2022版新教材高考数学一轮复习34平面向量的数量积及综合应用训练含解析新人教B版

这是一份2022版新教材高考数学一轮复习34平面向量的数量积及综合应用训练含解析新人教B版，共6页。试卷主要包含了已知向量a＝，b＝等内容，欢迎下载使用。
A组 全考点巩固练
1．(2020·东城区二模)已知向量a＝(0,5)，b＝(4，－3)，c＝(－2，－1)，那么下列结论正确的是( )
A．a－b与c为共线向量
B．a－b与c垂直
C．a－b与a的夹角为钝角
D．a－b与b的夹角为锐角
B 解析：根据题意，向量a＝(0,5)，b＝(4，－3)，则a－b＝(－4,8)．
又由c＝(－2，－1)，有(－4)×(－1)≠(－2)×8，则a－b与c不是共线向量．
因为(a－b)·c＝(－4)×(－2)＋(－1)×8＝0，所以a－b与c垂直．
2．(2020·中卫二模)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时．若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400 N，则该学生的体重(单位：kg)约为( )
(参考数据：取重力加速度大小为g＝10 m/s2，eq \r(3)≈1.732)
A．63 B．69
C．75 D．81
B 解析：设该学生左右两只胳膊的拉力分别为F1，F2，身体的重力为G，F1＝F2＝400 N，两胳膊夹角θ＝60°，
所以G＋F1＋F2＝0，即G＝－(F1＋F2)．
所以G2＝(F1＋F2)2＝4002＋2×400×400×cs 60°＋4002＝3×4002，|G|＝400eq \r(3)(N)，40eq \r(3)≈40×1.732≈69，
则该学生的体重约为69 kg.
3．(2020·“超级全能生”全国联考)在△ABC 中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝eq \f(π,2)，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))等于( )
A．16B．12
C．8D．－4
A 解析：以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(4,0)，B(0,0)，C(0,6)，D(2,3)．设E(0，t)，因为AE⊥BD，所以eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝(2,3)·(－4，t)＝－8＋3t＝0，
所以t＝eq \f(8,3)，即Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(8,3))).
eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，\f(8,3)))·(0,6)＝16.
4．(多选题)对任意平面向量a，b，c，下列命题中是真命题的是( )
A．若a·b＝b·c，则a＝c
B．若a＝b，b＝c，则a＝c
C．|a|－|b|＜|a|＋|b|
D．|a·b|≤|a||b|
BD 解析：若a·b＝b·c，则a＝c，反例b＝0，则a与c具有任意性，所以A为假命题；由向量相等的充要条件知，若a＝b，b＝c，则a＝c，所以B为真命题；|a|－|b|＜|a|＋|b|，如果b＝0，则不等式不成立，所以C为假命题；|a·b|＝|a|·|b|cs〈a，b〉≤|a||b|，所以D为真命题．故选BD.
5．(2020·唐山二模)已知向量a，b满足|a|＝1，(a－b)⊥(3a－b)，则a与b的夹角的最大值为( )
A．30°B．60°
C．120°D．150°
A 解析：因为|a|＝1，(a－b)⊥(3a－b)，
所以(a－b)·(3a－b)＝3a2＋b2－4a·b＝3＋b2－4a·b＝0，
所以a·b＝eq \f(|b|2＋3,4)，
所以cs〈a·b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(b2＋3,4|b|)＝eq \f(|b|＋\f(3,|b|),4)≥eq \f(\r(3),2)，当且仅当|b|＝eq \r(3)时，等号成立，且0°≤〈a·b〉≤180°，
所以cs〈a·b〉＝eq \f(\r(3),2)时，a，b的夹角最大为30°.
6．(2020·重庆模拟)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,4)．若向量c与a共线，且c在b方向上的投影为eq \r(5)，则|c|＝________.
5 解析：向量a＝(－1,2)，向量c与a共线，
设c＝(－λ，2λ)．由b＝(3,4)，
所以c在b方向上的投影为
|c|cs θ＝eq \f(c·b,|b|)＝eq \f(－3λ＋8λ,5)＝eq \r(5)，
解得λ＝eq \r(5)，
所以c＝(－eq \r(5)，2eq \r(5))，
所以|c|＝eq \r(－\r(5)2＋2\r(5)2)＝5.
