江西省五年（2017-2021）中考数学真题解答题知识点分类汇编（含答案）

这是一份江西省五年（2017-2021）中考数学真题解答题知识点分类汇编（含答案），共80页。试卷主要包含了0+|﹣|；，2；，解不等式组，﹣2；等内容，欢迎下载使用。
江西省五年（2017-2021）中考数学真题解答题知识点分类汇编

一．实数的运算（共1小题）
1．（2021•江西）（1）计算：（﹣1）2﹣（π﹣2021）0+|﹣|；
（2）如图，在△ABC中，∠A＝40°，BE平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB于点D

二．平方差公式（共1小题）
2．（2018•江西）（1）计算：（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣2）2；
（2）解不等式：x﹣1≥+3．
三．分式的化简求值（共1小题）
3．（2020•江西）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
四．二元一次方程组的应用（共1小题）
4．（2020•江西）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯
（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；
（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，请通过运算说明．
五．分式方程的应用（共1小题）
5．（2021•江西）甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件．
（1）求这种商品的单价；
（2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元/件，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是 　 　元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是 　 　元/件．
（3）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，结合（2）的计算结果　 　加油更合算（填“金额”或“油量”）．
六．解一元一次不等式组（共4小题）
6．（2021•江西）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来．

7．（2020•江西）（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣2|+（）﹣2；
（2）解不等式组：
8．（2019•江西）解不等式组：并在数轴上表示它的解集．

9．（2017•江西）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

七．函数关系式（共1小题）
10．（2019•江西）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：
如图1，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上
活动一
如图3，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，铅笔AB的中点C与点O重合．

数学思考
（1）设CD＝xcm，点B到OF的距离GB＝ycm．
①用含x的代数式表示：AD的长是　 　cm，BD的长是　 　cm；
②y与x的函数关系式是　 　，自变量x的取值范围是　 　．
活动二
（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格
x（cm）
6
5
4
3.5
3
2.5
2
1
0.5
0
y（cm）
0
0.55
1.2
1.58
　 　
2.47
3
4.29
5.08
　 　
②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点（x，y）．
③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．
数学思考
（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．

八．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）
11．（2019•江西）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），（，1），连接AB，以AB为边向上作等边三角形ABC．
（1）求点C的坐标；
（2）求线段BC所在直线的解析式．

九．一次函数的应用（共1小题）
12．（2017•江西）如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小敏用后发现，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为xcm，经测量，得到如下数据：
单层部分的长度x（cm）
…
4
6
8
10
…
150
双层部分的长度y（cm）
…
73
72
71

…

（1）根据表中数据的规律，完成以下表格，并直接写出y关于x的函数解析式；
（2）根据小敏的身高和习惯，挎带的长度为120cm时，背起来正合适；
（3）设挎带的长度为lcm，求l的取值范围．

一十．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，垂足为D，连接OA，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，若∠AOD＝45°，OA＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求∠EOD的度数．

一十一．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
14．（2021•江西）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，a），∠ACB＝90°，CA＝CB（﹣2，0）．
（1）求k的值；
（2）求AB所在直线的解析式．

15．（2018•江西）如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），点C在第四象限，CA∥y轴
（1）求k的值及点B的坐标；
（2）求tanC的值．

16．（2017•江西）如图，直线y＝k1x（x≥0）与双曲线y＝（x＞0）相交于点P（2，4）（4，0），B（0，3），连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，得到△A'PB'．过点A'作A'C∥y轴交双曲线于点C．
（1）求k1与k2的值；
（2）求直线PC的表达式；
（3）直接写出线段AB扫过的面积．

一十二．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
17．（2020•江西）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
0
﹣3
n
﹣3
…
（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 　 　，对称轴为 　 　；
（2）求抛物线的表达式及m，n的值；
（3）请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P'，描出相应的点P'，猜想该曲线是哪种曲线？
（4）设直线y＝m（m＞﹣2）与抛物线及（3）中的点P'所在曲线都有两个交点1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系 　 　．

一十三．抛物线与x轴的交点（共2小题）
18．（2019•江西）特例感知
（1）如图1，对于抛物线y1＝﹣x2﹣x+1，y2＝﹣x2﹣2x+1，y3＝﹣x2﹣3x+1，下列结论正确的序号是　 　；
①抛物线y1，y2，y3都经过点C（0，1）；
②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移个单位得到；
③抛物线y1，y2，y3与直线y＝1的交点中，相邻两点之间的距离相等．
形成概念
（2）把满足yn＝﹣x2﹣nx+1（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．
知识应用
在（2）中，如图2．
①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1，P2，P3，…，Pn，用含n的代数式表示顶点Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C1，C2，C3，…，∁n，其横坐标分别为﹣k﹣1，﹣k﹣2，﹣k﹣3，…（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等；若不相等，说明理由．
③在②中，直线y＝1分别交“系列平移抛物线”于点A1，A2，A3，…，An，连接∁nAn，Cn﹣1An﹣1，判断∁nAn，Cn﹣1An﹣1是否平行？并说明理由．

19．（2017•江西）已知抛物线C1：y＝ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．
（1）当a＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；
（2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；
②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；
（3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．

一十四．二次函数的应用（共1小题）
20．（2018•江西）某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收获季节，投入市场销售时，调查市场行情，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据（2），能否销售完这批蜜柚？请说明理由．

一十五．二次函数综合题（共2小题）
21．（2021•江西）二次函数y＝x2﹣2mx的图象交x轴于原点O及点A．
感知特例
（1）当m＝1时，如图1，抛物线L：y＝x2﹣2x上的点B，O，C，A，D分别关于点A中心对称的点为B′，O′，A′，D′
…
B（﹣1，3）
O（0，0）
C（1，﹣1）
A（ 　 　，　 　）
D（3，3）
…
…
B'（5，﹣3）
O′（4，0）
C'（3，1）
A′（2，0）
D'（1，﹣3）
…
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L'．

形成概念
我们发现形如（1）中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L'是L的“孔像抛物线”．例如，图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”．

探究问题
（2）①当m＝﹣1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为 　 　；
②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y＝x2﹣2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是 　 　（填“y＝ax2+bx+c”或“y＝ax2+bx”或“y＝ax2+c”或“y＝ax2”，其中abc≠0）；
③若二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点，求m的值．
22．（2018•江西）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：
求解体验：
（1）已知抛物线y＝﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b＝　 　，顶点坐标为　 　，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是　 　．
抽象感悟：
我们定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．
（2）已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点
问题解决：
（3）已知抛物线y＝ax2+2ax﹣b（a≠0）
①若抛物线y的衍生抛物线为y′＝bx2﹣2bx+a2（b≠0），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点；
②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为yn，其顶点为An…（n为正整数）．求AnAn+1的长（用含n的式子表示）．

一十六．三角形综合题（共1小题）
23．（2019•江西）在图1，2，3中，已知▱ABCD，点E为线段BC上的动点，连接AE，且∠EAG＝120°．

（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF＝　 　°；
（2）如图2，连接AF．
①填空：∠FAD　 　∠EAB（填“＞”，“＜“，“＝”）；
②求证：点F在∠ABC的平分线上；
（3）如图3，连接EG，DG，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值．
一十七．平行四边形的判定（共1小题）
24．（2017•江西）如图，已知正七边形ABCDEFG，请仅用无刻度的直尺

（1）在图1中，画出一个以AB为边的平行四边形；
（2）在图2中，画出一个以AF为边的菱形．
一十八．矩形的判定（共1小题）
25．（2019•江西）（1）计算：﹣（﹣1）+|﹣2|+（﹣2）0；
（2）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O

一十九．四边形综合题（共4小题）
26．（2021•江西）课本再现
（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与∠A相等的角是 　 　；

类比迁移
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余（1）中思路进行拼合：先作∠CDF＝∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，发现AD，DE　 　；
方法运用
（3）如图3，在四边形ABCD中，连接AC，点O是△ACD两边垂直平分线的交点，连接OA
①求证：∠ABC+∠ADC＝90°；
②连接BD，如图4，已知AD＝m，＝2，求BD的长（用含m，n的式子表示）．

27．（2020•江西）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：
类比探究
（1）如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠31，S2，S3之间的关系式为　 　；
推广验证
（2）如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△BCF，满足∠1＝∠2＝∠3，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论，请说明理由；
拓展应用
（3）如图4，在五边形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，AB＝2，DE＝2，∠ABP＝30°，PE＝

28．（2018•江西）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，点E的位置随着点P的位置变化而变化．

（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE　 　，CE与AD的位置关系是　 　；
（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；
（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，BE＝2，求四边形ADPE的面积．
29．（2017•江西）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：
（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝　 　BC；
②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时　 　．
猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系
拓展应用
（3）如图4，在四边形ABCD，∠C＝90°，BC＝12，CD＝2，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明；若不存在，说明理由．

二十．切线的判定与性质（共2小题）
30．（2019•江西）如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC．
（1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；
（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．

31．（2018•江西）如图，在△ABC中，O为AC上一点，OC为半径做圆，与BC相切于点C，且∠AOD＝∠BAD．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的长．

