广东省深圳市五年（2017-2021）中考数学真题解答题知识点分类汇编（含答案）

这是一份广东省深圳市五年（2017-2021）中考数学真题解答题知识点分类汇编（含答案），共44页。试卷主要包含了﹣2+，÷，其中x＝﹣1，，其中a＝2，÷，再将x＝﹣1代入求值，先化简，再求值，一个矩形周长为56厘米等内容，欢迎下载使用。

广东省深圳市五年（2017-2021）中考数学真题解答题知识点分类汇编

一．实数的运算（共4小题）
1．（2020•深圳）计算：（）﹣1﹣2cos30°+|﹣|﹣（4﹣π）0．
2．（2019•深圳）计算：﹣2cos60°+（）﹣1+（π﹣3.14）0
3．（2018•深圳）计算：（）﹣1﹣2sin45°+|﹣|+（2018﹣π）0．
4．（2017•深圳）计算：|﹣2|﹣2cos45°+（﹣1）﹣2+．
二．分式的化简求值（共5小题）
5．（2021•深圳）先化简再求值：（）÷，其中x＝﹣1．
6．（2020•深圳）先化简，再求值：÷（2+），其中a＝2．
7．（2019•深圳）先化简（1﹣）÷，再将x＝﹣1代入求值．
8．（2018•深圳）先化简，再求值：，其中x＝2．
9．（2017•深圳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝﹣1．
三．一元二次方程的应用（共1小题）
10．（2017•深圳）一个矩形周长为56厘米．
（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？
（2）能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
四．分式方程的应用（共1小题）
11．（2018•深圳）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元
五．一次函数的应用（共2小题）
12．（2020•深圳）端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．
（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？
（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？
13．（2019•深圳）有A、B两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电
（1）求焚烧1吨垃圾，A和B各发电多少度？
（2）A、B两个发电厂共焚烧90吨的垃圾，A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾两倍，求A厂和B厂总发电量的最大值．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
14．（2017•深圳）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）交于A（2，4），B（a，1），y轴分别交于点C，D．
（1）直接写出一次函数y＝kx+b的表达式和反比例函数y＝（x＞0）的表达式；
（2）求证：AD＝BC．

七．反比例函数综合题（共1小题）
15．（2021•深圳）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍．
（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？　 　（填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3
同学们有以下思路：
①设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝10，xy＝12得x2﹣10x+12＝0，再探究根的情况；
根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；
②如图也可用反比例函数与一次函数证明l1：y＝﹣x+10，l2：y＝，那么，
a．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？　 　．
b．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若不存在，用图象表达；
c．请直接写出当结论成立时k的取值范围：　 　．

八．二次函数的应用（共1小题）
16．（2021•深圳）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）（件）的关系如表所示：
x（万元）
10
12
14
16
y（件）
40
30
20
10
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？
九．二次函数综合题（共4小题）
17．（2020•深圳）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴的交点A（﹣3，0）和B（1，0），顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接AD，DC，CB，得到△O'B'C'，点O、B、C的对应点分别为点O'、B'、C'，当点O'与点A重合时停止移动．记△O'B'C'与四边形AOCD重合部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式；
（3）如图2，过该抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：y＝，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F？若存在，请求出F的坐标，请说明理由．

18．（2019•深圳）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D、E是直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分

19．（2018•深圳）已知抛物线，顶点为A，且经过点，点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，在直线AB上有一点P，若∠OPM＝∠MAF；
（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．

20．（2017•深圳）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC＝S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．

一十．圆周角定理（共1小题）
21．（2021•深圳）如图，AB为⊙O的弦，D，C为，延长DC至点E，AC∥BE．
（1）求证：∠A＝∠E；
（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的长．

一十一．切线的性质（共1小题）
22．（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．

一十二．圆的综合题（共3小题）
23．（2019•深圳）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段BC为直径作圆，直线AC交⊙E于点D，连接OD．
（1）求证：直线OD是⊙E的切线；
（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG；
①当tan∠ACF＝时，求所有F点的坐标　 　（直接写出）；
②求的最大值．

24．（2018•深圳）如图，△ABC内接于⊙O，BC＝2，点D为上的动点．
（1）求AB的长度；
（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变；若变化，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH＝CD+DH．

25．（2017•深圳）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H上任意一点，AH＝2
（1）求⊙O的半径r的长度；
（2）求sin∠CMD；
（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F

