北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试卷（5）（含答案）

这是一份北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试卷（5）（含答案），共23页。

北师大版九年级数学上册第一章 特殊平行四边形
单元测试卷（5）
第I卷（选择题）
评卷人
得分



一、单选题
1．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（ ）

A．1 B． C．2 D．
2．正方形面积为，则对角线的长为（ ）
A．6 B． C．9 D．
3．如图，在矩形ABCD中，对角线BD＝8cm，∠AOD＝120°，则AB的长为（　　）

A．cm B．2cm C．2cm D．4cm
4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为（　　）

A．5 cm B．10 cm C．14 cm D．20 cm
5．四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（       ）
A．当AC⊥BD时，它是矩形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC＝BD时，它是正方形 D．当AC⊥BD时，它是正方形
6．若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（       ）
A．矩形 B．平行四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形
7．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的(     )

A． B． C． D．
8．图，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF为菱形，O为AE，DF的交点，S△ABC＝8 ，则S菱形ADEF＝（　　）


A．4 B．4 C．4 D．4
9．如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，点B的坐标为（10，8），点D是OC上一点，将△BCD沿BD折叠，点C恰好落在OA上的点E处，则点D的坐标是（　　）

A．（0，4） B．（0，5）
C．（0，3） D．（0，2）
10．如图，四边形中，，，于，若线段，则四边形的面积是（       ）．

A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
评卷人
得分



二、填空题
11．中，如果斜边上的中线，那么斜边_____．
12．在四边形ABCD中，ABCD，ADBC，添加一个条件________，即可判定该四边形是菱形．
13．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED=____度．

14．如图，四边形ABCD 是菱形， 于点H ，则线段BH的长为_________．

15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，EO＝2DE，则DE的长为________．

16．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③AP＝EF；④EF的最小值为2，其中正确结论的序号为__________．

评卷人
得分



三、解答题
17．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE=DF，求证：∠BAE=∠DAF．

18．如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点．连接AE，CE，并延长CE交AD于点F．若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．

19．如图，在□ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，以大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，得四边形ABEF.
求证：四边形ABEF是菱形.

20．如图，矩形ABCD 和正方形ECGF，其中E、H分别为AD、BC中点，连结AF、HG、AH.

（1）求证：；
（2）求证：；
21．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．

（1）求证：BD=EC；
（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．
22．已知：如图①，四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且AF＝DE，连接AE、BF，记交点为P．

(1)求证：AE⊥BF；
(2)如图②，对角线AC与BD交于点O，BD、AC分别与AE、BF交于点G、H，求证：OG＝OH；
(3)在（2）的条件下，连接OP，若AP＝4，OP＝，求AB的长．

参考答案：
1．C
【解析】
【详解】
试题分析：∵菱形ABCD的边长为2，
∴AD=AB=2，
又∵∠DAB=60°，
∴△DAB是等边三角形，
∴AD=BD=AB=2，
则对角线BD的长是2．
故选C．
考点：菱形的性质．
2．B
【解析】
【分析】
根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，且正方形对角线相等，列方程解答即可．
【详解】
设对角线长是x．则有
x2=36，
解得：x=6．
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，注意结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．此题也可首先根据面积求得正方形的边长，再根据勾股定理进行求解．
3．D
【解析】
【分析】
根据矩形的性质求出，再根据等边三角形的判定可得是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可得．
【详解】
∵
∴
∵四边形ABCD是矩形，
∴
∴
∴是等边三角形
∴
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟记矩形的性质是解题关键．
4．D
【解析】
【分析】
根据菱形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵菱形的对角线AC与BD相交于点O，
∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，
∵AC=6cm，BD=8cm，
∴在Rt△AOB中，AO=3cm，BO=4cm，∠AOB=90°，
由勾股定理得：AB==5cm，
∴菱形的周长为4×5=20cm，
故选：D．
【点睛】
本题考查菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解答的关键．
5．B
【解析】
【分析】
根据矩形、菱形、正方形的判定方法逐一进行判断是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时，它是菱形，故选项A不符合题意；
当AC⊥BD时，它是菱形，故选项B符合题意；
当AC=BD时，它是矩形，故选项C不符合题意；
当AC⊥BD时，它是菱形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．
6．C
【解析】
【分析】
首先根据题意画出图形，由四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形．
【详解】
解：如图，

