黑龙江省鸡西市英桥高级中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

英桥高中2021-2022学年度下学期期中考试

高二数学试卷（时间：120分钟   总分：150分）

1．已知等差数列满足，则（       ）

A．5 B．10 C．20 D．40

2．已知函数，则（       ）

A． B．1 C． D．5

3．已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则表中值等于（       ）

A．0.5 B．0.3 C．0.2 D．0.1

4．现有拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各1张，一共可以组成的币值有（       ）

A．3种 B．6种 C．7种 D．8种

5．展开式中的常数项为（       ）．

A．540 B．18 C．15 D．135

6．函数在上是（       ）

A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不确定

7．函数的导函数的图象如图，函数的一个单调递减区间是（       ）

A．     B．    

C．    D．

8．已知盒子中装有形状，大小完全相同的五张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，现每次从中任意取一张，取出后不再放回，若抽取三次，则在前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下，第三张为奇数的概率为（       ）

A． B． C． D．

二、多选题（20分）

9．下列命题正确的是（       ）

A．              

B．若，则

C．对于已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为4

D．设函数导函数为，且，则

10．数列的前n项和为，已知，则（　　）

A．是递增数列 B．

C．当时，  D．当或4时，取得最大值

11．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则（       ）

A．a＝   B．b＝   C．c＝   D．P(|X|＝1)＝

12．已知函数，则下列选项正确的是（       ）

A．函数在处取得极小值0

B．

C．若函数在上恒成立，则

D．函数有三个零点

三、填空题（20分）

13.已知曲线f（x）曲线＝lnx在点处的切线斜率为______.

14．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的3种主食、4种素菜、2种大荤、3种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有______种．

15．已知的展开式的二项式系数之和为64，则展开式第三项的系数是 _______．

16．已如函数.若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则___________；若，则的最大值为___________.

四、解答题（70分）

17．（10分）一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布列.

18．（12分）有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩.

（1）共有多少种不同的选法？

（2）如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法？

（3）如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法.

19．（12分）已知函数在与处有极值．

(1)求实数a，b的值；

(2)求函数在点处的切线方程．

20. 已知函数．

(1)求函数的单调递增区间；

(2)当时，求函数的最大值和最小值．

21．（12分）在等差数列中，已知 且．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

22．（12分）已知函数，其中a为实数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)令，若恒成立，求实数a的取值范围

答案：

1．C解：由题得.

2．D由，得，故．

3.   B
4.   ．C解：三种币值各取一张，共有种取法，币值分别为拾圆、贰拾圆、伍拾圆；

三种币值取两张，共有种取法，币值分别为叁拾圆、陆拾圆、柒拾圆；

三种币值全取，共有种取法，币值分别为捌拾圆；

一共可以组成的币值有种.

5．A二项式展开式的通项公式为，

由，解得，

则展开式中的常数项为．

6．A∵，∴在上恒成立，

∴在上是增函数．

7．B解：由图象可知，当，，时，，

当时，，

函数在上单调递减，在，，上单调递增，

函数的一个单调递减区间是.

8．C设前两张卡片所标数字之和为偶数为事件，第三张为奇数为事件，则事件包括前两张都为奇数或者都为偶数，故，，故前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下，第三张为奇数的概率.

9．CD

A. ，故错误；

B.若，则，故错误；

C. 函数，则该函数在区间上的平均变化率为，故正确；

D.因为函数导函数为，且，所以，

则，解得，故正确；

10．BCD

解：因为，当时，当时，所以，当时也成立，所以，所以，即是递减数列，故A错误；，故B正确；令，解得，故C正确；

，所以当或时，故D正确；

11．BD

解：由题意得：∵a，b，c成等差数列∴2b＝a＋c.由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1∴∴.

12．ABD

由题意得：，

A．，，f（x）单调递减；，，f（x）单调递增，故函数在 处取得极小值，A正确；

B．当时，，f（x）在上单调递减，

故，B正确；

C．由以上分析可得在 上，

故若函数在上恒成立，则，C错误；

D．由以上分析可作出函数 的大致图象：

由f（x）的大致图象可知的图象与有三个交点，

故函数有三个零点，D正确，

13．1

14．60根据分步计数原理，共有（种）不同的选取方法．

15．由的展开式的二项式系数之和为，可得，解得，即

则展开式第三项为，

所以展开式第三项的系数是.

16．     0    

由已知，，所以，即，

所以．

，定义域为，

，

令，则，时，，所以在上递减，

所以时，，

所以时，，递增，时，，递减，

所以．

17解：随机变量X的可能取值为3，4，5.

当X=3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两只球的编号只能是1，2，

故有P(X=3)=；

当X=4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两只球只能在编号为1，2，3的3只球中取2只，故有P(ξ=4)=；

当X=5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他两只球只能在编号为1，2，3，4的4只球中取2只，故有P(X=5)=.

因此ξ的分布列为

18．（1）20；（2）12；（3）16

（1）从6门成绩中选3门成绩共有种不同的选法；

（2）如果物理和化学恰有1门被选，则共有种不同的选法；

（3）如果物理和化学至少有1门被选，则共有种不同的选法.

19．(1)

(2).

(1)

∵，∴

依题意有；

(2)由（1）可知，，得，，

故函数在点处的切线方程为

20. 1．(1)和

(2)在上的最大值为，最小值为

(1)由题意可知，的定义域为，

因为，所以.令，即，解得或.当或时，；所以的单调递增区间为和.

(2)由（1）知，当时，，单调递减；

当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.

当时，函数取得极大值为；

当时，函数取得极小值为.

又由于，.

所以函数在上的最大值为，最小值为.

21．(1)

(2)

(1)解：由题意，设等差数列的公差为，则,， 解得,

,；

(2)解：，.

22．(1)答案见解析；

(2).

（1）求导函数，分时，时，讨论导函数的符号，从而得出原函数的单调性；

（2）对函数求导函数，分析其导函数的符号，得出函数的单调性和最值，由恒成立思想建立不等式，求解即可.

(1)

解：函数的定义域为，．

①当时，，此时函数单调递增，函数的增区间为，没有减区间，

②当时，令，可得，

此时函数的减区间为，增区间为；

(2)

解：由，

有．

令，得，所以函数的增区间为，减区间为，

所以，

若恒成立，必有，解得，

若恒成立，则实数a的取值范围为．