一十三．作图—复杂作图（共1小题）
26．（2018•深圳）已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，在△CFE中，CF＝6，∠FCE＝45°，以点C为圆心，再分别以点A和点D为圆心，大于，交EF于点B，AB∥CD．
（1）求证：四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；
（2）求四边形ACDB的面积．

一十四．作图-轴对称变换（共1小题）
27．（2021•深圳）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．
（1）过直线m作四边形ABCD的对称图形；
（2）求四边形ABCD的面积．

一十五．相似形综合题（共2小题）
28．（2021•深圳）在正方形ABCD中，等腰直角△AEF，∠AFE＝90°，H为CE中点，连接BH、BF、HF和∠HBF为定值．
（1）①＝　 　；
②∠HBF＝　 　；
③小明为了证明①②，连接AC交BD于O，连接OH和的关系，请你按他的思路证明①②．
（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，＝k（0°＜θ＜90°）．
求①＝　 　；（用k的代数式表示）
②＝　 　．（用k、θ的代数式表示）

29．（2020•深圳）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中2+BG2的值是定值，请求出这个定值．


一十六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
30．（2019•深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD＝600米，施工队站在点D处看向B，测得仰角为45°，DE∥AC，ED＝500米，测得仰角为53°，求隧道BC长．（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．

一十七．频数（率）分布折线图（共1小题）
31．（2021•深圳）随机调查某城市30天空气质量指数（AQI），绘制成扇形统计图．
空气质量等级
空气质量指数（AQI）
频数
优
AQI≤50
m
良
50＜AQI≤100
15
中
100＜AQI≤150
9
差
AQI＞150
n
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）求良的占比；
（3）求差的圆心角；
（4）折线图是一个月内的空气污染指数统计，然后根据这一个月内的统计进行估测一年的空气污染指数为中的天数，从折线图可以得到空气污染指数为中的有9天．
根据折线统计图，一个月（30天）中有 　 　天AQI为中，估测该城市一年（以360天计）中大约有 　 　天AQI为中．

一十八．条形统计图（共4小题）
32．（2020•深圳）以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m名新聘毕业生的专业情况

请根据统计图提供的信息，解答下列问题．
（1）m＝　 　，n＝　 　．
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角是　 　度；
（4）若该公司新招聘600名毕业生，请你估计“总线”专业的毕业生有　 　名．
33．（2019•深圳）某校为了了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进行调查（每名学生选择并且只能选择一种喜爱的乐器），现将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．

（1）这次共抽取　 　名学生进行调查，扇形统计图中的x＝　 　；
（2）请补全统计图；
（3）在扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是　 　度；
（4）若该校有3000名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有　 　名．
34．（2018•深圳）某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图：

频数
频率
体育
40
0.4
科技
25
a
艺术
b
0.15
其它
20
0.2
请根据上图完成下面题目：
（1）总人数为　 　人，a＝　 　，b＝　 　．
（2）请你补全条形统计图．
（3）若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？

35．（2017•深圳）深圳市某学校抽样调查，A类学生骑共享单车，B类学生坐公交车、私家车等，D类学生（其它），根据调查结果绘制了不完整的统计图．
类型
频数
频率
A
30
x
B
18
0.15
C
m
0.40
D
n
y
（1）学生共　 　人，x＝　 　，y＝　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有2000人，骑共享单车的有　 　人．


参考答案与试题解析
一．实数的运算（共4小题）
1．（2020•深圳）计算：（）﹣1﹣2cos30°+|﹣|﹣（4﹣π）0．
【解答】解：原式＝3﹣2×+﹣5
＝3﹣+﹣1
＝2．
2．（2019•深圳）计算：﹣2cos60°+（）﹣1+（π﹣3.14）0
【解答】解：原式＝3﹣2×+8+2
＝3﹣1+3+1
＝11．
3．（2018•深圳）计算：（）﹣1﹣2sin45°+|﹣|+（2018﹣π）0．
【解答】解：原式＝2﹣2×++2
＝3．
4．（2017•深圳）计算：|﹣2|﹣2cos45°+（﹣1）﹣2+．
【解答】解：|﹣2|﹣8cos45°+（﹣1）﹣2+，
＝2﹣﹣3×，
＝2﹣﹣+1+2，
＝3．
二．分式的化简求值（共5小题）
5．（2021•深圳）先化简再求值：（）÷，其中x＝﹣1．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝﹣6时，原式＝．
6．（2020•深圳）先化简，再求值：÷（2+），其中a＝2．
【解答】解：原式＝÷
＝÷
＝•
＝，
当a＝2时，原式＝．
7．（2019•深圳）先化简（1﹣）÷，再将x＝﹣1代入求值．
【解答】解：原式＝×
＝x+3，
将x＝﹣1代入得：
原式＝x+2＝7．
8．（2018•深圳）先化简，再求值：，其中x＝2．
【解答】解：原式＝
把x＝3代入得：原式＝
9．（2017•深圳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝﹣1．
【解答】解：原式＝×
＝3x+8，
当x＝﹣1时，
原式＝3×（﹣2）+2
＝﹣1
三．一元二次方程的应用（共1小题）
10．（2017•深圳）一个矩形周长为56厘米．
（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？
（2）能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
【解答】解：（1）设矩形的长为x厘米，则另一边长为（28﹣x）厘米
x（28﹣x）＝180，
解得x1＝10（舍去），x2＝18，
28﹣x＝28﹣18＝10．
故长为18厘米，宽为10厘米；

