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【解析版】东王营中学2022年八年级下期中数学试卷
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这是一份【解析版】东王营中学2022年八年级下期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了精心选一选，细心填一填，认真算一算，耐心想一想等内容，欢迎下载使用。
河南省周口市西华县东王营中学2022学年八年级下学期期中数学试卷
一、精心选一选（每题3分，共24分）
1．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）
A． x＞0 B． x≥0 C． x≠0 D． x≥0且x≠1
2．（3分）下列各式计算正确的是（）
A． B． （a＞0） C． =× D．
3．（3分）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）
A． 1.5，2，2.5 B． 3，4，5 C． 5，12，13 D． 20，30，40
4．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有（）
A． 2条 B． 4条 C． 5条 D． 6条
5．（3分）小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（）
A． 矩形 B． 菱形 C． 正方形 D． 平行四边形
6．（3分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：
（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）S△AOB=S四边形DEOF中正确的有（）
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
7．（3分）如图，在底面半径为2，（π取3）高为8的圆柱体上有只小虫子在A点，它想爬到B点，则爬行的最短路程是（）
A． 10 B． 8 C． 5 D． 4
8．（3分）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）
A． 90° B． 60° C． 45° D． 30°
二、细心填一填（每题3分，共30分）
9．（3分）若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为．
10．（3分）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于．
11．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则+a的化简结果为．
12．（3分）如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是．
13．（3分）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽弦图它是由四全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形 的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，下列说法：
①a2+b2=13；②b2=1；③a2﹣b2=12；④ab=6．
其中正确结论序号是．
14．（3分）如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是．
15．（3分）如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD=8，AB=6，则AE的长为．
16．（3分）在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P是BD上的动点，则PE和PC的长度之和最小是．
17．（3分）如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB=2，BC=2，则图中阴影部分的面积为．
18．（3分）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为．
三、认真算一算（18分）
19．（12分）计算：
（1）÷﹣×+
（2）（﹣3）0﹣+|1﹣|+．
20．（6分）先化简，再求值：，其中a=+1，b=﹣1．
四、耐心想一想（4小题，共35分）
21．（7分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，若点E、F分别在边BC、AD上，连接AE、CF，请再从下列三个备选条件中，选择添加一个恰当的条件．使四边形AECF是平行四边形，并予以证明，
备选条件：AE=CF，BE=DF，∠AEB=∠CFD，
我选择添加的条件是：．
（注意：请根据所选择的条件在答题卡相应试题的图中，画出符合要求的示意图，并加以证明）
22．（9分）如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m，AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积．
23．（10分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
24．（10分）如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
25．（12分）已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
河南省周口市西华县东王营中学2022学年八年级下学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选（每题3分，共24分）
1．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）
A． x＞0 B． x≥0 C． x≠0 D． x≥0且x≠1
考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
专题： 计算题．
分析： 根据题意得到x≥0且x﹣1≠0，然后求不等式组的解集即可．
解答： 解：∵在实数范围内有意义，
∴x≥0且x﹣1≠0，
∴x≥0且x≠1．
故选D．
点评： 本题考查了二次根式有意义的条件：有意义的条件为a≥0．也考查了分式有意义的条件即分母不为零．
2．（3分）下列各式计算正确的是（）
A． B． （a＞0） C． =× D．
考点： 二次根式的加减法；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法．
分析： 根据二次根式的化简，二次根式的乘除及加减运算，分别进行各选项的判断即可．
解答： 解：A、﹣2=﹣，运算正确，故本选项正确；
B、=2a，原式计算错误，故本选项错误；
C、=×=6，原式计算错误，故本选项错误；
D、÷=，原式计算错误，故本选项错误；
故选A．
点评： 本题考查了二次根式的混合运算及二次根式的化简，属于基础题．
3．（3分）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）
A． 1.5，2，2.5 B． 3，4，5 C． 5，12，13 D． 20，30，40
考点： 勾股定理的逆定理．
