【解析版】鄂州市吴都中学2022年八年级下期中数学试卷

这是一份【解析版】鄂州市吴都中学2022年八年级下期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了仔细选一选，认真填一填，全面答一答等内容，欢迎下载使用。

湖北省鄂州市吴都中学2022学年八年级下学期期中数学试卷

一、仔细选一选（每小题3分，共30分）
1．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A． x＞ B． x＜ C． x≥ D． x≤

2．（3分）下列各式中计算正确的是（）
A． =（﹣2）（﹣4）=8 B．
C． D． （+2）2=7+4

3．（3分）若一直角三角形的两边为5和12，则它第三边的长为（）
A． 13 B． C． 13或 D． 13或

4．（3分）下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（）
A． 7π，24π，25π B． ，1， C． 0.1，0.2，0.3 D． ，1，

5．（3分）▱ABCD中，相邻两角∠A、∠B有∠B﹣∠A=70°，则∠C的度数为（）
A． 55° B． 70° C． 155° D． 125°

6．（3分）等腰三角形底边的长为8cm，周长为18cm，则该三角形底边上的高为（）
A． 6cm B． 5cm C． 4cm D． 3cm

7．（3分）如图，四边形ABCD中，AD=BC，E、F、G分别是AB、DC、AC的中点．若∠ACB=
64°，∠DAC=22°，则∠EFG的度数为（）

A． 42° B． 38° C． 32° D． 21°

8．（3分）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）

A． 4dm B． 2dm C． 2dm D． 4dm

9．（3分）平行四边形ABCD中，AB=1，BC=，AC=2，则连接四边形ABCD四边中点所成的四边形是（）
A． 平行四边形 B． 菱形 C． 矩形 D． 正方形

10．（3分）在矩形ABCD中，AD=3AB，点G、H分别在AD、BC上，连BG、DH，且BG∥DH，当=（）时，四边形BHDG为菱形．

A． B． C． D．


二、认真填一填（每小题3分，共24分）
11．（3分）已知=2015﹣m，则m的取值范围是．

12．（3分）若最简二次根式与﹣2能合并为一个二次根式，则x=．

13．（3分）如图，一个三角形三边长为6，8，10，现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE的长是．


14．（3分）“对顶角相等”的逆命题是，它是命题（选填“真”或“假”）

15．（3分）如图所示，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=18，PB=24，PC=30．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与P′之间的距离为，∠APB=．


16．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且DC≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为6cm，则平行四边形ABCD的周长为．


17．（3分）如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫，从点A开始AGFEADCBAG…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行1945cm时停下，则它停的位置是点．


18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，则PE+PC的最小值为．



三、全面答一答（本题共有7个小题．共66分）
19．（10分）计算：
（1）﹣（﹣2+）；
（2）（﹣3）﹣2+﹣|1﹣2|﹣（﹣3）0．

20．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷（a﹣），其中a=+．

21．（9分）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学2015届九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）


22．（9分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1=∠2．求证：AF∥CE且AF=CE．


23．（9分）如图，菱形ABCD的较短对角线BD为5，∠ADB=60°，E、F分别在AD，
CD上，且∠EBF=60°．
（1）求AE+CF的值；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．


24．（9分）如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．
（3）在第（2）问的结论下，若AE=3，EC=4，AB=12，BC=13，请直接写出凹四边形ABCE的面积为．


25．（12分）如图，正方形ABCD的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形OCBA绕点C逆时针旋转角度一个锐角度数α，得到正方形DCFE，ED交线段AB与点G，ED的延长线交线段OA于点H，连CH、CG．
（1）求证：△CBG≌△CDG；
（2）认真探究，直接写出∠HCG=，HG、OH、BG之间的数量关系为．
（3）连接BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中四边形AEBD能否为矩形？如果能，请求出点H的坐标；如果不能，请说明理由．




湖北省鄂州市吴都中学2022学年八年级下学期期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、仔细选一选（每小题3分，共30分）
1．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A． x＞ B． x＜ C． x≥ D． x≤

考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 根据二次根式有意义的条件可得5x﹣3≥0，再解即可．
解答： 解：由题意得：5x﹣3≥0，
解得：x≥．
故选C．
点评： 此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

2．（3分）下列各式中计算正确的是（）
A． =（﹣2）（﹣4）=8 B．
C． D． （+2）2=7+4

考点： 二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简．
分析： 根据二次根式的性质、完全平分公式，即可解答．
解答： 解：A、与无意义，故错误；
B、（a＞0），故错误；
C、，故错误；
D、正确；
故选：D．
点评： 本题考查了二次根式、完全平方公式，解决本题的关键是熟记二次根式的性质和完全平分公式．