7．已知向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，且eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))夹角为锐角，则实数t的取值范围为________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，\f(9,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，＋∞)) 解析：向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，所以eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，t－3)．
又eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))夹角为锐角，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→))＞0，,\(AB,\s\up6(→))与\(BC,\s\up6(→))不共线，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋3t－3＞0，,2t－3－3≠0，))解得t＞eq \f(7,3)且t≠eq \f(9,2)，
所以实数t的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，\f(9,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，＋∞)).
8．在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，－1)，B(－3，－4)两点．若点C在∠AOB的平分线上，且|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \r(10)，则点C的坐标是________．
(－1，－3) 解析：由题意，eq \(OA,\s\up6(→))＝(0，－1)是一个单位向量．由于eq \(OB,\s\up6(→))＝(－3，－4)，故eq \(OB,\s\up6(→))方向上的单位向量e＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5))).
因为点C在∠AOB的平分线上，所以存在实数λ(λ>0)使得eq \(OC,\s\up6(→))＝λ(eq \(OA,\s\up6(→))＋e)＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－1－\f(4,5)))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(9,5))).
因为|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \r(10)，
所以λ2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,25)＋\f(81,25)))＝10，解得λ＝eq \f(5,3).
代入得eq \(OC,\s\up6(→))＝(－1，－3)．
B组 新高考培优练
9．(多选题)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是( )
A．不存在θ，使e1·e2＝eq \r(2)
B．eeq \\al(2,1)＝eeq \\al(2,2)
C．(e1－e2)⊥(e1＋e2)
D．e1在e2方向上的投影为sin θ
ABC 解析：对于A，因为两个单位向量e1，e2，有e1·e2＝1×1×cs θ＝cs θ≤1，所以A正确；对于B，因为两个单位向量e1，e2，有eeq \\al(2,1)＝eeq \\al(2,2)＝1，所以B正确；对于C，因为两个单位向量e1，e2，(e1－e2)·(e1＋e2)＝eeq \\al(2,1)－eeq \\al(2,2)＝0，所以(e1－e2)⊥(e1＋e2)，所以C正确；对于D，因为两个单位向量e1，e2，e1 在e2方向上的投影为|e1|cs θ＝cs θ，所以D错误．
10．如图，C是半径为1的扇形圆弧 eq \\ac(AB,\s\up10(︵)) 上一点，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝1.若eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，则2x＋y的最小值是( )
A．－eq \r(5) B．1
C．2 D．eq \r(5)
C 解析：因为C是半径为1的扇形圆弧 eq \\ac(AB,\s\up10(︵)) 上一点，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝1，
以OA，OB所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则eq \(OA,\s\up6(→))＝(1,0)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(0,1)，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝1.
因为eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＝(x，y)，
两边同时平方可得eq \(OC,\s\up6(→))2＝x2eq \(OA,\s\up6(→))2＋y2eq \(OB,\s\up6(→))2＋2xyeq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))，所以1＝x2＋y2.
令2x＋y＝b，则y＝－2x＋b，
则当直线y＝－2x＋b经过(1,0)时，b取得最小值为2，即所求的最小值是2.故选C.
11．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))的值为________；eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))的最大值为________．
1 1 解析：以射线AB，AD分别为x轴，y轴的正方向建立如图所示平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1，1)，D(0,1)．
设E(t,0)，t∈[0,1]，
则eq \(DE,\s\up6(→))＝(t，－1)，eq \(CB,\s\up6(→))＝(0，－1)，
所以eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝(t，－1)·(0，－1)＝1.
因为eq \(DC,\s\up6(→))＝(1,0)，
所以eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，
eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))的最大值为1.
12．已知向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝2eq \r(2)，〈a，b〉＝eq \f(π,4)，(c－a)·(c－b)＝－1，求|c－a|的最大值．
解：设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)．
因为|a|＝4，|b|＝2eq \r(2)，a与b的夹角为eq \f(π,4)，
则A(4,0)，B(2,2)，设C(x，y)．
因为(c－a)·(c－b)＝－1，所以x2＋y2－6x－2y＋9＝0，
即(x－3)2＋(y－1)2＝1，所以点C在以(3,1)为圆心，1为半径的圆上，|c－a|表示点A，C的距离，即圆上的点与A(4,0)的距离．因为圆心到A的距离为eq \r(2)，所以|c－a|的最大值为eq \r(2)＋1.