分析： 根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．
解答： 解：A、1.52+22=2.52，符合勾股定理的逆定理，故错误；
B、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故错误；
C、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，故错误；
D、202+302≠402，不符合勾股定理的逆定理，故正确．
故选D．
点评： 本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有（）
A． 2条 B． 4条 C． 5条 D． 6条
考点： 矩形的性质；等边三角形的判定与性质．
分析： 因为矩形的对角线相等且互相平分，所以AO=BO=CO=DO，已知∠AOB=60°，所以AB=AO，从而CD=AB=AO．从而可求出线段为8的线段．
解答： 解：∵在矩形ABCD中，AC=16，
∴AO=BO=CO=DO=×16=8．
∵AO=BO，∠AOB=60°，
∴AB=AO=8，
∴CD=AB=8，
∴共有6条线段为8．
故选D．
点评： 本题考查矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，以及等边三角形的判定与性质．
5．（3分）小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（）
A． 矩形 B． 菱形 C． 正方形 D． 平行四边形
考点： 作图—基本作图；菱形的判定．
分析： 根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形
解答： 解：∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC一定是菱形，
故选：B．
点评： 此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及菱形的判定，得出四边形四边关系是解决问题的关键．
6．（3分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：
（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）S△AOB=S四边形DEOF中正确的有（）
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据正方形的性质得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，则由CE=DF易得AF=DE，根据“SAS”可判断△ABF≌△DAE，所以AE=BF；根据全等的性质得∠ABF=∠EAD，
利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，则AE⊥BF；连结BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根据垂直平分线的性质得到OA≠OE；最后根据△ABF≌△DAE得S△ABF=S△DAE，则S△ABF﹣S△AOF=S△DAE﹣S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF．
解答： 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，
而CE=DF，
∴AF=DE，
在△ABF和△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE，
∴AE=BF，所以（1）正确；
∴∠ABF=∠EAD，
而∠EAD+∠EAB=90°，
∴∠ABF+∠EAB=90°，
∴∠AOB=90°，
∴AE⊥BF，所以（2）正确；
连结BE，
∵BE＞BC，
∴BA≠BE，
而BO⊥AE，
∴OA≠OE，所以（3）错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF=S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF=S△DAE﹣S△AOF，
∴S△AOB=S四边形DEOF，所以（4）正确．
故选：B．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了正方形的性质．
7．（3分）如图，在底面半径为2，（π取3）高为8的圆柱体上有只小虫子在A点，它想爬到B点，则爬行的最短路程是（）
A． 10 B． 8 C． 5 D． 4
考点： 平面展开-最短路径问题．
分析： A、B之间的最短路程为两直角边分别为圆柱的高，底面周长的一半的直角三角形的斜边长．
解答： 解：底面周长的一半为：2π≈6，
∴高等于8，
∴最短路程为：=10，
故选：A．
点评： 此题主要考查了最短路径问题；立体几何中的最短路径问题，通常整理为平面几何中两点之间距离问题．
8．（3分）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）
A． 90° B． 60° C． 45° D． 30°
考点： 勾股定理．
分析： 根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．
解答： 解：根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=．
∵（）2+（）2=（）2．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故选C．
点评： 本题考查了勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．
二、细心填一填（每题3分，共30分）
9．（3分）若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为5．
考点： 勾股定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．
专题： 压轴题．
分析： 根据非负数的性质求得a、b的值，然后利用勾股定理即可求得该直角三角形的斜边长．
解答： 解：∵，
∴a2﹣6a+9=0，b﹣4=0，
解得a=3，b=4，
∵直角三角形的两直角边长为a、b，
∴该直角三角形的斜边长===5．
故答案是：5．
点评： 本题考查了勾股定理，非负数的性质﹣绝对值、算术平方根．任意一个数的绝对值（二次根式）都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
10．（3分）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于3．
考点： 菱形的性质；直角三角形斜边上的中线．
专题： 计算题．
分析： 根据已知可求得菱形的边长，再根据对角线互相垂直平分，H为AD的中点，从而求得OH的长．
解答： 解：∵菱形ABCD的周长等于24，
∴AD==6，
在Rt△AOD中，OH为斜边上的中线，
∴OH=AD=3．
故答案为：3．
点评： 此题主要考查直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，还综合利用了菱形的性质．
11．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则+a的化简结果为﹣b．
考点： 二次根式的性质与化简；实数与数轴．
分析： 根据数轴得出b＜0＜a，|b|＜a，根据二次根式的性质求出即可．
