新人教A版高考数学二轮复习专题三函数的概念性质与基本初等函数2函数的基本性质综合篇课件

这是一份新人教A版高考数学二轮复习专题三函数的概念性质与基本初等函数2函数的基本性质综合篇课件，共38页。

知识拓展　(a)单调函数的定义有以下两种等价形式:∀x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,(i) >0⇔f(x)在[a,b]上是增函数; <0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.(ii)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.(b)复合函数的单调性函数y=f(u),u=φ(x),在函数y=f(φ(x))的定义域上,如果y=f(u),u=φ(x)的单调 性相同,那么y=f(φ(x))单调递增;如果y=f(u),u=φ(x)的单调性相反,那么y=f(φ(x))单调递减.
(c)函数单调性的常用结论(i)若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减) 函数.(ii)若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同,若k<0,则kf(x)与f(x)的单调性相反.(iii)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y= 的单调性相反.(iv)函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y= 的单调性相同.(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是单调增函数或单调减函数,则称函数f(x)在这一区 间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.注意　单调区间只能用区间表示,当一个函数的增区间(或减区间)有多个
时,不能用“∪”连接,而应该用“和”或“,”连接.例如:y= 的单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),但不能写成(-∞,0)∪(0,+∞).2.函数的最值
考点二　函数的奇偶性1.函数的奇偶性
2.奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 　相同    ,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 　相反    .(2)在公共定义域内,(i)两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数;(ii)两个偶函数的和、积都是偶函数;(iii)一个奇函数、一个偶函数的积是奇函数.
考点三　函数的周期性1.周期函数的概念对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时, 都有     f(x+T)=f(x)    ,那么函数f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做f(x)的周期.如果所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.2.关于函数周期性的几个常用结论(1)若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则f(x)的周期是     T=|a-b|    .(2)若f(x+a)=-f(x),则f(x)的周期是     T=2|a|    .(3)若f(x+a)= 或f(x+a)=- ,其中f(x)≠0,则f(x)的周期是     T=2|a| .
(4)设f(x)是R上的偶函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函 数,2|a|是它的一个周期.(5)设f(x)是R上的奇函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函 数,4|a|是它的一个周期.
考法一　判断函数单调性的方法
例1    已知f(x)=ex+e-x.证明: f(x)在(0,+∞)上为增函数.
解题导引　证法一:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1方法总结　(1)用定义法判断函数f(x)在给定区间D上的单调性的一般步 骤:(2)用导数法判断函数单调性的步骤为求定义域→求导→解不等式f '(x)>
0(或f '(x)<0)→单调性.解析式为三次或分式或指数、对数式的复合函数 的单调性常用导数法判断.
解题导引    去绝对值符号转化为分段函数,画图象得增区间.
方法总结　1.用图象法求单调区间的步骤:求定义域→作图象→结合图 象的升、降→单调区间.2.性质法:在公共定义域内,若y=f(x),y=g(x)都为增(减)函数,则y=f(x)+g(x) 为增(减)函数;在公共定义域内,若y=f(x)为增函数,y=g(x)为减函数,则y=f(x)-g(x)为增函 数,y=g(x)-f(x)为减函数.
方法总结    判断复合函数y=f(g(x))的单调性的步骤如下:(1)求定义域;(2)将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x);(3)分别确定这两个函数的单调性;(4)若这两个函数同增或同减,则y=f(g(x))为增函数;若一增一减,则y=f(g(x))为减函数,即同增异减.
考法二　函数单调性的应用
解题导引　由f(-x)=f(x)得f(x)为偶函数,然后得出f(x)在(0,+∞)上的单调性, 从而比较大小.
方法总结　应用函数单调性比较大小时应将自变量转化到同一个单调 区间内,然后利用函数的单调性解决.
例5    (2020河北邯郸空中课堂备考检测,12)设f(x)= 若对任意的x∈[m,m+1],不等式f(2-x)≥f(x+2m)恒成立,则m的最大值为 (　　)A.-1　    B.0　    C.1　    D.2
解题导引　先判断f(x)的奇偶性,然后判断单调性,得|2-x|≥|x+2m|,变形得 到(m+1)x-1+m2≤0,根据一次函数性质,列出不等式组求解.
方法总结　解此类不等式主要是利用函数的单调性脱去函数符号.可按 下列步骤进行.(1)先将不等式化为f(x1)x2联立解不等式组.(3)写出不等式的解集.
例6　(1)若函数y=l (x2-ax+3a)在区间(2,+∞)上是减函数,则a的取值范围为 (　　)A.(-∞,-4)∪[2,+∞)　    B.(-4,4]C.[-4,4)　     D.[-4,4](2)(2019福建三明模拟,7)已知函数f(x)= (a>0且a≠1)在R上单调递减,则a的取值范围是 (　　)A. 　      B. C. 　     D. 
解析　(1)令t=x2-ax+3a,则y=l t,易知t=x2-ax+3a在 上单调递减,在 上单调递增.∵y=l (x2-ax+3a)在区间(2,+∞)上是减函数,∴t=x2-ax+3a在(2,+∞)上是增函数,且在(2,+∞)上t>0,∴2≥ ,且4-2a+3a≥0,∴a∈[-4,4].故选D.(2)由题意得 解得 ≤a≤ .∴a的取值范围是 ,故选C.