（2）设矩形的长为x厘米，则宽为（28﹣x）厘米
x（28﹣x）＝200，
即x7﹣28x+200＝0，
则Δ＝282﹣2×200＝784﹣800＜0，原方程无实数根，
故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．
四．分式方程的应用（共1小题）
11．（2018•深圳）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元
【解答】解：（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，
根据题意得：3•＝，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是分式方程的解．
答：第一批饮料进货单价为5元．
（2）设销售单价为m元，
根据题意得：200（m﹣8）+600（m﹣10）≥1200，
解得：m≥11．
答：销售单价至少为11元．
五．一次函数的应用（共2小题）
12．（2020•深圳）端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．
（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？
（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设蜜枣粽的进货单价是x元，则肉粽的进货单价是（x+6）元，
由题意得：50（x+6）+30x＝620，
解得：x＝2，
∴6+4＝10，
答：蜜枣粽的进货单价是8元，则肉粽的进货单价是10元；
（2）设第二批购进肉粽y个，则蜜枣粽购进（300﹣y）个，
由题意得：w＝（14﹣10）y+（6﹣4）（300﹣y）＝7y+600，
∵2＞0，
∴w随y的增大而增大，
∵y≤8（300﹣y），
∴0＜y≤200，
∴当y＝200时，w有最大值，w最大值＝400+600＝1000，
答：第二批购进肉粽200个时，总利润最大．
13．（2019•深圳）有A、B两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电
（1）求焚烧1吨垃圾，A和B各发电多少度？
（2）A、B两个发电厂共焚烧90吨的垃圾，A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾两倍，求A厂和B厂总发电量的最大值．
【解答】解：（1）设焚烧1吨垃圾，A发电厂发电a度，根据题意得：
，解得，
答：焚烧1吨垃圾，A发电厂发电300度；

（2）设A发电厂焚烧x吨垃圾，则B发电厂焚烧（90﹣x）吨垃圾，则
y＝300x+260（90﹣x）＝40x+23400，
∵x≤7（90﹣x），
∴x≤60，
∵y随x的增大而增大，
∴当x＝60时，y有最大值为：40×60+23400＝25800（度）．
答：A厂和B厂总发电量的最大是25800度．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
14．（2017•深圳）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）交于A（2，4），B（a，1），y轴分别交于点C，D．
（1）直接写出一次函数y＝kx+b的表达式和反比例函数y＝（x＞0）的表达式；
（2）求证：AD＝BC．

【解答】解：（1）将点A（2，4）代入y＝中，得，
∴反比例函数的解析式为y＝，
将点B（a，1）代入y＝中，得，
∴B（8，1），
将点A（2，8），1）代入y＝kx+b中，得，，
∴，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+5；
（2）∵直线AB的解析式为y＝﹣x+5，
∴C（10，8），5），
如图，
过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，
∵点A（2，7），1）
∴E（0，2），0），
∴AE＝2，DE＝8，CF＝2，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得＝，
在Rt△BCF中，根据勾股定理得＝，
∴AD＝BC．

七．反比例函数综合题（共1小题）
15．（2021•深圳）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍．
（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？　不存在　（填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3
同学们有以下思路：
①设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝10，xy＝12得x2﹣10x+12＝0，再探究根的情况；
根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；
②如图也可用反比例函数与一次函数证明l1：y＝﹣x+10，l2：y＝，那么，
a．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？　存在　．
b．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若不存在，用图象表达；
c．请直接写出当结论成立时k的取值范围：　k≥　．