解答： 解：∵从数轴可知：b＜0＜a，|b|＜a，
∴+a=﹣（a+b）+a=﹣b，
故答案为：﹣b．
点评： 本题考查了数轴，有理数的大小比较，二次根式的性质的应用，主要考查学生的化简能力．
12．（3分）如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是﹣．
考点： 勾股定理；实数与数轴．
专题： 压轴题．
分析： 在直角三角形中根据勾股定理求得OB的值，即OA的值，进而求出数轴上点A表示的数
解答： 解：∵OB==，
∴OA=OB=，
∵点A在数轴上原点的左边，
∴点A表示的数是﹣，
故答案为：﹣．
点评： 本题考查了实数与数轴、勾股定理的综合运用．
13．（3分）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽弦图它是由四全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形 的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，下列说法：
①a2+b2=13；②b2=1；③a2﹣b2=12；④ab=6．
其中正确结论序号是①④．
考点： 勾股定理的证明．
分析： 根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和，从而判断．
解答： 解：直角三角形的斜边长是c，则c2=a2+b2，
大正方形的面积是13，即c2=a2+b2=13，①正确；
∵小正方形的面积是1，
∴a﹣b=1，
则（a﹣b）2=1，即a2+b2﹣2ab=1，
∴ab=6，
故④正确；
根据图形可以得到a2+b2=13，a﹣b=1，
而b=1不一定成立，故②错误，进而得到③错误．
故答案是：①④
点评： 考查了勾股定理的证明，注意完全平方公式的展开：（a+b）2=a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．
14．（3分）如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是1．
考点： 平行四边形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
分析： 根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四边形ABDE，推出DE=DC=AB，根据直角三角形性质求出CE长，即可求出AB的长．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=CD，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE=CD，
即D为CE中点，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°，
∵AB∥CD，
∴∠DCF=∠ABC=60°，
∴∠CEF=30°，
∵EF=，
∴CE==2，
∴AB=1，
故答案为：1．
点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强，是一道比较好的题目．
15．（3分）如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD=8，AB=6，则AE的长为．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 先根据折叠的性质得∠C′BD=∠CBD，再利用矩形的性质得AD∥BC，则∠EDB=∠CBD，所以∠EDB=∠C′BD，根据等腰三角形的判定定理得EB=ED，
设AE=x，则ED=AD﹣AE=8﹣x，BE=8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理得62+x2=（8﹣x）2，然后解方程即可．
解答： 解：∵矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，
∴∠C′BD=∠CBD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EDB=∠C′BD，
∴EB=ED，
设AE=x，则ED=AD﹣AE=8﹣x，BE=8﹣x，
在Rt△ABE中，
∵AB2+AE2=BE2，
∴62+x2=（8﹣x）2，解得x=，
即AE的长为．
故答案为．
点评： 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．
16．（3分）在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P是BD上的动点，则PE和PC的长度之和最小是．
考点： 轴对称-最短路线问题；正方形的性质．
分析： 连接AC、AE，由正方形的性质可知A、C关于直线BD对称，故AE的长即为PE+PC的最小值，再根据勾股定理求出AE的长即可．
解答： 解：如图所示：连接AC、AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于直线BD对称，
∴AE的长即为PE+PC的最小值，
∵BE=2，CE=1，
∴BC=AB=2+1=3，
在Rt△ABE中，
∵AE===，
∴PE与PC的和的最小值为．
故答案为：．
点评： 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及正方形的性质，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．
17．（3分）如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB=2，BC=2，则图中阴影部分的面积为2．
考点： 矩形的性质．
分析： 根据矩形的中心对称性判定阴影部分的面积等于空白部分的面积，从而得到阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
解答： 解：∵点E、F分别是AB、CD的中点，M、N分别为DE、BF的中点，
∴矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合，
∴阴影部分的面积等于空白部分的面积，
∴阴影部分的面积=×矩形的面积，
∵AB=2，BC=2，
∴阴影部分的面积=×2×2=2．
故答案为：2．
点评： 本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的中心对称性，判断出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半是解题的关键．
18．（3分）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为（）n﹣1．
考点： 矩形的性质；菱形的性质．
专题： 压轴题；规律型．
分析： 易得第二个矩形的面积为，第三个矩形的面积为（）2，依此类推，第n个矩形的面积为（）n﹣1．
解答： 解：已知第一个矩形的面积为1；
第二个矩形的面积为原来的（）2﹣1=；
第三个矩形的面积是（）3﹣1=；
…
故第n个矩形的面积为：（）n﹣1．
点评： 本题是一道找规律的题目，这类题型在2015届中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
三、认真算一算（18分）
19．（12分）计算：
（1）÷﹣×+
（2）（﹣3）0﹣+|1﹣|+．
考点： 二次根式的混合运算．
专题： 计算题．
分析： （1）根据二次根式的乘除法则运算；
