圆锥曲线二级结论（4）讲义-2022届山东省高考数学二轮复习学案

八、等角性质

【知识讲解】

已知椭圆：，过长轴上任意一点的弦的端点与对应的点的连线所成角被焦点所在直线平分，即。

已知双曲线，过实轴所在直线上任意一点的弦的端点与对应点的连线所成角被焦点所在直线平分，即。

已知抛物线，过抛物线对称轴上任意一点的一条弦端点与对应点的连线所成角被对称轴平分，即。

【典型例题】

1. 设椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于两点，轴上有一点，若，则的坐标是（  ）。
2. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，为平面上的动点，且，线段的中垂线与线段交于点。

（1）求的值，并求动点的轨迹方程；

（2）若直线（斜率存在）与曲线相交于两点，且存在点（其中三点不共线），使得，证明：直线过定点，并求出定点坐标。

【变式训练】

1. 已知椭圆的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线的焦点重合。

（1）求椭圆方程；

（2）已知过定点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，试问在轴上是否存在一个定点使得始终平分？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由。

2. 已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为8.

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，若轴是的角平分线，证明：直线必过定点。

九、垂径定理

【知识讲解】

如图，直线与椭圆交于两点，点为的中点，为原点，则；

直线与双曲线交于两点，点为的中点，为原点，则。

【典型例题】

1. 已知直线与椭圆交于两点，且的中点为，则直线的方程为（ ）。
2. 已知直线与双曲线交于两点，点为的中点，且点坐标为，则直线的方程为（ ）。

【变式训练】

1. 已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为，若直线的斜率之和为，则的值为（               ）。

已知椭圆的离心率，是椭圆上两点，是线段的中点，则直线的方程为（   ）。