2022年江西省育华学校中考联考数学试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．如果实数a=，且a在数轴上对应点的位置如图所示，其中正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．若二次函数的图像与轴有两个交点，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

3．如图，在△ABC中，AC=BC，点D在BC的延长线上，AE∥BD，点ED在AC同侧，若∠CAE=118°，则∠B的大小为（　　）

A．31° B．32° C．59° D．62°

4．如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（  ）

A． B． C． D．

5．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（　　）

A． B． C． D．

6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）

A．（―1，2）

B．（―9，18）

C．（―9，18）或（9，―18）

D．（―1，2）或（1，―2）

7．如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24

8．如图，实数﹣3、x、3、y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最小的数对应的点是（　　）

A．点M B．点N C．点P D．点Q

9．如图，已知AB∥CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A＝120°，则∠D的度数为（　　）

A．30° B．60° C．50° D．40°

10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0；④2c–3b<0；⑤a+b>n（an+b）（n≠1），其中正确的结论有(    )

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF=CD=80cm，则截面圆的半径为           cm．

12．分解因式：4x2﹣36=___________．

13．如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为_____．

14．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，E为AD上一点，把矩形ABCD沿BE折叠，若点A恰好落在CD上点F处，则AE的长为_____．

15．若a是方程的根，则=_____.

16．因式分解：_________________．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）如图，菱形中，分别是边的中点．求证：.

18．（8分）某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：

本次接受调查的跳水运动员人数为　   　，图①中m的值为　   　；求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数．

19．（8分）已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．

求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．

20．（8分）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方米处的点C出发,沿斜面坡度的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米.已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC,AB//DE.求旗杆AB的高度.（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈.计算结果保留根号）

21．（8分）解不等式组：并写出它的所有整数解．

22．（10分）先化简，再求值：（﹣m+1）÷，其中m的值从﹣1，0，2中选取．

23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE∥AB，交BC于E．

（1）求证：ED为⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，ED=4，EO的延长线交⊙O于F，连DF、AF，求△ADF的面积．

24．某数学兴趣小组为测量如图（①所示的一段古城墙的高度，设计用平面镜测量的示意图如图②所示，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处． 

 已知AB⊥BD、CD⊥BD，且测得AB=1.2m，BP=1.8m.PD=12m，求该城墙的高度（平面镜的原度忽略不计）：    请你设计一个测量这段古城墙高度的方案． 

要求：①面出示意图（不要求写画法）；②写出方案，给出简要的计算过程：③给出的方案不能用到图②的方法．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解析】

分析：估计的大小，进而在数轴上找到相应的位置，即可得到答案.

详解：

由被开方数越大算术平方根越大，

即

故选C.

点睛：考查了实数与数轴的的对应关系，以及估算无理数的大小，解决本题的关键是估计的大小.

2、D

【解析】
由抛物线与x轴有两个交点可得出△=b2-4ac＞0，进而可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．

【详解】

∵抛物线y=x2-2x+m与x轴有两个交点，

∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1×m＞0，即4-4m＞0，

解得：m＜1．

故选D．

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点”是解题的关键．

3、A

【解析】
根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠CAB，再利用平行线的性质解答即可．

【详解】

∵在△ABC中，AC＝BC，

∴∠B＝∠CAB，

∵AE∥BD，∠CAE＝118°，

∴∠B＋∠CAB＋∠CAE＝180°，

即2∠B＝180°−118°，

解得：∠B＝31°，

故选A．

【点睛】

此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠CAB．

4、A

【解析】

试题分析：根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此可知，A为轴对称图形．

故选A．

考点：轴对称图形

5、B

【解析】

试题解析：如图所示：

设BC=x，

∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，

∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，

根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，

作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，

在Rt△AEM中，cos∠EAD=；

故选B．

【点睛】本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数等，通过作辅助线求出AM是解决问题的关键.

6、D

【解析】
试题分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且＝ .∴＝＝.∴A′E＝AD＝2，OE＝OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.

方法二：∵点A（―3，6）且相似比为，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×，6×），∴A′（－1,2）.

∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.

故答案选D.

考点：位似变换.