（2）根据零指数幂和分母有理化得到原式=1﹣3+﹣1+﹣，然后合并即可．
解答： 解：（1）原式=﹣+2
=4﹣+2
=4+；
（2）原式=1﹣3+﹣1+﹣
=﹣2．
点评： 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
20．（6分）先化简，再求值：，其中a=+1，b=﹣1．
考点： 分式的化简求值；分母有理化．
专题： 计算题．
分析： 本题考查了化简与代值计算，关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．
解答： 解：原式=÷
=﹣
=﹣；
当a=+1，b=﹣1时，
原式=﹣=﹣．
点评： 解题的关键是把分式化到最简，代值计算要仔细．
四、耐心想一想（4小题，共35分）
21．（7分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，若点E、F分别在边BC、AD上，连接AE、CF，请再从下列三个备选条件中，选择添加一个恰当的条件．使四边形AECF是平行四边形，并予以证明，
备选条件：AE=CF，BE=DF，∠AEB=∠CFD，
我选择添加的条件是：BE=DF．
（注意：请根据所选择的条件在答题卡相应试题的图中，画出符合要求的示意图，并加以证明）
考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，求出AF∥CE，AF=CE，根据平行四边形的判定推出即可．
解答： 解：添加的条件是BE=DF．证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴AF=CE，
即AF=CE，AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
故答案为：BE=DF．
点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，通过做此题培养了学生的推理能力，同时也培养了学生的分析问题和解决问题的能力．
22．（9分）如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m，AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积．
考点： 勾股定理的逆定理．
分析： 根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，从而不难求得这块地的面积．
解答： 解：连接AC．
∵AD=4m，CD=3m，AD⊥DC
∴AC=5m
∵122+52=132
∴△ACB为直角三角形
∴S△ACB=×AC×BC=×5×12=30m2，
S△ACD=AD•CD=×4×3=6m2，
∴这块地的面积=S△ACB﹣S△ACD=30﹣6=24m2．
点评： 此题主要考查学生对勾股定理及其逆定理的理解及运用能力．
23．（10分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
考点： 矩形的判定；正方形的判定．
专题： 压轴题．
分析： （1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案；
（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．
解答： （1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
点评： 此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形和矩形的判定是解题关键．
24．（10分）如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
考点： 菱形的判定；平行四边形的判定与性质；旋转的性质．
专题： 综合题．
分析： （1）当旋转角为90°时，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF为平行四边形；
（2）证明△AOF≌△COE即可；
（3）EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，可根据勾股定理求得AC=2，∴OA=1=AB，又AB⊥AC，∴∠AOB=45°．
解答： （1）证明：当∠AOF=90°时，
∵∠BAO=∠AOF=90°，
∴AB∥EF，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形．
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
在△AOF和△COE中
．
∴△AOF≌△COE（ASA）．
∴AF=EC．
（3）解：四边形BEDF可以是菱形．
理由：如图，连接BF，DE
由（2）知△AOF≌△COE，得OE=OF，
∴EF与BD互相平分．
∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．
在Rt△ABC中，AC===2，
∴OA=1=AB，
又∵AB⊥AC，
∴∠AOB=45°，
∴∠AOF=45°，
∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．
点评： 此题结合旋转的性质，主要考查平行四边形和菱形的判定，有一定难度．
25．（12分）已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
考点： 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质．
专题： 几何综合题；压轴题；动点型；分类讨论．
分析： （1）先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长；
（2）①分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；
②分三种情况讨论可知a与b满足的数量关系式．
解答： 解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形，
②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8﹣x）cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，
由勾股定理得42+（8﹣x）2=x2，
解得x=5，
∴AF=5cm．
（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=CD+AD﹣4t=12﹣4t，即QA=12﹣4t，
∴5t=12﹣4t，
解得，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．
②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．
分三种情况：
i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12﹣b，得a+b=12；
ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12﹣b=a，得a+b=12；
iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12﹣a=b，得a+b=12．
综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．
