陕西西安市交大附中2022年中考数学考前最后一卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．苹果的单价为a元/千克，香蕉的单价为b元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需（　　）

A．（a+b）元 B．（3a+2b）元 C．（2a+3b）元 D．5（a+b）元

2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一动点（不与A、B重合），CD⊥AB于D，∠OCD的平分线交⊙O于P，则当C在⊙O上运动时，点P的位置（　　）
 

A．随点C的运动而变化

B．不变

C．在使PA=OA的劣弧上

D．无法确定

3．对于反比例函数，下列说法不正确的是（　　）

A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限

C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．当x＜0时，y随x的增大而减小

4．如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是（　　）

A． B． C． D．

5．如图，菱形ABCD中，E. F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长是（  ）

A．12 B．16 C．20 D．24

6．下列计算正确的是（　　）

A．﹣= B． =±2

C．a6÷a2=a3 D．（﹣a2）3=﹣a6

7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（    ）

A．45° B．85° C．90° D．95°

8．如图，在△ABC中，AB=AC，AD和CE是高，∠ACE=45°，点F是AC的中点，AD与FE，CE分别交于点G、H，∠BCE=∠CAD，有下列结论：①图中存在两个等腰直角三角形；②△AHE≌△CBE；③BC•AD=AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正确的个数有（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．在实数，，，中，其中最小的实数是（　　）

A． B． C． D．

10．对于两组数据A，B，如果sA2＞sB2，且，则（　　）

A．这两组数据的波动相同 B．数据B的波动小一些

C．它们的平均水平不相同 D．数据A的波动小一些

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．一个圆锥的母线长15CM.高为9CM.则侧面展开图的圆心角________。

12．如图所示,直线y=x+1(记为l1)与直线y=mx+n(记为l2)相交于点P(a,2),则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为__________.

13．如图，点、、在直线上，点，，在直线上，以它们为顶点依次构造第一个正方形，第二个正方形，若的横坐标是1，则的坐标是______，第n个正方形的面积是______．

14．分解因式：2a2﹣2=_____．

15．如图所示，三角形ABC的面积为1cm1．AP垂直∠B的平分线BP于P．则与三角形PBC的面积相等的长方形是（ ）

A．

B．

C．

D．

16．如图，已知CD是Rt△ABC的斜边上的高，其中AD=9cm，BD=4cm，那么CD等于_______cm.

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．

（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若BC=6，AC=4CE时，求⊙O的半径．

18．（8分）某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．

请结合统计图，回答下列问题：

（1）本次调查学生共　   　 人，a=　   　，并将条形图补充完整；

（2）如果该校有学生2000人，请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人？

（3）学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率．

19．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与双曲线的一个交点为B（－1，4）.求直线与双曲线的表达式；过点B作BC⊥x轴于点C，若点P在双曲线上，且△PAC的面积为4，求点P的坐标.

20．（8分）已知四边形ABCD为正方形，E是BC的中点，连接AE，过点A作∠AFD，使∠AFD=2∠EAB，AF交CD于点F，如图①，易证：AF=CD+CF．

（1）如图②，当四边形ABCD为矩形时，其他条件不变，线段AF，CD，CF之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明；

（2）如图③，当四边形ABCD为平行四边形时，其他条件不变，线段AF，CD，CF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

图①                            图②                          图③

21．（8分）为了了解初一年级学生每学期参加综合实践活动的情况，某区教育行政部门随机抽样调查了部分初一学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题：

（I）本次随机抽样调查的学生人数为　   　，图①中的m的值为　   　；

（II）求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；

（III）若该区初一年级共有学生2500人，请估计该区初一年级这个学期参加综合实践活动的天数大于4天的学生人数．

22．（10分）关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）＝0有两个实数根．求m的取值范围；若m为正整数，求此方程的根．

23．（12分）化简求值：，其中．

24．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，的半径为，P为上一动点．

点B，C的坐标分别为______，______；

是否存在点P，使得为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值______．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解析】
用单价乘数量得出买2千克苹果和3千克香蕉的总价，再进一步相加即可．

【详解】

买单价为a元的苹果2千克用去2a元，买单价为b元的香蕉3千克用去3b元，

共用去：(2a+3b)元.

故选C.

【点睛】

本题主要考查列代数式，总价=单价乘数量.