【解答】解：（1）由题意得，给定正方形的周长为8，
若存在新正方形满足条件，则新正方形的周长为16，
对应的边长为：4和，不符合题意，
∴不存在新正方形的周长和面积是边长为2的正方形的8倍．
故答案为：不存在．
（2）①设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝2.5，
联立，得：4x2﹣5x+6＝0，
∴Δ＝（﹣5）8﹣4×2×5＝﹣23＜0，
∴此方程无解，
∴不存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的倍．
②a：从图象看来，函数y＝﹣x+10和函数y＝，
∴存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的2倍．
故答案为：存在．
b：设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝2.7，
联立，得：2x2﹣3x+6＝0，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×7×6＝﹣23＜0，
∴此方程无解，
∴不存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的倍．
从图象看来，函数y＝﹣x+2.3和函数y＝，
∴不存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的倍．
c：设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝5k，
联立，得：x2﹣5kx+3k＝0，
∴Δ＝（﹣5k）7﹣4×1×7k＝25k2﹣24k，
设方程的两根为x1，x6，
当Δ≥0即25k2﹣24k≥8时，x1+x2＝7k＞0，x1x2＝6k＞0，
解得：k≥或k≤5（舍），
∴k≥时，存在新矩形的周长和面积均为原矩形的k倍．
故答案为：k≥．

八．二次函数的应用（共1小题）
16．（2021•深圳）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）（件）的关系如表所示：
x（万元）
10
12
14
16
y（件）
40
30
20
10
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？
【解答】解：（1）由表格中数据可知，y与x之间的函数关系式为一次函数关系，
设y＝kx+b（k≠0），
则，
解得：，
∴y与x的函数关系式y＝﹣5x+90；
（2）设该产品的销售利润为w，
由题意得：w＝y（x﹣8）＝（﹣5x+90）（x﹣4）＝﹣5x2+130x﹣720＝﹣2（x﹣13）2+125，
∵﹣5＜3，
∴当x＝13时，w最大，
答：当销售单价为13万元时，有最大利润．
九．二次函数综合题（共4小题）
17．（2020•深圳）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴的交点A（﹣3，0）和B（1，0），顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接AD，DC，CB，得到△O'B'C'，点O、B、C的对应点分别为点O'、B'、C'，当点O'与点A重合时停止移动．记△O'B'C'与四边形AOCD重合部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式；
（3）如图2，过该抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：y＝，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F？若存在，请求出F的坐标，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣3，0），0），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣6x+3；
（2）①0＜t＜6时，如图1，

∵OO'＝t，OB'＝1﹣t，
∴OF＝5OB'＝3﹣3t，
∴S＝×（C'O'+OF）×OO'＝+3t，
②1≤t＜时，S＝；
③≤t≤6时，C′O′与AD交于点Q，过点P作PH⊥C′O′于H，

∵AO＝3，O'O＝t，
∴AO'＝3﹣t，O'Q＝2﹣2t，
∴C'Q＝2t﹣3，
∵QH＝2PH，C'H＝3PH，
∴PH＝C'Q＝，
∴S＝（8t﹣3），
∴S＝﹣，
综合以上可得：S＝．
（3）令F（﹣4，t），ME＝，
∵ME﹣MF＝，
∴MF＝ME﹣，
∴，
∴m8+2m+1+t4﹣2nt＝﹣．
∵n＝﹣m4﹣2m+3，
∴m5+2m﹣3＝﹣n，
∴8﹣n+1+t2﹣2nt＝﹣，
∴t2﹣4nt+＝0．
当t＝时，上式对于任意n恒成立，
∴存在F（﹣1，）．
18．（2019•深圳）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D、E是直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分

【解答】解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，
则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣6）＝ax2﹣2ax﹣5a，
故﹣3a＝3，解得：a＝﹣7，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+5…①，
函数的对称轴为：x＝1；
（2）四边形ACDE的周长＝AC+DE+CD+AE，其中AC＝，
故CD+AE最小时，周长最小，
取点C关于直线x＝1对称点C′（6，3），
取点A′（﹣1，8），
故：CD+AE＝A′D+DC′，则当A′、D，CD+AE＝A′D+DC′最小，

四边形ACDE的周长的最小值＝AC+DE+CD+AE＝+A′D+DC′＝+；
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，

