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2023年山东省青岛市市南区、市北区、崂山区中考数学一模试卷（含答案）
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这是一份2023年山东省青岛市市南区、市北区、崂山区中考数学一模试卷（含答案），共35页。试卷主要包含了填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省青岛市市南区、市北区、崂山区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题的四个选项中，只有一项符合要求．
1．（3分）下列四个数中，属于有理数的是（ ）
A． B． C．π D．﹣
2．（3分）网络用语“6”是比较厉害的意思，且“6”本身是一个自然数．将数字0.000000006用科学记数法表示为（ ）
A．﹣6×109 B．﹣0.6×108 C．0.6×10﹣8 D．6×10﹣9
3．（3分）“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．下列四个中国结图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）下列运算：①；②（﹣3a2b）2＝6a4b2；③a3•b÷a＝a2b；④（﹣mn3）2＝m2n6，其中结果正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（3分）将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，在△ABC中，AC＝4，以点C为圆心，2为半径的圆与边AB相切于点D，与AC，BC分别交于点E和点F，点H是优弧EF上一点，∠EHF＝70°，则∠BDF的度数是（ ）
A．35° B．40° C．55° D．60°
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝﹣ax2﹣b的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．（3分）计算：＝ ．
10．（3分）关于x的函数y＝（k﹣2）x2﹣（2k﹣1）x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是 ．
11．（3分）元旦期间，某游乐场发布一游戏规则：在一个装有6个红球和若干个白球（每个球除颜色外其余均相同）的不透明袋子中，随机摸出一个球，摸到红球就可获得欢动世界通票一张．已知有300人参加这个游戏，游乐场为此发放欢动世界通票60张，请你估计袋子中白球的数量是 个．
12．（3分）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝，AC＝．△ABC绕点B顺时针方向旋转45°得到△BA'C'，点A经过的路径为弧AA'，点C经过的路径为弧CC'，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，连接BD，过点C作∠DBC平分线BE的垂线，垂足为点E，且交BD于点F；过点C作∠BDC平分线DH的垂线，垂足为点H，且交BD于点G，连接HE，若BC＝2，CD＝，则线段HE的长度为 ．
三、作图题（本题满分4分）
15．（4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，∠BAC＝45°，D，E在AB上，作⊙O经过D，E两点且与AC相切．
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（8分）计算：
（1）化简：；
（2）解不等式组：，并写出它的最大整数解．
17．（6分）有四张反面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．
（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是 ．
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由．（纸牌用A、B、C、D表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．
18．（6分）2022年北京冬奥会的召开惊艳世界，冬奥村的餐厅更是得到了各国运动员的好评．运动员主餐厅位于北京冬奥村居住区西南侧，共设置了世界餐台、亚洲餐台、中餐餐台、清真餐台、鲜果台、面包和甜品台等12种餐台．一送餐机器人从世界餐台A处向正南方向走200米到达亚洲餐台B处，再从B处向正东方向走500米到达中餐餐台C处，然后从C处向北偏西37°走到就餐区D处，最后从D回到A处，已知就餐区D在A的北偏东73°方向，求中餐台C到就餐区D（即CD）的距离．（结果保留整数）
（参考数值：sin73°≈，cos73°≈，tan73°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．）
19．（8分）2022年年末，政策放开后，中国迎来第一波疫情高峰．相比去年，中国人口减少85万．某校举行了以“疫情防护”为主题的知识竞赛活动．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，下面为部分数据：其中“80≤x＜90”这组的部分数据如下：80，82，82，83，83，84，85，85，85，86，87，87，87，88，88……其中“90≤x≤100”这组的数据如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100．
竞赛成绩分组统计表
组别
竞赛成绩分组
频数
平均分
1
60≤x＜70
8
65
2
70≤x＜80
a
75
3
80≤x＜90
b
88
4
90≤x≤100
10
95
根据以上信息，回答下列问题：
（1）下列说法正确的是 ．
A．样本为n名学生
B．a＝12
C．m＝40
（2）“90≤x≤100”这组的数据的众数是 ．
（3）随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是 ；平均分是 ；
（4）若学生竞赛成绩达到96分以上（含96分）获奖，请你估计全校1200名学生中获奖的人数．
20．（6分）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞0．
（1）当y1﹣y2＝4时，求m的值；
（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．
21．（6分）“冰墩墩”和“雪容融”作为第24届北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，某文旅店订购“冰墩墩”花费6000元，订购“雪容融”花费3200元，其中“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多20元，并且订购“冰墩墩”的数量是“雪容融”的1.25倍．
（1）求文旅店订购“冰墩墩”和“雪容融”的数量分别是多少个；（请列分式方程作答）
（2）该文旅店以100元和80元的单价销售“冰墩墩”和“雪容融”，在“冰墩墩”售出，“雪容融”售出后，文旅店为了尽快回笼资金，决定对剩余的“冰墩墩”每个打a折销售，对剩余的“雪容融”每个降价2a元销售，很快全部售完，若要保证文旅店总利润不低于6060元，求a的最小值．
22．（8分）已知：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD，BC于点E，F，作BH⊥AF于点H，分别交AC，CD于点G，P，连接GE，GF．
（1）求证：△OAE≌△OBG；
（2）判断四边形BFGE是什么特殊四边形？并证明你的结论．
23．（8分）某企业生产一种新产品，每件成本为50元．由于新产品市场有率较低，去年上市初期销量逐渐减少，1至6月，月销售量y（件）与月份x（月）满足一次函数关系：随着新产品逐渐得到市场认可，销量增加，6至1月，月销售量 y（件）与月份x（月）满足二次函数关系，且6月份的月销售量是该二次函数的最小值，函数关系如图所示．
（1）求y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）已知去年1至6月每件该产品的售价z（元）与月份x之间满足函数关系：z＝60+x（1≤x≤6，x为整数）．除成本外，平均每销售一件产品还需额外支出杂费p元，p与月份x之间满足函数关系：p＝x（1≤x≤6，x为整数），从7月至12月每件产品的售价和杂费均稳定在6月的水平．去年1至12 月，该产品在第几月获得最大利润？并求出最大利润．
（3）今年以来，由于物价上涨及积压了去年未销售的产品等因素，该企业每月均需支出杂费 6000 元（不论每月销售量如何，且天数不满一月时按整月计算）．为了出售去年积压的4000 件该产品，企业计划以单价70元销售，每月可卖出350件．为了尽快回笼资金并确保获利，企业决定降价销售，每件该产品每降价1元（降价金额为整数），每月可多卖出50 件，且要求在5个月内（含5 个月）将这批库存全部售出，如何定价可使获利最大？
