2021-2022学年河南省新乡市某校高中部高二（下）月考数学试卷 (1)

这是一份2021-2022学年河南省新乡市某校高中部高二（下）月考数学试卷 (1)，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 命题“∀x>0,2x−1>0”的否定为（ ）
A.∀x>0,2x−1≤0B.∀x≤0,2x−1≤0
C.∃x0>0,2x0−1≤0D.∃x0>0,2x0−1>0

2. 数列−1，14,−19,116,−125，…的一个通项公式为an=（ ）
A.−1nn2B.−1nn+12C.−1n3n−2D.−1n2n−1

3. 已知实数x，y满足约束条件 y≤1,x−y≤0,x≥−2, 则z=2x+y的最大值为（ ）
A.3B.−3C.−6D.6

4. 抛物线y=−14x2的焦点坐标为（ ）
A.−2,0B.0,−2C.−1,0D.0,−1

5. 已知空间向量AB→=0,1,−2， |AC→|=2,AB→,AC→=2π3，则AB→⋅BC→=（ ）
A.−5−5B.5−5C.−5+5D.5+5

6. 已知椭圆x24+y2|m|=1的焦距为23，则m的值不可能为（ ）
A.1B.7C.−1D.7

7. 对于实数a，b，下列选项正确的是（ ）
A.若a1b
C.若a
8. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=3asinC ，B=π4， △ABC外接圆的半径为6，则c=（ ）
A.6+42B.6+22C.8+42D.8+22

9. 已知p:aA.1B.0C.−1D.2

10. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列，则a+cb的取值范围是（ ）
A.(1,2]B.(1,3]C.3,2D.[2,2）

11. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为CC1的中点，E为C1D1的中点，F为B1C1的中点，O为EF的中点，直线PE交直线DD1于点Q，直线PF交直线BB1于点R，则（ ）
A.AO→=57AP→+17AQ→+17AR→
B.AO→=12AP→+14AQ→+14AR→
C.AO→=23AP→+16AQ→+16AR→
D.AO→=59AP→+29AQ→+29AR→

12. 已知焦距为6的双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2，其中一条渐近线的斜率为22，过右焦点F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，设M为△F1AB的内切圆圆心，则S△F1ABS△MAB 的取值范围是（ ）
A.(0,26]B.(2,6]C.2,26D.26,6
二、填空题

已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，若S9=81，则a3=

若正数a,b满足a+b=2，则12b+2a+1的最小值为________

已知点P是抛物线C:y2=2px上一点，C的焦点为F1,0，点A的坐标为4,2，则|PF|+|PA|的最小值为________.

如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为正方形B1BCC1（包括边界）内一动点，当P为BC1的中点时，A1P与BD所成角的余弦值为________；若|A1P→|=5，则|DP→|的最大值为________．

三、解答题

已知p:x2−2x+1−a2≥0a>0,q:x+1x−5<0.
(1)当x=−3时，p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)若¬p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3c−3bcsA=bsinA.
（1）求B；

（2）若b=3,a=c+1，求c．

如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，E为棱PD的中点，PA⊥平面ABCD，且PA=2AB．

(1)证明：PB//平面ACE．

(2)求直线PC与平面ACE所成角的正弦值．

已知数列an的前n项和为Sn，且nSn=2n−n+2an
(1)证明：数列ann是等比数列．

(2)求数列Sn的前n项和Tn

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0上一点P32,32到两焦点的距离之和为23.
(1)求椭圆C的方程．

(2)不经过点Q1,0的直线l与x轴垂直，与椭圆C交于A，B两点，若直线BQ与C的另一交点为D，问直线AD是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

三等分角是古希腊三大几何难题之一，公元3世纪末，古希腊数学家帕普斯利用双曲线解决了三等分角问题，如图，已知直线l:x=1与x轴交于点C，以C为圆心作圆交x轴于A，F两点，在直径AF上取一点B，满足|AB|=2|BF|，以A，B为顶点，F为焦点作双曲线D:x2a2−y2b2=1a>0,b>0，与圆在第一象限交于点E，则E为圆弧AF的三等分点，即CE为∠ACF的三等分线．

