高中数学讲义微专题89 比赛与闯关问题学案

www.ks5u.com第89炼 比赛与闯关问题

一、基础知识：

1、常见的比赛规则

（1）局胜制：这种规则的特点为一旦某方获得次胜利即终止比赛。所以若比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到胜。

例如：甲，乙两队举行排球比赛，比赛采取5局3胜制，已知甲获胜的概率为，求甲以获胜的概率：

解：本题不能认为“四局中甲赢得三局”，从而，因为如果前三局连胜，则结束比赛而不会开始第四局，所以若比分为，则第四局甲获胜，前三局的比分为，所以

（2）连胜制：规定某方连胜场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后场连胜且之前没有达到场连胜。

例如：甲，乙两队举行比赛，比赛共有7局，若有一方连胜3局，则比赛立即终止。已知甲获胜的概率为，求甲在第5局终止比赛并获胜的概率

解：若第5局比赛结束，根据连胜三局终止比赛的规则，可知甲在第3,4,5局获胜，且第二局失败（否则若第二局获胜，则第四局就达到三连胜），第一局无论胜负不影响获胜结果。所以

（3）比分差距制：规定某方比对方多分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于

（4）“一票否决制”：在比赛的过程中，如果在某一阶段失败，则被淘汰。此类问题要注意若达到第阶段，则意味着前个阶段均能通关

2、解答此类题目的技巧：

（1）善于引入变量表示事件：可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”。例如：表示“第局比赛胜利”，则表示“第局比赛失败”。

（2）善于使用对立事件求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用解出所求事件概率。在处理离散性随机变量分布列时，也可利用概率和为1的特点，先求出包含情况较少的事件的概率，再间接求出包含情况较多的事件概率

二、典型例题：

例1：某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．

（1）求该选手被淘汰的概率；

（2）记该选手在考核中回答问题的个数为，求随机变量的分布列与数学期望．

（1）思路：依题可知，比赛规则为：只要打错一个即被淘汰，如果从问题的正面考虑，则要考虑到是第几轮被淘汰，情况较多。但此问题的反面为“答对所有问题”，概率易于表示，所以考虑利用对立事件进行求解

设为“选手正确回答第轮问题”，事件为“选手被淘汰”

（2）思路：可取的值为，可知若想多答题，则需要前面的问题均要答对，所以时，则第一题答错；时，则第一题答对且第二题答错（若第二题答对则需要答第三题）；时，则第一题答对且第二题答对（第三题无论是否正确，均已答三题），分别求出概率即可

解：可取的值为

的分布列为

例2：某区要进行中学生篮球对抗赛，为争夺最后一个小组赛名额，甲、乙、丙三支篮球队要进行比赛，根据规则：每两支队伍之间都要比赛一场；每场比赛胜者得分，负者得分，没有平局，获得第一名的将夺得这个参赛名额．已知乙队胜丙队的概率为，甲队获得第一名的概率为，乙队获得第一名的概率为．

（1）求甲队分别战胜乙队和丙队的概率；

（2）设在该次比赛中，甲队得分为，求的分布列及期望．

（1）思路：解决要通过甲队第一的概率与乙队第一的概率两个条件。若甲队第一名，则甲战胜乙且战胜丙，即；若乙队第一名，则乙战胜甲且战胜丙，即，两个方程即可解出

解：设事件为“甲队获第一名”，则

设事件为“乙队获第一名”，则

解得：

（2）思路：依题意可知可取的值为，即两战全负；即一胜一负，要分成“胜乙负丙”和“负乙胜丙”两种情况讨论；即两战全胜；分别求出概率即可。

   可取的值为

的分布列为

例3：甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为，但由于体力原因，第7场获胜的概率为．

（1）求甲队分别以，获胜的概率；

（2）设X表示决出冠军时比赛的场数，求X的分布列及数学期望．

（1）思路：前四场比赛甲乙比分为，根据7场4胜制可知，甲再赢一场比赛立刻结束，所以要想获得，，必须在甲赢一场之前，乙获得比分。所以若比分为，则第5场乙胜，第6场甲胜；若比分为，则第场均乙胜，第7场甲胜，用概率的乘法即可求出两个比分的概率

解：设事件为“甲队在第场获胜”，则

设事件为“甲队4：2获胜”，事件为“甲队4：3获胜”

