项和为，且.

（1）证明是等比数列，并求的通项公式；

（2）求；

解：（1）设，则由已知得，

所以为常数，…………………………2分

所以数列是以为首项以为公比的等比数列，………………………4分

则，所以. …………………………6分

（2）由（1）知，

     ，…………………………8分

两式相减得，，

所以．…………………………12分

20．在中，角所对的边分别为，且满足

（1）求角;

（2）若外接圆的半径为，且边上的中线长为，求的面积

解：（1）由，得.

利用正弦定理得：，…………………………2分

即，化简得.…………3分

，，………………………4分

.又，.…………………………6分

（2）由正弦定理得.…………………………7分

设为边上的中点，则，

利用向量加法法则得：

两边平方得：，即…………………9分

由余弦定理，即，…………………10分

两式相减得，即.………………………11分

由三角形面积公式得：.…………………………12分

21．如图，某运动员从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时15km的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在A市南偏东方向距A市75km，且与海岸距离为45km的海上B处有一艘划艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.

（1）划艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？

（2）若划艇每小时最快行驶11.25km，划艇全速行驶，应沿何种路线行驶才能尽快追上这名运动员，最快需多长时间？

解：（1）设划艇以的速度从处出发，沿方向，后与运动员在处相遇，

过作的垂线，则，，

在中，，，，

则，．…………………………2分

由余弦定理，得，

得．

整理得：．

当，即时，取得最小值81，即，……………………5分

所以划艇至少以9的速度行驶才能把追上这位运动员．……………………6分

（2）划艇每小时最快行驶11.25km全速行驶，

假设划艇沿着垂直于海岸的方向，即方向行驶，而，

此时到海岸距离最短，需要的时间最少，

所以需要：，…………………………9分

而时运动员向东跑了：，

而，即时，划艇和运动员相遇在点.

所以划艇应垂直于海岸向北的方向行驶才能尽快追上这名运动员，最快需要.………12分

22．已知公差大于0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3•a8＝﹣9，a5+a6＝﹣8．

（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）若Tn＝|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|，求T10；

（3）若，存在非零常数c，使得数列{bn}是等差数列，存在n∈N*，不等式成立，求k的取值范围．

（1）根据题意，因为数列{an}是等差数列，设其公差为d，

则有a3+a8＝a5+a6＝﹣8，又由a3•a8＝﹣9，

则有a3＝1，a8＝﹣9或a3＝﹣9，a8＝1，

因为d＞0，故可得a3＝﹣9，a8＝1，则5d＝a8﹣a3＝10，

解得d＝2，a3＝a1+2d＝﹣9，故a1＝﹣13．故an＝2n﹣15．………………………3分

（2）根据（1）中所求，令an＝2n﹣15＞0，解得n＞7.5，

故数列的前7项均为负数，从第8项开始都为正数．

当n≤7时， ；

当n＞7时，

综上所述：=58………………………6分

（3）由（1）中an＝2n﹣15．则，…………………………7分

故可得，因为存在非零常数，使得其为等差数列，

故可得b1+b3＝2b2，即，整理得c2+14c＝0，

解得c＝﹣14，c＝0舍去．故．………………9分

则存在n∈N*，不等式成立，等价于存在n∈N*，

不等式成立．则只需，………………………10分

设，由对勾函数可知，当有最小值，

当n＝3时，；当n＝4时，，

故的最小值为，则即可；

故k的取值范围为…………………………12分