新人教A版高考数学二轮复习专题七平面向量2平面向量的数量积及向量的综合应用综合集训含解析

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平面向量的数量积及向量的综合应用
基础篇
【基础集训】
考点一　平面向量的数量积
1.已知向量AB=(1,2),AC=(-3,1),则AB·BC= (　　)
A.6　　B.-6　　C.-1　　D.1
答案　B
2.已知a=(-1,3),b=(m,m-4),c=(2m,3),若a∥b,则b·c= (　　)
A.-7　　B.-2　　C.5　　D.8
答案　A
3.已知|a|=1,|b|=2,且a⊥(a+b),则a在b方向上的投影为 (　　)
A.-1　　B.1　　C.-12　　D.12
答案　C
考点二　平面向量数量积的应用
4.已知向量a=(3,0),b=(0,-1),c=(k,3),若(a-2b)⊥c,则k= (　　)
A.2　　B.-2　　C.32　　D.-32
答案　B
5.已知单位向量e1,e2的夹角为θ,且tanθ=22,若向量m=2e1-3e2,则|m|= (　　)
A.9　　B.10　　C.3　　D.10
答案　C
6.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为 (　　)
A.30°　　B.60°　　C.120°　　D.150°
答案　C
7.已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,则|2a-b|a·(a+b)等于 (　　)
A.-53　　B.1　　C.2　　D.54
答案　B
8.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D、E分别是边AB、BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AF·BC的值为 (　　)
A.-58　　B.18　　C.14　　D.118
答案　B
[教师专用题组]
【基础集训】
考点一　平面向量的数量积
1.(2017北京东城一模,5)已知向量a,b满足2a+b=0,a·b=-2,则(3a+b)·(a-b)= (　　)
A.1　　B.3　　C.4　　D.5
答案　B　∵2a+b=0,
∴a与b的夹角为π,且|b|=2|a|,
又∵a·b=-2,∴|a|·|b|·cosπ=-2,
∴|a|=1,|b|=2,
故(3a+b)·(a-b)=3|a|2-2a·b-|b|2=3×1-2×(-2)-4=3.
2.(2018河南新乡二模,5)若向量m=(2k-1,k)与向量n=(4,1)共线,则m·n= (　　)
A.0　　B.4　　C.-92　　D.-172
答案　D　∵向量m=(2k-1,k)与向量n=(4,1)共线,
∴2k-1-4k=0,解得k=-12,
∴m=-2,-12,
∴m·n=-2×4+-12×1=-172.
故选D.
3.(2017曲一线命题专家高考模拟磨尖卷四·沈阳卷,15)若a,b是两个互相垂直的单位向量,则向量a-3b在向量b方向上的投影为　　　　. 
答案　-3
解析　向量a-3b在向量b方向上的投影为(a-3b)·b|b|=a·b-3b2|b|=-3b2|b|=-3.
思路分析　利用投影的定义,求(a-3b)·b|b|的值.
考点二　平面向量数量积的应用
1.(2018北京石景山一模,5)已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120°,若(a+mb)⊥a,则实数m的值为 (　　)
A.1　　B.32　　C.2　　D.3
答案　D　因为|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120°,
所以a·b=|a|·|b|cos120°=3×2×-12=-3,
因为(a+mb)⊥a,
所以(a+mb)·a=a2+ma·b=32-3m=0,解得m=3,故选D.
2.(2017北京西城二模,6)设a,b是平面上的两个单位向量,a·b=35.若m∈R,则|a+mb|的最小值是 (　　)
A.34　　B.43　　C.45　　D.54
答案　C　由题意得|a+mb|2=a2+2ma·b+m2b2=1+65m+m2=m+352+1625,故当m=-35时,|a+mb|2取得最小值,为1625,此时|a+mb|取得最小值,为45,故选C.
3.已知向量a=(-1,2),b=(3,-6),若向量c满足c与b的夹角为120°,c·(4a+b)=5,则|c|= (　　)
A.1　　B.5　　C.2　　D.25
答案　D　由题意可知,|a|=5,|b|=35,a∥b,且a与b方向相反.
由c·(4a+b)=5,可得4a·c+b·c=5,
由c与b的夹角为120°可得c与a的夹角为60°,
所以b·c=|b||c|cos120°=-352|c|,
a·c=|a||c|cos60°=52|c|.
所以4×52|c|+-352|c|=5,
解得|c|=25,故选D.
4.(2018湖北宜昌二模,7)已知△ABC中,∠A=120°,且AB=3,AC=4,若AP=λAB+AC,且AP⊥BC,则实数λ的值为 (　　)
A.2215　　B.103　　C.6　　D.127
答案　A　因为AP=λAB+AC,且AP⊥BC,
所以有AP·BC=(λAB+AC)·(AC-AB)=λAB·AC-λAB2+AC2-AB·AC=(λ-1)AB·AC-λAB2+AC2=0,
整理可得(λ-1)×3×4×cos120°-9λ+16=0,
解得λ=2215,故选A.
解题关键　解答本题的关键是由题意得出AP·BC=(λAB+AC)·(AC-AB)=0,进而求得λ的值.
5.(2017重庆育才中学模拟,6)过坐标原点O作单位圆x2+y2=1的两条互相垂直的半径OA、OB,若在该圆上存在一点C,使得OC=aOA+bOB(a、b∈R),则以下说法正确的是 (　　)
A.点P(a,b)一定在单位圆内
B.点P(a,b)一定在单位圆上
C.点P(a,b)一定在单位圆外
D.当且仅当ab=0时,点P(a,b)在单位圆上
答案　B　易知|OC|=a2OA2+b2OB2+2abOA·OB=1.
∵OA⊥OB,|OA|=|OB|=1,∴|OC|=a2+b2=1,
∴OP=a2+b2=1,又圆的半径为1,
∴点P一定在单位圆上.故选B.
6.(2018江西九江二模,6)在Rt△ABC中,AB=AC,点M、N是线段AC的三等分点,点P在线段BC上运动且满足PC=kBC,当PM·PN取得最小值时,实数k的值为 (　　)
A.12　　B.13　　C.14　　D.18
答案　C　建立平面直角坐标系,如图所示,