3．（3分）若一直角三角形的两边为5和12，则它第三边的长为（）
A． 13 B． C． 13或 D． 13或

考点： 勾股定理．
专题： 计算题．
分析： 此题要考虑两种情况：当所求的边是斜边时；当所求的边是直角边时．
解答： 解：由题意得：
当所求的边是斜边时，则有 =13；
当所求的边是直角边时，则有 =．
故选D．
点评： 本题考查了勾股定理的运用，难度不大，但要注意此类题的两种情况，很多学生只选13．

4．（3分）下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（）
A． 7π，24π，25π B． ，1， C． 0.1，0.2，0.3 D． ，1，

考点： 勾股定理的逆定理．
分析： 根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．
解答： 解：A、（7π）2+（24π）2=（25π）2，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故本选项不符合题意；
B、12+（）2=（）2，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故本选项不符合题意；
C、0.12+0.22≠0.32，不符合勾股定理的逆定理，不能作为直角三角形三边长，故本选项符合题意；
D、（）2+12=（）2，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故本选项不符合题意．
故选C．
点评： 本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

5．（3分）▱ABCD中，相邻两角∠A、∠B有∠B﹣∠A=70°，则∠C的度数为（）
A． 55° B． 70° C． 155° D． 125°

考点： 平行四边形的性质．
分析： 根据平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，即可求出该平行四边形各个内角的度数．
解答： 解：画出图形如下所示：

则∠A+∠B=180°，
又∵∠B﹣∠A=70°，
∴∠A=55°，∠B=125°，
∴∠C=∠A=55°．
故选A．
点评： 本题考查平行四边形的性质，解题关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，难度一般．

6．（3分）等腰三角形底边的长为8cm，周长为18cm，则该三角形底边上的高为（）
A． 6cm B． 5cm C． 4cm D． 3cm

考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析： 先根据等腰三角形的两腰相等得出其腰长，再利用三线合一和勾股定理得出底边上的高即可．
解答： 解：因为等腰三角形底边的长为8cm，周长为18cm，
所以腰长是：cm，
因为等腰三角形三线合一，可得底边上的中线即是底边上的高，
可得底边上高=cm，
故选D．
点评： 此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形两腰相等和三线合一的性质分析．

7．（3分）如图，四边形ABCD中，AD=BC，E、F、G分别是AB、DC、AC的中点．若∠ACB=
64°，∠DAC=22°，则∠EFG的度数为（）

A． 42° B． 38° C． 32° D． 21°

考点： 三角形中位线定理．
分析： 根据三角形中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可．
解答： 解：∵AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，
∴GFAD，GEBC．
又∵AD=BC，
∴GF=GE，∠FGC=∠DAC=22°，∠AGE=∠ACB=64°，
∴∠EFG=∠FEG，
∵∠FGE=∠FGC+∠EGC=22°+（180°﹣64°）=138°，
∴∠EFG=（180°﹣∠FGE）=21°．
故选：D．
点评： 主要考查了中位线定理和等腰三角形两底角相等的性质，题目的难度不大．

8．（3分）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）

A． 4dm B． 2dm C． 2dm D． 4dm

考点： 平面展开-最短路径问题．
专题： 几何图形问题．
分析： 要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
解答： 解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，
∴AB=2dm，BC=BC′=2dm，
∴AC2=22+22=4+4=8，
∴AC=2dm，
∴这圈金属丝的周长最小为2AC=4dm．
故选：A．

点评： 本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．

9．（3分）平行四边形ABCD中，AB=1，BC=，AC=2，则连接四边形ABCD四边中点所成的四边形是（）
A． 平行四边形 B． 菱形 C． 矩形 D． 正方形

考点： 中点四边形．
分析： 首先判断该平行四边形的形状，然后判断其中点四边形的形状即可．
解答： 解：∵平行四边形ABCD中，AB=1，BC=，AC=2，
∴AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∴连接矩形ABCD的四边中点所成的四边形是菱形，
故选B．
点评： 本题考查了中点四边形的知识，解题的关键是首先判定四边形ABCD的形状，难度不大．
10．（3分）在矩形ABCD中，AD=3AB，点G、H分别在AD、BC上，连BG、DH，且BG∥DH，当=（）时，四边形BHDG为菱形．

