2022年江西省赣州市石城县中考数学第一次联考试卷（含解析）

2022年江西省赣州市石城县中考数学第一次联考试卷

副标题

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 如图所示，该几何体的主视图是

A.
B.
C.
D.

4. 班长王亮依据今年月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量单位：本，绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是

A. 每月阅读数量的平均数是 B. 众数是
C. 中位数是 D. 每月阅读数量超过的有个月

5. 如图，在中，点，，分别是，，的中点，则下列四个判断中错误的是

A. 四边形是平行四边形
B. 若，则四边形不一定是矩形
C. 若四边形是菱形，则是等腰三角形
D. 若四边形是正方形，则是等腰直角三角形
 

6. 函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7. 二次根式中自变量的取值范围是______ ．
8. 据中国电影数据信息网消息，截止到年月日，诠释伟大抗美援朝精神的电影长津湖累计票房已达亿元．将亿元用科学记数法表示______元．
9. 设，是方程的两个实数根，则的值为______．
10. 九章算术是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似的，图所示的算筹图用方程组表示出来，就是______．

11. 如图，半径为的扇形中，，为半径上一点，过作于点，以为边向右作等边，当点落在上时，______．
    
     

12. 如图，在中，，，为的中点，点是射线上的一个动点，当为直角三角形时，则的长为______．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分）

13. 计算：；
    已知：如图，点是内一点，，求证：≌．
    
     

14. 解不等式组，并把解集表示在数轴上．
    
    
    
    
    
    
    
     
15. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
16. 如图，点在的斜边上，以为直径的与直角边相切于点请你仅用无刻度的直尺作图．保留作图痕迹，不写作法
    在图中作出的平分线；
    连接，在图中的线段上作一点，使将分成面积相等的两部分．

17. 我市“垃圾分类”工作越来越好，但还是有不少人缺乏分类意识．某小区分设了四个不同的垃圾分类投放桶，分别为“可回收物”“有害垃圾”“厨余垃圾”“其他垃圾”．
    上面图标不包含文字是中心对称图形的是______填序号；
    小明帮助妈妈做家务，拿着一袋厨余垃圾去，因天黑看不清，小明随便扔进了一个垃圾桶，请直接写出小明投放正确的概率：______；
    然后他又随手将旧报纸和废弃电池扔到其中两类垃圾桶中，那么他恰好正确分类的概率是多少？画树状图或列表求解以上行为均不提倡

18. 近年来，我县公安局坚持打防并重，向电信网络诈骗全面宣战，启动全民反诈宣传，时常“提点”反复“温习”反诈知识．某社区联合街道办制作并发放“反诈知识知多少”的调查问卷，管理人员从“幸福名苑”小区号楼和号楼分别随机抽取了张问卷结果，并对他们的成绩单位：分进行统计、分析如下：
    收集数据：号楼：，，，，，，，，，
    号楼：，，，，，，，，，
    分析数据：

如图是对所调查的张问卷结果绘制的扇形图．
根据题目信息填空：______，______，______；
求该扇形统计图中成绩为分及分以上的问卷所占的圆心角度数；
若该社区共有人参与调查问卷，则该社区成绩在分及以上的人数约有多少人？






 

19. 图是某小区折叠道闸的实景图，图是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱，和折叠杆“”组成，其中，，之间的水平距离，道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，张角为，同时杆始终与地面保持平行．参考数据：，
    当张角为时，求杆与地面之间的距离结果精确到；
    试通过计算判断宽度为，高度为的小型厢式货车能否正常通过此道闸？

20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，以为边，在直线的左侧作菱形，边轴于点若点坐标为，，．
    求反比例函数和一次函数的解析式；
    求点的坐标．

21. 如图，是直角三角形的外接圆，直径，过点作的切线，与延长线交于点，为的中点，连接，，且与相交于点．
    求证：与相切；
    当时，求弦和弧所夹图形的面积；
    在的条件下，在弧上取一点，使，连接交弦于点，求的长度是多少？

22. 如图，抛物线与轴交于，两点点在点左侧，与轴交于点．
    若抛物线的对称轴是直线．
    求抛物线的解析式；
    点在对称轴上，若的面积是，求点的坐标；
    当，时，函数的最大值满足，求的取值范围．