(1)求双曲线D的标准方程，并证明直线CE与双曲线D只有一个公共点．

(2)过F的直线与双曲线D交于P，Q两点，过Q作l的垂线，垂足为R，试判断直线RP是否过定点．若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
参考答案与试题解析
2021-2022学年河南省新乡市某校高中部高二（下）月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
全称命题的否定是特称命题．
2.
【答案】
A
【考点】
数列递推式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由题可知，数列−1，14,−19,116,−125，…的一个通项公式为an=−1nn2
3.
【答案】
A
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
画出可行域（图略）知，当直线z=2x+y过点1,1时，z取得最大值3.
4.
【答案】
D
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
抛物线y=−14x2的标准方程为x2=−4y，所以其焦点坐标为0,−1
5.
【答案】
A
【考点】
平面向量的坐标运算
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
依题意可知AB→⋅AC→=|AB→|⋅|AC→|cs2π3=−5，
则AB→·BC→=AB→⋅AC→−AB→=AB→⋅AC→−|AB→|2=−5−5
6.
【答案】
D
【考点】
椭圆的定义和性质
椭圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由题知,c=3，若|m|>4，则a2=|m|,b2=4，所以|m|=7，即m=±7
若|m|<4，则a2=4,b2=|m|=1，即m=±1
7.
【答案】
C
【考点】
不等式比较两数大小
【解析】
此题暂无解析
【解答】
若a若a0,b28.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为c=3asinC，所以sinC=3sinAsinC．
因为sinC≠0，所以sinA=13．
因为△ABC外接圆的半径为6，
所以a=2RsinA=12×13=4.
因为B=π4，所以b=2RsinB=12×22=62.
因为b>a，所以csA=223
因为sinC=sinA+B=13×22+223×22=4+26，
所以c=2RsinC=12×4+26=8+22.
9.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
一元二次方程的根的分布与系数的关系
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为方程ax2+2x+1=0有一正一负两个根，所以Δ=22−4a>0,1a<0,解得a<0
因为p是q的充分不必要条件，所以m<0,且m∈Z，故m的最大值为−1.
10.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为角A，B，C成等差数列，所以A+C=2B.
因为A+B+C=π，所以B=π3．
因为a+cb=sinA+sinCsinB=23sinA+sin2π3−A=2sinA+π6，
且011.
【答案】
B
【考点】
点、线、面间的距离计算
向量在几何中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由已知可得AO→=AA1→+A1O→=AA1→+34AB→+AD→，
而AB→+32AA1→=AR→,AD→+32AA1→=AQ→,AC→+12AA1→=AP→,
得 AA1→=25AQ→+AR→−AP→,AB→+AD→=65AP→−15AQ→−15AR→，
所以AO→=12AP→+14AQ→+14AR→
12.
【答案】
B
【考点】
双曲线的特性
双曲线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由题知ba=22，且2c=6，根据a2+b2=c2，解得a2=6,b2=3，所以双曲线C的标准方程为x26−y23=1
因为|AF1|−|AF2|=26=|BF1|−|BF2|，所以|AF1|−|BF1|=|AF2|−|BF2|，
因此F2是△F1AB的内切圆在AB边上的切点，所以MF2⊥AB
因为S△F1ABS△MAB=12|MF2|⋅|AF1|+|BF1|+|AB|12|MF2|⋅|AB| =26+|AF2|+26+|BF2|+|AB||AB|=46|AB|+2，
且|AB|≥6，所以SΔF1ABS△MAB 的取值范围是（2，6]．
二、填空题
【答案】
5
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为S9=9a1+a92=9a5=81，所以a5=9．
又an的公差为2，所以a3=9−2×2=5
【答案】
32
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为a+b=2，所以12b+2a+1=13a+1+b12b+2a+1=1352+a+12b+2ba+1≥32，当且仅当a=b=1时，等号成立．
【答案】
5
【考点】
抛物线的性质
抛物线的标准方程
抛物线的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由题知，抛物线方程为y2=4x，准线l:x=−1，过点P作PM⊥l，垂足为M（图略），则[PM|=|PF|．