7、B

【解析】

∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，AD=BC，

∵AC的垂直平分线交AD于点E，∴AE=CE，

∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6，∴▱ABCD的周长=2×6=12，

故选B．

8、D

【解析】

∵实数-3，x，3，y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，
∴原点在点M与N之间，
∴这四个数中绝对值最大的数对应的点是点Q．
故选D．

9、A

【解析】

分析：根据平行线的性质求出∠C，求出∠DEC的度数，根据三角形内角和定理求出∠D的度数即可．

详解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C=180°．

    ∵∠A=120°，∴∠C=60°．

    ∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠D=180°﹣∠C﹣∠DEC=30°．

     故选A．

点睛：本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理的应用，能根据平行线的性质求出∠C的度数是解答此题的关键．

10、B

【解析】
①观察图象可知a＜0，b＞0，c＞0，由此即可判定①；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c由此可判定②；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，由此可判定③；④当x=3时函数值小于0，即y=9a+3b+c＜0，且x=﹣ =1，可得a=﹣，代入y=9a+3b+c＜0即可判定④；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，当x=n时，y=an2+bn+c，由此即可判定⑤.

【详解】

①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此选项错误；

②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，即b＞a+c，故此选项错误；

③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，故此选项正确；

④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣=1即a=﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；

⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=n时，y=an2+bn+c，所以a+b+c＞an2+bn+c，故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故此选项正确．

∴③④⑤正确．

故选B．

【点睛】

本题主要考查了抛物线的图象与二次函数系数之间的关系，熟知抛物线的图象与二次函数系数之间的关系是解决本题的关键．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、1

【解析】
过点O作OM⊥EF于点M，反向延长OM交BC于点N，连接OF，设OF=r，则OM=80-r，MF=40，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．

【详解】

过点O作OM⊥EF于点M，反向延长OM交BC于点N，连接OF，

设OF=x，则OM=80﹣r，MF=40，在Rt△OMF中，

∵OM2+MF2=OF2，即（80﹣r）2+402=r2，解得：r=1cm．

故答案为1．

12、4（x+3）（x﹣3）

【解析】

分析：首先提取公因式4，然后再利用平方差公式进行因式分解．

详解：原式=．

点睛：本题主要考查的是因式分解，属于基础题型．因式分解的方法有提取公因式、公式法和十字相乘法等，如果有公因式首先都要提取公因式．

13、

【解析】

试题分析：根据网格，利用勾股定理求出AC的长，AB的长，以及AB边上的高，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积，而三角形ABC面积可以由AC与BD乘积的一半来求，利用面积法即可求出BD的长：

根据勾股定理得：，

由网格得：S△ABC=×2×4=4，且S△ABC=AC•BD=×5BD，

∴×5BD=4，解得：BD=.

考点：1.网格型问题；2.勾股定理；3.三角形的面积．

14、

【解析】
根据矩形的性质得到CD=AB=5，AD=BC=3，∠D=∠C=90°，根据折叠得到BF＝AB＝5，EF＝EA，根据勾股定理求出CF，由此得到DF的长，再根据勾股定理即可求出AE.

【详解】

∵矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，

∴CD=AB=5，AD=BC=3，∠D=∠C=90°，

由折叠的性质可知，BF＝AB＝5，EF＝EA，

在Rt△BCF中，CF＝＝4，

∴DF＝DC﹣CF＝1，

设AE＝x，则EF＝x，DE＝3﹣x，

在Rt△DEF中，EF2＝DE2+DF2，即x2＝（3﹣x）2+12，

解得，x＝，

故答案为：．

【点睛】

此题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，由折叠得到BF的长度是解题的关键.

15、1

【解析】
利用一元二次方程解的定义得到3a2-a=2，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．

【详解】

∵a是方程的根，
∴3a2-a-2=0，
∴3a2-a=2，
∴==5-2×2=1．
故答案为：1．

【点睛】

此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

16、

【解析】
提公因式法和应用公式法因式分解．

【详解】

解： ．

故答案为：

【点睛】

本题考查因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．

三、解答题（共8题，共72分）

17、证明见解析.

【解析】
根据菱形的性质，先证明△ABE≌△ADF，即可得解.

【详解】

在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D.

∵点E，F分别是BC，CD边的中点，

∴BE＝BC，DF＝CD，

∴BE＝DF.

∴△ABE≌△ADF，

∴AE＝AF.

18、（1）40人；1；（2）平均数是15；众数16；中位数15.

【解析】
（1）用13岁年龄的人数除以13岁年龄的人数所占的百分比，即可得本次接受调查的跳水运动员人数；用16岁年龄的人数除以本次接受调查的跳水运动员人数即可求得m的值；（2）根据统计图中给出的信息，结合求平均数、众数、中位数的方法求解即可.

【详解】

解：（1）4÷10%=40（人），

m=100-27.5-25-7.5-10=1；

故答案为40，1．

（2）观察条形统计图，

∵，

∴这组数据的平均数为15；

∵在这组数据中，16出现了12次，出现的次数最多，

∴这组数据的众数为16；

∵将这组数据按照从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15，有，

∴这组数据的中位数为15.