点评： 本题综合性较强，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，注意分类思想的应用．
河南省周口市西华县东王营中学2022学年八年级下学期期中数学试卷
一、精心选一选（每题3分，共24分）
1．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）
A． x＞0 B． x≥0 C． x≠0 D． x≥0且x≠1
2．（3分）下列各式计算正确的是（）
A． B． （a＞0） C． =× D．
3．（3分）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）
A． 1.5，2，2.5 B． 3，4，5 C． 5，12，13 D． 20，30，40
4．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有（）
A． 2条 B． 4条 C． 5条 D． 6条
5．（3分）小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（）
A． 矩形 B． 菱形 C． 正方形 D． 平行四边形
6．（3分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：
（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）S△AOB=S四边形DEOF中正确的有（）
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
7．（3分）如图，在底面半径为2，（π取3）高为8的圆柱体上有只小虫子在A点，它想爬到B点，则爬行的最短路程是（）
A． 10 B． 8 C． 5 D． 4
8．（3分）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）
A． 90° B． 60° C． 45° D． 30°
二、细心填一填（每题3分，共30分）
9．（3分）若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为．
10．（3分）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于．
11．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则+a的化简结果为．
12．（3分）如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是．
13．（3分）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽弦图它是由四全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形 的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，下列说法：
①a2+b2=13；②b2=1；③a2﹣b2=12；④ab=6．
其中正确结论序号是．
14．（3分）如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是．
15．（3分）如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD=8，AB=6，则AE的长为．
16．（3分）在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P是BD上的动点，则PE和PC的长度之和最小是．
17．（3分）如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB=2，BC=2，则图中阴影部分的面积为．
18．（3分）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为．
三、认真算一算（18分）
19．（12分）计算：
（1）÷﹣×+
（2）（﹣3）0﹣+|1﹣|+．
20．（6分）先化简，再求值：，其中a=+1，b=﹣1．
四、耐心想一想（4小题，共35分）
21．（7分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，若点E、F分别在边BC、AD上，连接AE、CF，请再从下列三个备选条件中，选择添加一个恰当的条件．使四边形AECF是平行四边形，并予以证明，
备选条件：AE=CF，BE=DF，∠AEB=∠CFD，
我选择添加的条件是：．
（注意：请根据所选择的条件在答题卡相应试题的图中，画出符合要求的示意图，并加以证明）
22．（9分）如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m，AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积．
23．（10分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
24．（10分）如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
25．（12分）已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
河南省周口市西华县东王营中学2022学年八年级下学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选（每题3分，共24分）
1．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）
A． x＞0 B． x≥0 C． x≠0 D． x≥0且x≠1
考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
专题： 计算题．
分析： 根据题意得到x≥0且x﹣1≠0，然后求不等式组的解集即可．
解答： 解：∵在实数范围内有意义，
∴x≥0且x﹣1≠0，
∴x≥0且x≠1．
故选D．
点评： 本题考查了二次根式有意义的条件：有意义的条件为a≥0．也考查了分式有意义的条件即分母不为零．
2．（3分）下列各式计算正确的是（）
A． B． （a＞0） C． =× D．
考点： 二次根式的加减法；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法．
分析： 根据二次根式的化简，二次根式的乘除及加减运算，分别进行各选项的判断即可．
解答： 解：A、﹣2=﹣，运算正确，故本选项正确；
B、=2a，原式计算错误，故本选项错误；
C、=×=6，原式计算错误，故本选项错误；
D、÷=，原式计算错误，故本选项错误；
故选A．
点评： 本题考查了二次根式的混合运算及二次根式的化简，属于基础题．
3．（3分）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）
A． 1.5，2，2.5 B． 3，4，5 C． 5，12，13 D． 20，30，40
考点： 勾股定理的逆定理．
分析： 根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．
解答： 解：A、1.52+22=2.52，符合勾股定理的逆定理，故错误；
B、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故错误；