根据题意得四边形是菱形，点分别是边的中点，
∴，，，
∴，
∴原四边形一定是对角线相等的四边形．
故选C．
【点睛】
此题考查了菱形的性质与三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
7．B
【解析】
【分析】
根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的得出结论．
【详解】
解：∵四边形为矩形，
∴OB＝OD＝OA＝OC，
在△EBO与△FDO中，
∵∠EOB＝∠DOF，
OB＝OD，
∠EBO＝∠FDO，
∴△EBO≌△FDO（ASA），
∴阴影部分的面积＝S△AEO＋S△EBO＝S△AOB，
∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的，
∴S△AOB＝S△ABC＝S矩形ABCD．
故选B
【点睛】
本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质
8．C
【解析】
【分析】
根据菱形的性质，结合AB=AC，得出DF为△ABC的中位线，DF∥BC，，从而得出AE为△ABC的高，得出，再根据菱形的面积公式，即可得出菱形的面积．
【详解】
解：∵四边形ADEF为菱形，
∴EF∥AB，DE∥AC，AF=EF=DE=AD，AE⊥DF，
∴，，
，
，
，
∴CF=EF，DE=DB，
，，
∴DF∥BC，，
，
，
，
，
，
即，
，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，中位线的性质，等腰三角形的性质和判断，平行线的性质，菱形的面积，三角形面积的计算，根据菱形的性质和等腰三角形的性质得出DF为△ABC的中位线，是解题的关键．
9．C
【解析】
【分析】
由题意可得AO=BC=10，AB=OC=8，DE=CD，BE=BC=10，在中，由勾股定理可求得，OE=4，设OD=x，则DE=CD=8-x，然后在中，由勾股定理即可求得OD=3，继而求得点D的坐标.
【详解】
解：∵点B的坐标为（10，8），
∴AO=BC=10，AB=OC=8，
由折叠的性质，可得：DE=CD，BE=BC=10，
在中，由勾股定理得：，
∴OE=AO-AE=10-6=4，
设OD=x，则DE=CD=8-x，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，
∴OD=3，
∴点D的坐标是（0，3）.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.
10．D
【解析】
【详解】
试题解析：过A点作CD的垂线,交CD的延长线于F点,如图，

则四边形AECF是矩形


在△ABE和△DAF中，

则

又∵四边形AECF是矩形.
∴四边形AECF为正方形，
而四边形ABCD的面积是6，
故选D.
11．8
【解析】
【分析】
根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【详解】
解：∵Rt△ABC中，斜边上的中线CD＝4cm，
∴AB＝8cm，
故答案为：8．
【点睛】
此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
12．AB＝AD（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定证出四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定证出即可.
【详解】
解：添加的条件是AB＝AD.
理由如下：∵ABCD，ADBC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
若AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形.
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定等，能根据菱形的判定定理正确地添加条件是解此题的关键.
13．45
【解析】
【分析】
根据正三角形和正方形的性质可得∠EAB=150°,AE=AB，从而得出∠AEB的大小,进而得出∠BED的大小．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形,△AED是正三角形
∴∠EAD=60°,∠AED=60°,∠DAB=90°,AE=AD=AB
∴△AEB是等腰三角形,∠EAB=150°
∴∠AEB=∠ABE=15°
∴∠BED=45°
故答案为：45°
【点睛】
本题考查正方形和正三角形的性质，解题关键利用正三角形和正方形的性质，得出∠AEB=∠ABE．
14．
【解析】
【详解】
试题分析：∵四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，
∴AO=12，OD=5，AC⊥BD，
∴AD=AB= =13，
∵DH⊥AB，
∴AO×BD=DH×AB，
∴12×10=13×DH，
∴DH=，
∴BH=．
考点：1.菱形的性质；2.勾股定理.
15．
【解析】
【分析】
由矩形的性质得到∠ADC=90°，BD=AC，OD=BD，OC=AC，求得OC=OD，设DE=x，OE=2x，得到OD=OC=3x，根据勾股定理即可得到答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，BD=AC，OD=BD，OC=AC，
∴OC=OD，
∵EO=2DE，
∴设DE=x，OE=2x，
∴OD=OC=3x，
∵CE⊥BD，
∴∠DEC=∠OEC=90°，
在Rt△OCE中，∵OE2+CE2=OC2，
∴（2x）2+52=（3x）2，
解得：x=（负值舍去），
∴DE=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．
16．①②③④
【解析】
【分析】
①证明△PDF是等腰直角三角形，则PD=PF=CE，即可判断；②根据①可知四边形PECF为矩形，则四边形PECF的周长=2BC=8，即可判断；③证明△ADP≌△CDP，则AP=PC，根据矩形对角线相等得PC=EF，即可判断；④当AP⊥BD时，即AP=BD=2时，EF的最小值等于2，即可判断．
【详解】
解：如图，连接PC，

①∵BD是正方形的对角线，则∠PDF=45°，
而PF⊥CD，则△PDF为等腰直角三角形，
∴PD=PF，
∵PE⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴CE=PF，
∴PD=CE；
故①正确；
②∵四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=8；
故②正确；
③∵四边形PECF为矩形，
∴PC=EF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD，∠ADC=∠CDP，
在△ADP和△CDP中，
，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP=PC，
∴AP=EF；
故③正确；
④由EF=PC=AP，
∴当AP最小时，EF最小，
则当AP⊥BD时，即AP=BD=2时，EF的最小值等于2；
故④正确；
综上，①②③④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题综合考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是充分利用正方形的性质证明三角形全等可得相关验证．
17．见解析
【解析】
【分析】
根据已知条件，直接证明△ABE≌△ADF，即可证明∠BAE=∠DAF．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
在△ABE和△ADF中

∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE=∠DAF．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，三角形全等的性质与判定，理解菱形的性质是解题的关键．
18．65°
【解析】
【分析】
根据正方形的性质，可证得△ABE≌△CBE，可得∠AEB＝∠CEB．从而得到∠CEB＝70°．进而得到∠DEC＝180°－∠CEB＝110°．再由三角形外角的性质，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABE＝∠CBE＝∠ADB＝45°．
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠AEB＝∠CEB．
又∵∠AEC＝140°，
∴∠CEB＝70°．
∵∠DEC＋∠CEB＝180°，
∴∠DEC＝180°－∠CEB＝110°．
∵∠DFE＋∠ADB＝∠DEC，
∴∠DFE＝∠DEC－∠ADB＝110°－45°＝65°．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
19．见解析
【解析】
【分析】
先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可证明．
【详解】
证明：连接BP、FP由作图知：AB=AF，BP=FP，

在△APB和△APF中，

∴△APB≌△APF，
∴∠EAB=∠EAF，
∵AD∥BC，
∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，
∴BE=AB=AF．
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形．
【点睛】
本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图-基本作图等知识，解题的关键是全等三角形的证明，属于中考常考题型．
20．（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意可先证明四边形AHCE为平行四边形，再根据正方形的性质得到∴，，故可证明四边形AHGF是平行四边形，即可求解；
（2）根据四边形AHGF是平行四边形，得，根据四边形ABCD是矩形，可得 ，再根据平角的性质及等量替换即可证明.
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，且E、H分别为AD、BC的中点，
∴，，
∴四边形AHCE为平行四边形，
∴，，
又∵四边形ECGF为正方形，
∴，，
∴，，
∴四边形AHGF是平行四边形，
∴；
（2）证明：∵四边形AHGF是平行四边形，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【点睛】
此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知特殊平行四边形的性质定理.
21．（1）证明见解析（2）40°.
【解析】
【分析】
（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB//CD，然后证明得到BE=CD，BE//CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证.
（2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解.
【详解】
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB//CD.
又∵BE=AB，
∴BE=CD，BE//CD.
∴四边形BECD是平行四边形.
∴BD=EC.
（2）∵四边形BECD是平行四边形，
∴BD//CE，
∴∠ABO=∠E=50°.
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC丄BD.
∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°.
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=∠D= 90°，由SAS证明△ABF≌△DAE，得出∠DAE=∠ABF，然后求出∠PAB+∠ABF= 90°， 再求出∠APB=90°，然后根据垂直的定义解答即可；
（2）根据正方形的对角线互相垂直平分可得∠AOB=∠AOG = 90°，OA=OB，对角线平分一组对角可得∠ABO=∠DAO=45°，然后求出∠OAG=∠OBH，由ASA证明△OAG≌△OBH，即可得出OG=OH；
（3）过点O作OM⊥AE于M，作ON⊥BF于N，根据全等三角形的性质可得：∠OGA= ∠OHB，再由AAS证明△OGM≌△OHN，可得OM=ON，然后证出四边形OMPN是正方形，求出PM=OM=1，再求出AM，然后利用勾股定理列式求出OA，再根据正方形的性质求出AB即可.
(1)
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°．
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE，
∴∠DAE＝∠ABF．
∵∠DAE＋∠PAB＝∠BAD＝90°，
∴∠ABF＋∠PAB＝90°，
∴∠APB＝180°－（∠ABF＋∠PAB）＝180°－90°＝90°，
∴AE⊥BF．
(2)
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠ABO＝∠DAO＝45°，AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠AOG＝90°．
由（1）知∠DAE＝∠ABF，
∴∠ABO－∠ABF＝∠DAO－∠DAE，
即∠OBH＝∠OAG．
在△OAG和△OBH中，

∴△OAG≌△OBH，
∴OG＝OH．
(3)
解：过点O作O

M⊥AE于M，作ON⊥BF于N，如图所示，则∠OMP＝∠ONP＝90°，
又∵∠APB＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∴四边行OMPN是矩形．
∵△OAG≌△OBH，
∴∠OGA＝∠OHB．
在△OGM和△OHN中，

∴△OGM≌△OHN，
∴OM＝ON，
∴四边形OMPN是正方形．
∵OP＝，
∴PM＝OM＝，
∵AP＝4，
∴AM＝AP＋PM＝4＋1＝5．
在Rt△AOM中，OA＝，
∴正方形ABCD的边长AB＝OA＝．
【点睛】
本题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，通过作辅助线构造出全等三角形和以OP为对角线的正方形是解题的关键，也是本题的难点.