2022年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考数学模拟试卷（五）（含解析）

2022年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考数学模拟试卷（五）

副标题

一、选择题（本大题共9小题，共27.0分）

1. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

2. 如图是几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体的俯视图是

A.
B.
C.
D.

3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

4. 在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而减小，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

5. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线的解析式为

A.  B.
C.  D.

6. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的点处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离长是

A. 海里
B. 海里
C. 海里
D. 海里

7. 某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，，平分若，，则的面积为     

A.
B.
C.
D.

9. 如图，点、分别是的边、上的点，的延长线与的延长线相交于点，交于点，则下列结论错误的是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

10. 将数据用科学记数法表示为______．
11. 函数中，自变量的取值范围是______．
12. 计算：______．
13. 因式分解：______．
14. 不等式组的最大整数解是______．
15. 一个扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的半径是______．
16. 某超市今年一月份的营业额为万元．三月份的营业额为万元．若每月营业额的平均增长，则二月份的营业额是______万元．
17. 中，已知，，点在边上，如图把绕着点逆时针旋转度后，如果点恰好落在初始的边上，那么______．
18. 如图，内接于，半径为，于点，，则的长为______．
    
    
     

19. 如图，四边形中，，，连接，于点，，，，则的长为______．
    
     

三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）

20. 先化简，再求代数式的值，其中．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共6小题，共53.0分）

21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，线段的两个端点均在小正方形的顶点上．
    在图中画出以为一条边的平行四边形，且这个平行四边形的周长为，点、点均在小正方形的顶点上；
    在图中画出以为一边的等腰，点在小正方形的顶点上，且使的面积最大，并直接写出此时的最大面积．

22. 某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生的课外阅读时间单位：小时进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
    本次共调查了多少名学生
    通过计算补全频数分布直方图；
    请估计该校名学生中每周的课外阅读时间不小于小时的人数．

23. 已知：在矩形中，把矩形绕点旋转，得到矩形，且点落在边上，连接交于点．
    如图，求证：；
    如图，连接，若平分，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图中所有数量关系为倍的两条线段．

24. 某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书，其中科普书的单价比文学书的单价多元，用元购买的科普书与用元购买的文学书数量相等．
    求去年购买的文学书和科普书的单价各是多少元？
    若今年文学书的单价比去年提高了，科普书的单价与去年相同，这所中学今年  计划再购买文学书和科普书共本，且购买文学书和科普书的总费用不超过元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？
    
    
    
    
    
    
     
25. 已知：内接于，其中，连接．
    如图，求证：平分；
    如图，点在弧上，连接，，若，求的度数；
    如图，在的条件下，交于点，若，，求线段的长．

26. 已知：在平面直角坐标中，点为坐标原点，过点的抛物线与轴交于另一点．
    求的长；
    如图，点在第二象限抛物线上，连接交轴于点，设点的横坐标为，的长为，求证：；
    如图，在的条件下，点在线段上，，直线交抛物线于点，，交于点，于点，且，当点的纵坐标为，的长为时，求抛物线的解析式．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、，本选项错误；
B、，本选项错误；
C、，本选项错误；
D、，本选项正确．
故选：．
结合幂的乘方与积的乘方的概念和运算法则进行求解即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的概念和运算法则．
 

2.【答案】
 

【解析】解：这个几何体的俯视图从左到右小正方形的个数是：，，，
故选：．
俯视图是从上面看到的图形，共分三列，从左到右小正方形的个数是：，，．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图所看的方向：从上面看所得到的图形．
 

3.【答案】
 

【解析】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

4.【答案】
 

【解析】解：根据题意，在反比例函数图象的每一支曲线上，都随的增大而减小，
即可得，
解得．
故选：．
根据反比例函数的性质，当反比例函数的系数大于时，在每一支曲线上，都随的增大而减小，可得，解可得的取值范围．
本题考查了反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．当时，在同一个象限内，随的增大而减小；当时，在同一个象限，随的增大而增大．
 

5.【答案】
 

【解析】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线的解析式为，即．
故选：．
直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：如图，由题意可知，海里，．
，
．
在中，，，海里，
海里．
故选C．
首先由方向角的定义及已知条件得出，海里，，再由，根据平行线的性质得出然后解，得出海里．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，正确理解方向角的定义是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：

共有种等可能的结果，一男一女．
故选B．
列举出所有情况，看恰为一男一女的情况占总情况的多少即可．
如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．
过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据列式计算即可得解．
【解答】
解：如图，过点作于，

，平分，
，



，
的面积．
故选C．  

9.【答案】
 

【解析】解：，
，
故A正确；
，
∽，
，
故B正确；
∽，
，
，
故C错误；
，
∽，
，
故D正确，
故选：．
由，根据平行线分线段成比例定理得，可判断A正确；
由证明∽，则，可判断B正确；
由∽得，而不是，因此可以判断C错误；
由得∽，则，可判断D正确．
此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定定理与性质定理等知识，根据这两个定理正确地求出相应的比例式是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：，
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

11.【答案】且
 

【解析】解：根据题意得：，
解得：且．
故答案是：且．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于，分母不等于，可以求出的范围．
本题考查了函数的自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

12.【答案】
 

【解析】解：

，
故答案为：．
将二次根式化成最简二次根式后，合并同类二次根式即可得出答案．
本题考查了二次根式的加减，能够把二次根式正确化成最简二次根式是解决问题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：
由得：，
由得：，
不等式组的解集是，
不等式组的最大整数解是．
根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中．
 

