四川省雅安中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题（含答案与解析）

这是一份四川省雅安中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题（含答案与解析），共10页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，不等式＞0的解集为等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一．单选题（每道题5分，共60分）
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．若＜，则a＜bB．若a＞b，则lga＞lgb
C．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＞bd
2．传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把叫做三角形数；把叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．16 B．25 C．36D．49
3．正项等比数列{an}中，a3＝2，a4•a6＝64，则的值是（ ）
A．4B．8C．16D．64
4．若数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S10＝20，S30＝90，则S20的值为（ ）
A．40B．50C．60D．70
5. 已知某正方体的外接球的表面积是，则这个正方体的棱长是( )
B． C． D．
6．在△ABC中，若a＝bcsC，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形
7．当x＞1时，不等式x+≥a恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，3]
8．已知与均为单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A．B．C．D．4
9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．3πB．4π
C．2π+4D．3π+4
10．不等式＞0的解集为（ ）
A．{x|x＜﹣2，或x＞3}B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}
C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3}D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3}
11.若是等比数列，且前项和为，则＝( )
A．B．C．-1D．1
12.由下面的条件能得出△ABC为锐角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
第II卷（非选择题）
二．填空题（每道题5分，共20分）
13．如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积____________.
14．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是 ．
15．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为 ．
16．设f(x)＝eq \f(4x,4x＋2)，利用倒序相加法，则 .
三．解答题（17题10分，其余各题12分，共70分）
17.(1) 解这个关于x的不等式.
(2) 若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.
18.(本小题满分12分)已知的角所对的边分别为，
设向量.
（1）若，求证为等腰三角形；
（2）若，，,求的面积.
19．已知数列{an}与{bn}满足：，且{an}为正项等比数列，a1＝2，b3＝b2+4．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}满足，Tn为数列{cn}的前n项和，证明：Tn＜1．
20. 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系为：，若距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设f（x）为建造宿舍与修路费用之和．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f（x）最小，并求最小值．
21.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
22.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝eq \f(1,2)，an＋1＝eq \f(n＋1,2n)an.
(1)证明：数列{eq \f(an,n)}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn.
2020-2021学年度雅安中学高一下期期中试题答案详解
选择题
ACCBD 6-10 CDADC 11-12 BC
1.【解答】解：对于选项A：，由于，所以a＜b，故A正确．
对于选项B：假设0＞a＞b，没意义，故B错误．
对于选项C：当0＞a＞b，所以b2＞a2，故C错误．
对于选项D：若a＞b＞0，c＜d＜0，则﹣c＞﹣d＞0，故﹣ac＞﹣bd，则ac＜bd，故D错误．
故选：A．
2. 分析：由题已知三角形数和正方形数的通项公式可得；
3.【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q，∵a3＝2，a4•a6＝64，
∴＝2，＝64，
解得q2＝4，
则＝＝42＝16．
4.【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵S10＝20，S30＝90，∴，解得：，
∴S20＝20a1+＝50．
故选：B．
6.【解答】解：由余弦定理得csC＝，
把csC代入a＝bcsC得：a＝b•＝，
∴2a2＝a2+b2﹣c2，
∴a2+c2＝b2，
即三角形为直角三角形．
故选：C．
7.【解答】解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，
∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．
由于x+＝x﹣1++1≥2+1＝3，
当且仅当x＝2时取等号，
故x+的最小值等于3，
∴a≤3，
则实数a的取值范围是（﹣∞，3]．
故选：D
8.【解答】解：因为与均为单位向量，它们的夹角为60°，
所以＝．
又因为＝，
所以＝．
故选：A．
9.【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，
底面半径为1，高为2，
故该几何体的表面积S＝2×π+（2+π）×2＝3π+4，
故选：D．
10.【解答】解：⇔⇔（x﹣3）（x+2）（x﹣1）＞0
利用数轴穿根法解得﹣2＜x＜1或x＞3，
故选：C．
二．填空题
13. 14. ﹣4＜m＜2 15. 16.5
13.【解答】解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，
所以OB＝，对应原图形平行四边形的高为：2，
所以原图形的面积为：1×2＝2．
14.【解答】解：∵，∴x+2y＝（x+2y）＝4++≥4+2＝8
∵x+2y＞m2+2m恒成立，
∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2
故答案为：﹣4＜m＜2
15.【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC
⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c
⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，
又因为：a＝2，
所以：，
△ABC面积，
而b2+c2﹣a2＝bc
⇒b2+c2﹣bc＝a2
⇒b2+c2﹣bc＝4
⇒bc≤4
所以：，即△ABC面积的最大值为
16.
选择题
17.解：（1）原不等式可化为，
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为R；
当时，不等式的解集为或，
综上可知：时解集为或；时解集为R；时解集为或.
（2）解：令，则，所以，
因为不等式对任意实数x恒成立，
所以，解得，
所以实数a的取值范围，
18.解：（1），…………3分
，…………5分
为等腰三角形. …………6分
（2）由题意可知，即，…………7分
由余弦定理可知…………9分
即…………11分
…………12分
19.【解答】解：（1）数列{an}与{bn}满足：，
且{an}为正项等比数列，a1＝2，b3＝b2+4，
可得a1＝2b1＝2，即b1＝1，b3﹣b2＝a3＝4，即a3＝8，
可得公比q＝2，即an＝2n；
则2bn＝，即bn＝2n﹣1；
（2）证明：cn＝＝＝﹣，
即有Tn＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣，
由＞0，可得Tn＜1．
20.【解答】解：（Ⅰ）根据题意，距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元
∴，∴k＝800
∴
（Ⅱ）∵
当且仅当即x＝5时f（x）min＝75．
答：宿舍应建在离厂5km处可使总费用f（x）最小为75万元．
21.【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由已知得，
故由正弦定理得．
由余弦定理得．
因为，所以．
（2）由（1）知，
由题设及正弦定理得，
即，可得．
由于，所以，故
．
22.（本小题12分，第1小题6分，第2小题6分）
(1)证明 ∵a1＝eq \f(1,2)，an＋1＝eq \f(n＋1,2n)an，
当n∈N*时，eq \f(an,n)≠0.
又eq \f(a1,1)＝eq \f(1,2)，eq \f(an＋1,n＋1)∶eq \f(an,n)＝eq \f(1,2)(n∈N*)为常数，
∴{eq \f(an,n)}是以eq \f(1,2)为首项，eq \f(1,2)为公比的等比数列．
(2)解 由{eq \f(an,n)}是以eq \f(1,2)为首项，eq \f(1,2)为公比的等比数列，
得eq \f(an,n)＝eq \f(1,2)·(eq \f(1,2))n－1，∴an＝n·(eq \f(1,2))n.
∴Sn＝1·eq \f(1,2)＋2·(eq \f(1,2))2＋3·(eq \f(1,2))3＋…＋n·(eq \f(1,2))n，
eq \f(1,2)Sn＝1·(eq \f(1,2))2＋2·(eq \f(1,2))3＋…＋(n－1)(eq \f(1,2))n＋n·(eq \f(1,2))n＋1，
∴eq \f(1,2)Sn＝eq \f(1,2)＋(eq \f(1,2))2＋(eq \f(1,2))3＋…＋(eq \f(1,2))n－n·(eq \f(1,2))n＋1
＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,2)n＋1,1－\f(1,2))－n·(eq \f(1,2))n＋1，
∴Sn＝2－ (eq \f(1,2))n－1－n·(eq \f(1,2))n