设AB=AC=3,P(x,3-x)(0≤x≤3),
则M(1,0),N(2,0),PM=(1-x,x-3),PN=(2-x,x-3),
则PM·PN=2x2-9x+11=2x-942+78,
∴当x=94时,PM·PN取得最小值,此时P94,34,
∴k=PCBC=14.故选C.
7.(2018河北唐山二模,7)在△ABC中,∠C=90°,AB=6,点P满足CP=2,则PA·PB的最大值为 (　　)
A.9　　B.16　　C.18　　D.25
答案　B　∵∠C=90°,AB=6,
∴CA·CB=0,∴|CA+CB|=|CA-CB|=|BA|=6,
∴PA·PB=(PC+CA)·(PC+CB)=PC2+PC·(CA+CB)+CA·CB=PC·(CA+CB)+4,
∴当PC与CA+CB方向相同时,PC·(CA+CB)取得最大值2×6=12,
∴PA·PB的最大值为16.故选B.
8.(2017甘肃嘉峪关二模,7)若等边△ABC的边长为3,平面内一点M满足CM=13CB+12CA,则AM·MB的值为 (　　)
A.2　　B.-152　　C.152　　D.-2
答案　A　如图所示,A32,0,B0,332,C-32,0,
∴CB=32,332,CA=(3,0),
∴CM=13CB+12CA=1332,332+12(3,0)=2,32,
∴OM=OC+CM=12,32,
∴AM=OM-OA=-1,32,MB=OB-OM=-12,3,
∴AM·MB=-1×-12+32×3=2,故选A.

思路分析　建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算求解.
方法总结　向量的坐标运算体现了数形结合的思想方法,因此,在解题时应充分重视.
9.(2017湖南郴州质量监测,9)已知A,B是单位圆O上的两点(O为圆心),∠AOB=120°,点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径,则CM·CN的取值范围是 (　　)
A.-34,0　　B.[-1,1)　　C.-12,1　　D.[-1,0)
答案　A　如图,连接OC.CM·CN=(OM-OC)·(ON-OC)=OM·ON-OM·OC-OC·ON+OC2
=OM·ON+OC2=-1+OC2,
∵∠AOB=120°,点C是线段AB上不与A、B重合的动点,
∴|OC|∈12,1,
∴CM·CN∈-34,0,故选A.

