2022年山东省青岛市市北区下学期期中质量检测一模数学卷及答案（文字版）

这是一份2022年山东省青岛市市北区下学期期中质量检测一模数学卷及答案（文字版），文件包含2022年山东省青岛市市北区下学期期中质量检测一模数学答案docx、2022年山东省青岛市市北区下学期期中质量检测一模数学试卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。

2022年市北一模数学试题
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1. 下列四个数中，属于有理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】整数和分数统称为有理数，根据定义解答．
【详解】解：属于有理数；、、都属于无理数，
故选：A．
【点睛】此题考查了有理数的定义，熟记定义并正确区分有理数与无理数是解题的关键．
2. 2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，北京是唯一同时举办过夏季和冬季奥运会的城市．下列4个图像是四届冬奥会的部分图标，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可得到答案．
【详解】解：轴对称图形是指一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，符合定义的只有D选项，
故选D
【点睛】本题考查轴对称图形，根据定义进行判断即可．
3. 2021年11月3日揭晓的2020年度国家自然科学奖，共评出了两项一等奖，其中一项是“有序介孔高分子和碳材料的创制应用”．有序介孔材料是上世纪90年代迅速兴起的新型纳米材料，孔径在0.000000002米～0.000000005米范围内．数据0.000000005用科学记数法可表示为（ ）
A. 5×10-9 B. 5×10-8 C. 5×10-7 D. 0.5×10-7
【答案】A
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：数据0.000000005用科学记数法表示为5×10-9．
故选：A．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4. 在如图各选项中，可以由左边的平面图形折成右边的封闭立体图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据立体图形的平面展开图的特点解答．
【详解】解：A、缺两个三角形不能折成右边的图形，故不符合题意；
B、可以折成右边的图形，故符合题意；
C、不能折成右边的图形，故不符合题意；
D、多了一个圆，且放置的位置也不正确，不能折成右边的图形，故不符合题意，
故选：B．
【点睛】此题考查了折立体图形，正确掌握各立体图形的平面展开图的形状是解题的关键．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂除法法则，积的乘方法则以及零指数幂定义和负指数幂定义计算并判断．
【详解】解：A、a与a2不是同类项，不能合并，故该项不正确；
B、，故该项不正确；
C、，故该项正确；
D、，故该项不正确；
故选：C．
【点睛】此题考查了整式的计算，实数的计算，正确掌握合并同类项法则，同底数幂除法法则，积的乘方法则以及零指数幂定义和负指数幂定义计算是解题的关键．
6. 如图，AB是⊙O 的直径，C、F为⊙O 上的点，AE是⊙O 的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠ADB＝50°，则∠BFC 的度数为（ ）


A. 40° B. 50° C. 60° D. 20°
【答案】B
【解析】
【分析】连接OC，根据圆的对称性和等腰三角形性质，得；根据切线和直角三角形两锐角互余的性质，推导得；再根据三角形内角和和圆周角定理的性质计算，即可得到答案．
【详解】如图，连接OC


根据题意，得：
∴
∵AE是⊙O 的切线，
∴
∵∠ADB＝50°，
∴
∴
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了圆、等腰三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、切线、圆周角定理的性质，从而完成求解．
7. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数与一次函数的图象所在的象限分析a、b的取值，由此进行判断．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴二次函数的图象与x轴有两个交点，故C不正确；
A、由二次函数的图象得a>0，b<0，与一次函数的a、b的取值相符，故正确；
B、由二次函数的图象得a>0，b>0，与一次函数的a、b的取值不相符，故不正确；
D、由二次函数的图象得a<0，与一次函数的a的取值不相符，故不正确；
故选：A．
【点睛】此题考查了二次函数的图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系，正确理解函数图象是解题的关键．
8. 如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AE平分∠BAD，AE与BC相交于点E，与BD相交于点F．则下列结论中正确的有（ ）
①OB=OE；②∠BOE=75°；③OE2=OF•OD ；④若OE=1，则EC=；⑤若△BOE的面积是矩形ABCD的面积的，则BC=AB ．