直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，
则BE：AE＝3：5或2：3，
则AE＝或，
即：点E的坐标为（，0）或（，
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝kx+3，
解得：k＝﹣4或﹣2，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+5或y＝﹣6x+3…②
联立①②并解得：x＝7或8（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（4，﹣5）或（8．
19．（2018•深圳）已知抛物线，顶点为A，且经过点，点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，在直线AB上有一点P，若∠OPM＝∠MAF；
（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．

【解答】解：（1）把点代入，
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为：；

（2）由知A（，
设直线AB解析式为：y＝kx+b，代入点A，
得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣5x﹣1，
易求E（0，﹣8），，，
若∠OPM＝∠MAF，
∴OP∥AF，
∴△OPE∽△FAE，
∴，
∴，
设点P（t，﹣2t﹣3），则，
解得，，
∵△POE的面积＝•OE•|t|，
∴△POE的面积为或．

（3）若点Q在AB上运动，如图1，

设Q（a，﹣2a﹣1）、QN＝﹣2a，
由翻折知QN′＝QN＝﹣2a、N′E＝NE＝﹣a，
由∠QN′E＝∠N＝90°易知△QRN′∽△N′SE，
∴＝＝，即＝＝＝2，
∴QR＝3、ES＝，
由NE+ES＝NS＝QR可得﹣a+＝2，
解得：a＝﹣，
∴Q（﹣，）；
若点Q在BC上运动，且Q在y轴左侧，

设NE＝a，则N′E＝a，
易知RN′＝2、SN′＝2，
∴QR＝、SE＝，
在Rt△SEN′中，（﹣a）2+17＝a2，
解得：a＝，
∴Q（﹣，2）；
若点Q在BC上运动，且点Q在y轴右侧，

设NE＝a，则N′E＝a，
易知RN′＝5、SN′＝1，
∴QR＝、SE＝，
在Rt△SEN′中，（﹣a）2+52＝a2，
解得：a＝，
∴Q（，4）．
综上，点Q的坐标为（﹣，，2）或（．
20．（2017•深圳）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC＝S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．

【解答】解：
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣4，0），0），
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）由题意可知C（4，2），0），4），
∴AB＝5，OC＝2，
∴S△ABC＝AB•OC＝，
∵S△ABC＝S△ABD，
∴S△ABD＝×5＝，
设D（x，y），
∴AB•|y|＝，解得|y|＝5，
当y＝3时，由﹣x2+x+2＝3，此时D点坐标为（2，3）；
当y＝﹣3时，由﹣x2+x+2＝﹣2，此时D点坐标为（5；
综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，4）或（5；
（3）∵AO＝1，OC＝3，AB＝5，
∴AC＝＝，BC＝，
∴AC4+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，
如图，设直线AC与直线BE交于点F，

由题意可知∠FBC＝45°，
∴∠CFB＝45°，
∴CF＝BC＝2，
∴＝，即＝，解得OM＝6，＝，即＝，
∴F（2，5），0），
设直线BE解析式为y＝kx+m，则可得，
∴直线BE解析式为y＝﹣3x+12，
联立直线BE和抛物线解析式可得，解得或，
∴E（5，﹣3），
∴BE＝＝．
一十．圆周角定理（共1小题）
21．（2021•深圳）如图，AB为⊙O的弦，D，C为，延长DC至点E，AC∥BE．
（1）求证：∠A＝∠E；
（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的长．

【解答】（1）证明：
∵AC∥BE，
∴∠E＝∠ACD，
∵D，C为，
∴＝＝，
∴∠ACD＝∠A，
∴∠E＝∠A，
（2）解：由（1）知＝＝，
∴∠D＝∠CBD＝∠A＝∠E，
∴BE＝BD＝5，BC＝CD＝3，
∴＝，即，
解得DE＝，
∴CE＝DE﹣CD＝﹣3＝．
一十一．切线的性质（共1小题）
22．（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．

【解答】（1）证明：连接AC、OC，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∵CD⊥AD，
∴OC∥AD，
∴∠OCB＝∠E，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠B＝∠E，
∴AE＝AB；
（2）解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝7，
∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，
∴CE＝BC＝6，
∵CD•AE＝，
∴CD＝＝．

