甘肃省嘉谷关市2020_2021学年高二数学下学期期中考试试题理（含答案解析）

高二下学期期中考试

数学试题(理科)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

2. 演讲比赛共有9位评委分别给出某位选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分. 7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（    ）

A．极差            B．方差           

C．中位数          D．平均数

3. 关于x的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根； 乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是 （     ）

A．甲                B．乙             

C． 丙                D． 丁

4. 某家具厂的原材料费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为，则表中实数a的值为（     ）

A. 65                  B. 60                

C.  55                 D. 50

5. 已知的边长分别为、、，的面积为，内切圆半径为，则，类比这一结论可知若三棱锥的四个面的面积分别为、、、，内切球半径为，三棱锥的体积为，则（     ）

A．    B．   

C．    D．

6. 《易经》是中国传统文化中的精髓之一．如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线和四根阴线的概率为（     ）

1.                  B.                C.             D.

7. 下列说法正确的有（     ）

①在回归分析中，可以借助散点图判断两个变量是否呈线性相关关系．

②在回归分析中，可以通过残差图发现原始数据中的可疑数据，残差平方和越小，

模型的拟合效果越好．

③在回归分析模型中，相关系数的绝对值越大，说明模型的拟合效果越好．

④在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位．

A. 1个     B. 2个     C. 3个            D. 4个

8. 已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为(     )  

A.0.135 9        B.0.728 2      C.0.864 1     D.0.932 05

附：若随机变量，则

    A.           B.            C.        D.

10 . 现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（     ）

A．150种        B．180种         C．240种        D．120种

11. 的展开式中的系数是 （     ）

A.60             B. 80              C.84                 D.120

12. 体育课的排球发球项目考试的规则是每名学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球.否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p（p≠0），发球次数为X，若X的均值E(X)>1.75 ，则p 的取值范围是（     ）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.               .

15. 2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到、、三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有              种.

16. 复数满足 ，则 的最大值是          .

三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知复数，，．

（1） 当时，求的值；

（2）若是纯虚数，求a 的值；

（3）若在复平面上对应的点在第二象限，求a 的取值范围．

18.（12分）一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．

（1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？

（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？

（3）前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？

19.（12分）钱学森、华罗庚、李四光、袁隆平、钟南山分别是我国著名的物理学家、数学家、古生物学家、农学家、呼吸病学专家，他们在各自不同的领域为我国作出了卓越贡献.为调查中学生对这些著名科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名中学生，请他们列举这些科学家的成就，把能列举这些科学家成就不少于4项的称为“比较了解”，少于4项的称为“不太了解”.调查结果如下表：

（1）完成如图列联表，并判断是否有的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”；

（2）在抽取的100名中学生中，按照性别采用分层抽样的方法抽取一个10人的样本，从这个样本中随机抽取4人，记X为这4人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.

附：

20.（12分）随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，特别是每年的“双十一”，天猫的交易额数目惊人.2020年天猫公司的工作人员为了迎接天猫“双十一”年度购物狂欢节，加班加点做了大量准备活动，截止2020年11月11日24时，2020年的天猫“双十一”交易额定格在3700多亿元，天猫总公司所有员工对于新的战绩皆大欢喜，同时又对2021年充满了憧憬，因此公司工作人员反思从2014年至2020年每年“双十一”总交易额(取近似值)，进行分析统计如下表：

（1）通过分析，发现可用线性回归模型拟合总交易额y与年份代码t的关系，请用相关系数加以说明；

（2）利用最小二乘法建立y关于t的回归方程(系数精确到0.1)，预测2021年天猫“双十一”的总交易额.

参考数据：

参考公式：相关系数回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

21.（12分）为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位： ）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布

(1)假设生产状态正常，记表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在之外的零

件数，求及的数学期望；

(2)某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：

①计算这一天平均值与标准差；

②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为（单位： ）：85，95，103，109，119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？

参考数据：

22.（12分）2020年席卷全球的新冠肺炎给世界人民带来了巨大的灾难，面对新冠肺炎,早发现、早诊断、早隔离、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之--.我国在春节期间倡导就地过年，非必要不返乡.某社区对55位春节返乡人员是否患有新冠肺炎疾病进行筛查,先到社区医务室进行口拭子核酸检测,检测结果成阳性者,再到医院做进一步检查,已知随机一人其口拭子核酸检测结果成阳性的概率为2% ,且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.

(1)假设患新冠肺炎的概率是0.3%,且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为98%.设这55位春节返乡人员中有一位的口拭子核酸检测呈阳性,求其被确诊为新冠肺炎患者的概率；

(2 )根据经验,口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量.具体操作如下:将.55位春节返乡人员分成若干组,先取每组春节返乡人员的口拭子核酸混在--起进行检测，若结果显示阴性,则可断定本组春节返乡人员没有患病,不必再检测;若结果显示阳性,则说明本组中至少有一位春节返乡人员核酸检测结果为阳性,需再逐个进行检测.现有两个分组方案:

方案一:将55位春节返乡人员分成11组,每组5人:

方案二:将55位春节返乡人员分成5组,每组11人;

试分析哪一个方案的工作量更少?

参考数据:0.985≈0.904,0.9811≈0.801

高二理科数学试卷参考答案

一、选择题（共60分）

二、填空题（共20分）

三、解答题（共70分）

17.（本小题满分10分）

 【答案】（1）2i;   (2)a=1;(3)-1<a<1. 

18.（本小题满分12分）

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法．

（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为．

（3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有．

19.（本小题满分12分）

【答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”；（2）分布列见解析，1.6.

【解析】

（1）依题意填写的列联表，根据公式求出，然后判断是否有的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”．

（2）求出抽取的女生人数，男生人数，可知的可能取值为0，1，2，3，4，求出概率，得到的分布列，然后求数学期望 ．

【详解】

（1）依题意填写的列联表如下：

，

没有的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”.

（2）抽取的女生人数为（人），男生人数为（人）.

所以X的可能取值为，

则

.

因此X的分布列为

数学期望为.

20.（本小题满分12分）

【答案】（1）答案见解析；（2）回归方程为，预测2021年天猫“双十一”的总交易额约为38百亿.

【分析】

(1)分别计算，，，，然后根据相关系数的计算公式可得，简单判断即可.

(2)计算，然后分别计算，可得回归方程，最后将代入方程即可.

【详解】

（1），，

，

所以

因为总交易额y与年份代码t的相关系数近似为0.98，

说明总交易额y与年份代码t的线性相关性很强，

从而可用线性回归模型拟合总交易额y与年份代码t的关系.

（2）因为，，

所以，

，

所以y关于t的回归方程为

又将2021年对应的代入回归方程得：.

所以预测2021年天猫“双十一”的总交易额约为38百亿.

21（本小题满分12分）

【答案】（1）0.0260；（2）① ；②生产线异常，需要进一步调试，理由见解析.

【解析】

（1）根据原则,可求得当和时的概率,结合对立事件的概率关系即可求得;由正态分布的期望公式即可求得X的数学期望.

（2）根据茎叶图,列出数据即可求得平均值,由方差公式先求得,再求得标准差;由正态分布的原则,计算出.观测5个零件与该范围关系,即可判断是否需要进一步调试.

【详解】

（1）由题意知：或 ，，

∵，∴；

（2）①

，所以

②结论：需要进一步调试．

理由如下：如果生产线正常工作，则服从正态分布，

，零件内径在之外的概率只有0.0026，而根据原则，知生产线异常，需要进一步调试．

22（本小题满分12分）