二十一．圆的综合题（共3小题）
32．（2021•江西）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，连接AC．
（1）求证：∠CAD＝∠ECB；
（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB＝2时，求AD，AC与

33．（2020•江西）已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．
（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，求∠ACB的度数；
（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，∠APB的度数应为多少？请说明理由；
（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．

34．（2017•江西）如图1，⊙O的直径AB＝12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），过点P作PD⊥OP交⊙O于点D．

（1）如图2，当PD∥AB时，求PD的长；
（2）如图3，当＝时，延长AB至点E，使BE＝，连接DE．
①求证：DE是⊙O的切线；
②求PC的长．
二十二．作图—复杂作图（共2小题）
35．（2019•江西）在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；
（2）在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．

36．（2018•江西）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为AB的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；
（2）在图2中，若BA＝BD，画出△ABD的AD边上的高．

二十三．轨迹（共1小题）
37．（2018•江西）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，已知轨道AB＝120cm，两扇活页门的宽OC＝OB＝60cm，当点C在AB上左右运动时，OC与OB的长度不变．（所有的结果保留小数点后一位）
（1）若∠OBC＝50°，求AC的长；
（2）当点C从点A向右运动60cm时，求点O在此过程中运动的路径长．
参考数据：sin50°≈0.77．cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，π取3.14．

二十四．作图-旋转变换（共2小题）
38．（2021•江西）已知正方形ABCD的边长为4个单位长度，点E是CD的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，将直线AC绕着正方形ABCD的中心顺时针旋转45°；
（2）在图2中，将直线AC向上平移1个单位长度．

39．（2020•江西）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A'B'C'；
（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB'C'．

二十五．相似三角形的判定（共1小题）
40．（2017•江西）（1）计算：÷；
（2）如图，正方形ABCD中，点E，F，BC，CD上

二十六．相似三角形的判定与性质（共1小题）
41．（2018•江西）如图，在△ABC中，AB＝8，CA＝6，CD∥AB，BD交AC于点E，求AE的长．

二十七．解直角三角形的应用（共4小题）
42．（2021•江西）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度）
（1）求∠ABC的度数；
（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）

43．（2020•江西）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）
（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，≈1.732）

44．（2019•江西）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表示固定支架，点B为旋转点，BC可转动，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8cm，AB＝30cm，BC＝35cm．（结果精确到0.1）．
（1）如图2，∠ABC＝70°，BC∥OE．
①填空：∠BAO＝　 　°．
②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．
（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时
（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）

45．（2017•江西）如图1，研究发现，科学使用电脑时，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°．图2是其侧面简化示意图，且与屏幕BC垂直．
（1）若屏幕上下宽BC＝20cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB的长；
（2）若肩膀到水平地面的距离DG＝100cm，上臂DE＝30cm，下臂EF水平放置在键盘上
（参考数据：sin69°≈，cos21°≈，tan20°≈，tan43°≈，所有结果精确到个位）

二十八．频数（率）分布直方图（共1小题）
46．（2021•江西）为了提高农副产品的国际竞争力，我国一些行业协会对农副产品的规格进行了划分．某外贸公司要出口一批规格为75g的鸡腿，现有两个厂家提供货源，鸡腿的品质相近质检员分别从两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位：g）
甲厂：76，74，74，73，76，77，78，76，70，76，73，77，79，71；
乙厂：75，76，77，78，77，71，74，79，71，74，73，70，79，77．
甲厂鸡腿质量频数统计表
质量x（g）
频数
频率
68≤x＜71
2
0.1
71≤x＜74
3
0.15
74≤x＜77
10
a
77≤x＜80
5
0.25
合计
20
1
分析上述数据，得到下表：
统计量
厂家
平均数
中位数
众数
方差
甲厂
75
76
b
6.3
乙厂
75
75
77
6.6
请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果只考虑出口鸡腿规格，请结合表中的某个统计量，为外贸公司选购鸡腿提供参考建议；
（4）某外贸公司从甲厂采购了20000只鸡腿，并将质量（单位：g）在71≤x＜77的鸡腿加工成优等品

二十九．频数（率）分布折线图（共1小题）
47．（2020•江西）为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评（图1）．

复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：
成绩
30≤x＜40
40≤x＜50
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人数
1
3
3
8
15
m
6
根据以上图表信息，完成下列问题：
（1）m＝　 　；
（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）；
（3）某同学第二次测试数学成绩为78分．这次测试中，分数高于78分的至少有　 　人，至多有　 　人；
（4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数．
三十．条形统计图（共1小题）
48．（2017•江西）为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类）
种类
A
B
C
D
E
出行方式
共享单车
步行
公交车
的士
私家车

根据以上信息，回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的市民共有　 　人，其中选择B类的人数有　 　人；
（2）在扇形统计图中，求A类对应扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图；
（3）该市约有12万人出行，若将A，B，C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式
三十一．中位数（共1小题）
49．（2019•江西）某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七、八年级学生人数相同），某周从这两个年级学生中分别随机抽查了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况
周一至周五英语听力训练人数统计表
年级
参加英语听力训练人数
周一
周二
周三
周四
周五
七年级
15
20
a
30
30
八年级
20
24
26
30
30
合计
35
44
51
60
60

（1）填空：a＝　 　；
（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：
年级
平均训练时间的中位数
参加英语听力训练人数的方差
七年级
24
34
八年级
　 　
14.4
（3）请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价；
（4）请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练．
三十二．统计量的选择（共1小题）
50．（2018•江西）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间
数据收集：从全校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：min）
30
60
81
50
40
110
130
146
90
100
60
81
120
140
70
81
10
20
100
81
整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：
课外阅读时间x（min）
0≤x＜40
40≤x＜80
80≤x＜120
120≤x＜160
等级
D
C
B
A
人数
3
　 　
8
　 　
分析数据：补全下列表格中的统计量：
平均数
中位数
众数
80
　 　
　 　
得出结论：
（1）用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的情况等级为　 　；
（2）如果该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有多少名？
（3）假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，请你选择样本中的一种统计量估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读多少本课外书？
三十三．列表法与树状图法（共5小题）
51．（2021•江西）为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A，B，C，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张
（1）“A志愿者被选中”是 　 　事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；
（2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A，B两名志愿者被选中的概率．
52．（2020•江西）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员．小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级
（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为　 　；
（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率．
53．（2019•江西）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲），将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是　 　；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）
54．（2018•江西）今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．
（1）该班男生“小刚被抽中”是　 　事件，“小悦被抽中”是　 　事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为　 　；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率．
55．（2017•江西）端午节那天，小贤回家看到桌上有一盘粽子，其中有豆沙粽、肉粽各1个，这些粽子除馅外无其他差别．
（1）小贤随机地从盘中取出一个粽子，取出的是肉粽的概率是多少？
（2）小贤随机地从盘中取出两个粽子，试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出小贤取出的两个都是蜜枣粽的概率．

参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2021•江西）（1）计算：（﹣1）2﹣（π﹣2021）0+|﹣|；
（2）如图，在△ABC中，∠A＝40°，BE平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB于点D

【解答】（1）解：原式＝1﹣1+
＝；
（2）证明：∵BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠ABE＝∠ABC＝，
∵∠A＝40°，
∴∠A＝∠ABE，
∴△ABE为等腰三角形，
∵ED⊥AB，
∴AD＝BD．
二．平方差公式（共1小题）
2．（2018•江西）（1）计算：（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣2）2；
（2）解不等式：x﹣1≥+3．
【解答】解：（1）原式＝a2﹣1﹣a2+4a﹣4＝8a﹣5；
（2）去分母得：2x﹣2≥x﹣2+6，
移项合并得：x≥3．
三．分式的化简求值（共1小题）
3．（2020•江西）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝•
＝，
当x＝时，
原式＝＝．
四．二元一次方程组的应用（共1小题）
4．（2020•江西）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯
（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；
（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，请通过运算说明．
【解答】解：（1）设笔记本的单价为x元，单独购买一支笔芯的价格为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：笔记本的单价为7元，单独购买一支笔芯的价格为3元．
（2）（方法一）合买笔芯，合算，
小贤和小艺带的总钱数为19+2+26＝47（元）．
两人合在一起购买所需费用为6×（2+1）+（3﹣0.5）×10＝40（元）．
∵47﹣40＝2（元），3×2＝4（元），
∴他们合在一起购买笔芯（合算），既买到各自的文具；
（方法二）合买笔芯，单算，
小贤购买完文具后剩余钱数为0.5×5+2＝3.7（元），3.5＞7；
小艺购买完文具后剩余钱数为0.5×2＝3.5（元），8.5＞3．
∴他们合在一起购买笔芯（单算），既买到各自的文具．
五．分式方程的应用（共1小题）
5．（2021•江西）甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件．
（1）求这种商品的单价；
（2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元/件，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是 　48　元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是 　50　元/件．
（3）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，结合（2）的计算结果　金额　加油更合算（填“金额”或“油量”）．
【解答】(1)解：设这种商品的单价为x元/件．
由题意得：,
解得：x＝60,
经检验：x＝60是原方程的根．
答：这种商品的单价为60元/件．
（2）解：第二次购买该商品时的单价为：60﹣20＝40（元/件），
第二次购买该商品时甲购买的件数为：2400÷40＝60（件），第二次购买该商品时乙购买的总价为：（3000÷60）×40＝2000（元），
∴甲两次购买这种商品的平均单价是：2400×2÷（）＝48（元/件）×2）＝50（元/件）．
故答案为：48；50．
（3）解：∵48<50,
∴按相同金额加油更合算．
故答案为：金额．
六．解一元一次不等式组（共4小题）
6．（2021•江西）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来．