（2）思路：比赛的场数取决于甲是否取胜，所以可取的值为，若，则甲获胜，即胜第五场；若则甲获胜，即乙胜第五场，甲胜第六场；若，则只需前六场打成即可，所以只需乙连赢两场。分别计算概率即可得到分布列和期望

比赛场数可取的值为

的分布列为

例4：甲、乙两人对弈棋局，甲胜、乙胜、和棋的概率都是，规定有一方累计2胜或者累计2和时，棋局结束。棋局结束时，若是累计两和的情形，则宣布甲乙都获得冠军；若一方累计2胜，则宣布该方获得冠军，另一方获得亚军。设结束时对弈的总局数为X．

（1）设事件：“且甲获得冠军”，求A的概率；

（2）求X的分布列和数学期望。

（1）思路：事件代表“对弈3局且甲获胜”所以甲必须在第三场获胜，且前两场为一胜一和或一胜一负（胜负先后顺序均可）。按照这几种情况找到对应概率相乘即可

解：设事件为“甲在第局取胜”，事件为“第局和棋”，

事件为“乙在第局取胜”

（2）思路：依题意可得只要有两个相同的结果就结束比赛，所以最多进行4次比赛，最少进行2次比赛，故可取的值为；在这些值中包含情况较少，即为相同的结果出现两次，以甲为研究对象，则情况分为“两胜”，“两负”，“两和”三种情况。即为前三场“胜负和”均经历一次，所以概率。对于的情况，由于种类较多，所以利用分布列概率和为1的性质用进行计算

可取的值为

的分布列为

小炼有话说：在随机变量所取的值中，如果只有一个值的概率包含情况较多不易计算，那么可以考虑先计算出其他取值的概率，再用1减去其他概率即可

例5：某电视台举办的闯关节目共有五关，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会（后两关总共只有一次机会），已知某人前三关每关通过的概率都是，后两关每关通过的概率都是

（1）求该人获得奖金的概率

（2）设该人通过的关数为，求随机变量的分布列及数学期望

（1）思路：若该人获得奖金，则前三关必须通过，后两关可以通过，或者只有一次未通过，借助机会再次通过。分别计算概率再相加即可

解：设事件为“第关通过”，事件为“获得奖金”

（2）思路：依题意可知的取值为，其中前三关失败即结束，所以为第一关失利； 为第一关通过且第二关失利；为第二关通过且第三关失利；为第三关通过且第四关失利两次；为第四关通过且第五关失利两次；为五关全部通过获得奖金（即第一问的结果），其中由于情况较为复杂，所以考虑利用进行处理

    的取值为

的分布列为：

例6:：袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为。现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即终止。若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分。每个球在每一次被取出的机会是等可能的。用表示甲，乙最终得分差的绝对值．

（1）求袋中原有白球的个数；

（2）求随机变量的概率分布列及期望

（1）思路：可先设白球个数为，已知事件“两球都是白球”的概率，可用古典概型进行表示，进而得到关于的方程，解出

解：设袋中原有白球的个数为，事件为“取出两个白球”

可解得

（2）思路：尽管题目描述上是甲，乙轮流取球，但进一步分析可发现在取球过程中，一个人的取球结果并不影响下一个人的取球，且所求随机变量为取球完成后，两人结果的比较。所以只需关注甲，乙最后取到的球的个数即可。由（1）可知袋中有4个黑球，3个白球，甲先取球，所以甲取到4个球，甲取球的结果可以是：4黑，1白3黑，2白2黑，3白1黑，对应的分数为分，分，分，分，剩下的球属于乙，所以乙对应的情况为3白，2白1黑，1白2黑，3黑，分数为分，分，分，分。所以甲乙分数差的绝对值可取的值为，再分别求出概率即可。

可取的值为

故的分布列为：

小炼有话说：（1）本题第（2）问的亮点在于，分析过程的特点后，直接从结果入手，去分析两人所得球的情况，忽略取球的过程，从而大大简化概率的计算

（2）本题要注意甲取球的结果就已经决定乙的结果，所以在计算概率时以甲的取球结果为研究对象。

例7：某校举行中学生“珍爱地球·保护家园”的环保知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响．

（1）求选手甲进入复赛的概率；

（2）设选手甲在初赛中答题的个数为，试求的分布列和数学期望．

（1）思路：若甲能进入复赛，则要答对三道题，但因为答对3题后立即终止比赛，所以要通过最后一次答题正确进入复赛。答题的次数为3次，4次，5次，答题3次即为全对，答题4次，则要在前3次答对2题，即，然后第4题正确进入复赛；同理，答题5次时，要在前4次中答对2题，即，然后第5题正确。

