2022届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期月考数学试卷（七）含解析

雅礼中学2022届高三月考试卷（七）

数  学

注意事项：

 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第 Ⅰ 卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

2．已知复数，则（       ）

A．5 B． C． D．2

3．函数的图象可能是（       ）

4．已知等差数列的前n项和为，若，，则当取最小值时，n等于（       ）

A．6 B．7 C．8 D．9

5．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成角的正切值为（       ）

A． B． C． D．2

              第5题图                                   第7题图

6．现行普通高中学生在高一时面临着选科的问题，某学校抽取了部分男、女同学选科意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：

根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（       ）

A．样本中的女生数量多于男生数量

B．样本中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量

C．样本中的男生偏爱两理一文

D．样本中的女生偏爱两文一理

7．右图上半部分为一个油桃园．每年油桃成熟时，园主都需要雇佣人工采摘，并沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地C处销售．路径1：先集中到A处，再沿公路AC运送；路径2：先集中到B处，再沿公路BC运送．园主在果园中画定了一条界线，使得从该界线上的点出发，按这两种路径运送油桃至C处所走路程一样远．已知AC=3km，BC=4km，若这条界线是曲线E的一部分，则曲线E为（       ）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

8．已知函数是定义域为R的偶函数，且是奇函数，当时，有，若函数的零点个数为5，则实数k的取值范围是（       ）

A．  B．

C．或 D．或

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．设F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，且，则下列结论正确的是（       ）

A．

B．t的取值范围是（−8，8）

C．F1到渐近线的距离随着t的增大而减小

D．当t=4时，C的实轴长是虚轴长的3倍

10．如图为某省高考数学卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，其中正确的为（       ）

A．近三年容易题分值逐年增加

B．近三年中档题分值所占比例最高的年份是2019年

C．2020年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上

D．近三年难题分值逐年减少

               第10题图                                第11题图

11．如图，已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD为正方形，AB=2，AA1=，E，F分别为AB，BC的中点．则（       ）

A．A1E⊥DF

B．点A1、E、F、C1四点共面

C．直线C1D与平面BB1C1C所成角的正切值为

D．三棱锥E−C1DF的体积为

12．若实数，则下列不等式中一定成立的是（       ）

A． B．

C．  D．

第 Ⅱ 卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若，则________．

14．在的展开式中，的系数是________．

15．某盒中装有10个乒乒球，其中6个新球，4个旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为________．

16．如图，酒杯的形状为倒立的圆锥．杯深8 cm，上口宽6 cm，水以20 cm3/s的流量倒入杯中，则当水深为4 cm时，时刻t=______s，此时酒杯中水升高的瞬时变化率v=______cm/s．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．

（1）求角A的大小；

（2）求的取值范围．

18．（12分）已知正项数列，其前n项和为，（）．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

19．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2，DE=BF，BF∥DE，M为棱AE的中点．

（1）求证：平面BMD∥平面EFC；

（2）若ED⊥平面ABCD，BM⊥CF，求二面角E−AF−B的余弦值．

20．（12分）第24届冬奥会将于2022年2月在中国北京市和张家口市联合举行．某城市为传播冬奥文化，举行冬奥知识讲解员选拔大赛．选手需关注活动平台微信公众号后，进行在线答题，满分为200分．经统计，有40名选手在线答题总分都在[150，200]内．将得分区间平均分成5组，得到了如图所示的频率分布折线图．

（1）请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图，并估计这40名选手的平均分；

（2）根据大赛要求，在线答题总分不低于190分的选手进入线下集训，线下集训结束后，进行两轮考核．第一轮为笔试，考试科目为外语和冰雪运动知识，每科的笔试成绩从高到低依次有A，B，C，D四个等级．两科均不低于C，且至少有一科为A，才能进入第二轮面试，第二轮得到“通过”的选手将获得“冬奥知识讲解员”资格．已知总分高于195分的选手在每科笔试中取得A，B，C，D的概率分别为，，，；总分不超过195分的选手在每科笔试中取得A，B，C，D的概率分别为，，，；若两科笔试成绩均为A，则无需参加面试，直接获得“冬奥知识讲解员”资格；若两科笔试成绩只有一个A，则要参加面试，总分高于195分的选手面试“通过”的概率为，总分不超过195分的选手面试“通过”的概率为．若参加线下集训的选手中有2人总分高于195分，求恰有两名选手获得“冬奥知识讲解员”资格的概率．

21．（12分）已知椭圆C：（，）的焦距为，经过点P（，1）．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线PM，PN分别交椭圆于A，B．PQ⊥AB，Q为垂足．是否存在定点R，使得为定值，说明理由．

22．（12分）已知函数．

（1）判断的单调性，并比较20202021与20212020的大小；

（2）若函数，其中，判断的零点的个数，并说明理由．