A． B． C． D．

考点： 菱形的判定．
专题： 计算题．
分析： 首先根据菱形的性质可得BG=GD，然后设AB=x，则AD=3x，设AG=y，则GD=3x﹣y，BG=3x﹣y，再根据勾股定理可得y2+x2=（3x﹣y）2，再整理得=，然后可得y=x，再进一步可得的值．
解答： 解：∵四边形BGDH是菱形，
∴BG=GD，
设AB=x，则AD=3x，
设AG=y，则GD=3x﹣y，BG=3x﹣y，
∵在Rt△AGB中，AG2+AB2=GB2，
∴y2+x2=（3x﹣y）2，
整理得：=，
y=x，
∴===，
故选：C．
点评： 此题主要考查了菱形的性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握菱形四边相等．

二、认真填一填（每小题3分，共24分）
11．（3分）已知=2015﹣m，则m的取值范围是m≤2015．

考点： 二次根式的性质与化简．
分析： 根据，即可解答．
解答： 解：根据题意得；m﹣2015≤0，
解得：m≤2015，
故答案为：m≤2015．
点评： 本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是二次根式的性质．

12．（3分）若最简二次根式与﹣2能合并为一个二次根式，则x=1．

考点： 同类二次根式．
分析： 根据最简二次根式能合并，可得同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相同，可得关于x的方程．
解答： 解：由最简二次根式与﹣2能合并为一个二次根式，得
x+1=2x．
解得x=1，
故答案为：1．
点评： 本题考查了同类二次根式，利用同类二次根式得出方程是解题关键．

13．（3分）如图，一个三角形三边长为6，8，10，现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE的长是．


考点： 翻折变换（折叠问题）；勾股定理的逆定理．
分析： 已知BC=6，AC=8，AB=10，由勾股定理逆定理得到∠C=90°，根据翻折不变性，可知△DAE≌△DBE，从而得到BE=AE，设CE=x，则AE=8﹣x，在Rt△CBE中，由勾股定理列方程求解．
解答： 解：∵BC=6，AC=8，AB=10，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
根据翻折不变性得△EDA≌△EDB
∴EA=EB
∴在Rt△BCE中，设CE=x，
则BE=AE=8﹣x，
∴BE2=BC2+CE2，
∴（8﹣x）2=62+x2，
解得x=．
故答案为：．
点评： 此题考查了翻折变换的问题和勾股定理逆定理得运用，找到翻折后图形中的直角三角形，利用勾股定理来解答，解答过程中要充分利用翻折不变性．

14．（3分）“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，它是假命题（选填“真”或“假”）

考点： 命题与定理．
专题： 应用题．
分析： 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
解答： 解：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，
∴逆命题是：相等的角是对顶角，它是假命题，
故答案为相等的角是对顶角，假．
点评： 本题主要考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，难度适中．

15．（3分）如图所示，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=18，PB=24，PC=30．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与P′之间的距离为18，∠APB=150°．


考点： 旋转的性质．
分析： 由已知△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，可得△PAC≌△P′AB，PA=P′A，旋转角∠P′AP=∠BAC=60°，所以△APP′为等边三角形，即可求得PP′；再由△APP′为等边三角形，得∠APP′=60°，在△PP′B中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出∠P′PB=90°，可求∠APB的度数．
解答： 解：连接PP′，BP，
由题意可知BP′=PC=10，AP′=AP，
∠PAC=∠P′AB，而∠PAC+∠BAP=60°，
所以∠PAP′=60度．故△APP′为等边三角形，
所以PP′=AP=AP′=18；
∵PA=18，PB=24，PC=30．
∴PP′2+BP2=BP′2，
∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′=90°
∴∠APB=90°+60°=150°．
故答案为：18，150°．

点评： 本题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理，注意：旋转图形的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．

16．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且DC≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为6cm，则平行四边形ABCD的周长为12cm．


考点： 平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质．
分析： 由平行四边形的性质得出AB=CD，BC=AD，OB=OD，再根据线段垂直平分线的性质得出BE=DE，由△CDE的周长得出BC+CD=6cm，即可求出平行四边形ABCD的周长．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，OB=OD，
∵OE⊥BD，
∴BE=DE，
∵△CDE的周长为6cm，
∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=6cm，
∴平行四边形ABCD的周长=2（BC+CD）=12cm；
故答案为：12cm．
点评： 本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形、平行四边形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