【温故知新】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．

【问题发现】如图，请直接写出与的比值是______．
【问题探究】如图，在中，，，，在上截取，再在上截取，则的值为______．

【问题解决】
如图，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕，试说明：是的黄金分割点．
【拓展延伸】
如图，正方形中，为对角线上一点，点在边上，且，当为的黄金分割点时，，连，延长交于，请用相似的知识求出的值为______．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：有理数的相反数等于，
故选：．
直接根据相反数的概念解答即可．
此题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、与不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】
 

【解析】解：从正面看，外面是一个正方形，里面右上角是一个小正方形．
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、每月阅读数量的平均数是，故A错误，不符合题意；
B、出现次数最多的是，众数是，故B错误，不符合题意；
C、由小到大顺序排列数据，，，，，，，，中位数是，故C错误，不符合题意；
D、由折线统计图看出每月阅读量超过的有个月，故D正确，符合题意；
故选：．
根据平均数的计算方法，可判断；根据众数的定义，可判断；根据中位数的定义，可判断；根据折线统计图中的数据，可判断．
本题考查了折线统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图表示的是事物的变化情况．注意求中位数先将该组数据按从小到大或按从大到小的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．
 

5.【答案】
 

【解析】解：点，，分别是，，的中点，
，，，，
四边形是平行四边形，
故A正确；
若，
四边形是矩形，
故B错误；
若四边形是菱形，则，
，
是等腰三角形，
故C正确，
若四边形是正方形，则，，
，，
是等腰直角三角形，
故D正确，
故选：．
利用正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定进行依次推理，可求解．
本题考查了正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：当，由二次函数可知，当，由二次函数可知，
故A、、C错误，D正确；
故选：．
根据二次函数的图象点的坐标特征即可判断．
本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，熟记一次函数与二次函数的有关性质是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

8.【答案】
 

【解析】解：亿．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：．
利用根与系数的关系可得出，，再将其代入中即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：由题意可得，
图所示的算筹图用方程组表示出来，就是，
故答案为：．
根据题意和图，可知第一个小棍数代表几个，第二个小棍数代表几个，最后的代表常数，然后即可根据图，写出相应的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
 

11.【答案】
 

【解析】解：如图，连接设．

，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
负根已经舍去，
．
故答案为：．
如图，连接设证明，利用勾股定理构建方程求解即可．
本题考查解直角三角形，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

12.【答案】或或或
 

【解析】解：在中，，，为的中点，
，，
若时，

，，，
≌，
，
；
若，且点在延长线上时，

为的中点，
，
；
若，且点在线段上时，

为的中点，
，
，
若，则点与重合，此时，
综上所述，线段的长为：或或或．
故答案为：或或或．
分或或三种情形，分别画出符合题意的图形，从而解决问题．，
本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，运用分类思想是解题的关键．
 

13.【答案】解：

；
证明：，
，
，
，，
在和中，
，
≌．
 

【解析】根据特殊角的三角函数，零指数幂，二次根式即可求解；
根据等腰三角形的等边对等角，可得，进一步可得，根据等腰三角形的等角对等边可得，根据即可证明三角形全等．
本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定，三角函数，零指数幂等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

14.【答案】解：，
由得 ，
由得 ，
原不等式组的解为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
．
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

15.【答案】解：原式

，
当时，原式．
 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、二次根式的除法，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

16.【答案】解：如图中，线段即为所求．
理由：连接．
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
平分．

如图中，连接，交于点，点即为所求．
 

【解析】如图中，线段即为所求．
如图中，连接，交于点，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

17.【答案】 
 

【解析】解：上面图标不包含文字是中心对称图形的是；
故答案为：；

某小区分设了四个不同的垃圾分类投放桶，分别为“可回收物”“有害垃圾”“厨余垃圾”“其他垃圾”，
小明投放正确的概率：；

根据题意画图如下：

共有种等可能的情况数，其中他恰好正确分类的有种，
则正确分类．
根据中心对称图形的定义即可得出答案；
直接利用概率公式求解即可；
首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能并熟练掌握概率公式是解题关键．
 