答案　(1)D　(2)C
方法总结　利用单调性求参数.视参数为已知数,依据函数的图象或单调 性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数.需注意:①若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集 上也是单调的;②对于分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.
考法三　函数奇偶性的判断及应用
解析　(1)由 ≥0,得定义域为[-1,1),不关于原点对称,故f(x)为非奇非偶函数.(2)由 得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称,这时f(x)= =- .∵f(-x)=- = =-f(x),∴f(x)为奇函数.(3)当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x);当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x).∴对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有f(-x)=f(x),
方法总结　判断函数奇偶性的一般方法1.定义法2.图象法
3.性质法若f(x),g(x)在其公共定义域上具有奇偶性,则奇+奇=奇;奇×奇=偶,偶+偶= 偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
例8　已知函数f(x)= 的最大值为M,最小值为m,则M+m等于 (　　)A.0　    B.2　    C.4　    D.8
考法四　函数周期性的确定及应用
例9　(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是 增函数,则 (　　)A. f(-25)解题导引　(1)由单调性比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个 单调区间内,要利用函数的性质,转化到同一个单调区间上进行比较.(2)利用函数的奇偶性、图象的对称性以及函数的周期性将自变量转化 到指定区间内,然后求值.
解析　(1)∵f(x)满足f(x-4)=-f(x),∴f(x-8)=f(x),∴f(x)的周期为8,∴f(-25)=f(-1), f(80)=f(0), f(11)=f(3)=f(-1+4)=-f(-1)=f(1),又∵奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数,∴f(x)在区间[-2,2]上是增函数,∴f(-1)答案　(1)D　(2)0
方法总结　(1)周期性与奇偶性的综合问题多为求值问题,常利用奇偶性 和周期性将问题进行转换,即将所求值的自变量转化到已知解析式的自 变量范围内求解.(2)求抽象函数周期的方法递推法:若f(x+a)=-f(x),则f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所以2a为f(x)的一 个周期.换元法:若f(x+a)=f(x-a),令x-a=t,则x=t+a,则f(t+2a)=f(t+a+a)=f(t+a-a)=f(t), 所以2a为f(x)的一个周期.
考法五　函数值域的求解方法
∴1≤y≤3 +4,∴函数的值域为[1,3 +4].(4)(判别式法)观察函数式,将已知的函数式变形为yx2+2yx+3y=2x2+4x-7, 整理得(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0.(※)显然y≠2(运用判别式法之前,应先讨论x2的系数).将(※)式看作关于x的一元二次方程.易知原函数的定义域为R,则上述关于x的一元二次方程有实根,所以Δ=[2(y-2)]2-4(y-2)(3y+7)≥0.解不等式得- ≤y≤2.又y≠2,∴原函数的值域为 .(5)y=lg3x+lgx3-1变形得y=lg3x+ -1.
①当lg3x>0,即x>1时,y=lg3x+ -1≥2-1=1,当且仅当lg3x=1,即x=3时取“=”.②当lg3x<0,即x<1时,y≤-2-1=-3.当且仅当lg3x=-1,即x= 时取“=”.综上所述,原函数的值域为(-∞,-3]∪[1,+∞).
例11　(1)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)=min{2x,x+2,10- x}(x≥0),则f(x)的最大值为 (　　)A.4　    B.5　    C.6　    D.7(2)(2019陕西西安高新区一中模拟,6)已知函数f(x)=5-lg3x,x∈(3,27],则f(x)的值域是 (　　)A.(2,4]　    B.[2,4)　    C.[-4,4)　    D.(6,9]
解题导引　(1)画出函数f(x)的图象,由图象得最大值.(2)函数f(x)=5-lg3x为减函数,利用单调性求值域.
解析　(1)作出f(x)的图象(如图实线部分),可知A(4,6)为函数f(x)图象的最 高点.(2)因为y=lg3x为增函数,所以f(x)=5-lg3x为减函数.
因为3答案　(1)C　(2)B
方法总结　求函数值域(最值)的方法(1)分离常数法形如y= (ac≠0)的函数的值域经常使用“分离常数法”求解.(2)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法,形如F(x)=a[f(x)]2+bf(x) +c(a≠0)的函数的值域问题,均可使用配方法.(3)换元法①代数换元.形如y=ax+b± (a,b,c,d为常数,ac≠0)的函数,可设 =t(t≥0),转化为二次函数求值域.②三角换元:如y=x+ ,可令x=cs θ,θ∈[0,π].
利用换元法求值域,一定要注意新元的范围对值域的影响.(4)判别式法把函数转化成关于x的一元二次方程,通过方程有实根,知判别式Δ≥0,从 而求得原函数的值域,形如y= (a1,a2不同时为零)的函数的值域常用此法求解.用判别式法求值域的注意事项:①函数的定义域应为R;②分式的分子、 分母没有公因式.(5)有界性法形如sin α=f(y),x2=g(y),ax=h(y)等,由|sin α|≤1,x2≥0,ax>0可解出y的范围,从 而求出其值域.