2、B

【解析】
因为CP是∠OCD的平分线，所以∠DCP=∠OCP，所以∠DCP=∠OPC，则CD∥OP，所以弧AP等于弧BP，所以PA=PB．从而可得出答案．

【详解】

解：连接OP，

∵CP是∠OCD的平分线，

∴∠DCP=∠OCP，
又∵OC=OP，
∴∠OCP=∠OPC，
∴∠DCP=∠OPC，
∴CD∥OP，
又∵CD⊥AB，
∴OP⊥AB，
∴，
∴PA=PB．
∴点P是线段AB垂直平分线和圆的交点，
∴当C在⊙O上运动时，点P不动．
故选：B．

【点睛】

本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，以及平行线的判定和性质，在同圆或等圆中，等弧对等弦．

3、C

【解析】
由题意分析可知，一个点在函数图像上则代入该点必定满足该函数解析式，点（-2，-1）代入可得，x=-2时，y=-1，所以该点在函数图象上，A正确；因为2大于0所以该函数图象在第一，三象限，所以B正确；C中，因为2大于0，所以该函数在x＞0时，y随x的增大而减小，所以C错误；D中，当x＜0时，y随x的增大而减小，正确，

故选C.

考点：反比例函数

【点睛】

本题属于对反比例函数的基本性质以及反比例函数的在各个象限单调性的变化

4、D

【解析】
两个同心圆被均分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，由此计算出黑色区域的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．

【详解】

因为两个同心圆等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中黑色区域的面积占了其中的四等份，

所以P(飞镖落在黑色区域)==.

故答案选：D.

【点睛】

本题考查了几何概率，解题的关键是熟练的掌握几何概率的相关知识点.

5、D

【解析】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解.

【详解】

、分别是、的中点，

是的中位线，

，

菱形的周长．

故选：.

【点睛】

本题主要考查了菱形的四边形都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题的关键.

6、D

【解析】
根据二次根式的运算法则,同类二次根式的判断，开算术平方根，同底数幂的除法及幂的乘方运算．

【详解】

A. 不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；

B.=2≠±2，故B选项错误；

C. a6÷a2=a4≠a3，故C选项错误；

D. (−a2)3=−a6，故D选项正确．

故选D.

【点睛】

本题主要考查了二次根式的运算法则，开算术平方根，同底数幂的除法及幂的乘方运算，熟记法则是解题的关键.

7、B

【解析】
解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，

∵∠C=50°，∴∠BAC=40°，

∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，∴∠ABD=∠DBC=45°，

∴∠CAD=∠DBC=45°，

∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+45°=85°，

故选B．

【点睛】

本题考查圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．

8、C

【解析】
①图中有3个等腰直角三角形，故结论错误；

②根据ASA证明即可，结论正确；

③利用面积法证明即可，结论正确；

④利用三角形的中线的性质即可证明，结论正确.

【详解】

∵CE⊥AB，∠ACE=45°，

∴△ACE是等腰直角三角形，

∵AF=CF，

∴EF=AF=CF，

∴△AEF，△EFC都是等腰直角三角形，

∴图中共有3个等腰直角三角形，故①错误，

∵∠AHE+∠EAH=90°，∠DHC+∠BCE=90°，∠AHE=∠DHC，

∴∠EAH=∠BCE，

∵AE=EC，∠AEH=∠CEB=90°，

∴△AHE≌△CBE，故②正确，

∵S△ABC=BC•AD=AB•CE，AB=AC=AE，AE=CE，

∴BC•AD=CE2，故③正确，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=DC，

∴S△ABC=2S△ADC，

∵AF=FC，

∴S△ADC=2S△ADF，

∴S△ABC=4S△ADF．

故选C．

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

9、B

【解析】
由正数大于一切负数，负数小于0，正数大于0，两个负数绝对值大的反而小，把这四个数从小到大排列，即可求解．

【详解】

解：∵0，-2，1，中，-2＜0＜1＜，
∴其中最小的实数为-2；
故选：B．

【点睛】

本题考查了实数的大小比较，关键是掌握：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小．

10、B

【解析】

试题解析：方差越小，波动越小.

数据B的波动小一些.

故选B.

点睛：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、288°

【解析】
母线长为15cm，高为9cm，由勾股定理可得圆锥的底面半径；由底面周长与扇形的弧长相等求得圆心角.

【详解】

解：如图所示，在Rt△SOA中，SO=9,SA=15；

则：

设侧面属开图扇形的国心角度数为n，则由 得n=288°

故答案为：288°.