18.【答案】   
 

【解析】解：由题意，得，，，
故答案为：；；；

该扇形统计图中成绩为分及分以上的问卷所占的圆心角度数为：；

根据题意得：
人，
答：该社区成绩在分及以上的人数约有人．
根据中位数和众数的定义可得和的值，根据号楼的张问卷结果可得的值；
用度乘分及分以上的问卷所占比例可得结果；
利用样本估计总体，用乘分及以上所占比例可得结果．
本题考查了扇形统计图以及频数分布表．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：过点作，垂足为，交于点，则，

，
四边形是矩形，
米，，
，
，
在中，米，
米，
答：杆与地面之间的距离为米；
由得：，
当时，
，
在中，米，
米，

当，
，
当时，
，
在中，米，
米，
，
宽度为，高度为的小型厢式货车不能正常通过此道闸．
 

【解析】要求杆与地面之间的距离，所以过点作，垂足为，交于点，在中进行计算即可解答；
当张角为为时，按照的思路求出的长，再计算当米时，的长度，然后与车的宽度进行比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】解：在中，，．
点，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数为．
反比例函数为经过点，
，解得：，
点，
经过点，点，
，解得：，
一次函数的解析式为．
点，点，
，
点，
即点．
 

【解析】由题意可得点的坐标；根据反比例函数经过点，即可求出反比例函数解析式；由点在反比例函数图象上，可求得点的坐标；根据一次函数将过点，，利用待定系数法即可求的一次函数解析式；
根据已知两点坐标求线段长度的方法求出的长度，即的长度，进而求得点的坐标．
本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解决此类题目的关键是能熟练运用待定系数法求函数解析式及已知函数解析式求出点的坐标．
 

21.【答案】证明：如图，连接，

是直角三角形的外接圆，
．
在中，为的中点，
，
．
又，
．
为的切线，
．
，
即．
又为的半径，
与相切；
解：，，
为等边三角形，
．
，
，
弦和弧所夹图形的面积
．
解：连接，时，，
等边中，平分，
．
在中，，，
，
，
．
 

【解析】连接，证出由切线的判定可得出结论；
证明为等边三角形，由等边三角形的性质得出由扇形的面积公式可得出答案；
证出，由直角三角形的性质可得出答案．
本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质及扇形的面积公式等知识点．
 

22.【答案】解：抛物线的对称轴为直线，
，
又抛物线与轴的交点为，
，
抛物线的解析式为；
点在抛物线的对称轴上，
可设点的坐标为，
则，
解得或，
点的坐标为或；
时，
，
，
抛物线开口向上，在对称轴左边，随的增大而减小，
当时，取，有最大值，
即，
，解得：，
又，
．
 

【解析】由对称轴得出的值，由点的坐标得出的值，即可确定抛物线的解析式；
先设出点的坐标，用梯形的面积减去三角形和三角形的面积，列出关于点的坐标的方程，求出未知数即可确定的坐标；
根据的范围将用含的式子表示出来，由的范围即可确定的范围．
本题主要考查二次函数的图象和性质，关键是要牢记抛物线的对称轴的公式，会用待定系数法求抛物线的解析式，会用割补法求三角形的面积．
 

23.【答案】  
 

【解析】【问题发现】解：点为线段的黄金分割点，
，
，
故答案为：；
【问题探究】解：，，，
，
，
，
，
故答案为：；
【问题解决】解：如图，设与交于点，

，且为的中点，
，
过点作，
平分，
，
设，
，
，
，
即，
解得，
经检验是原方程的解，
，
，
故点为的黄金分割点；
【拓展延伸】解：如图，延长交延长线于，过点作于，

过点作于，过作于，
，
点、、、四点共圆，
，
，同为所对的圆周角
又，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
，
又，
≌，
，，
为的黄金分割点，
设，则，
设，
，
∽，
，
即，
解得，
经检验是方程的解，
，
，
，，
∽，
，
故答案为：．
【问题发现】根据黄金分割的比例关系得出与的比值即可；
【问题探究】先由勾股定理求出，再由，得，即可得出结论；
【问题解决】设与交于点，作于，设，根据，解方程得出，进而求出即可得出比例关系证明结论；
【拓展延伸】延长交延长线于，过点作于，过点作于，过作于，根据证≌，设，则，设，根据∽，得，解得求出，再根据∽，得出比值即可．
本题主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的全等和性质，等腰直角三角形的性质等知识点，利用辅助线构造相似三角形得线段比例关系是解题的关键．