24．（8分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
[观察与猜想]
（1）如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、AD上的两点，连接DE、CF，DE⊥CF，则的值为＝ ；
（2）如图②，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为 ．
[性质探究]
（3）如图③，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°．点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F．求证：DE•AB＝CF•AD；
[拓展延伸]
已知四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8
（4）如图④，点P是BC上的点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上．求的值；
（5）如图⑤，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，延长EP、AB交于点G．当BG＝2时，DE＝ ．
25．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？
（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2023年山东省青岛市市南区、市北区、崂山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题的四个选项中，只有一项符合要求．
1．（3分）下列四个数中，属于有理数的是（ ）
A． B． C．π D．﹣
【解答】解：A、是有理数，故A符合题意；
B、是无理数，故B不符合题意；
C、π是无理数，故C不符合题意；
D、﹣是无理数，故D不符合题意；
故选：A．
2．（3分）网络用语“6”是比较厉害的意思，且“6”本身是一个自然数．将数字0.000000006用科学记数法表示为（ ）
A．﹣6×109 B．﹣0.6×108 C．0.6×10﹣8 D．6×10﹣9
【解答】解：0.000000006＝6×10﹣9．
故选：D．
3．（3分）“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．下列四个中国结图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：左起第1、3、4这三个图形既是中心对称图形又是轴对称图形，
第二个图形是中心对称图形，不是轴对称图形，
故选：C．
4．（3分）下列运算：①；②（﹣3a2b）2＝6a4b2；③a3•b÷a＝a2b；④（﹣mn3）2＝m2n6，其中结果正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①﹣xy2＝﹣xy2，故①是错误的；
②（﹣3a2b）2＝9a4b2，故②是错误的；
③a3•b÷a＝a2b，故③是正确的的；
④（﹣mn3）2＝m2n6，故④是正确的的；
故选：B．
5．（3分）将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从上面看可得到一个正方形，正方形里面有一条撇向的实线．
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，AC＝4，以点C为圆心，2为半径的圆与边AB相切于点D，与AC，BC分别交于点E和点F，点H是优弧EF上一点，∠EHF＝70°，则∠BDF的度数是（ ）
A．35° B．40° C．55° D．60°
【解答】解：如图，连接CD，
∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵AC＝4，CD＝2，
∴cos∠ACD＝＝＝，
∴∠ACD＝60°，
∵∠EHF＝70°，
∴∠ACB＝2∠EHF＝140°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝140°﹣60°＝80°，
∵CD＝CF，
∴∠CDF＝∠CFD＝＝50°，
∴∠BDF＝∠CDB﹣∠CDF＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接BF，
∵BC＝6，点E为BC的中点，
∴BE＝3，
又∵AB＝4，
∴AE＝＝5，
由折叠知，BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴）
∴BH＝＝，
则BF＝，
∵FE＝BE＝EC，
∴∠BFC＝90°，
∴CF＝＝．
故选：D．
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝﹣ax2﹣b的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＞0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2﹣b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标﹣b大于零，故A正确；
B、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＜0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2﹣b的图象应该开口向上，顶点的纵坐标﹣b大于零，故B错误；
C、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＜0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2+b的图象应该开口向上，故C错误；
D、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＞0，﹣b＞0，此时抛物线y＝﹣ax2﹣b的顶点的纵坐标大于零，故D错误；
故选：A．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．（3分）计算：＝ ．
【解答】解：原式＝﹣﹣+（）2
＝3﹣2﹣+
＝．
故答案为．
10．（3分）关于x的函数y＝（k﹣2）x2﹣（2k﹣1）x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是 k＞﹣且k≠2 ．
【解答】解：根据题意得：，
解得k＞﹣且k≠2．
故答案是：k＞﹣且k≠2．
11．（3分）元旦期间，某游乐场发布一游戏规则：在一个装有6个红球和若干个白球（每个球除颜色外其余均相同）的不透明袋子中，随机摸出一个球，摸到红球就可获得欢动世界通票一张．已知有300人参加这个游戏，游乐场为此发放欢动世界通票60张，请你估计袋子中白球的数量是 24 个．
【解答】解：设袋中共有m个红球，则摸到红球的概率P（红球）＝，
∴＝，
解得m＝24，
经检验：m＝24是分式方程的解，且符合题意，
所以估计袋子中白球的数量是24个，
故答案为：24．
12．（3分）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是 65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50 ．
【解答】解：设每个季度平均降低成本的百分率为x，
依题意，得：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．
故答案为：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝，AC＝．△ABC绕点B顺时针方向旋转45°得到△BA'C'，点A经过的路径为弧AA'，点C经过的路径为弧CC'，则图中阴影部分的面积为 π﹣6 ．（结果保留π）
【解答】解：设A'B与AC交于D，过D作DE⊥AB于E，如图：
∵AB＝6，BC＝，AC＝，
∴BC2+AC2＝（）2+（）2＝36，AB2＝36，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴tan∠CAB＝＝，
∴＝，即AE＝2DE，
∵∠EBD＝45°，
∴BE＝DE，
而AE+BE＝AB＝6，
∴2DE+DE＝6，
∴DE＝2，
∴S△DAB＝AB•DE＝×6×2＝6，
∴S阴影部分＝S扇形BAA'﹣S△DAB+S扇形BCC'＝﹣6+＝π﹣6+π＝π﹣6．
故答案为：π﹣6．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，连接BD，过点C作∠DBC平分线BE的垂线，垂足为点E，且交BD于点F；过点C作∠BDC平分线DH的垂线，垂足为点H，且交BD于点G，连接HE，若BC＝2，CD＝，则线段HE的长度为 ．
【解答】解：∵BE平分∠DBC，
∴∠CBE＝∠FBE，
∵CF⊥BE，
∴∠BEC＝∠BEF＝90°，
又∵BE＝BE，
∴△BEC≌△BEF（ASA），
∴CE＝FE，BF＝BC＝2，
