河南省南阳市第一中学校2021-2022学年高二下学期第四次月考文科数学试题Word版含答案

南阳一中2022年春期高二年级第四次月考

文数试题

一、选择题

1．若复数（为虚数单位），则复数对应的点在复平面内位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．下列有关线性回归分析的四个命题：

①线性回归直线必过样本数据的中心点；

②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；

③当相关性系数时，两个变量正相关；

④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于1.

其中真命题的个数为（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．利用反证法证明：“若，则”时，假设为

A．，都不为0 B．且，都不为0

C．且，不都为0 D．，不都为0

4．在极坐标系中，与点关于极轴所在直线对称的点的极坐标是（       ）

A． B． C． D．

5．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点.以上推理中（       ）

A．大前提错误  B．小前提错误 

C．推理形式错误  D．结论正确

6．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（       ）

A．4  B．2 

C．1  D．

7．观察下列算式：

……

若某数按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则（       ）

A．42 B．43 C．44 D．45

8．设是复数，则下列命题中的假命题是（    ）

A．若，则                       B．若，则

C．若，则                     D．若，则

9．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度，厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了地区的100天日落和夜晚天气，得到如下列联表．

单位：天        临界值表：

并计算得到，下列小波对地区天气的判断不正确的是（       ）

A．夜晚下雨的概率约为

B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为

C．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关

D．若出现“日落云里走”，则有99.9%的把握认为夜晚一定会下雨

10．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为　　

A． B． C． D．

11．在矩形ABCD中，对角线AC分别与AB，AD所成的角为α，β，则sin2α+sin2β＝1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线AC1与棱AB，AD，AA1所成的角分别为α1，α2，α3，与平面AC，平面AB1，平面AD1所成的角分别为β1，β2，β3，则下列说法正确的是（　　）

①sin2α1+sin2α2+sin2α3＝1　　 ②sin2α1+sin2α2+sin2α3＝2

③cos2α1+cos2α2+cos2α3＝1　　　④sin2β1+sin2β2+sin2β3＝1

A．①③ B．②③ C．①③④ D．②③④

12．已知点是曲线上两点，且（为坐标原点），则(   )

A． B．1 C． D．5

二、填空题

13．化简：________.

14．曲线上的点到直线的最大距离为__________．

15．学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”；丙说：“，两项作品未获得一等奖”；丁说：“是或作品获得一等奖”，若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是          ．

16．如图所示，有三根针和套在一根针上的个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.

（1）每次只能移动一个金属片；

（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.

将个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f(n)，则__________．

三、解答题

17．已知复数，，其中是实数．

(1)若，求实数的值；

(2)若是纯虚数，是正实数，求．

18．某航空公司规定：国内航班（不构成国际运输的国内航段）托运行李每件重量上限为，每件尺寸限制为，其中头等舱乘客免费行李额为，经济舱乘客免费行李额为.某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查，得到如下数据：

（1）              请完成列联表，并判断是否在犯错概率不超过的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关；

（2）调研小组为感谢参与调查的旅客，决定从托运行李超出免费行李额且不超过的旅客中随机抽取2人赠送“100元超额行李补助券”，求这2人中至少有1人是头等舱乘客的概率.

参考公式，其中.

参考数据：

19．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上.

（1）求的值及直线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线相交于，两点，求的值.

20．已知数列的各项均为正数，其前项和为，满足.

（1）证明：数列为等差数列；（2）求满足的最小正整数.

21．某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响，统计了近年投入的年研发费用与年销售量的数据，得到散点图如图所示．

(1)利用散点图判断和（其中均为大于的常数）哪一个更适合作为年销售量和年研发费用的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）

(2)对数据作出如下处理，令，得到相关统计量的值如下表：根据第(1)问的判断结果及表中数据，求关于的回归方程；

(3)已知企业年利润（单位：千万元）与的关系为，根据第(2)问的结果判断，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用?

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，

22．平面直角坐标系中，射线，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）写出射线的极坐标方程、曲线的普通方程；

（2）已知射线与交于点，与交于点（异于点），求的值．

南阳一中2022年春期高二年级第四次月考

文数答案

1B  2 B  3 D  4 C  5 A  6 D  7 D  8 D  9D  10A  11 D  12D

13   14    15C   162n-1;

16【详解】

设h（n）是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数

n=1时，h（1）=1；

n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h（2）=3=22-1；

n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用h（2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h（2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]，

h（3）=h（2）×h（2）+1=3×2+1=7=23-1，

h（4）=h（3）×h（3）+1=7×2+1=15=24-1，

…

以此类推，h（n）=h（n-1）×h（n-1）+1=2n-1，

故答案为:2n-1．

17：【答案】(1)2   (2)

 (1)∵，，

∴

从而，解得a=2，所以实数a的值为2．

(2)依题意得：

因为是纯虚数，所以：，从而a=2或；

又因为a是正实数，所以a=2．

当a=2时，，

因为，，，，……，，，，，（）

所以

所以

18:【答案】（1）列联表见解析；在犯错概率不超过的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关；（2）.

（1）根据表格中数据，可得头等舱乘客托运免费行李的人数为人，头等舱乘客托运超额行李的人数为人，经济舱乘客免费行李的人数人，经济舱乘客超额行李的人数人，

可得列联表如下：

因为，

所以在犯错概率不超过的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关.

（2）由题意可知托运行李超出免费行李额且不超过的旅客有7人，其中头等舱乘客有2人，记为，，经济舱乘客有5人，记为，，，，.

从这7人中随机抽取2人的情况有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种，

其中符合条件的情况有，，，，，，，，，，，共11种，故所求概率.

19:【答案】（1），；（2）.

（1）由点在直线上，可得.

又直线的方程可化为，∴直线的直角坐标方程为.

（2）由已知得：曲线的直角坐标方程为，曲线是以为圆心，为半径的圆.由点的极坐标为，得点的直角坐标为，

由知：点在圆内.

由直线的直角坐标方程，可知（为参数）为直线的参数方程.

将直线的参数方程代入，并整理得，

设点，对应的参数分别为，，则，

∴

20:【答案】（1）证明见解析；（2）.

（1）当时，，∴，

当时，由得，

化简得.所以数列是以4为首项，4为公差的等差数列.

（2）由（1）知，所以.

所以，当时，.

令，即，

两边平方整理得，所以，因为，所以的最小值为5.

21:【答案】(1) 选择更合适；(2) . (3) 要使年利润取最大值，预计下一年应投入千万元的研发费用

（1）由散点图知，选择更合适

（2）对两边取对数，得，即：

由表中数据得       

令，则，即

年销售和年研发费用的回归方程为：

（3）由（2）知，，则

令，得

当时，；当时，

在上单调递增；在上单调递减

当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为：千万元。

要使年利润取最大值，预计下一年应投入千万元的研发费用

22:【答案】（1），；（2）．

（1）射线表示过原点且斜率为的直线在第一象限的射线（包括原点），

则射线的倾斜角为，因此，射线的极坐标方程为.

因为的参数方程为，可得，

可得曲线的普通方程；

（2）曲线的方程为，故曲线的极坐标方程为．

设点、对应的极坐标分别为、，

联立与，得，解得.

联立与，得，解得.故.