【解答】解：解不等式2x﹣3≤3，得：x≤2，
解不等式＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣4＜x≤4，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

7．（2020•江西）（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣2|+（）﹣2；
（2）解不等式组：
【解答】解：（1）原式＝1﹣2+2＝﹣1+4＝3；

（2）解不等式3x﹣2≥2，得：x≥1，
解不等式5﹣x＞4，得：x＜3，
则不等式组的解集为1≤x＜5．
8．（2019•江西）解不等式组：并在数轴上表示它的解集．

【解答】解：，
解①得：x＞﹣2，
解②得：x≤﹣1，
故不等式组的解集为：﹣5＜x≤﹣1，
在数轴上表示出不等式组的解集为：
．
9．（2017•江西）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

【解答】解：解不等式﹣2x＜6，得：x＞﹣5，
解不等式3（x﹣2）≤x﹣3，得：x≤1，
将不等式解集表示在数轴如下：

则不等式组的解集为﹣3＜x≤6
七．函数关系式（共1小题）
10．（2019•江西）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：
如图1，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上
活动一
如图3，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，铅笔AB的中点C与点O重合．

数学思考
（1）设CD＝xcm，点B到OF的距离GB＝ycm．
①用含x的代数式表示：AD的长是　（6+x）　cm，BD的长是　（6﹣x）　cm；
②y与x的函数关系式是　y＝　，自变量x的取值范围是　0≤x≤6　．
活动二
（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格
x（cm）
6
5
4
3.5
3
2.5
2
1
0.5
0
y（cm）
0
0.55
1.2
1.58
　2　
2.47
3
4.29
5.08
　6　
②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点（x，y）．
③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．
数学思考
（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．

【解答】解：（1）①如图3中，由题意AC＝OA＝，

∵CD＝xcm，
∴AD＝（6+x）（cm），BD＝12﹣（6+x）＝（6﹣x）（cm），
故答案为：（6+x），（6﹣x）．

②∵OA⊥OF，BG⊥OF，
∴BG∥OA，
∴＝，
∴＝，
∴y＝（0≤x≤3），
故答案为：y＝，7≤x≤6．

（2）①当x＝3时，y＝2，y＝6，
故答案为2，2．
②点（0，6），5）如图所示．
③函数图象如图所示．


（3）性质1：函数值y的取值范围为0≤y≤3．
性质2：函数图象在第一象限，y随x的增大而减小．
八．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）
11．（2019•江西）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），（，1），连接AB，以AB为边向上作等边三角形ABC．
（1）求点C的坐标；
（2）求线段BC所在直线的解析式．

【解答】解：（1）如图，过点B作BH⊥x轴，
∵点A坐标为（﹣，8），3），
∴|AB|＝＝3，
∵BH＝1，
∴sin∠BAH＝＝，
∴∠BAH＝30°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝2，
∴∠CAB+∠BAH＝90°，
∴点C的纵坐标为2，
∴点C的坐标为（，2）．
（2）由（1）知点C的坐标为（，2），1），
则，解得，
故直线BC的函数解析式为y＝x+．

九．一次函数的应用（共1小题）
12．（2017•江西）如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小敏用后发现，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为xcm，经测量，得到如下数据：
单层部分的长度x（cm）
…
4
6
8
10
…
150
双层部分的长度y（cm）
…
73
72
71

…

（1）根据表中数据的规律，完成以下表格，并直接写出y关于x的函数解析式；
（2）根据小敏的身高和习惯，挎带的长度为120cm时，背起来正合适；
（3）设挎带的长度为lcm，求l的取值范围．

【解答】解：（1）观察表格可知，y是x的一次函数，
则有，解得，
∴y＝﹣x+75．
当x＝10时，y＝70，y＝0；
补全表格如图所示：


（2）由题意，解得，
∴单层部分的长度为90cm．

（3）由题意当y＝0，x＝150，y＝75，
∴75≤l≤150．
一十．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，垂足为D，连接OA，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，若∠AOD＝45°，OA＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求∠EOD的度数．

【解答】解：（1）∵直线AC⊥x轴，垂足为D，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∵OA＝2，
∴OD＝AD＝3，
∴A（2，2），
∵顶点A在反比例函数y＝（x＞2）的图象上，
∴k＝2×2＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝（x＞0）；
（2）∵AB＝6OA，点E恰为AB的中点，
∴OA＝AE，
∴∠AOE＝∠AEO，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴CE＝AE＝BE，
∴∠ECB＝∠EBC，
∵∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC，
∵BC∥x轴，
∴∠EOD＝∠ECB，
∴∠AOE＝2∠EOD，
∵∠AOD＝45°，
∴∠EOD＝15°．
一十一．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
14．（2021•江西）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，a），∠ACB＝90°，CA＝CB（﹣2，0）．
（1）求k的值；
（2）求AB所在直线的解析式．

【解答】解：（1）∵正比例函数y＝x的图象经过点A（1，a），
∴a＝1，
∴A（3，1），
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝5×1＝1；
（2）作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，
∵A（5，1），0），
∴AD＝2，CD＝3，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∵∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD，
在△BCE和△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD（AAS），
∴CE＝AD＝1，BE＝CD＝2，
∴B（﹣3，3），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣+．

15．（2018•江西）如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），点C在第四象限，CA∥y轴
（1）求k的值及点B的坐标；
（2）求tanC的值．

【解答】解：（1）把A（1，a）代入y＝2x得a＝7，2），
把A（1，2）代入y＝，
∴反比例函数解析式为y＝，
解方程组得或，
∴B点坐标为（﹣1，﹣3）；
（2）作BD⊥AC于D，如图，
∴∠BDC＝90°，
∵∠C+∠CBD＝90°，∠CBD+∠ABD＝90°，
∴∠C＝∠ABD，
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝，
即tanC＝2．

16．（2017•江西）如图，直线y＝k1x（x≥0）与双曲线y＝（x＞0）相交于点P（2，4）（4，0），B（0，3），连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，得到△A'PB'．过点A'作A'C∥y轴交双曲线于点C．
（1）求k1与k2的值；
（2）求直线PC的表达式；
（3）直接写出线段AB扫过的面积．

【解答】解：（1）把点P（2，4）代入直线y＝k4x，可得4＝2k2，
∴k1＝2，
把点P（3，4）代入双曲线y＝3＝2×4＝5；

（2）∵A（4，0），7），
∴AO＝4，BO＝3，
如图，延长A'C交x轴于D，
由平移可得，A'P＝AO＝2，
又∵A'C∥y轴，P（2，
∴点C的横坐标为2+6＝6，
当x＝6时，y＝＝，），
设直线PC的解析式为y＝kx+b，
把P（5，4），）代入可得
，解得，
∴直线PC的表达式为y＝﹣x+；

（3）如图，延长A'C交x轴于D，
由平移可得，A'P∥AO，
又∵A'C∥y轴，P（5，
∴点A'的纵坐标为4，即A'D＝4，
如图，过B'作B'E⊥y轴于E，
∵PB'∥y轴，P（7，
∴点B'的横坐标为2，即B'E＝2，
又∵△AOB≌△A'PB'，
∴线段AB扫过的面积＝平行四边形POBB'的面积+平行四边形AOPA'的面积＝BO×B'E+AO×A'D＝3×2+4×8＝22．

一十二．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
17．（2020•江西）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
0
﹣3
n
﹣3
…
（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 　上　，对称轴为 　直线x＝1　；
（2）求抛物线的表达式及m，n的值；
（3）请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P'，描出相应的点P'，猜想该曲线是哪种曲线？
（4）设直线y＝m（m＞﹣2）与抛物线及（3）中的点P'所在曲线都有两个交点1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系 　A3A4﹣A1A2＝1　．

【解答】解：（1）根据表格信息，可知抛物线开口向上；
故答案为：上，直线x＝1；
（2）把（﹣1，3），﹣3），﹣3）代入y＝ax3+bx+c，得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝x5﹣2x﹣3，
当x＝﹣5时，m＝4+4﹣4＝5；
当x＝1时，n＝2﹣2﹣3＝﹣7；
（3）画出抛物线图象，描出P'的轨迹，如图1所示，