C、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，故错误；
D、202+302≠402，不符合勾股定理的逆定理，故正确．
故选D．
点评： 本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有（）
A． 2条 B． 4条 C． 5条 D． 6条
考点： 矩形的性质；等边三角形的判定与性质．
分析： 因为矩形的对角线相等且互相平分，所以AO=BO=CO=DO，已知∠AOB=60°，所以AB=AO，从而CD=AB=AO．从而可求出线段为8的线段．
解答： 解：∵在矩形ABCD中，AC=16，
∴AO=BO=CO=DO=×16=8．
∵AO=BO，∠AOB=60°，
∴AB=AO=8，
∴CD=AB=8，
∴共有6条线段为8．
故选D．
点评： 本题考查矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，以及等边三角形的判定与性质．
5．（3分）小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（）
A． 矩形 B． 菱形 C． 正方形 D． 平行四边形
考点： 作图—基本作图；菱形的判定．
分析： 根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形
解答： 解：∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC一定是菱形，
故选：B．
点评： 此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及菱形的判定，得出四边形四边关系是解决问题的关键．
6．（3分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：
（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）S△AOB=S四边形DEOF中正确的有（）
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据正方形的性质得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，则由CE=DF易得AF=DE，根据“SAS”可判断△ABF≌△DAE，所以AE=BF；根据全等的性质得∠ABF=∠EAD，
利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，则AE⊥BF；连结BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根据垂直平分线的性质得到OA≠OE；最后根据△ABF≌△DAE得S△ABF=S△DAE，则S△ABF﹣S△AOF=S△DAE﹣S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF．
解答： 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，
而CE=DF，
∴AF=DE，
在△ABF和△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE，
∴AE=BF，所以（1）正确；
∴∠ABF=∠EAD，
而∠EAD+∠EAB=90°，
∴∠ABF+∠EAB=90°，
∴∠AOB=90°，
∴AE⊥BF，所以（2）正确；
连结BE，
∵BE＞BC，
∴BA≠BE，
而BO⊥AE，
∴OA≠OE，所以（3）错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF=S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF=S△DAE﹣S△AOF，
∴S△AOB=S四边形DEOF，所以（4）正确．
故选：B．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了正方形的性质．
7．（3分）如图，在底面半径为2，（π取3）高为8的圆柱体上有只小虫子在A点，它想爬到B点，则爬行的最短路程是（）
A． 10 B． 8 C． 5 D． 4
考点： 平面展开-最短路径问题．
分析： A、B之间的最短路程为两直角边分别为圆柱的高，底面周长的一半的直角三角形的斜边长．
解答： 解：底面周长的一半为：2π≈6，
∴高等于8，
∴最短路程为：=10，
故选：A．
点评： 此题主要考查了最短路径问题；立体几何中的最短路径问题，通常整理为平面几何中两点之间距离问题．
8．（3分）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）
A． 90° B． 60° C． 45° D． 30°
考点： 勾股定理．
分析： 根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．
解答： 解：根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=．
∵（）2+（）2=（）2．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故选C．
点评： 本题考查了勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．
二、细心填一填（每题3分，共30分）
9．（3分）若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为5．
考点： 勾股定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．
专题： 压轴题．
分析： 根据非负数的性质求得a、b的值，然后利用勾股定理即可求得该直角三角形的斜边长．
解答： 解：∵，
∴a2﹣6a+9=0，b﹣4=0，
解得a=3，b=4，
∵直角三角形的两直角边长为a、b，
∴该直角三角形的斜边长===5．
故答案是：5．
点评： 本题考查了勾股定理，非负数的性质﹣绝对值、算术平方根．任意一个数的绝对值（二次根式）都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
10．（3分）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于3．
考点： 菱形的性质；直角三角形斜边上的中线．
专题： 计算题．
分析： 根据已知可求得菱形的边长，再根据对角线互相垂直平分，H为AD的中点，从而求得OH的长．
解答： 解：∵菱形ABCD的周长等于24，
∴AD==6，
在Rt△AOD中，OH为斜边上的中线，
∴OH=AD=3．
故答案为：3．
点评： 此题主要考查直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，还综合利用了菱形的性质．
11．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则+a的化简结果为﹣b．
考点： 二次根式的性质与化简；实数与数轴．
分析： 根据数轴得出b＜0＜a，|b|＜a，根据二次根式的性质求出即可．
解答： 解：∵从数轴可知：b＜0＜a，|b|＜a，
∴+a=﹣（a+b）+a=﹣b，
故答案为：﹣b．
点评： 本题考查了数轴，有理数的大小比较，二次根式的性质的应用，主要考查学生的化简能力．
12．（3分）如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是﹣．