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】证得△AOB是等边三角形，得到AB=OB，根据角平分线证得∠BAE=45°=∠AEB=45°，得到AB=BE，求出∠CBO=30°，根据OB=OE，求出∠BEO=∠BOE=75°，判断②正确；由△OBE是等腰三角形，得到，故①错误；证明△FOE∽△EOB，得到，由此判断③正确；过E作EG⊥AC于G，求出∠EOG=45°，利用三角函数求出EG，再由∠OCB=∠OBC=30°，根据三角函数求出CE，即可判断④正确；由△BOE的面积是矩形ABCD的面积的，BE=AB=OB，∠OBE=30°，得到，化简即可得到BC=AB ，由此判断⑤正确．
【详解】解：∠四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠BAD=90°，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，∠AEB=45°，
∴AB=BE，
∵∠CBO=90°-60°=30°，OB=OE，
∴∠BEO=∠BOE=75°，故②正确；
∴△OBE是等腰三角形，
∴，故①错误；
∵∠AEB=45°，∠BEO=75°，
∴∠FEO=30°，
∴∠FEO=∠OBE，
∵∠FOE=∠BOE，
∴△FOE∽△EOB，
∴，
∵OB=OD，
∴OE2=OF•OD，故③正确；
过E作EG⊥AC于G，

∵∠AOB=60°，∠BOE=75°，
∴∠EOG=45°，
∴，
∵∠OCB=∠OBC=30°，
∴CE=2EG=，故④正确；
∵△BOE的面积是矩形ABCD的面积的，BE=AB=OB，∠OBE=30°，
∴，
∴,
∴BC=AB ．
故⑤正确；
正确有②③④⑤，
故选：C．
【点睛】此题考查了矩形的性质，等边三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，正确作出辅助线解决问题是解题的关键．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9. 计算：•cos30°=________________．
【答案】
【解析】
【分析】先将括号内二次根式化为最简二次根式，将cos30°=代入，再根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：•cos30°



故答案为：
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
10. 某大型商场为了吸引顾客，规定凡在本商场一次性消费100元的顾客可以参加一次摇奖活动，摇奖规则如下：一个不透明的纸箱里装有1个红球、2个黄球、5个绿球、12个白球，所有除颜色外完全相同．充分摇匀后，从中随机抽取出一球，若取出的球分别是红、黄、绿球，顾客将分别获得50元、25元、20元现金，若取出白球则没有奖．若某位顾客有机会参加摇奖活动，则他每参与一次的平均收益为_______元．
【答案】10
【解析】
【分析】分别求出摸到各种颜色的球的概率，计算加权平均数即可．
【详解】解：一共有1+2+5+12=20个球，
摸到红球的概率是，
摸到黄球的概率是，
摸到绿球的概率是，
摸到白球的概率是，
∴10，
故答案为：10．
【点睛】此题考查了概率的计算公式，加权平均数的计算公式，正确掌握各公式计算是解题的关键．
11. 若一个圆内接正六边形的边长是4cm，则这个正六边形的边心距=________cm．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形的性质解答即可．
【详解】解：如图，AB=4cm，
过点O作OG⊥AB于G，
∵此多边形是正六边形，
∴，
∴，
∴（cm），
故答案为：．

【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，三角函数，正确掌握正六边形的性质是解题的关键．
12. 高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距360公里的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3小时．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为x公里/小时，则根据题意可得方程____________．
【答案】
【解析】
【分析】设普通列车的平均速度为x km/h，则高铁的平均速度是3x千米/时，根据乘坐高铁比乘坐普通列车少用3h，列出分式方程即可．
【详解】解：设普通列车的平均速度为x km/h，则高铁的平均速度是3x km/h，
根据题意得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程．
13. 如图，正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A(2，m)，AB⊥x轴于点B，平移直线y=kx使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是_________ .

【答案】y=x-3
【解析】
【详解】【分析】由已知先求出点A、点B的坐标，继而求出y=kx的解析式，再根据直线y=kx平移后经过点B，可设平移后的解析式为y=kx+b，将B点坐标代入求解即可得.
【详解】当x=2时，y==3，∴A(2，3)，B（2，0），
∵y=kx过点 A(2，3)，
∴3=2k，∴k=，
∴y=x，
∵直线y=x平移后经过点B，
∴设平移后的解析式为y=x+b，
则有0=3+b，
解得：b=-3，
∴平移后解析式为：y=x-3，
故答案为y=x-3.
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及到待定系数法，一次函数图象的平移等，求出k的值是解题的关键.
14. 如图所示，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=4，点F位于弧AB的处，且靠近点A的位置．点C、D分别在线段OA、OB上，CD=4，E为CD的中点，连接EF、BE．在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的面积为_____．

