新人教A版高考数学二轮复习专题三函数的概念性质与基本初等函数3二次函数与幂函数综合篇课件

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2.二次函数的图象和性质
知识拓展    二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间[m,n]上的最大值或最小 值如下:(1)当- ∈[m,n],即对称轴在所给区间内时, f(x)的最小值在对称轴处取得,其最小值是f = ;若- ≤ , 则f(x)的最大值为f(n);若- ≥ ,则f(x)的最大值为f(m).(2)当- ∉[m,n],即给定的区间在对称轴的一侧时,f(x)在[m,n]上是单调函数,若- 的关系确定讨论的标准,然后转化为上述(1)(2)两种情形求最值.
考点二　幂函数1.幂函数的定义一般地,形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中α为常数.2.幂函数y=x,y=x2,y=x3,y= ,y= 的图象
考法一　求二次函数在闭区间上的最值(值域)
例1    (2019山西晋中模拟,18)已知f(x)=ax2-2x+1-a,a∈R.(1)求f(x)在[0,2]上的最小值g(a);(2)若关于x的方程f(2x)=(a+1)·4x-a·(2x+1)-2x+1+3有正实数根,求实数a的取值 范围.
方法总结    二次函数求最值问题,一般先用配方法化成y=a(x-m)2+n(a≠0) 的形式,得其图象的顶点坐标为(m,n),对称轴为直线x=m,再结合二次函数 的图象求解,常见的有三种类型:(1)对称轴、区间都是给定的;(2)对称轴动,区间固定;(3)对称轴定,区间变动.解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数 形结合,三点指的是区间两个端点及两个端点的中点,一轴指的是对称轴. 具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解.对于(2)、(3),通常要分对称轴在区间内、对称轴在区间外两大类情况进 行讨论.简单地讲,轴在区间外,端点处取最值,轴在区间内,顶点和端点处有最值.
例　若函数f(x)=x2-2x+1在区间[a,a+2]上的最大值为4,则a的值为 (　　)A.1　    B.-1　    C.1或-1　    D.0
解析　∵函数f(x)=x2-2x+1=(x-1)2在区间[a,a+2]上的最大值为4,f(-1)=f(3)= 4,∴函数f(x)在区间[a,a+2]上的最大值在x=-1或x=3处取得.结合二次函数图象可得a=-1,或a+2=3,∴a=-1,或a=1.故选C.
例    (2016皖北第一次联考,8)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的 最大值为2,则a的值为 (　　)A.2　    B.-1或-3　    C.2或-3　    D.-1或2
例　设函数f(x)=2x2-6x+3,x∈[1,4],则f(x)的最小值和最大值为 (　　)A. ,11　    B.-1,3C.- ,4　    D.- ,11
例    (2016浙江名校(柯桥中学)交流卷四,18)已知f(x)=x2-3a2,g(x)=(2a+1)x.(1)若f(x)解析　(1)令F(x)=f(x)-g(x)=x2-(2a+1)x-3a2,若a=0,则f(x) ,且|f(1)-g(1)|≤4a,可得 若 综上,a的取值范围是 考法二　一元二次方程根的分布
例2　已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的取 值范围;(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的取值范围.
故m的取值范围是 .(2)抛物线与x轴的两个交点的横坐标均落在区间(0,1)内,如图所示,则 ⇒ 
方法总结　研究二次函数零点的分布,一般情况下需要从以下三个方面考虑:(1)一元二次方程根的判别式;(2)对应二次函数区间端点函数值的正负;(3)对应二次函数图象——抛物线的对称轴x=- 与区间端点的位置关系.设x1,x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两实根,则x1,x2的分布范 围与一元二次方程系数之间的关系如下表:
例　若关于x的方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0的两根异号,且负根的绝对值比 正根大,那么实数m的取值范围是 (　　)A.-30　    D.m<0或m>3
例    (2018山东德州期中,8)已知f(x)=ax2+(b-a)x+c-b(其中a>b>c且a≠0),若 a+b+c=0,x1、x2为f(x)的两个零点,则|x1-x2|的取值范围为 (　　)A. 　    B.(2,2 ) C.(1,2)　    D.(1,2 )
例    (2017江西九江七校联考,13)若方程x2-mx+m-1=0有两实根,则其中一 根大于2,另一根小于2的充要条件是　　　    .
解析　令f(x)=x2-mx+m-1,由已知得f(2)<0⇒m>3.
考法三　幂函数的图象及性质的应用
例3　(1)(2020广东揭阳三中第一次月考,7)如图的曲线是幂函数y=xn在第 一象限内的图象.已知n分别取±2,± 四个值,与曲线C1,C2,C3,C4相应的n依次为 (　　)A.2, ,- ,-2 B.2, ,-2,- 
C.- ,-2,2,  D. -2,- , ,2(2)(多选题)(2019湖北荆门一模,4改编)已知点 在幂函数f(x)的图象上,则f(x)是 (　　)A.奇函数 B.偶函数C.定义域每个区间内的减函数 D.定义域每个区间内的增函数
解题导引　(1)根据幂函数图象的变化规律求解.(2)先根据题设条件求出 幂函数的解析式,后根据解析式判断各选项.
答案　(1)A　(2)AC
例    (2017江西九江七校联考,4)幂函数f(x)=(m2-4m+4) 在(0,+∞)上为增函数,则m的值为 (　　)A.1或3　    B.1C.3　     D.2 
解析　由题意得m2-4m+4=1,m2-6m+8>0,解得m=1,选B.