高中数学讲义微专题68 离心率问题学案

www.ks5u.com第68炼 圆锥曲线的离心率问题

    离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数之间的联系。

一、基础知识：

1、离心率公式： （其中为圆锥曲线的半焦距）

（1）椭圆：

（2）双曲线：

2、圆锥曲线中的几何性质及联系

（1）椭圆：，

① ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：

② ：短轴长

③ 椭圆的焦距

（2）双曲线：

① ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：

② ：虚轴长

③ 椭圆的焦距

3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：

（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与有关，另一条边为焦距。从而可求解

（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用进行表示，再利用条件列出等式求解

2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：

（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口

（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可

（3）通过一些不等关系得到关于的不等式，进而解出离心率

注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：，双曲线：

二、典型例题：

例1：设分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（    ）

A．        B．        C．         D．

思路：本题存在焦点三角形，由线段的中点在轴上，为中点可得轴，从而，又因为，则直角三角形中，，且，所以

答案：A

小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意为中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与搭配形成三角形的中位线。

例2：椭圆与渐近线为的双曲线有相同的焦点,为它们的一个公共点,且,则椭圆的离心率为________

思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设，在双曲线中，，不妨设在第一象限，则由椭圆定义可得：，由双曲线定义可得：，因为，而

代入可得：  

答案：

小炼有话说：在处理同一坐标系下的多个圆锥曲线时，它们共同的要素是联接这些圆锥曲线的桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点。

例3：如图所示，已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为（      ）

A.              B.               C.            D.

思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用 表示，再寻找一个等量关系解出 的关系。双曲线的渐近线方程为，由直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍可得：，确定直线l的方程为，与渐近线联立方程得

将转化为坐标语言，则 ，即，解得，从而

答案：B

例4：设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为            

1.                    B.                    C.            D.3

思路：条件与焦半径相关，所以联想到，进而与找到联系，计算出的比例，从而求得

解：

即

    解得：（舍）或

答案：B

例5：如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为           .

思路：本题涉及的条件多与坐标有关，很难联系到参数的几何意义，所以考虑将点的坐标用进行表示，在利用条件求出离心。首先直线的方程含，联立方程后交点的坐标可用进行表示（），则中点，再利用点在椭圆上即可求出离心率

解：直线的方程为：；

直线的方程为：，联立方程可得：

解得：，    

则在椭圆上，

解得：

答案：

例6：已知F是双曲线的左焦点，是该双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为    （    ）

A．          B．         C．          D．

思路：从图中可观察到若为锐角三角形，只需要为锐角。由对称性可得只需即可。且均可用表示，是通径的一半，得：，，所以，即

答案：B

小炼有话说：（1）在处理有关角的范围时，可考虑利用该角的一个三角函数值，从而将角的问题转变为边的比值问题

（2）本题还可以从直线的斜率入手，，利用即可求出离心率

例7：已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点使，则该椭圆的离心率的取值范围为（    ）

  A.        B.         C.        D.

思路：为焦点三角形的内角，且对边为焦半径，所以利用正弦定理对等式变形：，再由解得：，再利用焦半径的范围为可得（由于依题意，非左右顶点，所以焦半径取不到边界值）：，解得

答案：D

例8：已知是椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（     ）

A.           B.             C.          D. 

思路一：考虑在椭圆上的点与焦点连线所成的角中，当位于椭圆短轴顶点位置时，达到最大值。所以若椭圆上存在的点，则短轴顶点与焦点连线所成的角，考虑该角与的关系，由椭圆对称性可知，，所以，即，进而即，解得，再由可得

思路二：由可得，进而想到焦点三角形的面积：，另一方面：，从而，因为在椭圆上，所以，即，再同思路一可解得：

思路三：可想到，进而通过向量坐标化，将数量积转为方程。设，则有，则，即点一定在以为圆心，为半径的圆上，所以只需要该圆与椭圆有交点即可，通过作图可发现只有半径时才可有交点，所以，同思路一可解得

