圆锥曲线二级结论（2）讲义-2022届山东省高考数学二轮复习学案

四、焦点弦

【知识讲解】

1.1  椭圆焦半径公式（2）

已知直线过左焦点与椭圆交于两点，设，则焦半径，，

1.2  椭圆焦点弦长公式：，最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径。

2.1 双曲线焦半径公式（2）

已知直线过左焦点与双曲线交于两点，设，则焦半径，，

2.2 双曲线焦点弦长公式：

3 焦点弦定理

已知焦点在轴上的椭圆或双曲线，经过其焦点的直线交曲线于两点，直线的倾斜角为，，则曲线的离心率满足等式：

【典型例题】

1. 已知椭圆，直线，与椭圆分别交于和，则的值为（  ）。
2. 已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与椭圆交于两点。若，则的值为（               ）。

【变式训练】

1. 已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交双曲线于两点，若，则双曲线的离心率为（                            ）。
2. 设椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，。

（1）求椭圆的离心率；

（2）如果，求椭圆的方程。

五、椭圆的第三定义

【知识讲解】

1. 为椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上任意一点（不同于两点）与椭圆上两点连线的斜率之积为定值：。
2. 为双曲线的上关于原点对称的两点，双曲线上任意一点（不同于两点）与双曲线上两点连线的斜率之积为定值：。

【典型例题】

1. 已知椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点且直线的斜率分别为，，的最小值为1，则椭圆的离心率为（                            ）。
2. 已知双曲线的两个顶点分别为，是双曲线上除外的任意一点，且点与点连线的斜率分别为，若，则双曲线的渐近线方程为（                            ）。

【变式训练】

1. 设椭圆与函数的图象交于两点，点是椭圆上异于两点的动点，若直线的斜率取值范围是，则直线的斜率的取值范围是（                            ）。

已知双曲线上关于原点对称的两点为，是双曲线上除外的任意一点，且点与点连线的斜率分别为，若的最小值为1，则双曲线的离心率为（                            ）。