2021邯郸高一下学期期末考试数学试题含答案

邯郸市2020—2021学年第二学期期末质量检测

高一数学

注意事项：

1. 考试时间120分钟，总共150分.

2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考场填写在答题卡上，并把条形码贴在答题卡上的指定位置.

3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知向量，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 在正四面体中，直线与直线所成的角的大小为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知某人射击每次击中目标的概率都是0.5，现在用随机模拟的方法估计此人3次射击至少2次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9表示未击中目标.每3个随机数为一组，代表3次射击的结果.经随机模拟产生了20组随机数：

926   446   072   021   392   077   663   817   325   615

405   858   776   631   700   259   305   311   589   258

据此估计，其3次射击至少2次击中目标的概率约为（    ）

A. 0.45 B. 0.5 C. 0.55 D. 0.6

4. 设，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题正确的是（    ）

A. 若，，则 B. 若，，，则

C. 若，，则 D. 若，，，则

5. 甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解出此问题的概率是0.8，乙解出此问题的概率是0.6，那么至少有一人解出此问题的概率是（    ）

A. 0.98 B. 0.92 C. 0.9 D. 0.88

6. 在中，角，，所对应的边分别是，，，若，，则的面积为（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

7. 为了解疫情防控延迟开学期间全市中小学线上教学的主要开展形式，某课题组面向全市各学校开展了一次随机调查，并绘制得到如下统计图.经分析统计图表，采用“直播＋录播”方式进行线上教学的学校占比约为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 在中，，，分别为线段上的两个三等分点，若，则角为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知复数，其中是的共轭复数，则下列结论正确的是（    ）

A. 的实部为  B. 的虚部为

C. 为纯虚数  D. 在复平面内对应的点位于第四象限

10. 已知甲罐中有2个大小、质地完全一样的小球，标号为1，2，乙罐中有4个大小、质地完全一样的小球，标号为1，2，3，4，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记样本空间为，事件为“抽取的两个小球标号之和大于4”，事件为“抽取的两个小球标号之积小于5”，则下列结论正确的是（    ）

A. 与是互斥事件  B. 与不是对立事件

C.   D.

11. 已知非零单位向量和，若，向量在向量上的投影向量为，向量在向量上的投影向量为，则下列结论正确的是（    ）

A.   B.

C.   D.

12. 已知正方体的棱长为2，点为的中点，若以为球心，为半径的球面与正方体的棱有四个交点，，，，则下列结论正确的是（    ）

A. 平面平面 B. 平面平面

C. 四边形的面积为 D. 四棱锥的体积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.

13. 已知复数，则__________.

14. 将边长为2的正方形，绕其一条对角线旋转，所围成的几何体的表面积为__________.

15. 已知正方体，则二面角的正弦值为___________.

16. 在中，角，，所对应的边分别是，，，已知，且为钝角，则______________，的取值范围是___________.

四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18~22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在中，角，，所对应的边分别是，，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，在下面三个条件中选一个，若存在，求的值，若不存在，说明理由.

①；②；③.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18. 如图，已知为平面直角坐标系的原点，，.

（1）求的坐标；

（2）若四边形为平行四边形，求.

19. 如图，在三棱锥中，，，，平面.

（1）求证：平面平面；

（2）若，是的中点，求与平面所成角的正切值.

20. 甲、乙两人玩一个掷骰子游戏，规则如下：甲掷两次骰子，第一次掷出的数字作为十位数，第二次掷出的数字作为个位数，组成一个两位数，然后让乙猜.若乙猜出的结果与该两位数满足的数字特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮（每轮游戏都由甲掷两次骰子）.

所要猜的两位数的数字特征方案从以下两种猜法中选择一种；

猜法一：猜“两位数的十位大于个位”；

猜法二：猜“两位数的十位不大于个位”.

请回答：

（1）如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由；

（2）假定每轮游戏结果相互独立，规定有人连续获胜两次则整个游戏停止.若乙按照（1）中的猜法进行游戏，求第三轮后游戏停止的概率.

21. 如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，点，分别是棱，上的点，点是线段上一点，.

（1）若为中点，证明：平面；

（2）若，求.

22. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.

（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；

（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.

（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；

（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.

高一数学参考答案

一、选择题

1-5：ADBCB 6-8：ABC

二、选择题

9. AD     10. BCD     11. ABD     12. ACD

三、填空题

13. 1     14.      15.      16.  

四、解答题

17. 解：（1）因为，

由正弦定理，得，

即，

又因为，

所以，

又因为，

所以，

从而，故.

（2）显然有，若存在，必有.

选①：此时有，故不存在.

选②：此时有，如图1，存在，且有唯一解.故有.

选③：此时有，如图2，存在，且有两解（与）.

由余弦定理，得，即，解得或.

18. 解：（1）如图1所示，过点作轴，轴，，、分别为垂足.

显然，，.

故，.

所以，从而.

（2）方法1：如图2所示，设，

由平行四边形法则，，

由于，所以.

方法2：由（1）知，.

由于四边形为平行四边形，所以，

设点，则.

又，故，解得，即.

所以，从而.

方法3：如图2所示，设，则为和的中点.

由（1）知，，，.

设点，则，

又，故，

故，从而.

19. 解：（1）证明：在中，，，，

由余弦定理得.

所以，从而，

由勾股定理得，.

又因为平面，平面，

所以，

由于平面，平面，，

所以平面，

又因为平面，

所以平面平面.

（2）取中点，连接，.

因为，所以.

又因为平面平面，平面平面，

所以平面，

故即为直线与平面所成的角，

因为，，

所以，，所以，

则，

所以与平面所成角的正切值为.

20. 解：（1）两个骰子掷出的数字所构成的两位数组成样本空间：

，

共36个样本点.

设事件为“两位数的十位大于个位”，为“两位数的十位不大于个位”，

则，.

为了尽可能获胜，应该选择猜法二.

（2）设事件为“游戏结束时甲连续获胜两次”，为“游戏结束时乙连续获胜两次”.

则，.

故第三轮后游戏停止的概率为

.

21. 解：（1）证明：取中点，连接，，

则且，

又因为且，

所以，且，

所以四边形为平行四边形，

从而.

又平面，平面，

所以平面.

（2）作交于，则为中点.

所以平面，

因为是边长为2的正三角形，且.

所以.

则，

所以.

又因为，所以.

22. 解：（1）设这人的平均年龄为，则

（岁）.

设第80百分位数为，

方法一：由，解得.

方法二：由，解得.

（2）（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙.

对应的样本空间为：

，共15个样本点.

设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则

，共有9个样本点.

所以，.

（ii）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，

则，，，，

设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.

则，

.

因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10.

据此，可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.