考点： 勾股定理；实数与数轴．
专题： 压轴题．
分析： 在直角三角形中根据勾股定理求得OB的值，即OA的值，进而求出数轴上点A表示的数
解答： 解：∵OB==，
∴OA=OB=，
∵点A在数轴上原点的左边，
∴点A表示的数是﹣，
故答案为：﹣．
点评： 本题考查了实数与数轴、勾股定理的综合运用．
13．（3分）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽弦图它是由四全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形 的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，下列说法：
①a2+b2=13；②b2=1；③a2﹣b2=12；④ab=6．
其中正确结论序号是①④．
考点： 勾股定理的证明．
分析： 根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和，从而判断．
解答： 解：直角三角形的斜边长是c，则c2=a2+b2，
大正方形的面积是13，即c2=a2+b2=13，①正确；
∵小正方形的面积是1，
∴a﹣b=1，
则（a﹣b）2=1，即a2+b2﹣2ab=1，
∴ab=6，
故④正确；
根据图形可以得到a2+b2=13，a﹣b=1，
而b=1不一定成立，故②错误，进而得到③错误．
故答案是：①④
点评： 考查了勾股定理的证明，注意完全平方公式的展开：（a+b）2=a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．
14．（3分）如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是1．
考点： 平行四边形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
分析： 根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四边形ABDE，推出DE=DC=AB，根据直角三角形性质求出CE长，即可求出AB的长．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=CD，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE=CD，
即D为CE中点，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°，
∵AB∥CD，
∴∠DCF=∠ABC=60°，
∴∠CEF=30°，
∵EF=，
∴CE==2，
∴AB=1，
故答案为：1．
点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强，是一道比较好的题目．
15．（3分）如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD=8，AB=6，则AE的长为．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 先根据折叠的性质得∠C′BD=∠CBD，再利用矩形的性质得AD∥BC，则∠EDB=∠CBD，所以∠EDB=∠C′BD，根据等腰三角形的判定定理得EB=ED，
设AE=x，则ED=AD﹣AE=8﹣x，BE=8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理得62+x2=（8﹣x）2，然后解方程即可．
解答： 解：∵矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，
∴∠C′BD=∠CBD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EDB=∠C′BD，
∴EB=ED，
设AE=x，则ED=AD﹣AE=8﹣x，BE=8﹣x，
在Rt△ABE中，
∵AB2+AE2=BE2，
∴62+x2=（8﹣x）2，解得x=，
即AE的长为．
故答案为．
点评： 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．
16．（3分）在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P是BD上的动点，则PE和PC的长度之和最小是．
考点： 轴对称-最短路线问题；正方形的性质．
分析： 连接AC、AE，由正方形的性质可知A、C关于直线BD对称，故AE的长即为PE+PC的最小值，再根据勾股定理求出AE的长即可．
解答： 解：如图所示：连接AC、AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于直线BD对称，
∴AE的长即为PE+PC的最小值，
∵BE=2，CE=1，
∴BC=AB=2+1=3，
在Rt△ABE中，
∵AE===，
∴PE与PC的和的最小值为．
故答案为：．
点评： 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及正方形的性质，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．
17．（3分）如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB=2，BC=2，则图中阴影部分的面积为2．
考点： 矩形的性质．
分析： 根据矩形的中心对称性判定阴影部分的面积等于空白部分的面积，从而得到阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
解答： 解：∵点E、F分别是AB、CD的中点，M、N分别为DE、BF的中点，
∴矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合，
∴阴影部分的面积等于空白部分的面积，
∴阴影部分的面积=×矩形的面积，
∵AB=2，BC=2，
∴阴影部分的面积=×2×2=2．
故答案为：2．
点评： 本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的中心对称性，判断出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半是解题的关键．
18．（3分）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为（）n﹣1．
考点： 矩形的性质；菱形的性质．
专题： 压轴题；规律型．
分析： 易得第二个矩形的面积为，第三个矩形的面积为（）2，依此类推，第n个矩形的面积为（）n﹣1．
解答： 解：已知第一个矩形的面积为1；
第二个矩形的面积为原来的（）2﹣1=；
第三个矩形的面积是（）3﹣1=；
…
故第n个矩形的面积为：（）n﹣1．
点评： 本题是一道找规律的题目，这类题型在2015届中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
三、认真算一算（18分）
19．（12分）计算：
（1）÷﹣×+
（2）（﹣3）0﹣+|1﹣|+．
考点： 二次根式的混合运算．
专题： 计算题．
分析： （1）根据二次根式的乘除法则运算；
（2）根据零指数幂和分母有理化得到原式=1﹣3+﹣1+﹣，然后合并即可．
解答： 解：（1）原式=﹣+2
=4﹣+2
=4+；
（2）原式=1﹣3+﹣1+﹣
=﹣2．
点评： 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
