2020-2021学年上海市松江区一模数学试卷及答案

2020.12松江区高三数学一模试卷参考答案

一、填空题

1． ； 2． ；  3．  ； 4．   ；5．   ；  6． ；

7． ；8． 240  ；9． ；10． ；11．；12．   

二、选择题

13．C   14．B   15．A   16．C

17.如图1，在三棱柱中，已知，，，且平面.过、、三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）． 

（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

（2）求四棱锥的体积和表面积．

解：（1）∵  ∴即为异面直线与所成的角，              ………2分

∵平面，∴平面，

∴ ，

∵     ………5分

∴   ∴ ，

 即异面直线与所成的角为 .  ………7分

  (或 ， 或 )  

（2）                  ……………10分

                             ……………14分

18.已知

（1）求的最小正周期和值域；

（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围．

解：（1）

………3分

∴的为最小正周期，      ………5分

值域为                  ……………7分

（2）记 ，则  ，…………………8分

 由恒成立，知恒成立，  即恒成立，   

∵  ∴         ……………11分

∵  在时单调递增

   ∴的取值范围是……………14分

19. 某网店有3(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品(万件)．经市场调查测算，花费(万元)进行促销后，商品的剩余量与促销费之间的关系为（其中为常数），如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品．

（1）要使促销后商品的剩余量不大于(万件), 促销费至少为多少 (万元)?

（2）已知商品的进价为32(元/件), 另有固定成本3(万元)．定义每件售出商品的平均成本为（元）.若将商品售价定为：“每件售出商品平均成本的倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少?

解：（1）由，当时，，得 ∴ ……………4分

由 解得                                 ……………7分 

（2）网店的利润 (万元)，由题意可得：

                    ……………10分

……………12分

当且仅当，即时取等号，此时；

所以当促销费为7万元时，网店利润的最大为42万元，此时商品的剩余量为(万件).                                                    ……………14分

20. 已知椭圆 （）的右焦点的坐标为，且长轴长为短轴长的倍. 直线交椭圆于不同的两点和．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线经过点，且的面积为，求直线的方程；

（3）若直线的方程为， 点关于轴的对称点为，直线、 分别与轴交于、两点，求证： 为定值.    

解：（1）由题意得 ，，               ……… ……2分 

解得 ，， 所以椭圆的方程为 .   …………4分         

（2）设点、的坐标为、，直线的方程为.  …5分

由方程组 ，得

所以，                   ………7分

解得.∴直线的方程为          …………10分

（3）由题意知点的坐标为                …………11分

将，代入

得：，

                        …………13分

对于直线， 令  得 ∴  …………14分

对于直线 ：，  令         

得               

，∴

                            …………16分

21.对于由个正整数构成的有限集，记.若集合满足：对任意的正整数，都存在集合的两个子集，使得成立，称集合为“满集”.特别规定.

（1）分别判断集合与是否是“满集”，请说明理由；

（2）若由小到大能排列成公差为的等差数列，求证：集合为“满集”的必要条件是，或；

（3）若由小到大能排列成首项为1，公比为的等比数列，求证：集合是“满集”；.

 [解答]：（1）集合是“满集”，集合不是“满集”.             …………2分       

对于集合，，且共有4个子集：

当分别取时，由

故是“满集”；                                              ……………3分     

对于集合，，且共有4个子集：

当时，不存在的两个子集，使得，

故不是“满集”                                             ……………4分

（2）∵由小到大能排列成公差为的等差数列，

∴，记               ……………5分

∵为“满集”，

∴对任意的正整数，都存在集合的两个子集，使得成立，

当时，由，及 知或，

若，则，

，此时，……7分

若，则，在的真子集中，最大，必有，

此时，.

综上可得：                                           ………………8分

若，当时，∵，

∴不存在的子集，使得，∴，

综合得：集合为“满集”的必要条件是，或             ………………10分

（3）由已知： …………11分

对任意，∵，∴存在和，使得，

同理有， ，其中，经过有限次的操作后，必存在  ，

∴…………14分

当 时，            …………16分

此时取 ，

则有 .              

∴集合是“满集”.                                             …………18分