【点睛】

本题利用了勾股定理，弧长公式，圆的周长公式和扇形面积公式求解.

12、x≥1

【解析】
把y=2代入y=x+1，得x=1，

∴点P的坐标为（1，2），

根据图象可以知道当x≥1时，y=x+1的函数值不小于y=mx+n相应的函数值，

因而不等式x+1≥mx+n的解集是：x≥1，

故答案为x≥1．

【点睛】

本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．

13、 (4,2),       

【解析】
由的横坐标是1，可得，利用两个函数解析式求出点、的坐标，得出的长度以及第1个正方形的面积，求出的坐标；然后再求出的坐标，得出第2个正方形的面积，求出的坐标；再求出、的坐标，得出第3个正方形的面积；从而得出规律即可得到第n个正方形的面积．

【详解】

解：点、、在直线上，的横坐标是1，
，
点，，在直线上，
，，
，，
第1个正方形的面积为：；
，
，，，
第2个正方形的面积为：；
，
，，
第3个正方形的面积为：；
，
第n个正方形的面积为：．
故答案为，．

【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质以及规律型中图形的变化规律，解题的关键是找出规律本题难度适中，解决该题型题目时，根据给定的条件求出第1、2、3个正方形的边长，根据数据的变化找出变化规律是关键．

14、2（a+1）（a﹣1）．

【解析】
先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

【详解】

解：2a2﹣2，

=2（a2﹣1），

=2（a+1）（a﹣1）．

【点睛】

本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

15、B

【解析】
过P点作PE⊥BP，垂足为P，交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．

【详解】

解：过P点作PE⊥BP，垂足为P，交BC于E，

∵AP垂直∠B的平分线BP于P，

∠ABP=∠EBP，

又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°，

∴△ABP≌△BEP，

∴AP=PE，

∵△APC和△CPE等底同高，

∴S△APC=S△PCE，

∴三角形PBC的面积=三角形ABC的面积=cm1，

选项中只有B的长方形面积为cm1，

故选B．

16、1

【解析】
利用△ACD∽△CBD，对应线段成比例就可以求出．

【详解】

∵CD⊥AB，∠ACB=90°，

∴△ACD∽△CBD，

∴，

∴，

∴CD=1．

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键．

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）AE与⊙O相切．理由见解析.（2）2.1

【解析】
（1）连接OM，则OM=OB，利用平行的判定和性质得到OM∥BC，∠AMO=∠AEB，再利用等腰三角形的性质和切线的判定即可得证；

（2）设⊙O的半径为r，则AO=12﹣r，利用等腰三角形的性质和解直角三角形的有关知识得到AB=12，易证△AOM∽△ABE，根据相似三角形的性质即可求解.

【详解】

解：（1）AE与⊙O相切．

理由如下：

连接OM，则OM=OB，

∴∠OMB=∠OBM，

∵BM平分∠ABC，

∴∠OBM=∠EBM，

∴∠OMB=∠EBM，

∴OM∥BC，

∴∠AMO=∠AEB，

在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，

∴AE⊥BC，

∴∠AEB=90°，

∴∠AMO=90°，

∴OM⊥AE，

∴AE与⊙O相切；

（2）在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，

∴BE=BC，∠ABC=∠C，

∵BC=6，cosC=，

∴BE=3，cos∠ABC=，

在△ABE中，∠AEB=90°，

∴AB===12，

设⊙O的半径为r，则AO=12﹣r，

∵OM∥BC，

∴△AOM∽△ABE，

∴，

∴=，

解得：r=2.1，

∴⊙O的半径为2.1．

18、（1）300，10； （2）有800人；（3） ．

【解析】试题分析：

试题解析：（1）120÷40%=300，

a%=1﹣40%﹣30%﹣20%=10%，

∴a=10，

10%×300=30，

图形如下：

（2）2000×40%=800（人），

答：估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有800人；

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数为2，

所以每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率=．

考点：1.用样本估计总体；2.扇形统计图；3.条形统计图；4.列表法与树状图法.

19、（1）直线的表达式为，双曲线的表达方式为；（2）点P的坐标为或

【解析】

分析：（1）将点B（-1，4）代入直线和双曲线解析式求出k和m的值即可；

（2）根据直线解析式求得点A坐标，由S△ACP＝AC•|yP|＝4求得点P的纵坐标，继而可得答案．

详解：（1）∵直线与双曲线 （）都经过点B（－1，4），

，

，

∴直线的表达式为，双曲线的表达方式为.  