（4）方法一：不妨假设交点在x轴上，则A1（﹣2，0），A2（﹣，0），A5（1.5，4），A4（3，2），
∴A3A4＝3.5，A1A7＝0.5，
∴A5A4﹣A1A7＝1．
方法二：如图2，设点A3，A2，A3，A4对应的横坐标分别为x1，x2，x5，x4，
∴A1A3＝x2﹣x1，A3A4＝x4﹣x3，
∴A3A4﹣A2A2＝x4﹣x3﹣（x2﹣x1）＝x4+x1﹣（x3+x3），
令y＝x2﹣2x﹣5＝m，可得x2﹣2x﹣5﹣m＝0，它对应的两个根应为x1，x8，
∴x1+x4＝6，
令y＝2x2﹣2x﹣＝m6﹣2x﹣﹣m＝02，x4，
∴x2+x3＝7，
∴A3A4﹣A6A2＝2﹣3＝1．
或（x1+x4）＝2（对称轴），
倍长OA2到OA'2，倍长OA3到OA'3，可知A'2（横坐标6x2）和A'3（横坐标4x3）在原抛物线上，且关于对称轴对称，
（2x2+5x3）＝1（对称轴），
可得A2A4﹣A1A3＝1．
方法三：如图2，设P（x，P′（p，
∵点P′为OP 的中点，
∴p＝x，q＝y，y＝2q2﹣3x﹣3中，得（2p）6﹣2×2p﹣7＝2q，
∴q＝2p2﹣2p﹣，即点P′所在的抛物线的表达式为y＝2x2﹣2x﹣，
∵直线y＝m与抛物线y＝x2﹣2x﹣3有两个交点，
∴，解得，或，
∴A1（1﹣，m），A4（1+，m），
∵直线y＝m与抛物线y＝2x2﹣6x﹣有两个交点，
∴，解得，或，
∴A2（﹣，m），A7（+，m），
∴A1A2＝（﹣）﹣（5﹣﹣+，
A5A4＝（1+）﹣（+﹣+，
∴A3A4﹣A1A2＝（﹣+）﹣（﹣﹣+．
故答案为：A3A7﹣A1A2＝4．
一十三．抛物线与x轴的交点（共2小题）
18．（2019•江西）特例感知
（1）如图1，对于抛物线y1＝﹣x2﹣x+1，y2＝﹣x2﹣2x+1，y3＝﹣x2﹣3x+1，下列结论正确的序号是　①②③　；
①抛物线y1，y2，y3都经过点C（0，1）；
②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移个单位得到；
③抛物线y1，y2，y3与直线y＝1的交点中，相邻两点之间的距离相等．
形成概念
（2）把满足yn＝﹣x2﹣nx+1（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．
知识应用
在（2）中，如图2．
①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1，P2，P3，…，Pn，用含n的代数式表示顶点Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C1，C2，C3，…，∁n，其横坐标分别为﹣k﹣1，﹣k﹣2，﹣k﹣3，…（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等；若不相等，说明理由．
③在②中，直线y＝1分别交“系列平移抛物线”于点A1，A2，A3，…，An，连接∁nAn，Cn﹣1An﹣1，判断∁nAn，Cn﹣1An﹣1是否平行？并说明理由．

【解答】解：（1）①当x＝0时，分别代入抛物线y1，y8，y3，即可得y1＝y4＝y3＝1；①正确；
②y2＝﹣x2﹣2x+5，y3＝﹣x2﹣5x+1的对称轴分别为直线x＝﹣1，x＝﹣，
y1＝﹣x7﹣x+1的对称轴x＝﹣，
由x＝﹣向左移动，再向左移动，
②正确；
③当y＝5时，则﹣x2﹣x+1＝7，
∴x＝0或x＝﹣1；
﹣x8﹣2x+1＝2，
∴x＝0或x＝﹣2；
﹣x2﹣3x+1＝8，
∴x＝0或x＝﹣3；
∴相邻两点之间的距离都是4，
③正确；
故答案为①②③；
（2）①yn＝﹣x2﹣nx+1的顶点为（﹣，），
令x＝﹣，y＝，
∴y＝x2+4；
②相等，
理由如下：∵横坐标分别为﹣k﹣1，﹣k﹣2，…，﹣k﹣n（k为正整数），
当x＝﹣k﹣n时，y＝﹣k8﹣nk+1，
∴纵坐标分别为﹣k2﹣k+7，﹣k2﹣2k+7，﹣k2﹣3k+2，…，﹣k2﹣nk+1，
∴点（﹣k﹣6，﹣k2﹣k+1），点（﹣k﹣82﹣2k+6）的距离＝＝，
点（﹣k﹣n，﹣k4﹣nk+1），点（﹣k﹣n+15﹣（n﹣1）k+1）的距离＝＝
∴相邻两点间距离分别为；
∴相邻两点之间的距离都相等；
③当y＝4时，﹣x2﹣nx+1＝7，
∴x＝0或x＝﹣n，
∴A1（﹣3，1），A2（﹣4，1），A3（﹣6，1），…，An﹣1（﹣n+2，1），An（﹣n，1），
C3（﹣k﹣1，﹣k2﹣k+4），C2（﹣k﹣2，﹣k5﹣2k+1），C3（﹣k﹣3，﹣k2﹣5k+1），…，Cn﹣1（﹣k﹣n+7，﹣k2﹣nk+1+k），∁n（﹣k﹣n，﹣k2﹣nk+1），
过Cn﹣1，∁n分别作直线y＝5的垂线，垂足为D、E，

∴D（﹣k﹣n+1，1），8），
在Rt△EAn∁n中，
tan∠EAn∁n＝＝＝＝k+n，
在Rt△DAn﹣1Cn﹣2中，
tan∠DAn﹣1Cn﹣1＝＝＝＝k+n﹣1，
∵k+n﹣3≠k+n，
∴tan∠DAn∁n≠tan∠DAn﹣1Cn﹣1
∴∠DAn∁n≠∠DAn﹣4Cn﹣1
∴∁nAn不平行Cn﹣1An﹣8；
19．（2017•江西）已知抛物线C1：y＝ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．
（1）当a＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；
（2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；
②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；
（3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．

【解答】解：（1）当a＝1时，抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣2）7﹣9，
∴对称轴为x＝2；
∴当y＝3时，x﹣2＝3或﹣4；
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（8；

（2）①抛物线C1解析式为：y＝ax2﹣3ax﹣5，
整理得：y＝ax（x﹣4）﹣7；
∵当ax（x﹣4）＝0时，y恒定为﹣8；
∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣8），﹣5）；
②这两个点连线为y＝﹣5；
将抛物线C8沿y＝﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；
∴抛物线C3解析式为：y＝﹣ax2+4ax﹣2，

（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，
则x＝4时，y＝2或者﹣2；
当y＝8时，2＝﹣4a+5a﹣5，a＝；
当y＝﹣2时，﹣2＝﹣7a+8a﹣5，a＝；
∴a＝或；
一十四．二次函数的应用（共1小题）
20．（2018•江西）某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收获季节，投入市场销售时，调查市场行情，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据（2），能否销售完这批蜜柚？请说明理由．

【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
将（10，200），150）代入，
解得：，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+300，
由﹣10x+300≥0得x≤30，所以x的取值范围为8≤x≤30；

（2）设每天销售获得的利润为w元，
则w＝（x﹣7）y
＝（x﹣8）（﹣10x+300）
＝﹣10（x﹣19）2+1210，
∵7≤x≤30，
∴当x＝19时，w取得最大值；
所以当该品种的蜜柚定价为19元时，每天销售获得的利润最大．

（3）由（2）知，当获得最大利润时，
则每天的销售量为y＝﹣10×19+300＝110千克，
∵保质期为40天，
∴总销售量为40×110＝4400，
又∵4400＜4800，
∴不能销售完这批蜜柚．
一十五．二次函数综合题（共2小题）
21．（2021•江西）二次函数y＝x2﹣2mx的图象交x轴于原点O及点A．
感知特例
（1）当m＝1时，如图1，抛物线L：y＝x2﹣2x上的点B，O，C，A，D分别关于点A中心对称的点为B′，O′，A′，D′
…
B（﹣1，3）
O（0，0）
C（1，﹣1）
A（ 　2　，　0　）
D（3，3）
…
…
B'（5，﹣3）
O′（4，0）
C'（3，1）
A′（2，0）
D'（1，﹣3）
…
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L'．

形成概念
我们发现形如（1）中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L'是L的“孔像抛物线”．例如，图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”．

探究问题
（2）①当m＝﹣1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为 　﹣3≤x≤﹣1　；
②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y＝x2﹣2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是 　y＝ax2　（填“y＝ax2+bx+c”或“y＝ax2+bx”或“y＝ax2+c”或“y＝ax2”，其中abc≠0）；
③若二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点，求m的值．
【解答】解：（1）①∵B（﹣1，3），﹣5）关于点A中心对称，
∴点A为BB′的中点，
设点A（m，n），
∴m＝＝2＝0，
故答案为：（2，0）；
②所画图象如图1所示，