同理：CH＝GH，DG＝CD＝，
∴HE是△CGF的中位线，
∴HE＝，
在矩形ABCD中，，，
由勾股定理得：BD＝，
∴GF＝BF+DG﹣BD＝，
∴HE＝，
故答案为：．
三、作图题（本题满分4分）
15．（4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，∠BAC＝45°，D，E在AB上，作⊙O经过D，E两点且与AC相切．
【解答】解：如图，⊙O为所作．
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（8分）计算：
（1）化简：；
（2）解不等式组：，并写出它的最大整数解．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2），
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＜4，
故原不等式组的解集为：1≤x＜4，
则其最大的整数解是：3．
17．（6分）有四张反面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．
（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是 ．
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由．（纸牌用A、B、C、D表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．
【解答】解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，
从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是；
故答案为：；
（2）游戏不公平，理由如下：
列表得：
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即（A，C）（C，A）
∴P（两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形）＝＝，
∴小亮获胜的概率为，小明获胜的概率为，
∴游戏不公平．
修改规则：若抽到的两张牌面图形都是中心对称图形（或若抽到的两张牌面图形都是轴对称图形），则小明获胜，否则小亮获胜．
18．（6分）2022年北京冬奥会的召开惊艳世界，冬奥村的餐厅更是得到了各国运动员的好评．运动员主餐厅位于北京冬奥村居住区西南侧，共设置了世界餐台、亚洲餐台、中餐餐台、清真餐台、鲜果台、面包和甜品台等12种餐台．一送餐机器人从世界餐台A处向正南方向走200米到达亚洲餐台B处，再从B处向正东方向走500米到达中餐餐台C处，然后从C处向北偏西37°走到就餐区D处，最后从D回到A处，已知就餐区D在A的北偏东73°方向，求中餐台C到就餐区D（即CD）的距离．（结果保留整数）
（参考数值：sin73°≈，cos73°≈，tan73°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．）
【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，过点A作AF⊥DE，垂足为F，
则∠AFE＝∠AFD＝∠DEC＝∠DEB＝∠B＝90°，∠CDE＝37°，∠ADF＝73°，
∴四边形ABEF是矩形，
∴AB＝EF＝200米，AF＝BE，
设CD＝x米，
在Rt△CDE中，DE＝CD•cos37°≈x（米），
CE＝CD•sin37°≈x（米），
∴DF＝DE﹣EF＝（x﹣200）米，
∵BC＝500米，
∴AF＝BE＝AB﹣CE＝（500﹣x）米，
在Rt△ADF中，tan73°＝≈，
∴AF＝DF，
∴500﹣x＝×（x﹣200），
解得：x≈357，
∴中餐台C到就餐区D（即CD）的距离为357米．
19．（8分）2022年年末，政策放开后，中国迎来第一波疫情高峰．相比去年，中国人口减少85万．某校举行了以“疫情防护”为主题的知识竞赛活动．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，下面为部分数据：其中“80≤x＜90”这组的部分数据如下：80，82，82，83，83，84，85，85，85，86，87，87，87，88，88……其中“90≤x≤100”这组的数据如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100．
竞赛成绩分组统计表
组别
竞赛成绩分组
频数
平均分
1
60≤x＜70
8
65
2
70≤x＜80
a
75
3
80≤x＜90
b
88
4
90≤x≤100
10
95
根据以上信息，回答下列问题：
（1）下列说法正确的是 B ．
A．样本为n名学生
B．a＝12
C．m＝40
（2）“90≤x≤100”这组的数据的众数是 96 ．
（3）随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是 83.5 ；平均分是 82.6分 ；
（4）若学生竞赛成绩达到96分以上（含96分）获奖，请你估计全校1200名学生中获奖的人数．
【解答】解：（1）样本为n名学生的竞赛成绩，故选项A错误，不符合题意；
n＝8÷16%＝50，则a＝50×24%＝12，故选项B符合题意；
m＝1﹣16%﹣24%﹣20%＝40%，故选项C错误，不符合题意；
故选：B；
（2）∵90≤x≤100”这组的数据如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100．
∴“90≤x≤100”这组的数据的众数是96，
故答案为：96；
（3）随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是（83+84）÷2＝83.5，
平均分是：×（65×8+75×12+50×40%×88+95×10）＝82.6（分），
故答案为：83.5，82.6；
（4）1200×＝120（人），
答：估计全校1200名学生中获奖的有120人．
20．（6分）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞0．
（1）当y1﹣y2＝4时，求m的值；
（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y＝，
∵反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3），
∴k＝﹣4×（﹣3）＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵反比例函数的图象经过点B（2m，y1），C（6m，y2），
∴y1＝＝，y2＝＝，
∵y1﹣y2＝4，
∴﹣＝4，
∴m＝1，
经检验，m＝1是原方程的解．
故m的值是1；
（2）设BD与x轴交于点E．
∵点B（2m，），C（6m，），过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，
∴D（2m，），BD＝﹣＝．
∵三角形PBD的面积是8，
∴BD•PE＝8，
∴••PE＝8，
∴PE＝4m，
∵E（2m，0），点P在x轴上，
∴点P坐标为（﹣2m，0）或（6m，0）．
21．（6分）“冰墩墩”和“雪容融”作为第24届北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，某文旅店订购“冰墩墩”花费6000元，订购“雪容融”花费3200元，其中“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多20元，并且订购“冰墩墩”的数量是“雪容融”的1.25倍．
（1）求文旅店订购“冰墩墩”和“雪容融”的数量分别是多少个；（请列分式方程作答）
（2）该文旅店以100元和80元的单价销售“冰墩墩”和“雪容融”，在“冰墩墩”售出，“雪容融”售出后，文旅店为了尽快回笼资金，决定对剩余的“冰墩墩”每个打a折销售，对剩余的“雪容融”每个降价2a元销售，很快全部售完，若要保证文旅店总利润不低于6060元，求a的最小值．
【解答】解：（1）文旅店订购“雪容融”的数量为x个，则订购“冰墩墩”的数量为1.25x个，
由题意得：﹣＝20，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
则1.25x＝100，
答：文旅店订购“冰墩墩”的数量是100个，订购“雪容融”的数量是80个；
（2）由题意得：100××100+100××100×0.1a+80××80+80××（80﹣2a）﹣6000﹣3200≥6060，
解得：a≥8，
答：a的最小值为8．
22．（8分）已知：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD，BC于点E，F，作BH⊥AF于点H，分别交AC，CD于点G，P，连接GE，GF．
（1）求证：△OAE≌△OBG；
（2）判断四边形BFGE是什么特殊四边形？并证明你的结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠AOE＝∠BOG＝90°．
∵BH⊥AF，
∴∠AHG＝∠AHB＝90°，
