北师大版 (2019)必修 第一册2.1 必要条件与充分条件第1课时复习练习题

必要条件与充分条件

第1课时　必要条件与充分条件

某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示．

[问题]　(1)A开关闭合时B灯一定亮吗？

(2)B灯亮时A开关一定闭合吗？

预备知识　命题的概念、分类及结构形式

1．定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题．

2．分类：判断为的语句是真命题；判断为的语句是假命题．

3．结构形式：“若p，则q”形式的命题中，称为命题的条件，称为命题的结论．

用符号“⇒”与“ ”填空：

(1)x2＞1________x＞1；

(2)a，b都是偶数________a＋b是偶数．

解析：(1)若x2＞1，则x<－1或x>1，故x2＞1 x＞1.

(2)若a，b都是偶数，则a＋b一定是偶数，故a，b都是偶数⇒a＋b是偶数．

答案：(1)　(2)⇒

知识点一　必要条件与性质定理

一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称是的必要条件．也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即对于的成立是必要的．

知识点二　充分条件与判定定理

一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称是的充分条件．

综上，对于真命题“若p，则q”，即p⇒q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件．

充分条件、必要条件的理解

(1)对“推出”的正确理解，对于命题p：x>2，q：x>1.显然p可以推出q，记为p⇒q，而q是不能推出p的；

(2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”；

(3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”；

(4)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件；

(5)若q⇒p，但p q，则称p是q的必要不充分条件；

(6)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．　　　　

(多选)下列条件中是x2＞4的充分条件的是(　　)

A．x＞－2　 B．x＜－2　　

C．x＜－3　　 D．x＞4

解析：选BCD　当x＝0时，x＞－2，但x2＜4，故A错，B、C、D都对．

[例1]　(链接教科书第15页例1)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？

(1)若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形两条对角线相等；

(2)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形；

(3)若＝，则x＝y；

(4)若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，则a＞0.

[解]　(1)等腰梯形的两条对角线相等．因此p⇒q，所以q是p的必要条件．

(2)直角三角形不一定是等腰三角形．因此p q，所以q不是p的必要条件．

(3)若＝，则x＝y是真命题，因此p⇒q，所以q是p的必要条件．

(4)命题“若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，则a＞0”为假命题，因此p q，所以q不是p的必要条件．

必要条件的两种判断方法

(1)定义法：

(2)命题判断方法：

如果命题：“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件；如果命题：“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件．　　　　

[跟踪训练]

设集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，则“A∪B＝R”是“a＝1”的________条件．(填“充分”或“必要”)

解析：因为集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，当A∪B＝R时，a≤1，因为a≤1不一定得到a＝1，当a＝1时一定可以得到a≤1，所以“A∪B＝R”是“a＝1”的必要条件．

答案：必要

[例2]　(链接教科书第16页例2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

(1)若a∈Q，则a∈R；

(2)若a＜b，则＜1；

(3)若x，y∈R，|x|＝|y|，则x＝y；

(4)若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3；

(5)在△ABC中，若A＞B，则BC＞AC；

(6)若四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD是菱形．

[解]　(1)由于QR，所以p⇒q，所以p是q的充分条件．

(2)由于a＜b，当b＜0时，＞1；当b＞0时，＜1.因此p q，所以p不是q的充分条件．

(3)若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y，所以p q，所以p不是q的充分条件．

(4)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此p q，所以p不是q的充分条件．

(5)由三角形中大角对大边可知，若A＞B，则BC＞AC.因此p⇒q，所以p是q的充分条件．

(6)由菱形和正方形的定义可知，所有的正方形都是菱形，所以p⇒q，所以p是q的充分条件．

充分条件的两种判断方法

(1)定义法：

(2)命题判断方法：

如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件．　　　　

[跟踪训练]

设集合M＝{x|0＜x≤2}，N＝{x|0＜x≤3}，那么“a∈M”是“a∈N”的________条件．(填“充分”或“必要”)

解析：由题意得，M∪N＝N，所以“a∈M”⇒“a∈N”，所以“a∈M”是“a∈N”的充分条件．

答案：充分

[例3]　已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0，q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

[解]　p：3a＜x＜a，即集合A＝{x|3a＜x＜a}．

q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．

因为p⇒q，所以A⊆B，

所以⇒－≤a＜0，

所以a的取值范围是.

[母题探究]

1．(变条件)若本例中条件p改为“实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．

解：p：a＜x＜3a，即集合A＝{x|a＜x＜3a}．

q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．

因为q⇒p，所以B⊆A，

所以

2．(变条件)若本例中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围．

解：p：3a＜x＜a，其中a＜0，即集合A＝{x|3a＜x＜a}．

q：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}．

因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以A⊆B，

所以⇒－1≤a＜0.

所以a的取值范围是[－1，0)．

利用充分(必要)条件确定参数的值(范围)的步骤

(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；

(2)若p是q的充分条件，则M⊆N；若p是q的必要条件，则N⊆M；

(3)根据集合的关系列不等式(组)；

(4)解不等式(组)得结果．　　　　

[跟踪训练]

已知全集U＝R，非空集合A＝{x|2＜x＜3a＋1}，B＝{x|a＜x＜a＋2}．记p：x∈A，q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

解：∵A≠∅，∴3a＋1＞2，即a＞.

∵q是p的必要条件，∴A⊆B，

∴解得a≤，

又a＞，∴＜a≤，

即实数a的取值范围是.

1．a＜b，b＜0的一个必要条件是(　　)

A．a＋b＜0　　　　　　 B．a－b＞0

C.＜1  D.＜－1

解析：选A　因为a＜b，b＜0⇒a＜0，b＜0⇒a＋b＜0.所以a＋b＜0是a＜b，b＜0的一个必要条件．

2．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　　)

A．充分条件

B．必要条件

C．既不是充分条件，也不是必要条件

D．无法判断

解析：选A　当a＝1时，|a|＝1成立，但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立．所以“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件．

3．若p：a∈M∪N，q：a∈M，则p是q的(　　)

A．充分条件但不是必要条件

B．必要条件但不是充分条件

C．既是充分条件，也是必要条件

D．既不是充分条件，也不是必要条件

解析：选B　由a∈M∪N a∈M，但a∈M⇒a∈M∪N，即p q，但q⇒p.

4．若集合A＝{1，m2}，B＝{2，4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的________条件．(填“充分”或“必要”)

解析：当A∩B＝{4}时，m2＝4，所以m＝±2.所以“m＝2”是“A∩B＝{4}”的充分条件．

答案：充分