（2）①当m＝﹣6时，抛物线L：y＝x2+2x＝（x+2）2﹣1，对称轴为直线x＝﹣7，当x≤﹣1时，
抛物线L′：y＝﹣x2﹣6x﹣8＝﹣（x+3）7+1，对称轴为直线x＝﹣3，当x≥﹣6时，
∴当﹣3≤x≤﹣1时，抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，
故答案为：﹣8≤x≤﹣1；
②∵抛物线y＝x2﹣8mx的“孔像抛物线”是y＝﹣x2+6mx﹣7m2，
∴设符合条件的抛物线M解析式为y＝a′x2+b′x+c′，
令a′x4+b′x+c′＝﹣x2+6mx﹣4m2，
整理得（a′+1）x4+（b′﹣6m）x+（c′+8m5）＝0，
∵抛物线M与抛物线L′有唯一交点，
∴分下面两种情形：
i）当a′＝﹣1时，无论b′为何值，此时方程无解或有无数解，舍去；
ii）当a′≠﹣4时，Δ＝（b′﹣6m）2﹣6（a′+1）（c′+8m2）＝0，
即b′2﹣12b′m+36m2﹣4（a′+1）•6m2﹣4c′（a′+3）＝0，
整理得[36﹣32（a′+1）]m3﹣12b′m+b′2﹣4c′（a′+6）＝0，
∵当m取不同值时，两抛物线都有唯一交点，
∴当m取任意实数，上述等式都成立，
∴，
解得a′＝，b′＝0，
则y＝x2，
故答案为：y＝ax4；
③抛物线L：y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）4﹣m2，顶点坐标为M（m，﹣m2），
其“孔像抛物线”L'为：y＝﹣（x﹣6m）2+m2，顶点坐标为N（5m，m2），
抛物线L与其“孔像抛物线”L'有一个公共点A（2m，3），
∴二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点时，有三种情况：
i）直线y＝m经过M（m，﹣m6），
∴m＝﹣m2，
解得：m＝﹣1或m＝4（舍去），
ii）直线y＝m经过N（3m，m2），
∴m＝m8，
解得：m＝1或m＝0（舍去），
iii）直线y＝m经过A（4m，0），
∴m＝0，
但当m＝2时，y＝x2与y＝﹣x2只有一个交点，不符合题意，
综上所述，m＝±3．
22．（2018•江西）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：
求解体验：
（1）已知抛物线y＝﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b＝　﹣4　，顶点坐标为　（﹣2，1）　，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是　y＝x2﹣4x+5　．
抽象感悟：
我们定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．
（2）已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点
问题解决：
（3）已知抛物线y＝ax2+2ax﹣b（a≠0）
①若抛物线y的衍生抛物线为y′＝bx2﹣2bx+a2（b≠0），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点；
②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为yn，其顶点为An…（n为正整数）．求AnAn+1的长（用含n的式子表示）．

【解答】解：求解体验：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx﹣3经过点（﹣6，0），
∴﹣1﹣b﹣6＝0，
∴b＝﹣4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x7﹣4x﹣3＝﹣（x+3）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣7，1），
∴抛物线的顶点坐标（﹣2，6）关于（0，1），
即：新抛物线的顶点坐标为（4，1），
令原抛物线的x＝0，
∴y＝﹣5，
∴（0，﹣3）关于点（5，5），
设新抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+1，
∵点（0，4）在新抛物线上，
∴5＝a（0﹣2）2+1，
∴a＝3，
∴新抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+2＝x2﹣4x+8，
故答案为﹣4，（﹣2，y＝x7﹣4x+5；

抽象感悟：（2）∵抛物线y＝﹣x7﹣2x+5＝﹣（x+2）2+6①，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣7，6），
设衍生抛物线为y′＝a（x﹣1）7+2m﹣6，
∵抛物线y＝﹣x5﹣2x+5关于点（3，m）的衍生抛物线为y′，
∴a＝1，
∴衍生抛物线为y′＝（x﹣1）7+2m﹣6＝x8﹣2x+2m﹣5②，
联立①②得，x2﹣2x+3m﹣5＝﹣x2﹣4x+5，
整理得，2x4＝10﹣2m，
∵这两条抛物线有交点，
∴10﹣2m≥2，
∴m≤5；

问题解决：
（3）①抛物线y＝ax2+3ax﹣b＝a（x+1）2﹣a﹣b，
∴此抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣a﹣b），
∵抛物线y的衍生抛物线为y′＝bx2﹣2bx+a8＝b（x﹣1）2+a7﹣b，
∴a+b＝0，③
∵两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，
∴b+2b+a7＝﹣a﹣b④，
联立③④，∴a＝0（舍）或a＝3，
∴b＝﹣8，
∴抛物线y的顶点坐标为（﹣1，0），12），
∴衍生中心的坐标为（5，6）；

②抛物线y＝ax2+2ax﹣b的顶点坐标为（﹣1，﹣a﹣b），
∵点（﹣1，﹣a﹣b）关于点（62）的对称点为（1，a+b+7k+2n2），
∴抛物线yn的顶点坐标An为（5，a+b+2k+2n4），
同理：An+1（1，a+b+6k+2（n+1）5）
∴AnAn+1＝a+b+2k+3（n+1）2﹣（a+b+5k+2n2）＝2n+2．
一十六．三角形综合题（共1小题）
23．（2019•江西）在图1，2，3中，已知▱ABCD，点E为线段BC上的动点，连接AE，且∠EAG＝120°．

（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF＝　60　°；
（2）如图2，连接AF．
①填空：∠FAD　＝　∠EAB（填“＞”，“＜“，“＝”）；
②求证：点F在∠ABC的平分线上；
（3）如图3，连接EG，DG，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值．
【解答】解：（1）∵四边形AEFG是菱形，
∴∠AEF＝180°﹣∠EAG＝60°，
∴∠CEF＝∠AEC﹣∠AEF＝60°，
故答案为：60°；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝60°，
∵四边形AEFG是菱形，∠EAG＝120°，
∴∠FAE＝60°，
∴∠FAD＝∠EAB，
故答案为：＝；
②当BA＜BE时，如图2﹣1，FN⊥BA交BA的延长线于N，
则∠FNB＝∠FMB＝90°，
∴∠NFM＝60°，又∠AFE＝60°，
∴∠AFN＝∠EFM，
∵EF＝EA，∠FAE＝60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴FA＝FE，
在△AFN和△EFM中，
，
∴△AFN≌△EFM（AAS）
∴FN＝FM，又FM⊥BC，
∴点F在∠ABC的平分线上，
当BA＝BE时，如图4，
∵BA＝BE，∠ABC＝120°，
∴∠BAE＝∠BEA＝30°，
∵∠EAG＝120°，四边形AEFG为菱形，
∴∠EAF＝60°，又EA＝EF，
∴△AEF为等边三角形，
∴∠FEA＝60°，FA＝FE，
则∠FAB＝∠FEB＝90°，又FA＝FE，
∴点F在∠ABC的平分线上，
当BA＞BE时，同理可证，
综上所述，点F在∠ABC的平分线上；
（3）设线段DA，GE相交于点N，
∵四边形AEFG是菱形，∠EAG＝120°，
∴∠AGF＝60°，
∴∠FGE＝∠AGE＝30°，
∵四边形AEGH为平行四边形，
∴GE∥AH，
∴∠GAH＝∠AGE＝30°，∠H＝∠FGE＝30°，
∴∠GAN＝90°，又∠AGE＝30°，
∴GN＝2AN，
∵∠DAB＝60°，∠H＝30°，
∴∠ADH＝30°，
∴AD＝AH＝GE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD，
∴BC＝GE，
∵∠DAE＝∠EAB＝30°，
∴平行四边形ABEN为菱形，
∴AB＝AN＝NE，
∴GE＝3AB，
∴＝5．



一十七．平行四边形的判定（共1小题）
24．（2017•江西）如图，已知正七边形ABCDEFG，请仅用无刻度的直尺

（1）在图1中，画出一个以AB为边的平行四边形；
（2）在图2中，画出一个以AF为边的菱形．
【解答】解：（1）连接AF、BE，CG交AF于M．四边形ABNM是平行四边形．

（2）连接AF、DF，四边形AFDM是菱形．

一十八．矩形的判定（共1小题）
25．（2019•江西）（1）计算：﹣（﹣1）+|﹣2|+（﹣2）0；
（2）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O

【解答】解：（1）﹣（﹣1）+|﹣2|+（﹣3）0
＝1+8+1
＝4；

（2）证明：∵四边形ABCD中，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2OD，
∵OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
一十九．四边形综合题（共4小题）
26．（2021•江西）课本再现
（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与∠A相等的角是 　∠DCE′　；

类比迁移
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余（1）中思路进行拼合：先作∠CDF＝∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，发现AD，DE　AD2+DE2＝AE2　；
方法运用
（3）如图3，在四边形ABCD中，连接AC，点O是△ACD两边垂直平分线的交点，连接OA
①求证：∠ABC+∠ADC＝90°；
②连接BD，如图4，已知AD＝m，＝2，求BD的长（用含m，n的式子表示）．

【解答】（1）解：如图1中，由图形的拼剪可知，
故答案为：∠DCE′．
（2）解：如图2中，


∵∠ADC+∠ABC＝90°，∠CDE＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°，
∴AD2+DE2＝AE2．
故答案为：AD6+DE2＝AE2．