17．（3分）如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫，从点A开始AGFEADCBAG…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行1945cm时停下，则它停的位置是点G．


考点： 菱形的性质．
专题： 规律型．
分析： 观察图形不难发现，每移动8cm为一个循环组依次循环，用1945除以8，根据商和余数的情况确定最后停的位置所在的点即可．
解答： 解：∵两个菱形的边长都为1cm，
∴从A开始移动8cm后回到点A，
∵1945÷8=243…1，
∴移动1945cm为第243个循环组的第1cm，在点G处．
故答案为：G．
点评： 此题考查了菱形的性质．观察图形得到每移动8cm为一个循环组依次循环是解题的关键．

18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，则PE+PC的最小值为．


考点： 轴对称-最短路线问题；正方形的性质．
分析： 要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．
解答： 解：如图，连接AE，AP，
∵点C关于BD的对称点为点A，
∴PE+PC=PE+AP，
根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，
∵正方形ABCD的边长为3，BE=2，
∴AE==，
∴PE+PC的最小值是．
故答案为：．

点评： 本题考查的是正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．根据已知得出两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值是解题关键．

三、全面答一答（本题共有7个小题．共66分）
19．（10分）计算：
（1）﹣（﹣2+）；
（2）（﹣3）﹣2+﹣|1﹣2|﹣（﹣3）0．

考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
专题： 计算题．
分析： （1）原式去括号合并即可；
（2）原式利用零指数幂、负指数幂法则，以及绝对值的代数意义化简，计算即可．
解答： 解：（1）原式=3﹣7+10﹣3=7﹣4；
（2）原式=+2﹣2+1﹣1=．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷（a﹣），其中a=+．

考点： 分式的化简求值；二次根式有意义的条件．
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，根据负数没有平方根求出m的值，进而确定出a的值，代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=÷=•=，
∵a=++，
∴，即m=2，a=，
则原式==+2．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

21．（9分）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学2015届九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）


考点： 勾股定理的应用．
分析： 过点D作DE⊥AB于点E，证明△BCD≌△BED，在Rt△ADE中求出DE，继而得出CD，计算出AC的长度后，在Rt△ABC中求出BC，继而可判断是否超速．
解答： 解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠CDB=75°，
∴∠CBD=15°，∠EBD=15°，
在Rt△CBD和Rt△EBD中，
∵，
∴△CBD≌△EBD，
∴CD=DE，
在Rt△ADE中，∠A=60°，∴∠ADE=30°，AD=40米，
则AE=AD=20米，
∴DE==20米，
∴AC=AD+CD=AD+DE=（40+20）米，
在Rt△ABC中，∵∠A=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AB=2AC=80+40，
∴BC==（40+60）米，
则速度==4+6≈12.92米/秒，
∵12.92米/秒=46.512千米/小时，
∴该车没有超速．

点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，求出BC的长度，需要多次解直角三角形，有一定难度．

22．（9分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1=∠2．求证：AF∥CE且AF=CE．


考点： 平行四边形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 由四边形ABCD是平行四边形，∠1=∠2，可证得△ABE≌△CDF（AAS），继而可判定AE=CF，AE∥CF，则可证得四边形AECF是平行四边形，继而证得结论．
解答： 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠CFD，AE∥CF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE且AF=CE．
点评： 此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△ABE≌△CDF（AAS），继而证得四边形AECF是平行四边形是解此题的关键．

23．（9分）如图，菱形ABCD的较短对角线BD为5，∠ADB=60°，E、F分别在AD，
CD上，且∠EBF=60°．
（1）求AE+CF的值；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．


考点： 菱形的性质．
分析： （1）由菱形ABCD中，∠ADB=60°，可证得△ABD与△CBD是等边三角形，继而可得BD=BC，证得△BDE≌△BCF，即可得AE+CF=AE+DE=AD=BD=5；
（2）由△BDE≌△BCF，可得BE=BF，又由∠EBF=60°，即可证得△BEF是等边三角形．
解答： 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∵∠ADB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
同理：△BCD是等边三角形，
∴AD=BD=BC，∠ADB=∠C=60°，
∴∠EBF=∠DBC=60°，
∴∠EBD=∠FBC，
在△DEB和△CFB中，
，
∴△DEB≌△CFB（ASA），
∴DE=CF，
∴AE+CF=AE+DE=AD=BD=5；

（2）△BEF是等边三角形，
理由：∵△EDB≌△FCB，
∴BE=BF，
∵∠EBF=60°，
∴△BEF是等边三角形．
点评： 此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABD与△CBD是等边三角形，继而证得△BDE≌△BCF是关键．