（2）由题意，得点C的坐标为C（－1，0），直线与x轴交于点A（3，0），

，

∵，

，

点P在双曲线上，

∴点P的坐标为或.

点睛：本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的面积是解题的关键．

20、（1）图②结论：AF=CD+CF. （2）图③结论：AF=CD+CF.

【解析】

试题分析：（1）作，的延长线交于点.证三角形全等，进而通过全等三角形的对应边相等验证之间的关系；

（2）延长交的延长线于点由全等三角形的对应边相等验证关系.

试题解析：（1）图②结论： 

证明：作，的延长线交于点.

∵四边形是矩形，

由是中点，可证≌

（2）图③结论：

延长交的延长线于点如图所示

因为四边形是平行四边形

所以//且,

因为为的中点，所以也是的中点，

所以

又因为

所以

又因为

所以≌

所以

因为

21、（I）150、14；（II）众数为3天、中位数为4天，平均数为3.5天；（III）700人

【解析】
（I）根据1天的人数及其百分比可得总人数，总人数减去其它天数的人数即可得m的值；

（II）根据众数、中位数和平均数的定义计算可得；

（III）用总人数乘以样本中5天、6天的百分比之和可得．

【详解】

解:（I）本次随机抽样调查的学生人数为18÷12%=150人，m=100﹣（12+10+18+22+24）=14，

故答案为150、14；

（II）众数为3天、中位数为第75、76个数据的平均数，即平均数为=4天，

平均数为=3.5天；

（III）估计该区初一年级这个学期参加综合实践活动的天数大于4天的学生有2500×（18%+10%）=700人．

【点睛】

此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．

22、（1）且；（2），．

【解析】
（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可；
（2）利用m的范围可确定m=1，则原方程化为x2+x=0，然后利用因式分解法解方程．

【详解】

（1）∵

．

解得且．

（2）∵为正整数，

∴．

∴原方程为．

解得，．

【点睛】

考查一元二次方程根的判别式，

当时，方程有两个不相等的实数根.

当时，方程有两个相等的实数根.

当时，方程没有实数根.

23、

【解析】

分析：先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可.

详解：原式

当时，

点睛：考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.

24、（1）B（1，0），C（0，﹣4）；（2）点P的坐标为：（﹣1，﹣2）或（，）或（，﹣﹣4）或（﹣，﹣4）；（1）．

【解析】

试题分析：（1）在抛物线解析式中令y=0可求得B点坐标，令x=0可求得C点坐标；

（2）①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图1，连接BC，根据勾股定理得到BC=5，BP2的值，过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，根据相似三角形的性质得到 =2，设OC=P2E=2x，CP2=OE=x，得到BE=1﹣x，CF=2x﹣4，于是得到FP2，EP2的值，求得P2的坐标，过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H，同理求得P1（﹣1，﹣2），②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；

（1）如图1中，连接AP，由OB=OA，BE=EP，推出OE=AP，可知当AP最大时，OE的值最大．

试题解析：（1）在中，令y=0，则x=±1，令x=0，则y=﹣4，∴B（1，0），C（0，﹣4）；

故答案为1，0；0，﹣4；

（2）存在点P，使得△PBC为直角三角形，分两种情况：

①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图（2）a，连接BC，∵OB=1．OC=4，∴BC=5，∵CP2⊥BP2，CP2=，∴BP2=，过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，则△CP2F∽△BP2E，四边形OCP2B是矩形，∴=2，设OC=P2E=2x，CP2=OE=x，∴BE=1﹣x，CF=2x﹣4，∴ =2，∴x=，2x=，∴FP2=，EP2=，∴P2（，﹣），过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H，同理求得P1（﹣1，﹣2）；

②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，过P4作P4H⊥y轴于H，则△BOC∽△CHP4，∴ =，∴CH=，P4H=，∴P4（，﹣﹣4）；

同理P1（﹣，﹣4）；

综上所述：点P的坐标为：（﹣1，﹣2）或（，）或（，﹣﹣4）或（﹣，﹣4）；

（1）如图（1），连接AP，∵OB=OA，BE=EP，∴OE=AP，∴当AP最大时，OE的值最大，∵当P在AC的延长线上时，AP的值最大，最大值=，∴OE的最大值为．故答案为．