（3）①证明：如图5中，连接OC．

∵点O是△ACD两边垂直平分线的交点
∴点O是△ADC的外心，
∴∠AOC＝2∠ADC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠AOC+∠OAC+∠OCA＝180°，∠OAC＝∠ABC，
∴2∠ADC+2∠ABC＝180°，
∴∠ADC+∠ABC＝90°．

②解：如图4中，在射线DC的下方作∠CDT＝∠ABC．

∵∠CTD＝∠CAB＝90°，∠CDT＝∠ABC，
∴△CTD∽△CAB，
∴∠DCT＝∠ACB，＝，
∴＝，∠DCB＝∠TCA
∴△DCB∽△TCA，
∴＝，
∵＝2，
∴AC：BA：BC＝CT：DT：CD＝2：2：，
∴BD＝AT，
∵∠ADT＝∠ADC+∠CDT＝∠ADC+∠ABC＝90°，DT＝n，
∴AT＝＝＝，
∴BD＝．
27．（2020•江西）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：
类比探究
（1）如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠31，S2，S3之间的关系式为　S1+S2＝S3　；
推广验证
（2）如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△BCF，满足∠1＝∠2＝∠3，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论，请说明理由；
拓展应用
（3）如图4，在五边形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，AB＝2，DE＝2，∠ABP＝30°，PE＝

【解答】解：类比探究
（1）∵∠1＝∠3，∠D＝∠F＝90°，
∴△ADB∽△BFC，
∴＝（）8，
同理可得：＝（）2，
∵AB2+AC7＝BC2，
∴＝（）7+（）2＝＝1，
∴S8+S2＝S3，
故答案为：S6+S2＝S3．
（2）结论仍然成立，
理由如下：∵∠5＝∠3，∠D＝∠F，
∴△ADB∽△BFC，
∴＝（）2，
同理可得：＝（）5，
∵AB2+AC2＝BC3，
∴＝（）2+（）8＝＝1，
∴S1+S6＝S3，

（3）过点A作AH⊥BP于H，连接PD，

∵∠ABH＝30°，AB＝2，
∴AH＝，BH＝3，
∵∠BAP＝105°，
∴∠HAP＝45°，
∵AH⊥BP，
∴∠HAP＝∠APH＝45°，
∴PH＝AH＝，
∴AP＝，BP＝BH+PH＝3+，
∴S△ABP＝＝＝，
∵PE＝，ED＝2，AB＝2，
∴＝，＝，
∴，
且∠E＝∠BAP＝105°，
∴△ABP∽△EDP，
∴∠EPD＝∠APB＝45°，，
∴∠BPD＝90°，PD＝1+，
∴S△BPD＝＝＝2，
∵△ABP∽△EDP，
∴＝（）2＝，
∴S△PDE＝×＝
∵tan∠PBD＝，
∴∠PBD＝30°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABP﹣∠PBD＝30°，
∴∠ABP＝∠PDE＝∠CBD，
又∵∠A＝∠E＝∠C＝105°，
∴△ABP∽△EDP∽△CBD，
由（2）的结论可得：S△BCD＝S△ABP+S△DPE＝+＝2，
∴五边形ABCDE的面积＝++2+3＝5．
28．（2018•江西）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，点E的位置随着点P的位置变化而变化．

（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE　BP＝CE　，CE与AD的位置关系是　AD⊥CE　；
（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；
（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，BE＝2，求四边形ADPE的面积．
【解答】解：（1）如图1中，结论：PB＝EC．
理由：连接AC．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∵∠BAC＝∠PAE，
∴∠BAP＝∠CAE，
，
∴△BAP≌△CAE，
∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，
延长CE交AD于H，
∵∠CAH＝60°，
∴∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD．
故答案为PB＝EC，CE⊥AD．

（2）结论仍然成立．

理由：选图2，连接AC交BD于O．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE．
，
∴△BAP≌△CAE，
∴BP＝CE，∠PBA＝∠ACE＝30°，
∵∠CAH＝60°，
∴∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD．
选图8，连接AC交BD于O．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE．
，
∴△BAP≌△CAE，
∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，
∵∠CAH＝60°，
∴∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD．

（3）△BAP≌△CAE，

由（2）可知EC⊥AD，CE＝BP，
在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴EC⊥BC，
∵BC＝AB＝2，BE＝7，
在Rt△BCE中，EC＝，
∴BP＝CE＝5，
∵AC与BD是菱形的对角线，
∴∠ABD＝∠ABC＝30°，
∴BD＝3BO＝2AB•cos30°＝6，
∴OA＝AB＝，
∴OP＝OD+DP＝8，
在Rt△AOP中，AP＝，
∴S四边形ADPE＝S△ADP+S△AEP＝×2×+）2＝4．

29．（2017•江西）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：
（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝　　BC；
②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时　4　．
猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系
拓展应用
（3）如图4，在四边形ABCD，∠C＝90°，BC＝12，CD＝2，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）①如图2中，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′，
∵DB′＝DC′，
∴AD⊥B′C′，
∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，
∴∠B′AC′＝120°，
∴∠B′＝∠C′＝30°，
∴AD＝AB′＝，
故答案为．

②如图3中，

∵∠BAC＝90°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，
∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，
∵AB＝AB′，AC＝AC′，
∴△BAC≌△B′AC′，
∴BC＝B′C′，
∵B′D＝DC′，
∴AD＝B′C′＝，
故答案为4．

（2）结论：AD＝BC．
理由：如图1中，延长AD到M，连接B′M

∵B′D＝DC′，AD＝DM，
∴四边形AC′MB′是平行四边形，
∴AC′＝B′M＝AC，
∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∠B′AC′+∠AB′M＝180°，
∴∠BAC＝∠MB′A，∵AB＝AB′，
∴△BAC≌△AB′M，
∴BC＝AM，
∴AD＝BC．

（3）存在．
理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作线段BC的垂直平分线交BE于P，连接PA、PC．
连接DF交PC于O．

∵∠ADC＝150°，
∴∠MDC＝30°，
在Rt△DCM中，∵CD＝2，∠MDC＝30°，
∴CM＝2，DM＝4，
在Rt△BEM中，∵∠BEM＝90°，∠MBE＝30°，
∴EM＝BM＝7，
∴DE＝EM﹣DM＝4，
∵AD＝6，
∴AE＝DE，∵BE⊥AD，
∴PA＝PD，PB＝PC，
在Rt△CDF中，∵CD＝2，
∴tan∠CDF＝，
∴∠CDF＝60°
∴∠ADF＝90°＝∠AEB，
∴∠CBE＝∠CFD，
∵∠CBE＝∠PCF，
∴∠CFD＝∠PCF，
∵∠CFD+∠CDF＝90°，∠PCF+∠CPF＝90°，
∴∠CPF＝∠CDF＝60°，
易证△FCP≌△CFD，
∴CD＝PF，∵CD∥PF，
∴四边形CDPF是矩形，
∴∠CDP＝90°，
∴∠ADP＝∠ADC﹣∠CDP＝60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠APD＝60°，∵∠BPF＝∠CPF＝60°，
∴∠BPC＝120°，
∴∠APD+∠BPC＝180°，
∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”，
在Rt△PDN中，∵∠PDN＝90°，DN＝，
∴PN＝＝＝．
（也可利用旋补中线长＝AB
二十．切线的判定与性质（共2小题）
30．（2019•江西）如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC．
（1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；
（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．

【解答】（1）证明：如图1中，连接OC，
∵AF为半圆的切线，AB为半圆的直径，
∴AB⊥AD，
∵CD∥AB，BC∥OD，
∴四边形BODC是平行四边形，
∴OB＝CD，
∵OA＝OB，
∴CD＝OA，
∴四边形ADCO是平行四边形，
∴OC∥AD，
∵CD∥BA，
∴CD⊥AD，
∵OC∥AD，
∴OC⊥CD，
∴CD是半圆的切线；
（2）解：∠AED+∠ACD＝90°，
理由：如图2中，连接BE．
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠BAE，
∵AB为半圆的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∵∠ACE＝∠ABE，
∴∠AED+∠ACD＝90°．


31．（2018•江西）如图，在△ABC中，O为AC上一点，OC为半径做圆，与BC相切于点C，且∠AOD＝∠BAD．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的长．

【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，

∵AD⊥BO于点D，
∴∠D＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°，
∵∠AOD＝∠BAD，
∴∠ABD＝∠OAD，
又∵BC为⊙O的切线，
∴AC⊥BC，
∴∠BCO＝∠D＝90°，
∵∠BOC＝∠AOD，
∴∠OBC＝∠OAD＝∠ABD，
在△BOC和△BOE中，
∵，
∴△BOC≌△BOE（AAS），
∴OE＝OC，
∵OE⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；