∴∠GAH+∠AGH＝90°＝∠OBG+∠AGH，
∴∠GAH＝∠OBG，
即∠OAE＝∠OBG．
在△OAE与△OBG中，
，
∴△OAE≌△OBG（ASA）；
（2）解：四边形BFGE为菱形；理由如下：
在△AHG与△AHB中，
，
∴△AHG≌△AHB（ASA），
∴GH＝BH，
∴AF是线段BG的垂直平分线，
∴EG＝EB，FG＝FB．
∵∠BEF＝∠BAE+∠ABE＝67.5°，∠BFE＝90°﹣∠BAF＝67.5°，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴EB＝FB，
∴EG＝EB＝FB＝FG，
∴四边形BFGE是菱形．
23．（8分）某企业生产一种新产品，每件成本为50元．由于新产品市场有率较低，去年上市初期销量逐渐减少，1至6月，月销售量y（件）与月份x（月）满足一次函数关系：随着新产品逐渐得到市场认可，销量增加，6至1月，月销售量 y（件）与月份x（月）满足二次函数关系，且6月份的月销售量是该二次函数的最小值，函数关系如图所示．
（1）求y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）已知去年1至6月每件该产品的售价z（元）与月份x之间满足函数关系：z＝60+x（1≤x≤6，x为整数）．除成本外，平均每销售一件产品还需额外支出杂费p元，p与月份x之间满足函数关系：p＝x（1≤x≤6，x为整数），从7月至12月每件产品的售价和杂费均稳定在6月的水平．去年1至12 月，该产品在第几月获得最大利润？并求出最大利润．
（3）今年以来，由于物价上涨及积压了去年未销售的产品等因素，该企业每月均需支出杂费 6000 元（不论每月销售量如何，且天数不满一月时按整月计算）．为了出售去年积压的4000 件该产品，企业计划以单价70元销售，每月可卖出350件．为了尽快回笼资金并确保获利，企业决定降价销售，每件该产品每降价1元（降价金额为整数），每月可多卖出50 件，且要求在5个月内（含5 个月）将这批库存全部售出，如何定价可使获利最大？
【解答】解：（1）设y1＝kx+b（k≠0，1≤x≤6），
由图可知，y1经过点（1，600）和（4，450），
∴，
∴，
∴y1＝﹣50x+650（1≤x≤6），
当x＝6时，y1＝y2＝﹣50×6+650＝350，
∴设y2＝a（x﹣6）2+350（a≠0，6＜x≤12），
∵y2过点（10，430），
∴430＝a（10﹣6）2+350，
∴a＝5，
∴y2＝5（x﹣6）2+350＝5x2﹣60x+530（6＜x≤12）；
（2）设获得的利润为w元，由题意可得w＝（z﹣50﹣p）•y，
当1≤x≤6时，w＝，
整理得：w＝﹣100x2+800x+6500＝﹣100（x﹣4）2+8100，
∵﹣100＜0，
∴当x＝4时，获得最大利润，最大利润为8100元，
当7≤x≤12时，此时z＝60+＝75（元），p＝＝3（元），
则w＝（75﹣50﹣3）[5（x﹣6）2+350]＝110（x﹣6）2+7700，
∵110＞0，
∴当7≤x≤12时，y随x的增大而增大，
∴当x＝12时，获得最大利润，最大利润为110×（12﹣6）2+7700＝11660（元），
∵11660＞8100，
∴该产品在去年12月获得最大利润，最大利润为11660元；
（3）设降价m元销售（m为整数），所获的利润为w′元，
由题意得：w′＝（70﹣50﹣m）×4000﹣6000×，
∵要求在5个月内（含5 个月）将这批库存全部售出，
∴，
解得：m≥9，
∵70﹣50﹣m＞0，即m＜20，
∴9≤m＜20，
∵4000能被350+5m整除，
∴m可以取9，13，
当m＝9时，w′＝（70﹣50﹣9）×4000﹣6000×＝14000，
当m＝13时，w′＝（70﹣50﹣13）×4000﹣6000×＝4000，
∵14000＞4000，
∴当每件该产品降价9元时，获利最大．
24．（8分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
[观察与猜想]
（1）如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、AD上的两点，连接DE、CF，DE⊥CF，则的值为＝ 1 ；
（2）如图②，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为 ．
[性质探究]
（3）如图③，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°．点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F．求证：DE•AB＝CF•AD；
[拓展延伸]
已知四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8
（4）如图④，点P是BC上的点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上．求的值；
（5）如图⑤，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，延长EP、AB交于点G．当BG＝2时，DE＝ ．
【解答】（1）解：如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠CDF＝90°，
∵DE⊥CF，
∴∠DCF＝90°﹣∠EDC＝∠ADE，
∴△ADE≌△DCF（ASA），
∴DE＝CF，
∴＝1，
故答案为：1；
（2）解：如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°＝∠CDE，
∵CE⊥BD，
∴∠DCE＝90°﹣∠BDC＝∠ADB，
∴△DCE∽△ADB，
∴＝，
∵AD＝7，CD＝4，
∴＝，
故答案为：；
（3）证明：过F作FK⊥BC于K，如图：
∵∠A＝∠B＝90°，FK⊥BC，
∴四边形ABKF是矩形，
∴AB＝FK，AF∥BC，
∴∠FCK＝∠GFD，
∵∠G＝∠A＝90°，∠ADE＝∠GDF，
∴∠AED＝∠GFD，
∴∠FCK＝∠AED，
∵∠FKC＝90°＝∠A，
∴△FKC∽△DAE，
∴＝，
∴FK•DE＝AD•CF，
∴DE•AB＝CF•AD；
（4）解：过O作OM⊥AD于点M，ON⊥CD于点N，如图：
∴∠OMD＝∠OND＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，AB＝CD＝8，∠MDN＝∠A＝∠BCD＝90°，
∴四边形OMDN是矩形，
∴∠MON＝90°，
∵PE⊥CF于点O，
∴∠COE＝90°，
∴∠CON＝∠EOM＝90°﹣∠EON，
∵∠ONC＝∠OME＝90°，
∴△ONC∽△OME，
∴＝，
∵∠OND＝∠BCD，
∴ON∥BC，
∴△DON∽△DBC，
∴＝，
同理＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝＝＝；
（5）解：连接CE、CG，如图：
∵∠ABC＝90°，
∴∠PBG＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠PBG＝∠POC＝90°，
∵∠BPG＝∠OPC，
∴△BPG∽△OPC，
∴＝，
∴＝，
∵∠OPB＝∠CPG，
∴△OPB∽△CPG，
∴∠CBD＝∠OGC，
由（4）知＝，
∵＝＝，
∴＝，
∵∠COE＝∠BCD＝90°，
∴△COE∽△BCD，
∴∠CDB＝∠OEC，
∴∠OGC+∠OEC＝∠CBD+∠CDB＝90°，
即∠ECG＝90°，
∴∠BCG＝∠DCE＝90°﹣∠BCE，
∵∠CBG＝∠CDE＝90°，
∴△CBG∽△CDE，
∴＝＝，
∴DE＝BG＝×2＝，
故答案为：．
25．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？
（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴AC＝＝6（cm），
∵OD垂直平分线段AC，
∴OC＝OA＝3（cm），∠DOC＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠BAC＝∠DCO，
∵∠DOC＝∠ACB，
∴△DOC∽△BCA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴CD＝5（cm），OD＝4（cm），
∵PB＝t，PE⊥AB，
易知：PE＝t，BE＝t，
当点E在∠BAC的平分线上时，
∵EP⊥AB，EC⊥AC，
∴PE＝EC，
∴t＝8﹣t，
∴t＝4．
∴当t为4秒时，点E在∠BAC的平分线上．
（2）如图，连接OE，PC．
S四边形OPEG＝S△OEG+S△OPE＝S△OEG+（S△OPC+S△PCE﹣S△OEC）
＝•（4﹣t）•3+[•3•（8﹣t）+•（8﹣t）•t﹣•3•（8﹣t）]
＝﹣t2+t+6（0＜t＜5）．
（3）存在．
∵S＝﹣（t﹣）2+（0＜t＜5），
∴t＝时，四边形OPEG的面积最大．
（4）存在．如图，连接OQ．
∵OE⊥OQ，
∴∠EOC+∠QOC＝90°，
∵∠QOC+∠QOG＝90°，
∴∠EOC＝∠QOG，
∴tan∠EOC＝tan∠QOG，
∴＝，
∴＝，