【点睛】

本题考查了条形统计图，扇形统计图，掌握平均数、众数和中位数的定义是解题的关键．

19、作图见解析.

【解析】
由题意可知，先作出∠ABC的平分线，再作出线段BD的垂直平分线，交点即是P点.

【详解】

∵点P到∠ABC两边的距离相等，

∴点P在∠ABC的平分线上；

∵线段BD为等腰△PBD的底边，

∴PB=PD，

∴点P在线段BD的垂直平分线上，

∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点，

如图所示：

【点睛】

此题主要考查了尺规作图，正确把握角平分线的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键.

20、3+3.5

【解析】
延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，Rt△CDF中求得CF=CDcos∠DCF=2、DF=CD=2，作EG⊥AB，可得GE=BF=4、GB=EF=3.5，再求出AG=GEtan∠AEG=4•tan37°可得答案．

【详解】

如图，延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，

∵tan∠DCF=i=，

∴∠DCF=30°，

∵CD=4，

∴DF=CD=2，CF=CDcos∠DCF=4×=2，

∴BF=BC+CF=2+2=4，

过点E作EG⊥AB于点G，

则GE=BF=4，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5，

又∵∠AED=37°，

∴AG=GEtan∠AEG=4•tan37°，

则AB=AG+BG=4•tan37°+3.5=3+3.5，

故旗杆AB的高度为（3+3.5）米．

考点：1、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2、解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题

21、原不等式组的解集为，它的所有整数解为0，1．

【解析】
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后写出它的所有整数解即可．

【详解】

解：，

解不等式①，得，

解不等式②，得x＜2，

∴原不等式组的解集为，

它的所有整数解为0，1．

【点睛】

本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法．解一元一次不等式组的简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

22、 ，当m=0时，原式=﹣1．

【解析】
原式括号中两项通分，并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果.根据分数分母不为零的性质，不等于-1、2，将代入原式即可解出答案.

【详解】

解：原式，

，

，

，

∵且，

∴当时，原式．

【点睛】

本题主要考查分数的性质、通分，四则运算法则以及倒数.

23、（1）见解析；（2）△ADF的面积是．

【解析】

试题分析：（1）连接OD，CD，求出∠BDC=90°，根据OE∥AB和OA=OC求出BE=CE，推出DE=CE，根据SSS证△ECO≌△EDO，推出∠EDO=∠ACB=90°即可；
（2）过O作OM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，求出OM=FN，求出BC、AC、AB的值，根据sin∠BAC＝，求出OM，根据cos∠BAC＝，求出AM，根据垂径定理求出AD，代入三角形的面积公式求出即可．

试题解析：

（1）证明：连接OD，CD，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠CDA=90°=∠BDC，

∵OE∥AB，CO=AO，

∴BE=CE，

∴DE=CE，

∵在△ECO和△EDO中

，

∴△ECO≌△EDO，

∴∠EDO=∠ACB=90°，

即OD⊥DE，OD过圆心O，

∴ED为⊙O的切线．

（2）过O作OM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，

则OM∥FN，∠OMN=90°，

∵OE∥AB，

∴四边形OMFN是矩形，

∴FN=OM，

∵DE=4，OC=3，由勾股定理得：OE=5，

∴AC=2OC=6，

∵OE∥AB，

∴△OEC∽△ABC，

∴，

∴，

∴AB=10，

在Rt△BCA中，由勾股定理得：BC==8，

sin∠BAC=，

即 ，

OM==FN，

∵cos∠BAC=，

∴AM=

由垂径定理得：AD=2AM=，

即△ADF的面积是AD×FN=××=．

答：△ADF的面积是．

【点睛】考查了切线的性质和判定，勾股定理，三角形的面积，垂径定理，直角三角形的斜边上中线性质，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力．

24、（1）8m；（2）答案不唯一

【解析】
（1）根据入射角等于反射角可得 ∠APB=∠CPD ，由 AB⊥BD、CD⊥BD 可得到 ∠ABP=∠CDP=90°，从而可证得三角形相似，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求出CD的长.

（2）设计成视角问题求古城墙的高度.

【详解】

（1）解：由题意，得∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP=90°，

∴Rt△ABP∽Rt△CDP，

∴ ，

∴CD==8. 

答：该古城墙的高度为8m

（2）解：答案不唯一，如：如图， 

在距这段古城墙底部am的E处，用高h（m）的测角仪DE测得这段古城墙顶端A的仰角为α.即可测量这段古城墙AB的高度，

过点D作DCAB于点C.在Rt△ACD中，∠ACD=90°，tanα=，

∴AC=α tanα，

∴AB=AC+BC=αtanα+h

【点睛】

本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．