【答案】
【解析】
【分析】如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT，证明△OBF是等边三角形，利用直角三角形斜边中线的性质求出OE，EF≥OF−OE＝2，推出当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，求出BT，根据阴影部分的面积＝S扇形BOF－S△BOT计算即可．
【详解】：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．

∵∠AOB＝90°，，
∴∠BOF＝60°，
∵CE＝DE，
∴OE＝CD＝2，
∵OF＝4，
∴EF≥OF−OE＝2，
∴当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，OT＝OE＝2，
∵OF＝OB，∠BOF＝60°，
∴△BOF是等边三角形，
∵OT＝TF，
∴BT⊥OF，
∴BT＝ ，
∴此时阴影部分的面积＝S扇形BOF－S△BOT＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，明确当O，E，F共线时，EF的值最小是解题的关键．
三、作图题（本题满分4分）
15. 如图是一张形状为四分之一圆的纸片，要在纸片上裁剪出一个尽可能大的正方形，请你在图中做出这个正方形．

【答案】作图见解析
【解析】
【分析】根据轴对称的性质，将纸片对折，得到折痕OC，作CD⊥OA，CE⊥OB，此时正方形OECD为所作最大正方形．
【详解】解：如图，当折痕平分圆心角时，正方形最大，
设正方形对角线与圆弧交于点C，连接OC，
∵四边形OECD是正方形，CD=CE=OE=OD，
∴∠COE=∠COD，
∵∠DOE=90°，
∴∠COE=∠COD=45°，
∴将纸片对折，折痕为OC，
作CD⊥OA，CE⊥OB，此时正方形OECD为所作最大正方形．
．
【点睛】此题考查了圆，正方形的性质，折叠的性质，熟记各个性质并应用是解题的关键．
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16. 计算
（1）化简：；
（2）解不等式组．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）先计算括号中的异分母分式减法，再计算除法；
（2）分别求出不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【小问1详解】
解：
=
=
=；
【小问2详解】
，
解不等式①得，
解不等式②得x<3，
∴不等式组的解集为．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式，正确掌握各自的运算法则及计算顺序是解题的关键．
17. 某校组建了射击兴趣小组，甲、乙两人连续8次射击成绩如下列图、表所示（统计图中乙的第8次射击成绩缺失）．


甲、乙两人连续射击8次成绩统计表

平均成绩（环）
中位数（环）
方差（环2）
甲

7.5

乙
6

3.5

（1）乙的第8次射击成绩是 环；
（2）补全统计图；
（3）如果你是教练，要从甲、乙两人中选一位参加比赛，你会选择谁？写出你这样选择的2条理由．
【答案】（1）9； （2）见解析；
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平均数确定乙的第8次射击成绩；
（2）根据（1）补图即可；
（3）分别计算甲的平均成绩，方差，乙的中位数，由此进行比较，得到决策．
【小问1详解】
解：乙的第8次射击成绩是环，
故答案为：9；
【小问2详解】
补图如下：

小问3详解】
甲的平均成绩为，
甲的方差为，
由乙的成绩为：3、、4、5、6、6、7、8、9，
得乙成绩的中位数为，

平均成绩（环）
中位数（环）
方差（环2）
甲
7
7.5
1.25
乙
6
6
3.5
言之有理即可，
选甲：
①因为甲的平均成绩高于乙的平均成绩，所以甲的实力更强；
②因为甲的方差小于乙的方差，所以甲的发挥更稳定；
选乙：
①因为乙的最好成绩是9环，而甲的最好成绩是8环，所以乙更有希望取得高分；
②因为甲连续8次射击的成绩依次为8、8、8、7、8、6、5、6，从第5次开始成绩逐渐下滑，而乙连续8次射击的成绩依次为4、3、5、6、7、6、8、9，整体呈现上升趋势，所以乙更有潜力．
【点睛】此题考查了折线统计图，平均数，众数，中位数以及方差的定义，正确理解统计图表，从中获取信息，进行计算并作出分析决策是解题的关键．
18. 小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的四张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将四张邮票背面朝上，洗匀放好

（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率是
（2）小亮从中随机抽取一张邮票（不放回），再从余下的邮票中随机抽取一张，求抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奧会吉祥物冰墩墩”的概率．（这四张邮票从左到右依次分别用字母A、B、C、D表示）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）列树状图得到所有的等可能性的结果数，然后找到符合题意的结果数，最后根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵有四张邮票，冰墩墩的邮票有一张，
∴小亮从中随机抽取一张邮票是“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：列树状图如下所示：