20．（6分）先化简，再求值：，其中a=+1，b=﹣1．
考点： 分式的化简求值；分母有理化．
专题： 计算题．
分析： 本题考查了化简与代值计算，关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．
解答： 解：原式=÷
=﹣
=﹣；
当a=+1，b=﹣1时，
原式=﹣=﹣．
点评： 解题的关键是把分式化到最简，代值计算要仔细．
四、耐心想一想（4小题，共35分）
21．（7分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，若点E、F分别在边BC、AD上，连接AE、CF，请再从下列三个备选条件中，选择添加一个恰当的条件．使四边形AECF是平行四边形，并予以证明，
备选条件：AE=CF，BE=DF，∠AEB=∠CFD，
我选择添加的条件是：BE=DF．
（注意：请根据所选择的条件在答题卡相应试题的图中，画出符合要求的示意图，并加以证明）
考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，求出AF∥CE，AF=CE，根据平行四边形的判定推出即可．
解答： 解：添加的条件是BE=DF．证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴AF=CE，
即AF=CE，AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
故答案为：BE=DF．
点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，通过做此题培养了学生的推理能力，同时也培养了学生的分析问题和解决问题的能力．
22．（9分）如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m，AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积．
考点： 勾股定理的逆定理．
分析： 根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，从而不难求得这块地的面积．
解答： 解：连接AC．
∵AD=4m，CD=3m，AD⊥DC
∴AC=5m
∵122+52=132
∴△ACB为直角三角形
∴S△ACB=×AC×BC=×5×12=30m2，
S△ACD=AD•CD=×4×3=6m2，
∴这块地的面积=S△ACB﹣S△ACD=30﹣6=24m2．
点评： 此题主要考查学生对勾股定理及其逆定理的理解及运用能力．
23．（10分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
考点： 矩形的判定；正方形的判定．
专题： 压轴题．
分析： （1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案；
（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．
解答： （1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
点评： 此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形和矩形的判定是解题关键．
24．（10分）如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
考点： 菱形的判定；平行四边形的判定与性质；旋转的性质．
专题： 综合题．
分析： （1）当旋转角为90°时，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF为平行四边形；
（2）证明△AOF≌△COE即可；
（3）EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，可根据勾股定理求得AC=2，∴OA=1=AB，又AB⊥AC，∴∠AOB=45°．
解答： （1）证明：当∠AOF=90°时，
∵∠BAO=∠AOF=90°，
∴AB∥EF，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形．
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
在△AOF和△COE中
．
∴△AOF≌△COE（ASA）．
∴AF=EC．
（3）解：四边形BEDF可以是菱形．
理由：如图，连接BF，DE
由（2）知△AOF≌△COE，得OE=OF，
∴EF与BD互相平分．
∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．
在Rt△ABC中，AC===2，
∴OA=1=AB，
又∵AB⊥AC，
∴∠AOB=45°，
∴∠AOF=45°，
∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．
点评： 此题结合旋转的性质，主要考查平行四边形和菱形的判定，有一定难度．
25．（12分）已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
考点： 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质．
专题： 几何综合题；压轴题；动点型；分类讨论．
分析： （1）先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长；
（2）①分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；
②分三种情况讨论可知a与b满足的数量关系式．
解答： 解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形，
②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8﹣x）cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，
由勾股定理得42+（8﹣x）2=x2，
解得x=5，
∴AF=5cm．
（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=CD+AD﹣4t=12﹣4t，即QA=12﹣4t，
∴5t=12﹣4t，
解得，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．
②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．
分三种情况：
i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12﹣b，得a+b=12；
ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12﹣b=a，得a+b=12；
iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12﹣a=b，得a+b=12．
综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．
点评： 本题综合性较强，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，注意分类思想的应用．
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