15.【答案】
 

【解析】解：设该扇形的半径是，则
，
解得．
故答案为：
设该扇形的半径是，再根据扇形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：设增长率为，根据题意得，
解得不合题意舍去，，
所以每月的增长率应为，
二月份的营业额是：万元，
故答案为：．
首先设增长率为，那么三月份的营业额可表示为，已知三月份营业额为万元，即可列出方程，从而求出的值，进而可得二月份的营业额．
本题考查了一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
 

17.【答案】或
 

【解析】解：如图，在线段取一点，使，在线段取一点，使，
旋转角，
在中，
，
，
旋转角．
故答案为：或．
本题可以图形的旋转问题转化为点绕点逆时针旋转的问题，故可以点为圆心，长为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边上的一点，交直角边于，此时，，由等腰三角形的性质求旋转角的度数，在中，解直角三角形求，可得旋转角的度数．
本题考查了旋转的性质．关键是将图形的旋转转化为点的旋转，求旋转角．
 

18.【答案】
 

【解析】解：作直径，连接，作于点．
，
又，
．
是直径，，
，，
，
，
，
，

故答案是：．
作直径，连接，作于点，则在直角中解直角三角形求得的长，然后根据勾股定理即可求得的长．
本题考查了圆周角定理，以及三角函数的定义，勾股定理，正确作出辅助线是关键．
 

19.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作交的延长线于点，延长交于点，

，，
，
，
，
，，
，
，
，，是等腰直角三角形，
设，则：
，，
，，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
∽，
，即：
，
解得：或舍去，
，
故答案为：．
通过作辅助线，利用角得到等腰直角三角形，再利用相似三角形对应边成比例即可求解．
本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造等腰直角三角形表示出相关的量．
 

20.【答案】解：原式


，
，
当时，
原式．
 

【解析】括号内先通分然后计算分式的加法，再将除法转化为乘法，最后计算减法，再根据特殊角三角函数值求出并把代入化简后的分式求值即可．
本题考查分式的化简求值和特殊角三角函数值，解题关键是熟知分式混合运算的计算步骤，对分式准确化简．
 

21.【答案】解：如图，平行四边形即为所求；
如图，即为所求．

 

【解析】画出邻边分别为，的平行四边形即可；
画一个腰长为的等腰三角形即可．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：本次共调查的学生是：人；

的人数是：人，画图如下：


根据题意得：
人，
答：该校名学生中每周的课外阅读时间不小于小时的人数有人．
 

【解析】根据的人数和所占的百分比，即可求出总人数；
根据总人数和所占的百分比即可求出的人数，从而补全统计图；
用该校的总人数乘以每周的课外阅读时间不小于小时的人数所占的百分比即可．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确解答．
 

23.【答案】证明：过作于，

，
把矩形绕点旋转得到矩形，
，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
，
；

解：满足倍关系的两条线段有对，
由可知≌，
，
，，
，
，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
设，，
，，，
，
，
解得：，
．
综上所述，，，，．
 

【解析】过作于，根据旋转的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论；
根据全等三角形的性质得到，求得，，根据线段的和差得到，根据已知条件得到是等腰直角三角形，求得，设，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：设去年文学书单价为元，则科普书单价为元，根据题意得：
 ，
解得：，
经检验是原方程的解，当时，
答：去年文学书单价为元，则科普书单价为元．
设这所学校今年购买本文学书，根据题意得．
，
，
为整数，
最小值是；
答：这所中学今年至少要购买本文学书．
 

【解析】设去年文学书单价为元，则科普书单价为元，根据用元购买的科普书与用元购买的文学书数量相等，列出方程，再进行检验即可得出答案；
设这所学校今年购买本文学书，根据购买文学书和科普书的总费用不超过元，列出不等式，求出不等式的解集即可得出答案．
此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程要检验．
 

25.【答案】证明：连接、，

在和中，
，
≌，
，
平分；
，
，
即，
，
，
，
，
，
；
如图，延长交于点，交于点，连接，，，过点作的延长线于点，过点作于，则，

平分，，，
，
，
设，，且，，
在中，根据勾股定理得，
，即，
，，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
∽，
，
，
整理得，，
，
，
把代入得，，
即，
整理得，，
解得：，，
当时，舍去，
当时，，
取，，
，
，
在中，根据勾股定理得，
，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
设，则，，
，
解得：，
．
 

【解析】连接、，由全等三角形的判定与性质及角平分线的定义可得结论；
由等腰三角形的性质及角的和差关系可得答案；
延长交于点，交于点，连接，，，过点作的延长线于点，过点作于，则，设，，且，，由勾股定理及等腰直角三角形的性质可得，再由内接四边形性质及相似三角形的判定与性质可得，最后再根据全等三角形的判定与性质、相似三角形的性质可得答案．
此题考查的是圆的有关性质定理，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 

26.【答案】解：抛物线的对称轴是直线，，
，
；
证明：如图，

作轴于，
，
∽，
，
，，，
，
；
如图，过作轴，垂足为，作，垂足为．

由可知，，
，
，．
，
．
，，
．
由，得，
，，，
．
由，得．
由，得．
由点的纵坐标为，得．
联立，解得，，，
故抛物线的解析式为：．
 

【解析】由抛物线过原点，可得；再令，即可得到点的坐标，进而求出的长；
作垂线，可证可得∽，即可证出；
把条件，点的纵坐标为，的长为，转化为关于、、的三个方程，解方程即可．
本题考查二次函数的综合问题．前面两问比较简单，第三问的解题的关键是怎么把已知条件转化为代数式．