由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奧会吉祥物冰墩墩”的结果数有2种，
∴抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奧会吉祥物冰墩墩”的概率．
【点睛】本题主要考查了概率公式和树状图或列表法求解概率，熟知相关知识是解题的关键．
19. 矗立在高速公路水平地面上的交通示警牌如图所示，测量得到如下数据：∠B=90°，∠BDC=72°，∠E=35°，CD=2.8米，BE=7.5米．求线段AC的长．（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin35°，cos35°，tan35°，sin72°，cos72°，tan72°）


【答案】2.6米
【解析】
【分析】利用三角函数求出BC及AB的长，即可得到AC的长．
【详解】解：在Rt△BDC中，∠B=90°，∠BDC=72°，CD=2.8米，
∵，
∴BC=2.66米，
在Rt△BAE中，∠B=90°，∠E=35°，BE=7.5米，
∵，
∴米，
∴AC=AB-BC=5.25-2.66米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，正确掌握图形中各线段的数量关系及三角函数的计算方法是解题的关键．
20. 崂山茶是青岛的特产之一，某崂山茶企业为了扩大生产规模，计划投入一笔资金购进甲、乙两种设备．已知购进2件甲设备和1件乙设备共需3.5万元；购进1件甲设备和3件乙设备共需3万元．
（1）求购进1件甲设备和1件乙设备分别需要多少万元；
（2）如果扩大规模后，在一个季度内，每件甲设备能为企业增加0.5万元利润，每件乙设备能为企业增加0.2万元利润．该企业计划购进甲、乙两种设备共10件，且投入资金不超过12万元，求应该如何采购甲、乙两种设备，才能使企业这个季度的利润最大？
【答案】（1）购进1件甲设备需要万元，购进1件乙设备需要万元
（2）购进甲设备件，购进乙设备件，才能使企业这个季度的利润最大
【解析】
【分析】（1）根据实际应用题解题步骤“设、列、解、答”按题意求解即可；
（2）结合第（1）中所求单价，根据题意列出相应的不等式与函数，根据一次函数性质求出最大值时的采购情况即可．
【小问1详解】
解：设购进1件甲设备万元，购进1件乙设备万元，则
，解得，
答：购进1件甲设备需要万元，购进1件乙设备需要万元；
【小问2详解】
解：设购进甲设备件，则购进乙设备件，则
，解得，
设利润为万元，则
，
这是一个一次函数，且，值随着的增大而增大，
当时，有最大值，为万元，
答：购进甲设备件，购进乙设备件，才能使企业这个季度的利润最大．
【点睛】本题考查利用方程组、不等式、函数求解实际应用题，读懂题意，找到相应的关系列出方程组、不等式与函数表达式是解决问题的关键．
21. 如图，延长平行四边形ABCD的边AD到F，使DF=AD，连接BF，交DC于点E，延长CD至点G，使DG=DE，分别连接AE、AG、FG．


（1）求证：△BCE≌△FDE；
（2）当平行四边形ABCD的边或角满足什么条件时，四边形AEFG是菱形？证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2）当平行四边形ABCD的∠ADC＝90°时，四边形AEFG是菱形；证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知得到∠DFE＝∠CBE，DF＝BC，然后由AAS证明△BCE≌△FDE即可；
（2）先证四边形AEFG是平行四边形，再根据∠ADC＝90°得出结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DFE＝∠CBE，
∵DF＝AD，
∴DF＝BC，
在△BCE和△FDE中，
∵，
∴△BCE≌△FDE（AAS）；
【小问2详解】
解：当平行四边形ABCD的∠ADC＝90°时，四边形AEFG是菱形；
证明：∵DF＝AD，DG＝DE，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵∠ADC＝90°，即AF⊥GE，
∴平行四边形AEFG是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22. 手榴弹作为一种威力较大，体积较小，方便携带的武器，在战争中能发挥重要作用，然而想把手榴弹扔远，并不是一件容易的事．军训中，借助小山坡的有利地势，小刚在教官的指导下用模拟弹进行一次试投：如图所示，把小刚投出的手榴弹的运动路线看做一条抛物线，手榴弹飞行的最大高度为12米，此时它的水平飞行距离为6米，山坡OA的坡度为1:3．