解题关键　题中的隐含条件OM·ON=-1,OM+ON=0是解题关键.
10.(2017北京海淀一模,12)若非零向量a,b满足a·(a+b)=0,2|a|=|b|,则向量a,b的夹角为　　　　. 
答案　2π3
解析　设a与b的夹角为θ,因为a·(a+b)=0,所以a·a+a·b=0⇒|a|·|a|+|a|·|b|cosθ=0,
又因为2|a|=|b|≠0,所以|a|·|a|+2|a|·|a|cosθ=0,即1+2cosθ=0,所以cosθ=-12,从而θ=2π3.
11.(2017宁夏银川质检,13)在矩形ABCD中,AB=4,AD=1,点E为DC的中点,则AE·BE=　　　　. 
答案　-3
解析　解法一:由已知,可得AE=AD+DE=AD+12DC,BE=BC+CE
=AD-12DC,∴AE·BE=AD+12DC·AD-12DC=AD2-14DC2=1-4=-3.
解法二:以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.

则A(0,0),B(4,0),E(2,1),∴AE=(2,1),BE=(-2,1),
∴AE·BE=-4+1=-3.
思路分析　解法一利用平面向量的几何性质解题,解法二通过建立平面直角坐标系,求出各点坐标,利用向量的坐标运算解题.解法一侧重于逻辑推理,对思维能力要求较高,解法二的解题关键是建立恰当的平面直角坐标系,侧重于计算,思路简单.两种解法各有优劣,可根据实际情况灵活选用.
12.(2016北京朝阳期中,7)在△ABC中,已知AB·AC=4,|BC|=3,M,N分别是BC边上的三等分点,则AM·AN的值是 (　　)
A.5　　B.214　　C.6　　D.8
答案　C　解法一:如图,设BC的中点为O,连接AO.

由AB·AC=4,|BC|=3,
可得(AO+OB)·(AO+OC)=(AO+OB)·(AO-OB)=AO2-OB2=AO2-322=4,
∴AO2=254.
∴AM·AN=(AO+OM)·(AO+ON)=(AO+OM)·(AO-OM)=AO2-OM2=254-122=6.
故选C.
解法二:∵|BC|=3,∴|AC-AB|2=9.
∴AC2+AB2-2AC·AB=9,又AB·AC=4,
∴AC2+AB2=17.

又∵AN=AB+13BC=AB+13(AC-AB)=23AB+13AC,
AM=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC,
∴AM·AN=13AB+23AC·23AB+13AC=29(AC2+AB2)+59AB·AC=2×179+5×49=6.
13.(2018北京通州期中,13)在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,点P在AM上,且满足AP=2PM,则PA·(PB+PC)的值为　　　　. 
答案　-4
解析　∵AM=3,点P在AM上,且满足AP=2PM,∴|AP|=2.∵M是BC的中点,∴PB+PC=2PM=AP,
∴PA·(PB+PC)=PA·AP=-|AP|2=-4.






综合篇
【综合集训】
考法一　求向量模的方法
1.(2019甘肃静宁一中三模)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=52,则|b|= (　　)
A.2　　B.5　　C.2　　D.5
答案　D
2.(多选题)(2020山东临沂、枣庄临考演练,9)设向量a=(2,0),b=(1,1),则 (　　)
A.|a|=|b|　　B.(a-b)∥b　　C.(a-b)⊥b　　D.a与b的夹角为π4
答案　CD
3.(2020浙江温州二模(4月),12)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=1,则|a+b|=　　　　,b在a上的投影等于　　　　. 
答案　7;12
4.(2020浙江绍兴嵊州期末,16)已知单位向量a,b满足|a-2b|=|2b|,设向量c=a+x(2b-a),x∈[0,1],则|c+a|的取值范围是　　　　. 
答案　152,6
考法二　求平面向量夹角的方法
5.(2020山东青岛期末,3)向量a,b满足|a|=1,|b|=2,(a+b)⊥(2a-b),则向量a与b的夹角为 (　　)
A.45°　　B.60°　　C.90°　　D.120°
答案　C
6.(2020皖江名校联盟第五次联考,6)已知单位向量a满足2|a|=|b|,|a+2b|=13,则a与b的夹角为 (　　)
A.30°　　B.60°　　C.90°　　D.120°
答案　D
7.(多选题)(2020山东泰安二模,10)已知向量a=(2,1),b=(1,-1),c=(m-2,-n),其中m,n均为正数,且(a-b)∥c,下列说法正确的是 (　　)
A.a与b的夹角为钝角
B.向量a在b方向上的投影为55
C.2m+n=4
D.mn的最大值为2
答案　CD
8.(2017山东,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若3e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是　　　　. 
答案　33