整理得：5t2﹣66t+160＝0，
解得t＝或10（舍弃）
∴当t＝秒时，OE⊥OQ．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/3/18 11:04:22；用户：18953786658；邮箱：18953786658；学号：40016816
2023年山东省青岛市市南区、市北区、崂山区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题的四个选项中，只有一项符合要求．
1．（3分）下列四个数中，属于有理数的是（ ）
A． B． C．π D．﹣
2．（3分）网络用语“6”是比较厉害的意思，且“6”本身是一个自然数．将数字0.000000006用科学记数法表示为（ ）
A．﹣6×109 B．﹣0.6×108 C．0.6×10﹣8 D．6×10﹣9
3．（3分）“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．下列四个中国结图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）下列运算：①；②（﹣3a2b）2＝6a4b2；③a3•b÷a＝a2b；④（﹣mn3）2＝m2n6，其中结果正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（3分）将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，在△ABC中，AC＝4，以点C为圆心，2为半径的圆与边AB相切于点D，与AC，BC分别交于点E和点F，点H是优弧EF上一点，∠EHF＝70°，则∠BDF的度数是（ ）
A．35° B．40° C．55° D．60°
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝﹣ax2﹣b的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．（3分）计算：＝ ．
10．（3分）关于x的函数y＝（k﹣2）x2﹣（2k﹣1）x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是 ．
11．（3分）元旦期间，某游乐场发布一游戏规则：在一个装有6个红球和若干个白球（每个球除颜色外其余均相同）的不透明袋子中，随机摸出一个球，摸到红球就可获得欢动世界通票一张．已知有300人参加这个游戏，游乐场为此发放欢动世界通票60张，请你估计袋子中白球的数量是 个．
12．（3分）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝，AC＝．△ABC绕点B顺时针方向旋转45°得到△BA'C'，点A经过的路径为弧AA'，点C经过的路径为弧CC'，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，连接BD，过点C作∠DBC平分线BE的垂线，垂足为点E，且交BD于点F；过点C作∠BDC平分线DH的垂线，垂足为点H，且交BD于点G，连接HE，若BC＝2，CD＝，则线段HE的长度为 ．
三、作图题（本题满分4分）
15．（4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，∠BAC＝45°，D，E在AB上，作⊙O经过D，E两点且与AC相切．
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（8分）计算：
（1）化简：；
（2）解不等式组：，并写出它的最大整数解．
17．（6分）有四张反面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．
（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是 ．
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由．（纸牌用A、B、C、D表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．
18．（6分）2022年北京冬奥会的召开惊艳世界，冬奥村的餐厅更是得到了各国运动员的好评．运动员主餐厅位于北京冬奥村居住区西南侧，共设置了世界餐台、亚洲餐台、中餐餐台、清真餐台、鲜果台、面包和甜品台等12种餐台．一送餐机器人从世界餐台A处向正南方向走200米到达亚洲餐台B处，再从B处向正东方向走500米到达中餐餐台C处，然后从C处向北偏西37°走到就餐区D处，最后从D回到A处，已知就餐区D在A的北偏东73°方向，求中餐台C到就餐区D（即CD）的距离．（结果保留整数）
（参考数值：sin73°≈，cos73°≈，tan73°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．）
19．（8分）2022年年末，政策放开后，中国迎来第一波疫情高峰．相比去年，中国人口减少85万．某校举行了以“疫情防护”为主题的知识竞赛活动．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，下面为部分数据：其中“80≤x＜90”这组的部分数据如下：80，82，82，83，83，84，85，85，85，86，87，87，87，88，88……其中“90≤x≤100”这组的数据如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100．
竞赛成绩分组统计表
组别
竞赛成绩分组
频数
平均分
1
60≤x＜70
8
65
2
70≤x＜80
a
75
3
80≤x＜90
b
88
4
90≤x≤100
10
95
根据以上信息，回答下列问题：
（1）下列说法正确的是 ．
A．样本为n名学生
B．a＝12
C．m＝40
（2）“90≤x≤100”这组的数据的众数是 ．
（3）随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是 ；平均分是 ；
（4）若学生竞赛成绩达到96分以上（含96分）获奖，请你估计全校1200名学生中获奖的人数．
20．（6分）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞0．
（1）当y1﹣y2＝4时，求m的值；
（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．
21．（6分）“冰墩墩”和“雪容融”作为第24届北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，某文旅店订购“冰墩墩”花费6000元，订购“雪容融”花费3200元，其中“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多20元，并且订购“冰墩墩”的数量是“雪容融”的1.25倍．
（1）求文旅店订购“冰墩墩”和“雪容融”的数量分别是多少个；（请列分式方程作答）
（2）该文旅店以100元和80元的单价销售“冰墩墩”和“雪容融”，在“冰墩墩”售出，“雪容融”售出后，文旅店为了尽快回笼资金，决定对剩余的“冰墩墩”每个打a折销售，对剩余的“雪容融”每个降价2a元销售，很快全部售完，若要保证文旅店总利润不低于6060元，求a的最小值．
22．（8分）已知：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD，BC于点E，F，作BH⊥AF于点H，分别交AC，CD于点G，P，连接GE，GF．
（1）求证：△OAE≌△OBG；
（2）判断四边形BFGE是什么特殊四边形？并证明你的结论．
23．（8分）某企业生产一种新产品，每件成本为50元．由于新产品市场有率较低，去年上市初期销量逐渐减少，1至6月，月销售量y（件）与月份x（月）满足一次函数关系：随着新产品逐渐得到市场认可，销量增加，6至1月，月销售量 y（件）与月份x（月）满足二次函数关系，且6月份的月销售量是该二次函数的最小值，函数关系如图所示．
（1）求y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）已知去年1至6月每件该产品的售价z（元）与月份x之间满足函数关系：z＝60+x（1≤x≤6，x为整数）．除成本外，平均每销售一件产品还需额外支出杂费p元，p与月份x之间满足函数关系：p＝x（1≤x≤6，x为整数），从7月至12月每件产品的售价和杂费均稳定在6月的水平．去年1至12 月，该产品在第几月获得最大利润？并求出最大利润．
（3）今年以来，由于物价上涨及积压了去年未销售的产品等因素，该企业每月均需支出杂费 6000 元（不论每月销售量如何，且天数不满一月时按整月计算）．为了出售去年积压的4000 件该产品，企业计划以单价70元销售，每月可卖出350件．为了尽快回笼资金并确保获利，企业决定降价销售，每件该产品每降价1元（降价金额为整数），每月可多卖出50 件，且要求在5个月内（含5 个月）将这批库存全部售出，如何定价可使获利最大？
24．（8分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
[观察与猜想]