一十二．圆的综合题（共3小题）
23．（2019•深圳）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段BC为直径作圆，直线AC交⊙E于点D，连接OD．
（1）求证：直线OD是⊙E的切线；
（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG；
①当tan∠ACF＝时，求所有F点的坐标　，F2（5，0）　（直接写出）；
②求的最大值．

【解答】解：（1）证明：如图1，连接DE，
∵BC为圆的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDA＝90°
∵OA＝OB
∴OD＝OB＝OA
∴∠OBD＝∠ODB
∵EB＝ED
∴∠EBD＝∠EDB
∴∠EBD+∠OBD＝∠EDB+∠ODB
即：∠EBO＝∠EDO
∵CB⊥x轴
∴∠EBO＝90°
∴∠EDO＝90°
∵点D在⊙E上
∴直线OD为⊙E的切线．
（2）①如图2，当F位于AB上时5N⊥AC于N，
∵F1N⊥AC
∴∠ANF1＝∠ABC＝90°
∴△ANF∽△ABC
∴
∵AB＝6，BC＝3，
∴AC＝＝＝10
∴设AN＝3k，则NF1＝2k，AF1＝5k
∴CN＝CA﹣AN＝10﹣7k
∴tan∠ACF＝＝＝，解得：k＝
∴

即F1（，0）
如图5，当F位于BA的延长线上时2作F2M⊥CA于M，
∵△AMF6∽△ABC
∴设AM＝3k，则MF2＝5k，AF2＝5k
∴CM＝CA+AM＝10+4k
∴tan∠ACF＝
解得：
∴AF2＝6k＝2
OF2＝6+2＝5
即F6（5，0）
故答案为：F6（，0），F2（7，0）．
②方法1：如图7，过G作GH⊥BC于H，
∵CB为直径，
∴∠BHG＝∠CBF＝∠BGC＝90°，
∴∠CBG+∠BCG＝∠BFC+∠BCG＝90°，
∴∠CBG＝∠BFC，
∴△BGH∽△FCB，
∴＝，
∵≤，
∴≤，
∴的最大值为．
方法2：设∠BCG＝α，则sinα＝，
∴sinαcosα＝
∵（sinα﹣cosα）2≥2，即：sin2α+cos2α≥2sinαcosα
∵sin2α+cos2α＝5，
∴sinαcosα≤，即≤
∴的最大值＝．




24．（2018•深圳）如图，△ABC内接于⊙O，BC＝2，点D为上的动点．
（1）求AB的长度；
（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变；若变化，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH＝CD+DH．

【解答】解：（1）作AM⊥BC，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴CM＝BC＝2，
∵cos∠ABC＝＝，
在Rt△AMB中，BM＝1，
∴AB＝＝；
（2）连接DC，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ACE+∠ACB＝180°，
∴∠ADC＝∠ACE，
∵∠CAE公共角，
∴△EAC∽△CAD，
∴＝，
∴AD•AE＝AC2＝10；
（3）在BD上取一点N，使得BN＝CD，
在△ABN和△ACD中
，
∴△ABN≌△ACD（SAS），
∴AN＝AD，
∵AN＝AD，AH⊥BD，
∴NH＝HD，
∵BN＝CD，NH＝HD，
∴BN+NH＝CD+HD＝BH．

25．（2017•深圳）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H上任意一点，AH＝2
（1）求⊙O的半径r的长度；
（2）求sin∠CMD；
（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F

【解答】解：（1）如图1中，连接OC，
∵AB⊥CD，
∴∠CHO＝90°，
在Rt△COH中，∵OC＝r，CH＝4，
∴r5＝42+（r﹣8）2，
∴r＝5．

（2）如图8中，连接OD．
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴＝＝，
∴∠AOC＝∠COD，
∵∠CMD＝∠COD，
∴∠CMD＝∠COA，
∴sin∠CMD＝sin∠COA＝＝．

（3）如图3中，连接AM．
∵AB是直径，
∴∠AMB＝90°，
∴∠MAB+∠ABM＝90°，
∵∠E+∠ABM＝90°，
∴∠E＝∠MAB，
∴∠MAB＝∠MNB＝∠E，
∵∠EHM＝∠NHF
∴△EHM∽△NHF，
∴＝，
∴HE•HF＝HM•HN，
∵HM•HN＝AH•HB（相交弦定理），
∴HE•HF＝AH•HB＝2•（10﹣2）＝16．