因为PF|+|PA|=|PM|+|PA|≥|AM|，且|AM|min=4−−1=5，
所以当A, P，M共线时，|PF|+|PA|取得最小值5.
【答案】
36 ,3
【考点】
异面直线及其所成的角
平面向量的坐标运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
以D为坐标原点，以DA→，DC→,DD1→的方向分别x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系D−xyz（图略），
则A2,0,0,B2,2,0,C0,2,0,C10,2,2,A12,0,2．当P为BC1的中点时，P1,2,1．
因为A1P→=−1,2,−1,DB→=2,2,0，所以csA1→P,DB→=A1P→⋅DB→|A1P→||DB→|=26×22=36，
所以A1P与BD所成角的余弦值为36
设Pa,2,b,a,b∈0,2，则A1P→=a−2,2,b−2
因为|A1P→|=5，所以a−22+4+b−22=5，即a−22+b−22=1
令a−2=csα,b−2=sinα,α∈π,3π2，则a=2+csα,b=2+sinα
因为DP→=a,2,b，所以|DP|→=a2+b2+4=13+42sinα+π4
因为α∈π,3π2，所以|DP→|max=13+42×−22=3
三、解答题
【答案】
解：（1）p:x2−2x+1−a2≥0a>0，即x−1+ax−1−a≥0，
当x=−3时，p为真命题，即−4+a−4−a≥0，所以−4≤a≤4
又a>0，所以实数a的取值范围为(0,4] ．
（2）¬p:x2−2x+1−a2<0a>0，解得x∈1−a,1+a
q:x+1x−5<0，解得x∈−1,5 ．
因为¬p是q的充分不必要条件，所以1−a,1+a⊆−1,5，且1−a,1+a≠−1,5
所以1−a≥−1,1+a≤5（等号不同时成立），解得0【考点】
命题的真假判断与应用
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）p:x2−2x+1−a2≥0a>0，即x−1+ax−1−a≥0，
当x=−3时，p为真命题，即−4+a−4−a≥0，所以−4≤a≤4
又a>0，所以实数a的取值范围为(0,4] ．
（2）¬p:x2−2x+1−a2<0a>0，解得x∈1−a,1+a
q:x+1x−5<0，解得x∈−1,5 ．
因为¬p是q的充分不必要条件，所以1−a,1+a⊆−1,5，且1−a,1+a≠−1,5
所以1−a≥−1,1+a≤5（等号不同时成立），解得0【答案】
解：（1）因为3c−3bcsA=bsinA，所以3sinC−3sinBcsA=sinAsinB
即3sinAcsB+3csAsinB−3sinBcsA=sinAsinB，
化简得3sinAcsB=sinAsinB，所以tanB=3，
又因为B∈0,π，所以B=π3．
（2）因为b2=c2+a2−2accsB，
所以3=c2+c+12−2cc+1×12
整理得c2+c−2=0，解得c=1．
【考点】
同角三角函数间的基本关系
余弦定理
解三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）因为3c−3bcsA=bsinA，所以3sinC−3sinBcsA=sinAsinB
即3sinAcsB+3csAsinB−3sinBcsA=sinAsinB，
化简得3sinAcsB=sinAsinB，所以tanB=3，
又因为B∈0,π，所以B=π3．
（2）因为b2=c2+a2−2accsB，
所以3=c2+c+12−2cc+1×12
整理得c2+c−2=0，解得c=1．
【答案】
（1）证明：连接BD交AC于点O，连接OE，则OE是△PBD的中位线．
因为OE//PB，且OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，
所以PB//平面ACE．
(2)解：因为AB⊥AD,PA⊥平面ABCD，所以AB，AD，AP两两互相垂直．
以A为坐标原点，以AB→,AD→,AP→的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz.
设AB=2，则A0,0,0,C2,2,0,P0,0,4,E0,1,2，
所以CP→=(−2,−2,4),AC→=(2,2,0),AE→=(0,1,2)．
设平面ACE的法向量为n→=x,y,z，则n→⋅AC→=2x+2y=0n→⋅AE→=y+2z=0
令x=2，得 n→=2,−2,1，
所以|cs|=|n→⋅CP→||n→||CP→|=69，
故直线PC与平面ACE所成角的正弦值为69
【考点】
直线与平面平行的判定
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）证明：连接BD交AC于点O，连接OE，则OE是△PBD的中位线．
因为OE//PB，且OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，
所以PB//平面ACE．
(2)解：因为AB⊥AD,PA⊥平面ABCD，所以AB，AD，AP两两互相垂直．以A为坐标原点，以AB→,AD→,AP→的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
设AB=2，则A0,0,0,C2,2,0,P0,0,4,E0,1,2，
所以CP→=(−2,−2,4),AC→=(2,2,0),AE→=(0,1,2)．
设平面ACE的法向量为n→=x,y,z，则n→⋅AC→=2x+2y=0n→⋅AE→=y+2z=0
令x=2，得 n→=2,−2,1，
所以|cs|=|n→⋅CP→||n→||CP→|=69，