（1）如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、AD上的两点，连接DE、CF，DE⊥CF，则的值为＝ ；
（2）如图②，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为 ．
[性质探究]
（3）如图③，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°．点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F．求证：DE•AB＝CF•AD；
[拓展延伸]
已知四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8
（4）如图④，点P是BC上的点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上．求的值；
（5）如图⑤，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，延长EP、AB交于点G．当BG＝2时，DE＝ ．
25．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？
（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2023年山东省青岛市市南区、市北区、崂山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题的四个选项中，只有一项符合要求．
1．（3分）下列四个数中，属于有理数的是（ ）
A． B． C．π D．﹣
【解答】解：A、是有理数，故A符合题意；
B、是无理数，故B不符合题意；
C、π是无理数，故C不符合题意；
D、﹣是无理数，故D不符合题意；
故选：A．
2．（3分）网络用语“6”是比较厉害的意思，且“6”本身是一个自然数．将数字0.000000006用科学记数法表示为（ ）
A．﹣6×109 B．﹣0.6×108 C．0.6×10﹣8 D．6×10﹣9
【解答】解：0.000000006＝6×10﹣9．
故选：D．
3．（3分）“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．下列四个中国结图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：左起第1、3、4这三个图形既是中心对称图形又是轴对称图形，
第二个图形是中心对称图形，不是轴对称图形，
故选：C．
4．（3分）下列运算：①；②（﹣3a2b）2＝6a4b2；③a3•b÷a＝a2b；④（﹣mn3）2＝m2n6，其中结果正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①﹣xy2＝﹣xy2，故①是错误的；
②（﹣3a2b）2＝9a4b2，故②是错误的；
③a3•b÷a＝a2b，故③是正确的的；
④（﹣mn3）2＝m2n6，故④是正确的的；
故选：B．
5．（3分）将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从上面看可得到一个正方形，正方形里面有一条撇向的实线．
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，AC＝4，以点C为圆心，2为半径的圆与边AB相切于点D，与AC，BC分别交于点E和点F，点H是优弧EF上一点，∠EHF＝70°，则∠BDF的度数是（ ）
A．35° B．40° C．55° D．60°
【解答】解：如图，连接CD，
∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵AC＝4，CD＝2，
∴cos∠ACD＝＝＝，
∴∠ACD＝60°，
∵∠EHF＝70°，
∴∠ACB＝2∠EHF＝140°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝140°﹣60°＝80°，
∵CD＝CF，
∴∠CDF＝∠CFD＝＝50°，
∴∠BDF＝∠CDB﹣∠CDF＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接BF，
∵BC＝6，点E为BC的中点，
∴BE＝3，
又∵AB＝4，
∴AE＝＝5，
由折叠知，BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴）
∴BH＝＝，
则BF＝，
∵FE＝BE＝EC，
∴∠BFC＝90°，
∴CF＝＝．
故选：D．
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝﹣ax2﹣b的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＞0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2﹣b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标﹣b大于零，故A正确；
B、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＜0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2﹣b的图象应该开口向上，顶点的纵坐标﹣b大于零，故B错误；
C、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＜0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2+b的图象应该开口向上，故C错误；
D、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＞0，﹣b＞0，此时抛物线y＝﹣ax2﹣b的顶点的纵坐标大于零，故D错误；
故选：A．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．（3分）计算：＝ ．
【解答】解：原式＝﹣﹣+（）2
＝3﹣2﹣+
＝．
故答案为．
10．（3分）关于x的函数y＝（k﹣2）x2﹣（2k﹣1）x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是 k＞﹣且k≠2 ．
【解答】解：根据题意得：，
解得k＞﹣且k≠2．
故答案是：k＞﹣且k≠2．
11．（3分）元旦期间，某游乐场发布一游戏规则：在一个装有6个红球和若干个白球（每个球除颜色外其余均相同）的不透明袋子中，随机摸出一个球，摸到红球就可获得欢动世界通票一张．已知有300人参加这个游戏，游乐场为此发放欢动世界通票60张，请你估计袋子中白球的数量是 24 个．
【解答】解：设袋中共有m个红球，则摸到红球的概率P（红球）＝，
∴＝，
解得m＝24，
经检验：m＝24是分式方程的解，且符合题意，
所以估计袋子中白球的数量是24个，
故答案为：24．
12．（3分）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是 65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50 ．
【解答】解：设每个季度平均降低成本的百分率为x，
依题意，得：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．
故答案为：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝，AC＝．△ABC绕点B顺时针方向旋转45°得到△BA'C'，点A经过的路径为弧AA'，点C经过的路径为弧CC'，则图中阴影部分的面积为 π﹣6 ．（结果保留π）
【解答】解：设A'B与AC交于D，过D作DE⊥AB于E，如图：
∵AB＝6，BC＝，AC＝，
∴BC2+AC2＝（）2+（）2＝36，AB2＝36，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴tan∠CAB＝＝，
∴＝，即AE＝2DE，
∵∠EBD＝45°，
∴BE＝DE，
而AE+BE＝AB＝6，
∴2DE+DE＝6，
∴DE＝2，
∴S△DAB＝AB•DE＝×6×2＝6，
∴S阴影部分＝S扇形BAA'﹣S△DAB+S扇形BCC'＝﹣6+＝π﹣6+π＝π﹣6．
故答案为：π﹣6．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，连接BD，过点C作∠DBC平分线BE的垂线，垂足为点E，且交BD于点F；过点C作∠BDC平分线DH的垂线，垂足为点H，且交BD于点G，连接HE，若BC＝2，CD＝，则线段HE的长度为 ．
【解答】解：∵BE平分∠DBC，
∴∠CBE＝∠FBE，
∵CF⊥BE，
∴∠BEC＝∠BEF＝90°，
又∵BE＝BE，
∴△BEC≌△BEF（ASA），
∴CE＝FE，BF＝BC＝2，
同理：CH＝GH，DG＝CD＝，
∴HE是△CGF的中位线，
∴HE＝，
在矩形ABCD中，，，
由勾股定理得：BD＝，
∴GF＝BF+DG﹣BD＝，
∴HE＝，
故答案为：．
三、作图题（本题满分4分）