[教师专用题组]
【综合集训】
考法一　求向量模的方法
1.(2019吉林第一次调研,5)已知等边△ABC的边长为2,则|AB+2BC+3CA|= (　　)
A.23　　B.27　　C.43　　D.12
答案　A　由题意得AB·BC=-2,CA·AB=-2,BC·CA=-2,则|AB+2BC+3CA|2=AB2+4BC2+9CA2+4AB·BC+6AB·CA+12BC·CA=4+16+36-8-12-24=12,∴|AB+2BC+3CA|=23.故选A.
2.(2017湖南永州一模,11)已知向量a与向量b的夹角为2π3,且|a|=|b|=2,若向量c=xa+yb(x∈R且x≠0,y∈R),则xc的最大值为 (　　)
A.33　　B.3　　
C.13　　D.3
答案　A　x2|c|2=x24x2-4xy+4y2=14yx2-4·yx+4,
当yx=--42×4=12时,4yx2-4·yx+4取得最小值,且最小值为3,
所以x2|c|2的最大值为13,则所求最大值为33.
3.已知在△ABC中,D为BC的中点,若∠BAC=120°,AB·AC=-1,则|AD|的最小值为 (　　)
A.12　　B.22　　C.2　　D.32
答案　B　显然有|AD|=12|AB+AC|.
因为AB·AC=-1,∠BAC=120°,所以|AB|·|AC|=AB·ACcos∠BAC=2,可得|AD|2=14(|AB|2+|AC|2-2)
≥14(2|AB|·|AC|-2)=12,
所以|AD|min=22.
4.已知a、b均为单位向量,且a·b=0.若|c-4a|+|c-3b|=5,则|c+a|的取值范围是 (　　)
A.[3,10]　　B.[3,5]
C.[3,4]　　D.[10,5]
答案　B　∵a、b均为单位向量,且a·b=0,
∴设a=(1,0),b=(0,1).设c=(x,y),
由|c-4a|+|c-3b|=5,得(x-4)2+y2+x2+(y-3)2=5,
即(x,y)到A(4,0)和B(0,3)的距离之和为5,
令c的起点为坐标原点O,则c的终点的轨迹是点(4,0)和(0,3)之间的线段,
又|c+a|=(x+1)2+y2表示M(-1,0)到线段AB上的点的距离,且最小值是点M(-1,0)到直线3x+4y-12=0的距离,
∴|c+a|min=|-3-12|5=3.
又最大值为|MA|=5,
∴|c+a|的取值范围是[3,5].故选B.

5.(2018河北衡水中学六调,8)已知向量OA=(3,1),OB=(-1,3),OC=mOA-nOB(m>0,n>0),若m+n∈[1,2],则|OC|的取值范围是 (　　)
A.[5,25]　　B.[5,210)
C.(5,10)　　D.[5,210]
答案　B　∵OA=(3,1),OB=(-1,3),∴OC=mOA-nOB=(3m+n,m-3n),则|OC|=(3m+n)2+(m-3n)2=10(m2+n2),令t=m2+n2,则|OC|=10t,而m+n∈[1,2],即1≤m+n≤2,又m>0,n>0,故在平面直角坐标系中表示如图(阴影区域不包括横轴与纵轴的相应部分),

t=m2+n2表示阴影区域中任意一点与原点(0,0)的距离,分析可得,22≤t