故直线PC与平面ACE所成角的正弦值为69
【答案】
（1）证明：由nSn=2n−n+2an，得Sn=2−n+2nan．
当n=1时，a1=S1=2−3a1，解得a1=12，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n+1n−1an−1−n+2nan，
整理得ann=12⋅an−1n−1
故数列{ann}是以12为首项，12为公比的等比数列．
（2）解：由（1）可知，ann=12n，则an=n2n，
故Sn=2−n+22n
Tn=2n−321−422−…−n+22n，
则Tn2=n−322−423−…−n+22n+1，
则Tn2=n−(32+122+123+…+12n)+n+22n+1=n−2+n+42n+1
故Tn=2n−4+n+42n．
【考点】
等比数列
等比关系的确定
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）证明：由nSn=2n−n+2an，得Sn=2−n+2nan．
当n=1时，a1=S1=2−3a1，解得a1=12，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n+1n−1an−1−n+2nan，
整理得ann=12⋅an−1n−1
故数列{ann}是以12为首项，12为公比的等比数列．
（2）解：由（1）可知，ann=12n，则an=n2n，
故Sn=2−n+22n
Tn=2n−321−422−…−n+22n，
则Tn2=n−322−423−…−n+22n+1，
则Tn2=n−(32+122+123+…+12n)+n+22n+1=n−2+n+42n+1
故Tn=2n−4+n+42n．
【答案】
解：（1）由题知，a=3，把点P32,32代入椭圆C的方程，得b=1
故椭圆C的方程为x23+y2=1．
（2）由题知直线BQ的斜率不为零．
设直线BQ的方程为x=my+1m≠0,Bx1,y1,Dx2,y2,Ax1,−y1
联立方程组 x23+y2=1x=my+1,’消去x整理得m2+3y2+2my−2=0
则y1+y2=−2mm2+3,y1y2=−2m2+3 ．
直线AD的方程为y+y1=y2+y1x2−x1x−x1，
令y=0，得x=(x2−x1)y1y2+y1+x1=x1y2+x2y1y2+y1=(my1+1)y2+(my2+1)y1y2+y1=2my1y2+y1+y2y2+y1
故直线AD过定点（3,0）．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的定义和性质
圆锥曲线中的定点与定值问题
直线恒过定点
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）由题知，a=3，把点P32,32代入椭圆C的方程，得b=1
故椭圆C的方程为x23+y2=1．
（2）由题知直线BQ的斜率不为零．
设直线BQ的方程为x=my+1m≠0,Bx1,y1,Dx2,y2,Ax1,−y1
联立方程组 x23+y2=1x=my+1,’消去x整理得m2+3y2+2my−2=0
则y1+y2=−2mm2+3,y1y2=−2m2+3 ．
直线AD的方程为y+y1=y2+y1x2−x1x−x1，
令y=0，得x=(x2−x1)y1y2+y1+x1=x1y2+x2y1y2+y1=(my1+1)y2+(my2+1)y1y2+y1=2my1y2+y1+y2y2+y1
故直线AD过定点（3,0）．
【答案】
解：（1) 因为|AB|=2|BF|，所以2a=2c−a，所以c=2a．
因为c−a2=1，所以c−a=2，所以a=2,c=4．
因为b=c2−a2=23，所以双曲线D的标准方程为x24−y212=1
因为CE为∠ACF的三等分线，所以∠ECF=60∘
所以kCE=3．
因为双曲线D的一条渐近线的斜率为ba=3
所以CE平行于双曲线D的渐近线，故直线CE与双曲线D只有一个公共点．
（2）设过F4,0的直线方程为x=my+4，Px1,y1,Qx2,y2,R1,y2
联立方程组x=my+4,x24−y212=1, 得3m2−1y2+24my+36=0．
则y1+y2=−24m3m2−1,y1y2=363m2−1
直线RP的方程为y−y2=y1−y11−x1x−1
令y=0，则x=x1y2−y1y2−y1=my1+4y2−y1y2−y1=my1y2+32y1+y2+52y2−y1y2−y1
=36m3m2−1+32×−24m3m2−1+52(y2−y1)y2−y1=52
所以直线RP过定点52,0
【考点】
双曲线的标准方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1) 因为|AB|=2|BF|，所以2a=2c−a，所以c=2a．
因为c−a2=1，所以c−a=2，所以a=2,c=4．
因为b=c2−a2=23，所以双曲线D的标准方程为x24−y212=1
因为CE为∠ACF的三等分线，所以∠ECF=60∘
所以kCE=3．
因为双曲线D的一条渐近线的斜率为ba=3
所以CE平行于双曲线D的渐近线，故直线CE与双曲线D只有一个公共点．
（2）设过F4,0的直线方程为x=my+4，Px1,y1,Qx2,y2,R1,y2
联立方程组x=my+4,x24−y212=1, 得3m2−1y2+24my+36=0．
则y1+y2=−24m3m2−1,y1y2=363m2−1
直线RP的方程为y−y2=y1−y11−x1x−1
令y=0，则x=x1y2−y1y2−y1=my1+4y2−y1y2−y1=my1y2+32y1+y2+52y2−y1y2−y1
=36m3m2−1+32×−24m3m2−1+52(y2−y1)y2−y1=52
所以直线RP过定点52,0