2021保定高一下学期期末考试数学试题含答案

保定市2020-2021学年度第二学期期末调研考试

高一数学试题

一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，则（    ）

A.   B.13   C.   D.

2.设平面向量，，若，则（    ）

A.1   B.2   C.-1   D.3

3.小明和小红5次考试数学成绩统计如下：

则成绩较为稳定的那个同学成绩的方差为（    ）

A.110   B.108   C.22   D.4

4.炎炎夏日，冰淇淋成为青年人的热宠，现用简单随机抽样的方法监测某品牌冰淇淋是否符合食品安全标准，若从21个冰淇淋中逐个抽取一个容量为3的样本，则其中某一个体A“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（    ）

A.，  B.，  C.，   D.，

5.如图，在正方体中，为线段的中点，则直线与的夹角的余弦值为（    ）

A.  B.   C.   D.

6.如图所示，平行四边形中，，点为线段的中点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

7.《列子》中《歧路亡羊》的内容为：杨子之邻亡羊（亡：丢失），既率其党，又请杨子之竖（竖；书童）追之.杨子曰：“嘻！亡一羊，何追者之众？”邻人曰：“多歧路（歧路；岔路口）.”既反，问：“获羊乎?”曰：“亡之矣”、曰：“奚亡之?”曰：“歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也：”这是一篇古人杨子的邻居寻羊的故事，寓意深刻，假定所有分岔口都有两条新的歧路，且歧路等距离出现，丢失的这只羊在每个分岔口走两条新歧路的可能性是相等的，当羊走过5个岔路口后，杨子的邻人动员了7个人去找羊，则找到羊的可能性为（    ）

A.  B.  C.  D.

8.用斜二测画法作出的水平放置的直观图如图所示，其中，，则绕所在直线旋转一周后所形成的几何体的表面积为（    ）

A.   B.   C.   D.

二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.以下四种说法正确的是（    ）

A.

B.复数的虚部为

C.若，则复平面内对应的点位于第二象限

D.复平面内，实数轴上的点对应的复数是实数

10.以下结论不正确的是（    ）

A.对立事件一定互斥

B.事件与事件的和事件的概率一定大于事件的概率

C.事件与事件互斥，则有

D.事件，满足，则，是对立事件

11.已知直线，与平面，，则下列说法不正确的是（    ）

A.若，，，则

B.若，，，则

C.若，，，则

D.若，为异面直线，，，，，则

12.三棱锥中，已知平面，垂足为，连接，，，则下列说法正确的是（    ）

A.若，则为的重心

B.若，则为的垂心

C.若，则为的外心

D.若，，，则为的内心

三、填空题：本题共4小题。

13.甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为，，获得二等奖的概率分别为，，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲乙两人至少有1人获奖的概率为______.

14.已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是______.

15.一艘货船从处出发，沿北信西50°的方向以30海里每小时的速度直线航行，20分钟后到达处，在处观察处灯塔，其方向是北偏东10°，在处观察处灯塔，其方向是北偏东55°，那么，两点间的距离是______海里.

16.已知三棱锥，平面，，，则该三棱锥外接球的半径为______；若此三棱锥可以在正方体中任意转动，则该正方体的最小体积为______.

四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.在中，内角，，的对边分别为，，，且.

（1）求；

（2）若，的面积为，求.

18.工信部副部长刘烈宏在2021年世界电信和信息社会日大会上表示，据全球移动通信协会监测，我国移动用户月均支出低于全球的平均水平，某单位全体员工通讯费用（单位：元）如图所示，数据分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100].

（1）估计本单位员工话费的第90百分位数；

（2）若单位有100名员工，采用分层抽样的方法从这100名员工中抽取容量为10的样本，求每组应抽取的样本量；

（3）估计本单位员工通讯费用的众数和平均数.

19.已知，，且，的夹角为.

（1）求；

（2）若，求实数的值.

20.在四棱锥中，底面是矩形，底面，点是中点.

（1）求证：平面；

（2）若，，求三棱锥的表面积.

21.新冠肺炎疫情已经对人类生产生活带来严重挑战，对未来也将产生非常深远的影响，为适应疫情长期存在的新形势，打好疫情防控的主动仗，某学校大力普及科学防疫知识，拟成立一个由3人组成的科学防疫宣讲小组，现初步选定2名女生，3名男生为候选人，每位候选人当选的机会是相同的。

（1）求当选的3名同学中恰有1名女生的概率；

（2）求当选的3名同学中至多有2名男生的概率.

22.如图，梯形中，，过做于，沿把折起，设点折起后的位置为，且，.

（1）求证：平面平面；

（2）在棱上是否存在一点，使直线平面?并说明理由；

（3）求直线与平面所成的角.

保定市2021年高一期末数学试题参考答案

一、选择题：

ACDB  DCAC

二、选择题：

AD  BCD  AB  BC

三、填空题：

13.;  14.且;  15.;

16.； 

四、解答题

17.解析：（1），

由正弦定理，，

即

所以.

所以.

所以，

，

（2） ，，

由余炫定理，，

即，

则。

18.解析  （1）本单位员工话费在80元以下的频率为：，

本单位员工话费在[80，100]的频率为0.3，

因此，本单位话费的第90百分位数在[80，100]内，

由。

可以估计本单位员工话费的第90百分位数为。

（2）

采用分层抽样的方法从这100名员工中抽取容量为10的样本，

其个数分别为1，2，4，3.

（3）本单位员工通讯费用的众数为70；

平均数为：

.

19.解析：（1）∵，，

∴易知，

∴。

（2）方法一：，

则存在非零实数，使，

由共面定理得，则.

方法二：由已知或，

当，，，

∴，

则.

同理时，.

综上，.

20.解析：（1）证明：连结交于点，连接.

显然，为中点，又∵为中点，在中，

由中位线定理可得：，

又∵面，面，

∴面.

（2）∵底面，、平面，∴，，

∴，

易知，

∵四边形为矩形，面，

∴，，，

∴面，∴，

则为直角三角形，

在中，易得，

∴.

∴，

∴

.

21.解析：

将2名女生，3名男生分别用，，，，表示，则从5名候选人中选3名同学的试验的样本空间为共10种，

（1）设“恰有一女生”，

则，

∴，

（2）方法一：设“至多有两个男生”，则

∴.

方法二：设“至多有两个男生”， “全部都是男生”，事件，为对立事件，

因为，∴，

∴.

22.解析：（1）证明：连接，

∵，，

∵，∴. ，

在中，，

在中，，

∵，∴，

∵，∴平面，

∵面，∴平面平面.

（2）存在，为中点时，直线面.

证明：取中点，的中点，

连接，，.

∵，分别为，中点，∴，且，

∵，且，∴，，

∴四边形为平行四边形，

∴.

∴面，面，

∴面，∴当为中点时，直线面.

（3）法一：取的中点，连接、，做，垂足为.

在四边形中，，，且，，

∴四边形为正方形.∴.

∴面，

点到面的距离即为点到面的距离

∵，，，

∴面，

∴，平面，，中，，，；

在中，，

∴，，，∴面，

∴到面的距离：，即点到面的距离，

直线与面所成的角的正弦值：

∴直线与面所成的角为30°.

法二：由（1）可知，，面，

∴直线与面所成角的余角为，

取的中点，，由（1）可得，，面，面

∴在中，，∴，

在中，，则是等边三角形.

∴.

∴直线与面所成的角为30°.

（用空间向量方法的参照给分。）