注：本题对在圆上也可由判定出在以为直径的圆上，进而写出圆方程

思路四：开始同思路三一样，得到所在圆方程为，因为在椭圆上，所以联立圆和椭圆方程：代入消去可得：，整理后可得：，由可得：，同思路一即可解得：

答案：

小炼有话说：本题的众多思路重点区别在：一是从条件中想到椭圆的哪些性质与结论，不同的结论得到不同的突破口；二是在解决离心率时是选择用几何特点数形结合去解还是通过坐标方程用代数方式计算求解

例9：设点分别为椭圆的左右焦点，若在椭圆上存在异于点的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是（   ）

A.               B.            C.           D.

思路：本题取值范围的突破口在“椭圆上存在点”，则的横纵坐标分别位于中，所以致力于计算的坐标，设，题目中，由可得也在以为直径的圆上。即，所以联立方程：，即，由已知可得也是圆与椭圆的一个交点，所以由韦达定理可得：，再根据的范围可得：，解得

答案：D

小炼有话说：本题运用到了一个求交点的模型：即已知一个交点，可利用韦达定理求出另一交点，熟练使用这种方法可以快速解决某些点的坐标

例10：如图，已知双曲线上有一点，它关于原点的对称点为，点为双曲线的右焦点，且满足，设，且，则该双曲线  离心率的取值范围为（     ）

A．                   B．    

C．                   D．

思路：本题与焦半径相关，所以考虑的几何含义，可得为直角三角形，且，结合可得，因为关于原点对称，所以即为的左焦半径。所以有，则 ，即关于的函数，在求值域即可：，所以

答案：B

三、历年好题精选

1、已知双曲线，，是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，直线，的斜率分别为，若的最小值为，则双曲线的离心率为（    ）

A．         B．         C．          D．

2、（2016，新余一中模拟）已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（     ）

A.              B.            C.            D. 

3、已知分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（      ）

A．        B．       C．         D．

4、设分别是双曲线的左右焦点，若双曲线左支上存在一点，使得，为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（     ）

A.                  B.           

 C.               D. 

5、（2016四川高三第一次联考）椭圆和圆，（为椭圆的半焦距）对任意恒有四个交点，则椭圆的离心率的取值范围为（   ）

A.               B.            C.           D. 

6、如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线，设内层椭圆方程为，外层椭圆方程为若的斜率之积为，则椭圆的离心率为_______

7、（2015，新课标II）已知为双曲线的左右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为（     ）

A.               B.               C.              D. 

8、（2016，宜昌第一中学12月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的左支上，且，则此双曲线离心率的最大值为（    ）

A．                B．             C．                D．

9、（2015，山东）平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则离心率为________

10、（2014，湖北）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（    ）

A.               B.             C.            D. 

11、（2014，浙江）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的离心率是______

解得：

习题答案：

1、答案：B.

解析：设，则，

两式相减得:，

而，则，.

2、答案：A

解析：由抛物线方程可得：，过作准线的垂线，垂足为，所以，所以，可知取得最大值时，最小，数形结合可知当与抛物线相切时，最小。设，联立方程，即，则，此时，则，所以，则

3、解析：为钝角三角形，且

即，

即

答案：B

4、答案：A

思路：已知条件与焦半径相关，先考虑焦点三角形的特点，从入手，可得，数形结合可得四边形为菱形，所以，可判定为直角三角形。 ，可得

5、答案：B

解析：由椭圆与圆有四个不同的交点，则对任意恒成立，即，平方变形后可得：

6、答案：

解析：设切线的方程为，切线的方程为，联立切线与内层椭圆方程，得：，所以，由可得：，同理，所以。即

7、答案：D

解析：设双曲线方程为，如图所示：，过点作轴于，在中，，所以，代入双曲线方程可得：可得：，从而

8、答案：A

解析：由双曲线可知，所以，因为点，即，所以，即最大值为

9、答案：

解析：由方程可得其渐近线方程为，与抛物线联立可解得交点，抛物线的焦点坐标为，由及，可得：，即，从而，所以

10、答案：A

解析：设椭圆半长轴长为，双曲线半实轴长为 ，椭圆，双曲线离心率分别为

不妨设在第一象限

由双曲线与椭圆性质可得：

由余弦定理可得：

代入

 可得：

由柯西不等式可得：

11、答案：

解析：双曲线的渐近线方程为：，分别联立方程： 可解得：

中点