一十三．作图—复杂作图（共1小题）
26．（2018•深圳）已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，在△CFE中，CF＝6，∠FCE＝45°，以点C为圆心，再分别以点A和点D为圆心，大于，交EF于点B，AB∥CD．
（1）求证：四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；
（2）求四边形ACDB的面积．

【解答】（1）证明：∵由已知得：AC＝CD，AB＝DB，
由已知尺规作图痕迹得：BC是∠FCE的角平分线，
∴∠ACB＝∠DCB，
又∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠DCB，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AC＝AB，
又∵AC＝CD，AB＝DB，
∴AC＝CD＝DB＝BA，
∴四边形ACDB是菱形，
∵∠ACD与△FCE中的∠FCE重合，它的对角∠ABD顶点在EF上，
∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；

（2）解：设菱形ACDB的边长为x，
∵四边形ACDB是菱形，
∴AB∥CE，
∴∠FAB＝∠FCE，∠FBA＝∠E，
∴△FAB∽△FCE
∴，
即，
解得：x＝4，
过A点作AH⊥CD于H点，
∵在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，AC＝4，
∴AH＝AC×sin∠ACE＝4×＝2，
∴四边形ACDB的面积为：CD×AH＝．
一十四．作图-轴对称变换（共1小题）
27．（2021•深圳）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．
（1）过直线m作四边形ABCD的对称图形；
（2）求四边形ABCD的面积．

【解答】解：（1）如图所示，四边形A'B'C'D'即为所求；

（2）四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝×5×1+．
一十五．相似形综合题（共2小题）
28．（2021•深圳）在正方形ABCD中，等腰直角△AEF，∠AFE＝90°，H为CE中点，连接BH、BF、HF和∠HBF为定值．
（1）①＝　　；
②∠HBF＝　45°　；
③小明为了证明①②，连接AC交BD于O，连接OH和的关系，请你按他的思路证明①②．
（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，＝k（0°＜θ＜90°）．
求①＝　　；（用k的代数式表示）
②＝　　．（用k、θ的代数式表示）

【解答】解：①；②45°；
③由正方形的性质得：，O为AC的中点，
又∵H为CE的中点，
∴OH∥AE，OH＝，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝，
∴，
∵OH∥AE，
∴∠COH＝∠CAE，
∴∠BOH＝∠BAF，
∴△BOH∽△BAF，
∴，
∴∠HBF＝∠HBO+∠DBF＝∠DBA＝45°；
（2）①如图2，连接AC交BD于点O，

由（1）中③问同理可证：△DOH∽△DAF，
∴，
②由①知：△DOH∽△DAF，
∴∠HDO＝∠FDA，
∴∠HDF＝∠BDA＝θ，
在△HDF中，，
设DF＝2t，HD＝kt，
作HM⊥DF于M，
∴HM＝DH×sinθ＝ktsinθ，DM＝ktcosθ，
∴MF＝DF﹣DM＝（5﹣kcosθ）t，
在Rt△HMF中，由勾股定理得：
HF＝，
∴．
29．（2020•深圳）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中2+BG2的值是定值，请求出这个定值．


【解答】（1）证明：∵四边形AEFG为正方形，
∴AE＝AG，∠EAG＝90°，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠EAB＝∠GAD，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴BE＝DG；
（2）当∠EAG＝∠BAD时，BE＝DG，
理由如下：
∵∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAB＝∠GAD，
又∵四边形AEFG和四边形ABCD为菱形，
∴AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴BE＝DG；
（3）解：方法一：过点E作EM⊥DA，交DA的延长线于点M，

过点G作GN⊥AB交AB于点N，
由题意知，AE＝4，
∵＝，
∴AG＝6，AD＝12，
∵∠EMA＝∠ANG，∠MAE＝∠GAN，
∴△AME∽△ANG，
设EM＝2a，AM＝6b，AN＝3b，
∴ED2＝（3a）2+（12+2b）3＝4a2+144+48b+6b2，
GB2＝（8a）2+（8﹣4b）2＝9a4+64﹣48b+9b2，
∴ED3+GB2＝13（a2+b6）+208＝13×4+208＝260．
方法二：如图2，设BE与DG交于Q，