15．（4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，∠BAC＝45°，D，E在AB上，作⊙O经过D，E两点且与AC相切．
【解答】解：如图，⊙O为所作．
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（8分）计算：
（1）化简：；
（2）解不等式组：，并写出它的最大整数解．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2），
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＜4，
故原不等式组的解集为：1≤x＜4，
则其最大的整数解是：3．
17．（6分）有四张反面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．
（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是 ．
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由．（纸牌用A、B、C、D表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．
【解答】解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，
从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是；
故答案为：；
（2）游戏不公平，理由如下：
列表得：
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即（A，C）（C，A）
∴P（两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形）＝＝，
∴小亮获胜的概率为，小明获胜的概率为，
∴游戏不公平．
修改规则：若抽到的两张牌面图形都是中心对称图形（或若抽到的两张牌面图形都是轴对称图形），则小明获胜，否则小亮获胜．
18．（6分）2022年北京冬奥会的召开惊艳世界，冬奥村的餐厅更是得到了各国运动员的好评．运动员主餐厅位于北京冬奥村居住区西南侧，共设置了世界餐台、亚洲餐台、中餐餐台、清真餐台、鲜果台、面包和甜品台等12种餐台．一送餐机器人从世界餐台A处向正南方向走200米到达亚洲餐台B处，再从B处向正东方向走500米到达中餐餐台C处，然后从C处向北偏西37°走到就餐区D处，最后从D回到A处，已知就餐区D在A的北偏东73°方向，求中餐台C到就餐区D（即CD）的距离．（结果保留整数）
（参考数值：sin73°≈，cos73°≈，tan73°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．）
【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，过点A作AF⊥DE，垂足为F，
则∠AFE＝∠AFD＝∠DEC＝∠DEB＝∠B＝90°，∠CDE＝37°，∠ADF＝73°，
∴四边形ABEF是矩形，
∴AB＝EF＝200米，AF＝BE，
设CD＝x米，
在Rt△CDE中，DE＝CD•cos37°≈x（米），
CE＝CD•sin37°≈x（米），
∴DF＝DE﹣EF＝（x﹣200）米，
∵BC＝500米，
∴AF＝BE＝AB﹣CE＝（500﹣x）米，
在Rt△ADF中，tan73°＝≈，
∴AF＝DF，
∴500﹣x＝×（x﹣200），
解得：x≈357，
∴中餐台C到就餐区D（即CD）的距离为357米．
19．（8分）2022年年末，政策放开后，中国迎来第一波疫情高峰．相比去年，中国人口减少85万．某校举行了以“疫情防护”为主题的知识竞赛活动．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，下面为部分数据：其中“80≤x＜90”这组的部分数据如下：80，82，82，83，83，84，85，85，85，86，87，87，87，88，88……其中“90≤x≤100”这组的数据如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100．
竞赛成绩分组统计表
组别
竞赛成绩分组
频数
平均分
1
60≤x＜70
8
65
2
70≤x＜80
a
75
3
80≤x＜90
b
88
4
90≤x≤100
10
95
根据以上信息，回答下列问题：
（1）下列说法正确的是 B ．
A．样本为n名学生
B．a＝12
C．m＝40
（2）“90≤x≤100”这组的数据的众数是 96 ．
（3）随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是 83.5 ；平均分是 82.6分 ；
（4）若学生竞赛成绩达到96分以上（含96分）获奖，请你估计全校1200名学生中获奖的人数．
【解答】解：（1）样本为n名学生的竞赛成绩，故选项A错误，不符合题意；
n＝8÷16%＝50，则a＝50×24%＝12，故选项B符合题意；
m＝1﹣16%﹣24%﹣20%＝40%，故选项C错误，不符合题意；
故选：B；
（2）∵90≤x≤100”这组的数据如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100．
∴“90≤x≤100”这组的数据的众数是96，
故答案为：96；
（3）随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是（83+84）÷2＝83.5，
平均分是：×（65×8+75×12+50×40%×88+95×10）＝82.6（分），
故答案为：83.5，82.6；
（4）1200×＝120（人），
答：估计全校1200名学生中获奖的有120人．
20．（6分）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞0．
（1）当y1﹣y2＝4时，求m的值；
（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y＝，
∵反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3），
∴k＝﹣4×（﹣3）＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵反比例函数的图象经过点B（2m，y1），C（6m，y2），
∴y1＝＝，y2＝＝，
∵y1﹣y2＝4，
∴﹣＝4，
∴m＝1，
经检验，m＝1是原方程的解．
故m的值是1；
（2）设BD与x轴交于点E．
∵点B（2m，），C（6m，），过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，
∴D（2m，），BD＝﹣＝．
∵三角形PBD的面积是8，
∴BD•PE＝8，
∴••PE＝8，
∴PE＝4m，
∵E（2m，0），点P在x轴上，
∴点P坐标为（﹣2m，0）或（6m，0）．
21．（6分）“冰墩墩”和“雪容融”作为第24届北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，某文旅店订购“冰墩墩”花费6000元，订购“雪容融”花费3200元，其中“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多20元，并且订购“冰墩墩”的数量是“雪容融”的1.25倍．
（1）求文旅店订购“冰墩墩”和“雪容融”的数量分别是多少个；（请列分式方程作答）
（2）该文旅店以100元和80元的单价销售“冰墩墩”和“雪容融”，在“冰墩墩”售出，“雪容融”售出后，文旅店为了尽快回笼资金，决定对剩余的“冰墩墩”每个打a折销售，对剩余的“雪容融”每个降价2a元销售，很快全部售完，若要保证文旅店总利润不低于6060元，求a的最小值．
【解答】解：（1）文旅店订购“雪容融”的数量为x个，则订购“冰墩墩”的数量为1.25x个，
由题意得：﹣＝20，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
则1.25x＝100，
答：文旅店订购“冰墩墩”的数量是100个，订购“雪容融”的数量是80个；
（2）由题意得：100××100+100××100×0.1a+80××80+80××（80﹣2a）﹣6000﹣3200≥6060，
解得：a≥8，
答：a的最小值为8．
22．（8分）已知：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD，BC于点E，F，作BH⊥AF于点H，分别交AC，CD于点G，P，连接GE，GF．
（1）求证：△OAE≌△OBG；
（2）判断四边形BFGE是什么特殊四边形？并证明你的结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠AOE＝∠BOG＝90°．
∵BH⊥AF，
∴∠AHG＝∠AHB＝90°，
∴∠GAH+∠AGH＝90°＝∠OBG+∠AGH，
∴∠GAH＝∠OBG，
即∠OAE＝∠OBG．
在△OAE与△OBG中，
，
∴△OAE≌△OBG（ASA）；
