理科数学2022届高三第三次模拟考试卷 （三） 教师版

这是一份理科数学2022届高三第三次模拟考试卷 （三） 教师版，共9页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，在中，，，的角平分线的长为，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题设，，
又，所以，故选D．
2．已知复数，且，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【解析】由已知，
所以，，故选D．
3．已知等差数列满足，，则（ ）
A．0B．1C．2D．2023
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，则，，
所以，故选B．
4．已知，函数的极小值为，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【解析】，
则在和上单调递减，在上单调递增，
所以，则，则，
故选C．
5．在中，点D在线段上，且满足，点Q为线段上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．4B．C．8D．
【答案】D
【解析】由题知点D满足，由，
由点Q在线段上，结合向量的三点共线定理可得，，，
则，
当且仅当，即等号成立，即D选项正确，
故选D．
6．如图，长方体中，点E，F分别是棱，上的动点（异于所在棱的端点）．给出以下结论：①在F运动的过程中，直线能与AE平行；②直线与EF必然异面；③设直线AE，AF分别与平面相交于点P，Q，则点可能在直线PQ上．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【解析】长方体中，，
连接，，，
当点E，F分别是棱，中点时，
由勾股定理得，故，
同理可得，故四边形是平行四边形，
所以在F运动的过程中，直线能与AE平行，与EF相交，①正确，②错误；
以为坐标原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则当点E，F分别是棱，中点且长方体为正方体时，设棱长为2，
则，，，
则，，则，
又两向量有公共点，所以三点共线，故则点可能在直线PQ上，③正确，
故选B．
7．在中，，，的角平分线的长为，则（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理得，即，
又，，，
，则，，
，
在中，由正弦定理得，，故选C．
8．已知直线过点，与圆相交于B，C使得，
则满足条件的直线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】由题设，，故圆心，半径，
则，
又，故在圆内部，且，
所以过的直线与圆相交的最短弦长为，
此时，直线，则直线有且仅有一条，故选B．
9．线段AB上任取一点C，若，则点C是线段AB的“黄金分割点”，以AC，BC为邻边组成的矩形称为“黄金矩形”．现在线段AB上任取一点C，若以AC，BC为邻边组成矩形，则该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则由，解得，
此时“黄金矩形”的面积为．
在线段AB上任取一点C，并设，
则以AC，BC为邻边组成矩形的面积为，
由该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积可得，
解得或，
故所求概率为，故选A．
10．函数的部分图象如图所示，且，对不同的，若，有，则（ ）
A．在上单调递减B．关于直线对称
C．关于点对称D．在上是单调递增
【答案】A
【解析】由图象可知，
又对不同的，若，有，
则有，即，
，即，
又，则，故，
选项A：若，则，则在上单调递减．判断正确；
选项B：，则不关于直线对称．判断错误；
选项C：，则不关于点对称．判断错误；
选项D：，，则，
故有，，但，
则在上不单调递增，判断错误，
故选A．
11．已知直线与抛物线交于、两点，点、在准线上的射影分别是、，若四边形的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】抛物线的准线方程为，设点、，
设，则、，
易知直线过抛物线的焦点，联立，可得，
解得，，即点、，
由抛物线的定义可得，
所以，四边形的面积为，
因为，解得，故选D．
12．若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则T的几何意义是直线上的点与曲线上的点的距离，
将直线平移到与曲线相切时，切点Q到直线的距离最小．
而，令，则，可得，
此时，Q到直线的距离，故，所以，
故选B．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．假设要考查某公司生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数法抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，，799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个的样本个体的编号是________．
（下面摘取了随机数表第7行到第9行）
84421753315724550688770474476721763350258392120676
63016378591695566719981050717512867358074439523879
33211234297864560782524207443815510013429966027954
【答案】068
【解析】根据随机数表法最先检测的4袋牛奶编号为331、572、455、068，
故答案为068．
14．展开式中的系数为_________．
【答案】
【解析】展开式的通项，
所以展开式的通项为或，
故其中的系数为，故答案为0．
15．双曲线的左，右焦点分别为、，过点的直线l交双曲线的右支于A、B两点，且，，则双曲线的离心率为______．
【答案】（或）
【解析】令，则，
依题意，，
等腰中，，
而，
在中，由余弦定理，
得，
整理得，即，
而，解得，
所以双曲线的离心率为，故答案为．
16．已知直线与圆交于，两点，且，则的最大值为___________．