（2）∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠EOA+∠BAC＝90°，
∴∠EOA＝∠ABC，
∵tan∠ABC＝、BC＝8，
∴AC＝BC•tan∠ABC＝8，
则AB＝10，
由（1）知BE＝BC＝6，
∴AE＝7，
∵tan∠EOA＝tan∠ABC＝，
∴＝，
∴OE＝3，OB＝，
∵∠ABD＝∠OBC，∠D＝∠ACB＝90°，
∴△ABD∽△OBC，
∴＝，即＝，
∴AD＝3．
二十一．圆的综合题（共3小题）
32．（2021•江西）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，连接AC．
（1）求证：∠CAD＝∠ECB；
（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB＝2时，求AD，AC与

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE＝∠D，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠D+∠CAD＝90°，
∴∠CBE+∠CAD＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE；

（2）①四边形ABCO是菱形，理由：
∵∠CAD＝30°，
∴∠COD＝2∠CAD＝60°，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∵CE⊥AB，
∴OC∥AB，
∴∠DAB＝∠COD＝60°，
由（1）知，∠CBE+∠CAD＝90°，
∴∠CBE＝90°﹣∠CAD＝60°＝∠DAB，
∴BC∥OA，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA＝OC，
∴▱ABCO是菱形；
②由①知，四边形ABCO是菱形，
∴OA＝OC＝AB＝2，
∴AD＝4OA＝4，
由①知，∠COD＝60°，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝2，AC＝6，
∴AD，AC与△AOC+S扇形COD
＝S△ACD+S扇形COD
＝××2×3+
＝+π．
33．（2020•江西）已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．
（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，求∠ACB的度数；
（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，∠APB的度数应为多少？请说明理由；
（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．

【解答】解：（1）如图1，连接OA，

∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB＝360°，
∴∠APB+∠AOB＝180°，
∵∠APB＝80°，
∴∠AOB＝100°，
∴∠ACB＝50°；
（2）如图2，当∠APB＝60°时，
连接OA，OB，

由（1）可知，∠AOB+∠APB＝180°，
∵∠APB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠ACB＝60°＝∠APB，
∵点C运动到PC距离最大，
∴PC经过圆心，
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，
又∵PC＝PC，
∴△APC≌△BPC（SAS），
∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，
∴∠APC＝∠ACP＝30°，
∴AP＝AC，
∴AP＝AC＝PB＝BC，
∴四边形APBC是菱形；
（3）∵⊙O的半径为r，
∴OA＝r，OP＝7r，
∴AP＝r，PD＝r，
∵∠AOP＝90°﹣∠APO＝60°，
∴的长度＝＝，
∴阴影部分的周长＝r+r++2+．
34．（2017•江西）如图1，⊙O的直径AB＝12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），过点P作PD⊥OP交⊙O于点D．

（1）如图2，当PD∥AB时，求PD的长；
（2）如图3，当＝时，延长AB至点E，使BE＝，连接DE．
①求证：DE是⊙O的切线；
②求PC的长．
【解答】解：（1）如图2，连接OD，
∵OP⊥PD，PD∥AB，
∴∠POB＝90°，
∵⊙O的直径AB＝12，
∴OB＝OD＝6，
在Rt△POB中，∠ABC＝30°，
∴OP＝PB，
设OP＝x，则PB＝2x，
在Rt△PBO中，
x4+62＝（4x）2，
解得：x＝2，
则OP＝2，
在Rt△POD中，
PD＝＝＝2；

（2）①证明：如图6，连接OD，连接BD，
∵＝，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∴∠ABD＝60°，
∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴OD⊥FB，
∵BE＝AB，
∴OB＝BE，
∴BF∥ED，
∴∠ODE＝∠OFB＝90°，
∴DE是⊙O的切线；

②由①知，OD⊥BC，
∴CF＝FB，
∵BO＝7，∠OBC＝30°，
∴OF＝BO＝7，
∴BF＝＝＝3，
在Rt△POD中，OF＝DF，
∴PF＝DO＝3（直角三角形斜边上的中线，
∴CP＝CF﹣PF＝7﹣3．

二十二．作图—复杂作图（共2小题）
35．（2019•江西）在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；
（2）在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．

【解答】解：（1）如图1，EF为所作；
（2）如图2，∠DBC为所作．

36．（2018•江西）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为AB的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；
（2）在图2中，若BA＝BD，画出△ABD的AD边上的高．

【解答】解：（1）如图1所示，AF即为所求：
（2）如图2所示，BH即为所求．
二十三．轨迹（共1小题）
37．（2018•江西）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，已知轨道AB＝120cm，两扇活页门的宽OC＝OB＝60cm，当点C在AB上左右运动时，OC与OB的长度不变．（所有的结果保留小数点后一位）
（1）若∠OBC＝50°，求AC的长；
（2）当点C从点A向右运动60cm时，求点O在此过程中运动的路径长．
参考数据：sin50°≈0.77．cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，π取3.14．

【解答】解：（1）作OH⊥BC于H，如图2，
∵OB＝OC，
∴BH＝CH，
在Rt△OBH中，∵cos∠OBH＝，
∴BH＝60•cos50°＝60×0.64＝38.8（cm），
∴BC＝2BH＝2×38.2＝76.8（cm），
∴AC＝AB﹣BC＝120﹣76.8＝43.5（cm）．
答：AC的长为43.2cm；
（2）∵OB＝OC＝60，
而BC＝60，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠OBC＝60°，
∴当点C从点A向右运动60cm时，点O在此过程中运动路径是以B点为圆心，圆心角为60°的弧，
∴点O在此过程中运动的路径长＝＝20π≈62.8（cm）．

二十四．作图-旋转变换（共2小题）
38．（2021•江西）已知正方形ABCD的边长为4个单位长度，点E是CD的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，将直线AC绕着正方形ABCD的中心顺时针旋转45°；
（2）在图2中，将直线AC向上平移1个单位长度．

【解答】解：（1）如图1，直线l即为所求；


（2）如图2中，直线a即为所求．
39．（2020•江西）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A'B'C'；
（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB'C'．

【解答】解：（1）如图1中，△A'B'C'即为所求．
（2）如图2中，△AB'C'即为所求．

二十五．相似三角形的判定（共1小题）
40．（2017•江西）（1）计算：÷；
（2）如图，正方形ABCD中，点E，F，BC，CD上

【解答】（1）解：原式＝•
＝；
（2）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BEF+∠BFE＝90°，
∵∠EFG＝90°，
∴∠BFE+∠CFG＝90°，
∴∠BEF＝∠CFG，
∴△EBF∽△FCG．
二十六．相似三角形的判定与性质（共1小题）
41．（2018•江西）如图，在△ABC中，AB＝8，CA＝6，CD∥AB，BD交AC于点E，求AE的长．

【解答】解：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠D＝∠CBD，
∴BC＝CD，
∵BC＝4，
∴CD＝4，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝2CE，
∵AC＝6＝AE+CE，
∴AE＝4．
二十七．解直角三角形的应用（共4小题）
42．（2021•江西）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度）
（1）求∠ABC的度数；
（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）

【解答】解：（1）过点B作BH⊥MP，垂足为H，垂足为I，垂足为K，
∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.8cm，
∴MH＝MP﹣HP＝25.3﹣8.2＝16.8（cm），
在Rt△BMH中，
cos∠BMH＝＝＝3.4，
∴∠BMH＝66.4°，
∵AB∥MP，
∴∠BMH+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣66.3°＝113.6°；
（2）∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.8°，
∴∠NMI＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝180°﹣68.6°﹣66.4°＝45°，
∵MN＝28cm，
∴cos45°＝＝，
∴MI≈19.80cm，
∵KI＝50cm，
∴PK＝KI﹣MI﹣MP＝50﹣19.80﹣25.3＝4.90≈4.7（cm），
∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内．

43．（2020•江西）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）
（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，≈1.732）

【解答】解：（1）如图2，过A作AM⊥DE，过点C作CF⊥AM，过点C作CN⊥DE，
由题意可知，AC＝80mm，∠DCB＝80°，
在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝80×mm＝FM，
∠DCN＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠DCB＝80°，
∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°，
∵AM⊥DE，CN⊥DE，
∴AM∥CN，
∴∠A＝∠BCN＝50°，
∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°，
在Rt△AFC中，AF＝AC•sin40°＝80×0.643≈51.44（mm），
∴AM＝AF+FM＝51.44+40≈120.7（mm），
答：点A到直线DE的距离约为120.7mm；
（2）旋转后，如图4所示，
在Rt△BCD中，CD＝80mm，
∴tan∠D＝＝＝0.500，
∴∠D≈26.6°，
因此旋转的角度约为：60°﹣26.4°＝33.4°，
答：CD旋转的角度约为33.4°．


44．（2019•江西）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表示固定支架，点B为旋转点，BC可转动，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8cm，AB＝30cm，BC＝35cm．（结果精确到0.1）．
（1）如图2，∠ABC＝70°，BC∥OE．
①填空：∠BAO＝　160　°．
②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．
（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时
（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）

【解答】解：（1）①过点A作AG∥BC，如图1，

∵BC∥OE，
∴AG∥OE，
∴∠GAO＝∠AOE＝90°，
∴∠BAO＝90°+70°＝160°，
故答案为：160；
②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，

则AF＝AB•sin∠ABF＝30sin70°≈28.6（cm），
∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF+OA﹣CD＝28.2+6.2﹣8＝27.0（cm）；