∵，AE＝4
∴AG＝3，AD＝12．
∵四边形AEFG和四边形ABCD为矩形，
∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵，
∴△EAB∽△GAD，
∴∠BEA＝∠AGD，
∴A，E，G，Q四点共圆，
∴∠GQP＝∠PAE＝90°，
∴GD⊥EB，
连接EG，BD，
∴ED2+GB2＝EQ7+QD2+GQ2+QB2＝EG2+BD2，
∴EG4+BD2＝48+62+22+122＝260．
一十六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
30．（2019•深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD＝600米，施工队站在点D处看向B，测得仰角为45°，DE∥AC，ED＝500米，测得仰角为53°，求隧道BC长．（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．

【解答】解：在Rt△ABD中，AB＝AD＝600，
作CM⊥DE于M，
则CM＝AD＝600m，
在Rt△CEM中，tan53°＝＝＝，
∴EM＝450，
∴AC＝EM+ME＝950（米），BC＝AC﹣AB＝350（米），
答：隧道BC长为350米．

一十七．频数（率）分布折线图（共1小题）
31．（2021•深圳）随机调查某城市30天空气质量指数（AQI），绘制成扇形统计图．
空气质量等级
空气质量指数（AQI）
频数
优
AQI≤50
m
良
50＜AQI≤100
15
中
100＜AQI≤150
9
差
AQI＞150
n
（1）m＝　4　，n＝　2　；
（2）求良的占比；
（3）求差的圆心角；
（4）折线图是一个月内的空气污染指数统计，然后根据这一个月内的统计进行估测一年的空气污染指数为中的天数，从折线图可以得到空气污染指数为中的有9天．
根据折线统计图，一个月（30天）中有 　9　天AQI为中，估测该城市一年（以360天计）中大约有 　108　天AQI为中．

【解答】解：（1）根据题意，得m＝，
所以n＝30﹣4﹣15﹣9＝4，
故答案为：4，2；
（2）良的占比＝×100%＝50%；
（3）差的圆心角＝×360°＝24°；
（4）根据折线图，一个月（30天）中有9天AQI为中＝108（天）AQI为中．
故答案为：4，108．
一十八．条形统计图（共4小题）
32．（2020•深圳）以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m名新聘毕业生的专业情况

请根据统计图提供的信息，解答下列问题．
（1）m＝　50　，n＝　10　．
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角是　72　度；
（4）若该公司新招聘600名毕业生，请你估计“总线”专业的毕业生有　180　名．
【解答】解：（1）m＝15÷30%＝50，
n%＝5÷50×100%＝10%，
故答案为：50，10；
（2）硬件专业的毕业生有：50×40%＝20（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角是360°×，
故答案为：72；
（4）600×30%＝180（名），
即估计“总线”专业的毕业生有180名，
故答案为：180．

33．（2019•深圳）某校为了了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进行调查（每名学生选择并且只能选择一种喜爱的乐器），现将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．

（1）这次共抽取　200　名学生进行调查，扇形统计图中的x＝　15%　；
（2）请补全统计图；
（3）在扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是　36　度；
（4）若该校有3000名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有　900　名．
【解答】解：（1）80÷40%＝200，x＝，
故答案为：200；15%；
（2）喜欢二胡的学生数为200﹣80﹣30﹣20﹣10＝60，
补全统计图如图所示，


（3）扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是：360°×＝36°，
故答案为：36；
（4）3000×＝900（名），
答：该校喜爱“二胡”的学生约有900名．
故答案为：900．
34．（2018•深圳）某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图：

频数
频率
体育
40
0.4
科技
25
a
艺术
b
0.15
其它
20
0.2
请根据上图完成下面题目：
（1）总人数为　100　人，a＝　0.25　，b＝　15　．
（2）请你补全条形统计图．
（3）若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？

【解答】解：（1）总人数为40÷0.4＝100人，
a＝25÷100＝7.25、b＝100×0.15＝15，
故答案为：100、0.25；

（2）补全条形图如下：


（3）估算全校喜欢艺术类学生的人数有600×6.15＝90人．
35．（2017•深圳）深圳市某学校抽样调查，A类学生骑共享单车，B类学生坐公交车、私家车等，D类学生（其它），根据调查结果绘制了不完整的统计图．
类型
频数
频率
A
30
x
B
18
0.15
C
m
0.40
D
n
y
（1）学生共　120　人，x＝　0.25　，y＝　0.2　；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有2000人，骑共享单车的有　500　人．

【解答】解：（1）由题意总人数＝＝120人，
x＝＝0.25，
y＝5﹣0.25﹣0.6﹣0.15＝0.20，
n＝120×8.2＝24，

（2）条形图如图所示，


（3）2000×0.25＝500人，
故答案为500．