（1）求这条抛物线的表达式；
（2）山坡上A处的水平距离OE为9米，A处有一棵树，树高5米，则小刚投出的手榴弹能否越过这棵树？请说明理由；
（3）求飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是多少米．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2+4x；
（2）能越过，理由见解析；
（3）米
【解析】
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+12，将点（0，0）代入，求出a，得到抛物线解析式；
（2）由坡比求出AE，将x=9代入函数解析式，与3+5=8比较可得结论；
（3）由（2）知A的坐标为（9，3），求出直线OA的解析式，作直线MNy轴，交抛物线于点M，交直线OA于点N，设点M（x，x2+4x），则点N的坐标为（x，x），求出MN=-x2+4x-x=，利用二次函数的性质求出最大值即可．
【小问1详解】
解：由题意设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+12，
将点（0，0）代入，得36a+12=0，
解得a=，
∴抛物线的解析式为y=（x-6）2+12=x2+4x；
【小问2详解】
能越过，理由如下：
∵山坡OA的坡度为1:3，
∴AE：OE=1：3，
∵OE=9米，
∴AE=3米，
当x=9时，y=（9-6）2+12=9，
∵3+5=8<9，
∴小刚投出的手榴弹能越过这棵树；
【小问3详解】
由（2）知A的坐标为（9，3），
∴直线OA的解析式为，
作直线MNy轴，交抛物线于点M，交直线OA于点N，


设点M（x，x2+4x），则点N坐标为（x，x），
∴MN=-x2+4x-x=，
∴当x=时，MN有最大值，最大值为，
∴飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是米．
【点睛】此题考查了求二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数的性质，属于二次函数的综合题，正确掌握二次函数的知识是解题的关键．
23. 定义：
如果一个正整数n能表示为两个正整数的平方差，那么称正整数n为“智慧数”，即：若正整数n=a2-b2（a，b为正整数，且a＞b），则称正整数n为“智慧数”．例如：∵5=32-22，∴5是“智慧数”．根据定义，直接写出最小的“智慧数”是 ．
提出问题：
如果按照从小到大的顺序排列起来，那么第2022个“智慧数”是哪位数？
探究问题：
要解答这个问题，我们先要明白“智慧数”产生的规律．
探究1：“智慧数”一定是什么数？
假设n是“智慧数”，则至少存在一组正整数a、b，使n=a2-b2（a，b为正整数，且a＞b）．
情况1：a、b均为奇数，或均为偶数．
分析：
∵a、b均为奇数，或均为偶数
∴（a+b）、（a-b）均偶数
此时不妨设（a+b）=2c，（a-b）=2d
又∵n=a2-b2=（a+b）（a-b）=4cd
∴a2-b2为4的倍数，即n为4的倍数．
情况2：a、b为一奇数、一偶数．
分析：
∵a、b为一奇数、一偶数
∴（a+b）、（a-b）均为奇数
此时不妨设（a+b）=2c1，（a-b）=2d1
又∵n=a2-b2=（a+b）（a-b）=4cd2c2d1
∴a2-b2为奇数，即n为奇数．
综上所述：“智慧数”为奇数或4的倍数．
探究2：所有奇数和4的倍数都一定“智慧数”吗？
我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．
先举例几组数值较小，容易验证的“智慧数”（①--⑧），因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数，所以我们把这“智慧数”分成两类．
情况1：n是奇数