24．（9分）如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．
（3）在第（2）问的结论下，若AE=3，EC=4，AB=12，BC=13，请直接写出凹四边形ABCE的面积为24．


考点： 矩形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．
分析： （1）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠OEC=∠OCE，证出EO=CO，同理得出FO=CO，即可得出EO=FO；
（2）由对角线互相平分证明四边形CEAF是平行四边形，再由对角线相等即可得出结论；
（3）先根据勾股定理求出AC，得出△ACE的面积=AE×EC，再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，得出△ABC的面积=AB•AC，凹四边形ABCE的面积=△ABC的面积﹣△ACE的面积，即可得出结果．
解答： （1）证明：∵EF∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠OCE，
∴∠OEC=∠OCE，
∴EO=CO，
同理：FO=CO，
∴EO=FO；
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；理由如下：
由（1）得：EO=FO，
又∵O是AC的中点，
∴AO=CO，
∴四边形CEAF是平行四边形，
∵EO=FO=CO，
∴EO=FO=AO=CO，
∴EF=AC，
∴四边形CEAF是矩形；
（3）解：由（2）得：四边形CEAF是矩形，
∴∠AEC=90°，
∴AC===5，
△ACE的面积=AE×EC=×3×4=6，
∵122+52=132，
即AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴△ABC的面积=AB•AC=×12×5=30，
∴凹四边形ABCE的面积=△ABC的面积﹣△ACE的面积=30﹣6=24；
故答案为：24．
点评： 本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线、等腰三角形的判定、勾股定理以及面积的计算；熟练掌握矩形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．

25．（12分）如图，正方形ABCD的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形OCBA绕点C逆时针旋转角度一个锐角度数α，得到正方形DCFE，ED交线段AB与点G，ED的延长线交线段OA于点H，连CH、CG．
（1）求证：△CBG≌△CDG；
（2）认真探究，直接写出∠HCG=45°，HG、OH、BG之间的数量关系为HG=BG+OH．
（3）连接BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中四边形AEBD能否为矩形？如果能，请求出点H的坐标；如果不能，请说明理由．


考点： 四边形综合题．
分析： （1）根据正方形性质得出∠CBG=90°，CB=OC，根据旋转的性质得出∠CDG=90°，CD=OC，求出CD=BC，∠CDG=∠CBG=90°，∠CDH=90°，根据HL推出Rt△CBG≌Rt△CDG即可；
（2）求出Rt△COH≌Rt△CDH，推出OH=HD，∠OCH=∠DOH，根据全等得出BG=DG，∠BCG=∠DCG，即可得出答案；
（3）根据正方形性质得出∠BAO=90°，AB=OA=6，根据矩形的性质得出DE=AB=6，BG=AG=3，求出DG=GE=AG=3，设OH=x，则DH=OH=x，根据勾股定理得出（6﹣x）2+32=（3+x）2，求出x即可．
解答： （1）证明：∵四边形OCBA是正方形，
∴∠CBG=90°，CB=OC，
∵旋转正方形OCBA到正方形CDEF，
∴∠CDG=90°，CD=OC，
∴CD=BC，∠CDG=∠CBG=90°，∠CDH=90°，
在Rt△CBG和Rt△CDG中，
，
∴Rt△CBG≌Rt△CDG（HL）；

（2）解：∠HCG=45°时，HG=BG+OH，
理由是：∵∠COH=∠CDH=90°，
在Rt△COH和Rt△CDH中，
，
∴Rt△COH≌Rt△CDH（HL）；
∴OH=HD，∠OCH=∠DOH，
∵Rt△CBG≌Rt△CDG，
∴BG=DG，∠BCG=∠DCG，
∴HG=HD+DG=BG+OH，∠HCG=∠OCB=×90°=45°，
故答案为，45°，HG=BG+OH；

（3）解：在旋转过程中四边形AEBD能为矩形，
∵四边形OCBA是正方形，B（6，6），
∴∠BAO=90°，AB=OA=6，
∵四边形AEBD是矩形，
∴DE=AB=6，BG=AG=3，
∴DG=GE=AG=3，
设OH=x，则DH=OH=x，
在RtGAH中，由勾股定理得：AG2+AH2=HG2，
即（6﹣x）2+32=（3+x）2，
解得：x=2，
∴H的坐标是（2，0）．
点评： 本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，用了方程思想，难度偏大．