解：设事件为“甲进入复赛”

（2）思路：首先甲最少答3题，最多答5题，故可取的值为，要注意答题结束分为进入复赛和淘汰两种情况。当甲答3道题时，可能全对或全错；同理甲答4道题时，可能3对1错或是3错1对；当甲答5道题时，只要前4题2对2错，无论第5题结果如何，均答了5道题。分别计算对应概率即可得到的分布列，从而计算出

解：可取的值为

的分布列为

小炼有话说：本题的关键在于对独立重复试验模型概率公式的理解：对于，是指在次独立重复试验中，没有其它要求，事件发生次的概率。其中代表次中的任意次试验的结果是。如果对次试验的结果有一定的要求，则不能使用公式。例如本题在第（1）问中处理答题4次的时候，因为要在第4次答题正确，对前3次答题没有要求，所以在前3次试验中可使用公式计算，而第4次要单独列出。若直接用则意味着只需4次答题正确3次（不要求是哪3道正确）即可，那么包含着前3次正确的情况，那么按要求就不会进行第4题了。

例8：甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.

（1）求甲在局以内（含局）赢得比赛的概率；

（2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和期望.

（1）思路：依题意可知获胜的要求是连胜2场，所以可分2局，3局，4局三种情况，通过后两场连胜赢得比赛，其余各场按“胜负交替”进行排列

解：设为“甲在第局获胜”，事件为“甲在局以内（含局）赢得比赛”

（2）思路：首先依题意能确定可取的值为，若提前结束比赛，则按（1）的想法，除了最后两场要连胜（或连败），其余各场应“胜负交替”。在每个事件中要分甲获胜和乙获胜两种情况进行讨论

解：可取的值为

的分布列为：

例9：甲乙两人进行象棋比赛，规定：每次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的得分多2分时则赢得这场比赛，此时比赛结束；同时规定比赛的次数最多不超过6次，即经6次比赛，得分多者赢得比赛，得分相等为和局。已知每次比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假定各次比赛相互独立，比赛经次结束，求：

（1）的概率；

（2）随机变量ξ的分布列及数学期望。

（1）思路：代表比赛经过2次就结束，说明甲连胜两局或者乙连胜两局，进而可计算出概率

解：设事件为“甲在第局获胜” 

（2）思路：考虑可取的值只能是（因为奇数局不会产生多赢2分的情况），当时，即甲乙比分为或是（在第4局完成多两分），所以只能是在前两局打成，然后一方连赢两局结束比赛。计算出，即可求出

解：可取的值为

的分布列为：

例10：某学校在一次运动会上，将要进行甲、乙两名同学的乒乓球冠亚军决赛，比赛实行三局两胜制.已知每局比赛中，若甲先发球，其获胜的概率为，否则其获胜的概率为

（1）若在第一局比赛中采用掷硬币的方式决定谁先发球，试求甲在此局获胜的概率；

（2）若第一局由乙先发球，以后每局由负方先发球.规定胜一局记2分，负一局记0分，记为比赛结束时甲的得分，求随机变量的分布列及数学期望.

（1）思路：本题甲获胜的概率取决于谁先发球，即为发球权确定的前提下的条件概率。若甲获得发球权，则获胜的概率为，如果甲没有发球权，则获胜的概率为，所以甲获胜的概率为

解：设事件为“甲获得胜利”

（2）思路：本题要注意发球权的不同，所使用的概率也不一样，所以要确定每一局的胜负以决定下一局甲获胜的概率。比赛实行三局两胜，所以甲可能的得分为，若甲的得分为分，则为连胜两局结束比赛或2:1赢得比赛，胜利的情况分为“甲甲”，“甲乙甲”，“乙甲甲”三种情况，结合着发球规则可得：，依次类推便可计算出其它情况的概率，进而得到分布列

解：可取的值为

时，比赛的结果为：“甲甲”，“甲乙甲”，“乙甲甲”

时，比赛的结果为：“乙甲乙”，“甲乙乙”

时，比赛的结果为：“乙乙”

的分布列为：