【答案】（或）
【解析】的几何意义为点到直线的距离之和，其最大值是的中点到直线的距离的2倍．
由题可知，为等边三角形，则，
∴AB中点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
故点到直线的最大距离为，
∴的最大值为，
∴的最大值为，
故答案为．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．
已知数列的前项和为满足_________，_________；正项等差数列满足，且，，成等比数列．
（1）求和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）解：选①，②．
时，，相减可得，即，
时，，解得，满足，
∴数列是等比数列，首项与公比都为，∴．
选①，③．
时，，相减可得，即，
时，，，解得，，
满足，
∴数列是等比数列，首项与公比都为，∴．
选②，③，
时，，相减可得，化为，
时，，，解得，满足，
∴数列是等比数列，首项与公比都为，∴．
设正项等差数列的公差为，
∵满足，且，，成等比数列，
∴，∴，，解得，
∴．
（2）解：，
∴数列的前项和，
所以，
相减可得，
整理得．
18．（12分）如图，在三棱柱中，，，且，底面ABC，E为AB中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）连接与交于点O，连接OE，
由分别为的中点，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）由，底面，故底面，
建立如图所示空间直角坐标系：则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，则，
因为底面，所以为平面一个法向量，
所以，
由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
19．（12分）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点．
（1）证明：以为直径的圆与直线相切；
（2）设（1）中的切点为，且点位于轴上方，若的面积为，求直线的方程．
【答案】（1）证明见解析；（2）﹒
【解析】（1）由题意得抛物线的焦点为，准线方程为．
设，，
弦的中点，
则到准线的距离为，
∴以为直径的圆与直线相切．
（2）由题可知直线的斜率不能为0，设直线的方程为，
由，得，
设，则，
∴．
点的坐标为，则点到直线的距离为，
故，解得，
即，
又点位于轴上方，∴，
∴直线的方程为．
20．（12分）某商店计划七月份订购某种饮品，进货成本为每瓶2元，未售出的饮品降价处理，以每瓶1元的价格当天全部处理完．依经验，零售价与日需求量依据当天的温度而定，当气温时，零售价为每瓶元，日需求量为瓶；当时，零售价为每瓶元，日需求量为瓶；当时，零售价为每瓶元，日需求量为瓶．已知七月份每天气温的概率为，的概率为，的概率为．
（1）求七月份这种饮品一天的平均需求量；
（2）若七月份某连续三天每天的气温均不低于，求这三天销售这种饮品的总利润的分布列及数学期望．
【答案】（1）瓶；（2）答案见解析．
【解析】（1）解：设七月份这种饮品的日需求量为，则的可能取值有、、，
由题意知，，，
所以，
故七月份这种饮品一天的平均需求量为瓶．
（2）解：因为这三天每天的气温不低于，所以这三天这种饮品每天的需求量至多为瓶，至少为瓶，
设这三天每天的进货量为瓶，则，
当时，日利；
当时，日利润．
由题意知七月份某一天的气温的概率，
所以的概率，的概率．
设这三天销售这种饮品的总利润为，
若这三天的气温都满足，则，；
若这三天中有两天的气温满足，一天的气温满足，
则，
；
若这三天中有一天的气温满足，两天的气温满足，
则，
；
若这三天的气温都满足，则，，
所以的分布列如下表所示：
故，
其中．
21．（12分）已知函数．
（1）当时，若直线l既是曲线的切线，也是曲线的切线，求直线l的方程；
（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1）当时，．
设曲线上任意一点，由于，，
则曲线在点处的切线为，
即．
设曲线上任意一点，由于，，
则曲线在点处的切线为，即．
因为直线l既是曲线的切线，也是曲线的切线，
所以，解得或，
所以直线的方程为或．
（2）构造函数，
由题意得恒成立，
则有，
即恒成立．
由于在上单调递增，所以，即．
令，所以，
又，
所以当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减，
则当时，，
所以，则，即的取值范围为．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
已知直线（其中常数，为参数），以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．已知直线与曲线相切于点．
（1）求的值；
（2）若点为曲线上一点，求的面积取最大值时点的坐标．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）解：由已知可得直线的普通方程为，
曲线的极坐标方程可化为，即，
所以，曲线的直角坐标方程为，
所以，曲线是以点为圆心，半径为的圆，
根据点到直线的距离公式可知，
因为，解得．
（2）解：联立，解得，即点，
所以，直线的方程为，而且弦的长度一定，
要使的面积最大，只需点到直线的距离最大，
设，则点到直线的距离为，
所以当时，即当，
即时，点到直线的距离最大，此时点的坐标为．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数（其中，）．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对，不等式恒成立，试求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，
，等价于不等式组
或或，
解得或或，
所以原不等式的解集为．
（2）由，可得，
所以，
故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，
故．
要满足题的条件，则有，
即，
所以，
当且仅当时取等号，故的最小值为．