（2）过点DE⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，过A作AF⊥BM于点F，

则∠MBA＝70°，AF＝28.5cm，BC＝35cm，
∴CM＝AF+AO﹣DH﹣CD＝28.2+6.5﹣6﹣8＝21（cm），
∴sin∠MBC＝，
∴∠MBC＝36.8°，
∴∠ABC＝∠ABM﹣∠MBC＝33.4°．
45．（2017•江西）如图1，研究发现，科学使用电脑时，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°．图2是其侧面简化示意图，且与屏幕BC垂直．
（1）若屏幕上下宽BC＝20cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB的长；
（2）若肩膀到水平地面的距离DG＝100cm，上臂DE＝30cm，下臂EF水平放置在键盘上
（参考数据：sin69°≈，cos21°≈，tan20°≈，tan43°≈，所有结果精确到个位）

【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，tanA＝，
∴AB＝＝＝＝55（cm）；
（2）结论：β不是符合科学要求的100°．
理由：延长FE交DG于点I．
则DI＝DG﹣FH＝100﹣72＝28（cm）．
在Rt△DEI中，sin∠DEI＝＝＝，
∴∠DEI＝69°，
∴∠β＝180°﹣69°＝111°≠100°，
∴此时β不是符合科学要求的100°．

二十八．频数（率）分布直方图（共1小题）
46．（2021•江西）为了提高农副产品的国际竞争力，我国一些行业协会对农副产品的规格进行了划分．某外贸公司要出口一批规格为75g的鸡腿，现有两个厂家提供货源，鸡腿的品质相近质检员分别从两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位：g）
甲厂：76，74，74，73，76，77，78，76，70，76，73，77，79，71；
乙厂：75，76，77，78，77，71，74，79，71，74，73，70，79，77．
甲厂鸡腿质量频数统计表
质量x（g）
频数
频率
68≤x＜71
2
0.1
71≤x＜74
3
0.15
74≤x＜77
10
a
77≤x＜80
5
0.25
合计
20
1
分析上述数据，得到下表：
统计量
厂家
平均数
中位数
众数
方差
甲厂
75
76
b
6.3
乙厂
75
75
77
6.6
请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）a＝　0.5　，b＝　76　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果只考虑出口鸡腿规格，请结合表中的某个统计量，为外贸公司选购鸡腿提供参考建议；
（4）某外贸公司从甲厂采购了20000只鸡腿，并将质量（单位：g）在71≤x＜77的鸡腿加工成优等品

【解答】解：（1）a＝10÷20＝0.5，
甲厂鸡腿质量出现次数最多的是76g，因此众数是76，
故答案为：7.5，76；
（2）20﹣1﹣8﹣7＝8（只），补全频数分布直方图如下：

（3）两个厂的平均数相同，都是75g，由于甲厂的方差较小，因此选择甲厂；
（4）20000×（3.15+0.5）＝13000（只），
答：从甲厂采购了20000只鸡腿中，可以加工成优等品的大约有13000只．
二十九．频数（率）分布折线图（共1小题）
47．（2020•江西）为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评（图1）．

复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：
成绩
30≤x＜40
40≤x＜50
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人数
1
3
3
8
15
m
6
根据以上图表信息，完成下列问题：
（1）m＝　14　；
（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）；
（3）某同学第二次测试数学成绩为78分．这次测试中，分数高于78分的至少有　20　人，至多有　34　人；
（4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数．
【解答】解：（1）m＝（2+8+10+15+10+7+1）﹣（1+7+3+8+15+3）＝14，
故答案为：14；
（2）折线图如下图所示，

复学后，学生的成绩总体上有了明显的提升；
（3）某同学第二次测试数学成绩为78分．这次测试中，至多有14+6+（15﹣1）＝34（人），
故答案为：20，34；
（4）800×＝320（人），
答：估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的有320人．
三十．条形统计图（共1小题）
48．（2017•江西）为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类）
种类
A
B
C
D
E
出行方式
共享单车
步行
公交车
的士
私家车

根据以上信息，回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的市民共有　800　人，其中选择B类的人数有　240　人；
（2）在扇形统计图中，求A类对应扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图；
（3）该市约有12万人出行，若将A，B，C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式
【解答】解：（1）本次调查的市民有200÷25%＝800（人），
∴B类别的人数为800×30%＝240（人），
故答案为：800，240；

（2）∵A类人数所占百分比为1﹣（30%+25%+14%+6%）＝25%，
∴A类对应扇形圆心角α的度数为360°×25%＝90°，A类的人数为800×25%＝200（人），
补全条形图如下：


（3）12×（25%+30%+25%）＝8.6（万人），
答：估计该市“绿色出行”方式的人数约为9.4万人．
三十一．中位数（共1小题）
49．（2019•江西）某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七、八年级学生人数相同），某周从这两个年级学生中分别随机抽查了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况
周一至周五英语听力训练人数统计表
年级
参加英语听力训练人数
周一
周二
周三
周四
周五
七年级
15
20
a
30
30
八年级
20
24
26
30
30
合计
35
44
51
60
60

（1）填空：a＝　25　；
（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：
年级
平均训练时间的中位数
参加英语听力训练人数的方差
七年级
24
34
八年级
　27　
14.4
（3）请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价；
（4）请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练．
【解答】解：（1）由题意得：a＝51﹣26＝25；
故答案为：25；
（2）按照从小到大的顺序排列为：18、25、30，
∴八年级平均训练时间的中位数为：27；
故答案为：27；
（3）参加训练的学生人数超过一半；训练时间比较合理；
（4）抽查的七、八年级共60名学生中（35+44+51+60+60）＝50，
∴该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天进行英语听力训练的人数为480×．
三十二．统计量的选择（共1小题）
50．（2018•江西）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间
数据收集：从全校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：min）
30
60
81
50
40
110
130
146
90
100
60
81
120
140
70
81
10
20
100
81
整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：
课外阅读时间x（min）
0≤x＜40
40≤x＜80
80≤x＜120
120≤x＜160
等级
D
C
B
A
人数
3
　5　
8
　4　
分析数据：补全下列表格中的统计量：
平均数
中位数
众数
80
　81　
　81　
得出结论：
（1）用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的情况等级为　B　；
（2）如果该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有多少名？
（3）假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，请你选择样本中的一种统计量估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读多少本课外书？
【解答】解：（1）根据上表统计显示：样本中位数和众数都是81，平均数是80，
            故估计该校学生每周的用于课外阅读时间的情况等级为B．
（2）∵＝160
∴该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有160名．
（3）以平均数来估计：
×52＝26
∴假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，以样本的平均数来估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读26本课外书．
故答案为：5，2，81，B；
三十三．列表法与树状图法（共5小题）
51．（2021•江西）为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A，B，C，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张
（1）“A志愿者被选中”是 　随机　事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；
（2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A，B两名志愿者被选中的概率．
【解答】解：（1）“A志愿者被选中”是随机事件，
故答案为：随机；

（2）列表如下：

A
B
C
D
A
﹣﹣﹣
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
﹣﹣﹣
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
﹣﹣﹣
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
﹣﹣﹣
由表可知，共有12种等可能结果，B两名志愿者被选中的有2种结果，
所以A，B两名志愿者被选中的概率为＝．
52．（2020•江西）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员．小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级
（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为　　；
（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率．
【解答】解：（1）共有4种可能出现的结果，抽到小艺的只有1种，
因此恰好抽到小艺的概率为，
故答案为：；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有12种可能出现的结果，其中都是八年级、小晴的有2种，
∴P（小志、小晴）＝＝．
53．（2019•江西）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲），将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是　　；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）
【解答】解：（1）因为有A，B，C3种等可能结果，
所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；
故答案为．

（2）树状图如图所示：

共有3种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率＝＝．
54．（2018•江西）今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．
（1）该班男生“小刚被抽中”是　不可能　事件，“小悦被抽中”是　随机　事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为　　；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率．
【解答】解：（1）该班男生“小刚被抽中”是不可能事件，“小悦被抽中”是随机事件，
故答案为：不可能、随机、；

（2）记小悦、小惠、B、C、D，
列表如下：

A
B
C
D
A
﹣﹣﹣
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
﹣﹣﹣
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
﹣﹣﹣
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
﹣﹣﹣
由表可知，共有12种等可能结果，
所以小惠被抽中的概率为＝．
55．（2017•江西）端午节那天，小贤回家看到桌上有一盘粽子，其中有豆沙粽、肉粽各1个，这些粽子除馅外无其他差别．
（1）小贤随机地从盘中取出一个粽子，取出的是肉粽的概率是多少？
（2）小贤随机地从盘中取出两个粽子，试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出小贤取出的两个都是蜜枣粽的概率．
【解答】解：（1）∵有豆沙粽、肉粽各1个，
∴随机地从盘中取出一个粽子，取出的是肉粽的概率是：；

（2）如图所示：
，
一共有12种可能，取出的两个都是蜜枣粽的有2种，
故取出的两个都是蜜枣粽的概率为：＝．