2022年中考数学二轮复习讲义-新定义问题

2022年中考数学二轮复习讲义

专题2  新定义问题

班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿学号＿＿＿＿＿＿

【中考要求】

近年来的中考题中，涌现了大量的着重考查学生的创新意识、创新精神为目的的新型试题——新“定义”问题，它们重在考查学生阅读、分析、仿练、归纳、内化等综合能力，培养学生自主学习、主动探究的品质．

【题型特点】

所谓“新定义”试题指给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，“给什么，用什么”是应用新“定义”解题的基本思路．这类试题的特点：源于中学数学内容但又是学生没有遇到过的新信息,它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序等等. 在解决它们过程中又可产生了许多新方法、新观念，增强了学生创新意识．主要包括以下几种类型：（1）概念的“新定义”；（2）运算的“新定义”；（3）新规则的“新定义” ；（4）实验操作的“新定义”；（5）几何图形的新定义．

【例题精讲】

例1．(1)在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（　　）

A．≤t＜2    B．＜t≤1    C．1＜t≤2    D．≤t≤2且t≠1

（2）若定义一种新运算：a⊗b＝，例如：3⊗1＝3﹣1＝2；5⊗4＝5+4﹣6＝3．则函数y＝（x+2）⊗（x﹣1）的图象大致是（　　）

A． B． 

C． D．

例2．对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q的“形间距”，记作d（P，Q）．

（1）记二次函数y＝x2﹣2x+3的图象为图形P，则d（x轴，P）＝　 　；

（2）如图1，已知反比例函数y＝的图象为图形Q，直线l的解析式为y＝﹣x+b，若d（1，Q）＝，求b的值；

（3）如图2，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，0），B（0，4），C（3，﹣2），⊙T的圆心为（t，0），半径为2，若d（⊙T，△ABC）＝m，当0＜m＜2时，求t的取值范围．

例3．对于三个数a、b、c，用表示这三个数的中位数，用表示这三个数最大数，例如=-1，=0，=.

解决问题：

（1）填空：=        ，如果=3，则x的取值范围为         ；

（2）如果=，求x的值；

（3）如果=，求x的值.

例4．阅读下面的材料：

如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x取值范围内的任意x1，x2，

（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；

（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．

例题：证明函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．

证明：任取x1＜x2，且x1＞0，x2＞0．

则f（x1）﹣f（x2）＝x12﹣x22＝（x1+x2）（x1﹣x2）．

∵x1＜x2且x1＞0，x2＞0，

∴x1+x2＞0，x1﹣x2＜0．

∴（x1+x2）（x1﹣x2）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）．

∴函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．

根据以上材料解答下列问题：

（1）函数f（x）＝（x＞0），f（1）＝＝1，f（2）＝，f（3）＝　              　，f（4）＝　              　；

（2）猜想f（x）＝（x＞0）是 　 　函数（填“增”或“减”），并证明你的猜想．

【规律总结】

解新定义问题的关键是（1）认真阅读试题（须知，有些题目的阅读量较大）；（2）准确、灵活地运用新定义.

【强化训练】

1、在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数﹣﹣“差一数”．

定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．

例如：14÷5＝2…4，14÷3＝4…2，所以14是“差一数”；

19÷5＝3…4，但19÷3＝6…1，所以19不是“差一数”．

（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；

（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．

2、阅读以下材料，并解决相应问题：

小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数．小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．

请思考小明的方法解决下面问题：

（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数；

（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2021的值．

（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．