（2）解：四边形BFGE为菱形；理由如下：
在△AHG与△AHB中，
，
∴△AHG≌△AHB（ASA），
∴GH＝BH，
∴AF是线段BG的垂直平分线，
∴EG＝EB，FG＝FB．
∵∠BEF＝∠BAE+∠ABE＝67.5°，∠BFE＝90°﹣∠BAF＝67.5°，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴EB＝FB，
∴EG＝EB＝FB＝FG，
∴四边形BFGE是菱形．
23．（8分）某企业生产一种新产品，每件成本为50元．由于新产品市场有率较低，去年上市初期销量逐渐减少，1至6月，月销售量y（件）与月份x（月）满足一次函数关系：随着新产品逐渐得到市场认可，销量增加，6至1月，月销售量 y（件）与月份x（月）满足二次函数关系，且6月份的月销售量是该二次函数的最小值，函数关系如图所示．
（1）求y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）已知去年1至6月每件该产品的售价z（元）与月份x之间满足函数关系：z＝60+x（1≤x≤6，x为整数）．除成本外，平均每销售一件产品还需额外支出杂费p元，p与月份x之间满足函数关系：p＝x（1≤x≤6，x为整数），从7月至12月每件产品的售价和杂费均稳定在6月的水平．去年1至12 月，该产品在第几月获得最大利润？并求出最大利润．
（3）今年以来，由于物价上涨及积压了去年未销售的产品等因素，该企业每月均需支出杂费 6000 元（不论每月销售量如何，且天数不满一月时按整月计算）．为了出售去年积压的4000 件该产品，企业计划以单价70元销售，每月可卖出350件．为了尽快回笼资金并确保获利，企业决定降价销售，每件该产品每降价1元（降价金额为整数），每月可多卖出50 件，且要求在5个月内（含5 个月）将这批库存全部售出，如何定价可使获利最大？
【解答】解：（1）设y1＝kx+b（k≠0，1≤x≤6），
由图可知，y1经过点（1，600）和（4，450），
∴，
∴，
∴y1＝﹣50x+650（1≤x≤6），
当x＝6时，y1＝y2＝﹣50×6+650＝350，
∴设y2＝a（x﹣6）2+350（a≠0，6＜x≤12），
∵y2过点（10，430），
∴430＝a（10﹣6）2+350，
∴a＝5，
∴y2＝5（x﹣6）2+350＝5x2﹣60x+530（6＜x≤12）；
（2）设获得的利润为w元，由题意可得w＝（z﹣50﹣p）•y，
当1≤x≤6时，w＝，
整理得：w＝﹣100x2+800x+6500＝﹣100（x﹣4）2+8100，
∵﹣100＜0，
∴当x＝4时，获得最大利润，最大利润为8100元，
当7≤x≤12时，此时z＝60+＝75（元），p＝＝3（元），
则w＝（75﹣50﹣3）[5（x﹣6）2+350]＝110（x﹣6）2+7700，
∵110＞0，
∴当7≤x≤12时，y随x的增大而增大，
∴当x＝12时，获得最大利润，最大利润为110×（12﹣6）2+7700＝11660（元），
∵11660＞8100，
∴该产品在去年12月获得最大利润，最大利润为11660元；
（3）设降价m元销售（m为整数），所获的利润为w′元，
由题意得：w′＝（70﹣50﹣m）×4000﹣6000×，
∵要求在5个月内（含5 个月）将这批库存全部售出，
∴，
解得：m≥9，
∵70﹣50﹣m＞0，即m＜20，
∴9≤m＜20，
∵4000能被350+5m整除，
∴m可以取9，13，
当m＝9时，w′＝（70﹣50﹣9）×4000﹣6000×＝14000，
当m＝13时，w′＝（70﹣50﹣13）×4000﹣6000×＝4000，
∵14000＞4000，
∴当每件该产品降价9元时，获利最大．
24．（8分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
[观察与猜想]
（1）如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、AD上的两点，连接DE、CF，DE⊥CF，则的值为＝ 1 ；
（2）如图②，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为 ．
[性质探究]
（3）如图③，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°．点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F．求证：DE•AB＝CF•AD；
[拓展延伸]
已知四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8
（4）如图④，点P是BC上的点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上．求的值；
（5）如图⑤，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，延长EP、AB交于点G．当BG＝2时，DE＝ ．
【解答】（1）解：如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠CDF＝90°，
∵DE⊥CF，
∴∠DCF＝90°﹣∠EDC＝∠ADE，
∴△ADE≌△DCF（ASA），
∴DE＝CF，
∴＝1，
故答案为：1；
（2）解：如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°＝∠CDE，
∵CE⊥BD，
∴∠DCE＝90°﹣∠BDC＝∠ADB，
∴△DCE∽△ADB，
∴＝，
∵AD＝7，CD＝4，
∴＝，
故答案为：；
（3）证明：过F作FK⊥BC于K，如图：
∵∠A＝∠B＝90°，FK⊥BC，
∴四边形ABKF是矩形，
∴AB＝FK，AF∥BC，
∴∠FCK＝∠GFD，
∵∠G＝∠A＝90°，∠ADE＝∠GDF，
∴∠AED＝∠GFD，
∴∠FCK＝∠AED，
∵∠FKC＝90°＝∠A，
∴△FKC∽△DAE，
∴＝，
∴FK•DE＝AD•CF，
∴DE•AB＝CF•AD；
（4）解：过O作OM⊥AD于点M，ON⊥CD于点N，如图：
∴∠OMD＝∠OND＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，AB＝CD＝8，∠MDN＝∠A＝∠BCD＝90°，
∴四边形OMDN是矩形，
∴∠MON＝90°，
∵PE⊥CF于点O，
∴∠COE＝90°，
∴∠CON＝∠EOM＝90°﹣∠EON，
∵∠ONC＝∠OME＝90°，
∴△ONC∽△OME，
∴＝，
∵∠OND＝∠BCD，
∴ON∥BC，
∴△DON∽△DBC，
∴＝，
同理＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝＝＝；
（5）解：连接CE、CG，如图：
∵∠ABC＝90°，
∴∠PBG＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠PBG＝∠POC＝90°，
∵∠BPG＝∠OPC，
∴△BPG∽△OPC，
∴＝，
∴＝，
∵∠OPB＝∠CPG，
∴△OPB∽△CPG，
∴∠CBD＝∠OGC，
由（4）知＝，
∵＝＝，
∴＝，
∵∠COE＝∠BCD＝90°，
∴△COE∽△BCD，
∴∠CDB＝∠OEC，
∴∠OGC+∠OEC＝∠CBD+∠CDB＝90°，
即∠ECG＝90°，
∴∠BCG＝∠DCE＝90°﹣∠BCE，
∵∠CBG＝∠CDE＝90°，
∴△CBG∽△CDE，
∴＝＝，
∴DE＝BG＝×2＝，
故答案为：．
25．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？
（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴AC＝＝6（cm），
∵OD垂直平分线段AC，
∴OC＝OA＝3（cm），∠DOC＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠BAC＝∠DCO，
∵∠DOC＝∠ACB，
∴△DOC∽△BCA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴CD＝5（cm），OD＝4（cm），
∵PB＝t，PE⊥AB，
易知：PE＝t，BE＝t，
当点E在∠BAC的平分线上时，
∵EP⊥AB，EC⊥AC，
∴PE＝EC，
∴t＝8﹣t，
∴t＝4．
∴当t为4秒时，点E在∠BAC的平分线上．
（2）如图，连接OE，PC．
S四边形OPEG＝S△OEG+S△OPE＝S△OEG+（S△OPC+S△PCE﹣S△OEC）
＝•（4﹣t）•3+[•3•（8﹣t）+•（8﹣t）•t﹣•3•（8﹣t）]
＝﹣t2+t+6（0＜t＜5）．
（3）存在．
∵S＝﹣（t﹣）2+（0＜t＜5），
∴t＝时，四边形OPEG的面积最大．
（4）存在．如图，连接OQ．
∵OE⊥OQ，
∴∠EOC+∠QOC＝90°，
∵∠QOC+∠QOG＝90°，
∴∠EOC＝∠QOG，
∴tan∠EOC＝tan∠QOG，
∴＝，
∴＝，
整理得：5t2﹣66t+160＝0，
解得t＝或10（舍弃）
∴当t＝秒时，OE⊥OQ．
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