分析n=a2-b2
结论
①

3是“智慧数”
②

5是“智慧数”
③

7是“智慧数”
④

9是“智慧数”
……
……
……
情况2：n是4的倍数

分析n=a2-b2
结论
⑤

8是“智慧数”
⑥

12是“智慧数”
⑦

16是“智慧数”
⑧

20是“智慧数”
……
……
……
情况1：n是奇数
观察①②③④中n、a、b的值，容易发现，每个算式中，n均是奇数，且a、b的值均为连续的正整数．
猜想：所有奇数都是“智慧数”．
验证：设a=k+1，b=k（k≥1，且k为整数）
∵a2-b2=（k+1）2-k2=2k+1
∴2k+1是“智慧数”
又∵k≥1
∴2k+1≥3，即2k+1表示所有奇数（1除外）
∴所有奇数（1除外）都是“智慧数”
应用：
请直接填空：∵11= 2- 2 ∴11是“智慧数”
情况2：n是4的倍数．
观察⑤⑥⑦⑧中n、a、b的值，容易发现，每个算式中，n均是4的倍数，且a、b的差都为2．
猜想：所有4的倍数都是“智慧数”．
验证：设a=k+2，b=k（k≥1，且k为整数）
∵a2-b2=（k+2）2-k2=4k+4
∴4k+4是“智慧数”
又∵k≥1
∴4k+4≥8，即4k+4表示所有4的倍数（4除外）
∴所有4的倍数（4除外）都是“智慧数”
应用：
请直接填空：∵24= 2- 2 ∴24“智慧数”
归纳“智慧数”的发现模型：
（1）对所有的正整数而言，除了1和4之外，其余的奇数以及4的倍数是智慧数．
（2）当1≤n≤4时，只有1个“智慧数”；
当n≥5时，如果把从5开始的正整数按照从小到大的顺序，依次每 个连续正整数分成一组（注：组与组之间的数字互不重复），则每组有 个“智慧数”，且第 个数不是“智慧数”．
问题解决：
直接写出：如果按照从小到大的顺序排列起来，那么第2022个“智慧数”是 ．
实际应用：
若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米，已知一条直角边长是12cm，则这个直角三角形纸片的周长最大是 cm．
【答案】3，6，5，7，5，4，3，2，4045，84
【解析】
【分析】根据新定义和规律即可解答．
【详解】解：根据定义，最小的“智慧数”是
∵
∴11是“智慧数”
∵
∴24“智慧数”
如果把从5开始的正整数按照从小到大的顺序，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，…
依次每4个连续正整数分成一组（注：组与组之间的数字互不重复），则每组有3个“智慧数”，且第2个数不是“智慧数”
第1个“智慧数”是：
第2个“智慧数”是：
第3个“智慧数”是：
…
第2022个“智慧数”是：


这个直角三角形纸片的周长最大是12+37+35=84(cm)
故答案为：3，6，5，7，5，4，3，2，4045，84
【点睛】本题主要考查了整数问题的综合运用，解题的关键是根据题意找出规律，从而得出答案，此题难度较大．
24. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，点D为边AB的中点．点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位的速度向终点C运动；同时点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿CB方向运动，以DP、DQ为邻边构造平行四边形PEQD．设点P运动的时间为t秒，．

（1）求当t为何值时，？
（2）设平行四边形PEQD的面积为S（），求S关于t之间的函数关系式；
（3）连接CD，是否存在某一时刻t，CD经过平行四边形PEQD的对称中心O？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
【答案】（1）
（2）（）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）当时，由点D为边AB的中点，可分析出DQ为三角形的中位线，，再用“Q点运动距离÷Q点运动速度”计算即可；
（2）连接PQ，过点D作于点M，作于点N，由题意分别求出AP、PC、QB、CQ的长度，由计算的值，再由平行四边形面积并整理后得到S关于t的函数关系式；
（3）当CD经过平行四边形PEQD的对称中心O时，点E也在直线CD上，此时过点E作于点G，过点D作于点H，延长PE交BC于点F，可证明，，进而得到CG、GE的长度，借助的正切值计算t即可．
【小问1详解】
解：如图1，当时，
∵点D为边AB的中点，
∴DQ为三角形的中位线，
∴，
此时，有；
【小问2详解】
如图2，连接PQ，过点D作于点M，作于点N，

由题意可知，，，
则，，
∵∠ACB=90°，，
∴，
∴，
∵点D为边AB的中点，
∴
同理，，
∴



∵平行四边形PEQD的面积为，
∴S关于t之间的函数关系式为：（）；
【小问3详解】
若CD经过平行四边形PEQD的对称中心O，则点E也在直线CD上，
此时，过点E作于点G，过点D作于点H，延长PE交BC于点F，

∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形PEQD为平行四边形，
∴，，
∴，
∴
在与中，
，
∴（AAS），
∴，，
∵，，
∴，
∵点D为边AB的中点，
∴，，
∴，
在中，
，，
∵，点D为边AB的中点，
∴，
∴，
∴，
即 ，解得，
∴当时，CD经过平行四边形PEQD的对称中心O．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、中位线的判定与性质、全等三角形的判定与性质及锐角三角函数等知识，综合性强，解题关键是灵活运用相关知识，并学会利用参数构建方程解决问题．